文档内容
第02讲 线段垂直平分线的性质和判定
1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定；
2. 能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．
知识点1 ：线段垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫
线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D
两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
知识点2 ：线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
知识点3：线段的垂直平分线逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】（2023•邵阳县二模）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分
别交 AC、BC 于 E、D 两点，且 AB＝4，BC＝7，则△ABD 的周长是
（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式1-1】（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分
别交 AB、BC 于点 D、E，连接 AE，若 AE＝4，EC＝2，则 BC 的长是
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式1-2】（2023春•新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂
直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2023春•新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【典例2】（2023春•青羊区期末）如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平
分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD＝25°，∠C＝35°，
则∠B的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的
垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【变式2-2】（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边
AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足
为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（ ）A．70° B．55° C．40° D．30°
【变式2-3】（2022秋•青县期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，AB
的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则∠EBC 的大小为（
）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将 A、B、C三个村庄连成
一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个
村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【变式3-1】（2022春•于洪区期末）如图，电信部门要在公路 l旁修建一座移
动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 M，N的距离必须相等，
则发射塔应该建在（ ）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式3-2】（2022秋•天心区期中）在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山
县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰收的季节．为了让猕猴
桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路 m旁建立公用移动
通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式3-3】（2022秋•平城区校级期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为
各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落
户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便
利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建
在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【典例4】（2022秋•宁乡市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交
BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数．
【变式4-1】（2022秋•天河区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分
线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20cm，AE＝5cm，求△ABC的
周长．
【变式4-2】（2022春•永丰县期中）如图，在 Rt△ABC中DE为AB的垂直平
分线．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
【变式4-3】（2022秋•垣曲县期末）如图，直线 l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【题型5 线段垂直平分线的判定】
【典例5】（秋•南安市期末）（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的
垂直平分线上．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
（2）用（1）中的结论解决：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BE
平分∠ABC，求证：点E在线段AB的垂直平分线上．
【变式 5】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为
A、B．求证：PO垂直平分AB．
【题型6 线段垂直平分线的作法】
【典例6】（2022秋•杭州期中）如图，直线 m表示一条公路，A、B表示两所
大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出
这点P．【变式6-1】（2020•宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝
GH，我们知道按如图所作的直线 l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确
的是（ ）
A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线
【变式6-2】（秋•丰台区期末）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高
线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，
两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．证明：∵ ＝BA， ＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理
的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】
【典例7】（2022春•甘孜州期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°
，以A为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC于点M和N，再分别以M、N
为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结AP并延长交BC于
点D．
（1）求证：点D在线段AB的垂直平分线上；
（2）若△ACD的面积为3，求△ADB的面积．
【变式7】（2022秋•牡丹江期中）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分
线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）设直线DM、EN交于点O．
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．1．（2023•南宁一模）如图，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AC＝10，BC
＝6，则△BCD的周长为（ ）
A．6 B．10 C．16 D．18
2．（2023•贵阳模拟）如图，地面上有三个洞口 A、B、C，老鼠可从任意一个
洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在
（ ）
A．△ABC三条角平分线的交点 B．△ABC三条边的中线的交点
C．△ABC三条高的交点 D．△ABC三条边的垂直平分线的交点
3．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP
＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P ，P ，则P ，P 之间的距
1 2 1 2
离可能是（ ）A．0 B．5 C．6 D．7
4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于
点D，交BC于点E，已知AD＝
3cm，△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长是（ ）
A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm
5．（2022•青海）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分
线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
6．（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l 、l 相交于点O，若∠1
1 2
＝39°，则∠AOC＝ ．
7．（2020•牡丹江）在△ABC 中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边 AB，分别交
AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB．1．如图，△ABC 中，∠C＝90°，ED 垂直平分 AB，若 AC＝12，EC＝5，且
△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC
于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则
∠EAG的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是（ ）
A．两条中线的交点
B．两条高的交点
C．两条角平线的交点
D．两条边的垂直平分线的交点
4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD
的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（ ）A．14 B．28 C．18 D．23
5．温江进行河边公园改造，如图，江安河公园有三角形草坪（△ABC），现准
备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则
该树应种在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
6．如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度
数为（ ）
A．90° B．60° C．86° D．43°
7．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，
垂足为点 E、F，下面四个结论中：①∠AEF＝∠AFE；② AD 垂直平分
EF；③S ：S ＝BF：CE；④EF∥BC，正确的是（ ）
△BFD △CED
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，
交AB于E，DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5m C．6cm D．7cm
10．在△ABC中，∠B＝60°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若
AE＝BC，则∠A＝ °．
11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不
写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且
AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠A＝36°，并且AB＝AC．求证：BC＝BE．
