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考点 16 空间几何体（核心考点讲与练）
空间几何体的表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不一定相
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开
矩形 扇形 扇环
图
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图侧面积公式 S ＝ 2π r l S ＝ π r l S ＝ π (r ＋ r )l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱 体
S ＝S ＋2S V＝S h
表面积 侧 底 底
(棱柱和圆柱)
锥 体
S ＝S ＋S V＝S h
表面积 侧 底 底
(棱锥和圆锥)
台 体
S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
(棱台和圆台)
球 S＝ 4π R 2 V＝ π R 3
1.求解几何体表面积的类型及求法
求多面体 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求
的表面积 多面体的表面积
求旋转体 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但
的表面积 要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的
几何体的 柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表
面积
表面积
2.求体积的常用方法
直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规
割补法
则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任
等体积法
一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球
的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧
面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出
空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地
解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.
空间几何体的表面积
一、单选题
1．（2022·海南海口·模拟预测）已知圆柱的侧面积等于上、下底面积之和，圆柱的体积与表面积的数值相
同，则该圆柱的高为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
2．（2022·福建·模拟预测）已知某圆台的高为 ，上底面半径为 ，下底面半径为 ，则其侧面展开
图的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.（2021湖北省黄石市高三上学期9月调研）已知圆锥的母线长为 ，其侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则该圆锥的底面面积是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称
夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆
柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的 倍，已知某圆柱的
底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，
下列选项正确的是（ ）A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
5．（2022·河北·模拟预测）已知正四棱台 （上下底面都是正方形的四棱台）．下底面
ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为 ，则（ ）
A．它的表面积为
B．它的外接球的表面积为
C．侧棱与下底面所成的角为60°
D．它的体积比棱长为 的正方体的体积大
三、填空题
6.（2021贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试）学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，
圆柱体的全面积为 ，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________.
7．（2022·广东广州·二模）在梯形 中， ，将 沿 折起，
连接 ，得到三棱锥 ，则三棱锥 体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球
的表面积为__________．
空间几何体的体积
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·二模）现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大
时，该圆锥与小球的体积之比是（ ）
A． B． C． D．2.（2021重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考）在棱长为2的正方体 中，点 ，
， ， 分别为棱 ， ， ， 的中点，若平面 平面 ，且平面 与棱 ，
， 分别交于点 ， ， ，其中点 是棱 的中点，则三棱锥 的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
3.（2021广东省广州市荔湾区高三上学期调研）若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，
则其体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
4．（2022·海南海口·模拟预测）如图，在长方体 中， ，E，F分别是棱
， 的中点，则（ ）
A．△BDF是等边三角形 B．直线 与BF是异面直线
C． 平面BDF D．三棱锥 与三棱锥 的体积相等
5．（2022·福建·模拟预测）已知三棱锥 外接球的球心为 ，外接球的半径为 ， ，
， （ 为正数），则下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则三棱锥 的体积的最大值为B．若 不共线，则平面 平面
C．存在唯一一点 ，使得 平面
D． 的最大值为
三、解答题
6．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ，且 ，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角 的余弦值为 ？若存在，求三棱锥 体积；
若不存在，请说明理由．
与球有关的内切、外接问题
1.（2021河南省联考高三核心模拟卷）在三棱锥 中， ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.2.（2021江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱
柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，
则小球的半径为_____________.
3．（2022·天津·南开中学模拟预测）棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙
处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
柱锥台的轴截面问题
一、单选题
1．（2022·山东·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截
面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 ，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2021·广东中山·模拟预测）正四棱锥 的所有棱长为2，用垂直于侧棱 的平面 截该四棱
锥，则（ ）
A．截面可以是三角形
B． 与底面 所成的角为
C． 与底面 所成的角为
D．当平面 经过侧棱 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1
三、填空题
3．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆锥底面圆半径为2，母线与底面成角为60°，则圆锥侧面积为__________，若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为__________.
4．（2021·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O
与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为 ，球O的体积为 ，则 ______；若M，N是圆
锥底面圆上的两点，且 ，则平面PMN截球O所得截面的面积为______.
5.（2021上海市高三春考模拟卷）已知圆锥的母线长为5，侧面积为 ，过此圆锥的顶点作一截面，则
截面面积最大为__________
四、解答题
6．（2021·湖南·雅礼中学二模）在空间直角坐标系 中，以坐标原点 为圆心， 为半径的球体上任
意一点 ，它到坐标原点 的距离 ，可知以坐标原点为球心， 为半径的球体可
用不等式 表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记 满足的不
等式组 表示的几何体为 .
（1）当 表示的图形截 所得的截面面积为 时，求实数 的值；
（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两
个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记 满足的不等式
组 所表示的几何体为 请运用祖暅原理求证 与 的体积相等，并求出体积的大小.1.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的母线长为（ ）
A. B. C. D.
2.（2021年全国高考甲卷数学试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可
视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面
三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.4.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为
的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
一、单选题
1．（2022·江西萍乡·二模（理））正方体 棱长为 ，动点 在线段 上（含端点），以
下结论不正确的为（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．过 ， ， 三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形
C．当点 和 重合时，三棱锥 的外接球体积为
D．直线 与面 所成角的正弦值的范围为
2．（2022·江苏·南京市第一中学三模）底面半径为3，表面积为 的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津·一模）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的
体积为 ，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津河西·一模）一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为 ，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·新疆昌吉·二模（文））在三棱锥 中， ，且 ，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清
代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，
园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)
是底边长为6 m，顶角为 的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·天津红桥·一模）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为
1、 、3，则此球的体积为______．
8．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））如图， 是边长为4的正三角形 的一条中位线，将沿直线 翻折至 ，当三棱锥 的体积最大时，过 的中点M作该四棱锥
的外接球的截面圆，则该截面圆的面积的最小值为___________.
9．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知四面体ABCD中，AC=3，其余棱长均为2，则该四面体
外接球的表面积是______．
10．（2022·江西赣州·二模（理））我国古代数学名著《九章算术》把上下两个面平行且均为矩形的六面
体称为刍童，已知刍童ABCD— 中四边形 ､四边形 及四边形 都是正方形，
，则刍童ABCD— 外接球的表面积为___________.
11．（2022·四川遂宁·三模（文））称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的体积
为 ，则它的侧面积________.
12．（2022·山西临汾·三模（理））已知四边形ABCD为菱形，AB=1，∠BAD=60°，将其沿对角线BD折
成四面体 ，使 ，若四面体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为_______．
13．（2021·上海·模拟预测）已知圆锥的母线长为5，侧面积为 ，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面
积最大为__________
14．（2021·全国·模拟预测）2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全
球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱
为一“堑堵”， 是 的中点， ，设平面 过点 且与 平行，现有下列四个结论：
①当平面 截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于 ；
②当平面 截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于 ；
③异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
④三棱锥 的体积是该“堑堵”体积的 .
所有正确结论的序号是___________.
三、双空题
15．（2022·山东潍坊·二模）根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度
不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线
， ，E是其母线PB的中点．若平面 过点E，且PB⊥平面 ，则平面 与圆锥侧面的交
线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为______；截面 把圆锥分
割成两部分，在两部分内部，分别在截面 的上方作一个半径最大的球M，在截面 下方作一个半径最大
的球N，则球M与球N的半径的比值为______．.
四、解答题
16.（2021湖北省金太阳百校联考高三上学期10月月考）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
， 与 的长度之和为6米， ，现要给三棱锥 的侧面刷油漆，每平方
米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升.
（1）设 米，三棱锥 的侧面共需要油漆 升，试写出 关于 的函数表达式；
（2）刷油漆需要请油漆工来完成，工费按照每平方米10元计算，若油漆工工费及油漆费用的总预算为
400元，试问最后油漆工工费及油漆费用是否有可能会超预算？说明你的理由.
17. 已知圆锥 的底面半径为2，母线长为 ，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是
的中点，且 ．（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求A到平面 的距离．
