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专题15 坐标系中的面积（和实数有关）
【例题讲解】
如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，且 ．
(1)求a，b的值；
(2)①在x轴的正半轴上存在一点M，（使 的面积 的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使 的面积 的面积恒成立？若存在，请直
接写出符合条件的点M的坐标．
（1）解：∵ ∴ ，解得： ，
（2）①点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(3，0)，设M的坐标为(0，m)，
根据题意 ，解得：m=5，所以M点坐标为(0，5).
②存在.当点M在y轴上，设M的坐标为(0，m)，根据题意得 ，
解得m=±5，此时点M的坐标为(0，-5)(0，5).
当点M在x轴上，设M的坐标为(n，0)，根据题意得 ，
解得n=±2.5，此时点M的坐标为(-2.5，0)(2.5，0)，
综上所述：点M的坐标为(-5，0)，(5，0)，(-2.5，0)，(2.5，0)．
【综合解答】1．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足 ．
(1)求OA，OB长度；
(2)在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接
AB、AP，当运动的时间t为几秒时， ？并求出此时点P的坐标．
2．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，
0），其中点A与点B对应、点O与点C对应，a、b满足 ．
(1)填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ ）、B（ ）、C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
(2)如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O
开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
3．已知，点 ， 轴，垂足为 ，将线段 平移至线段 ，点 ，其中点A
与点 对应，点 与点 对应， 、 满足 ．
(1)填空：
①直接写出A、 、 三点的坐标 ______ 、 ______ 、 ______ ；
②直接写出三角形 的面积______．
(2)如图 ，若点 在线段 上，证明： ．
(3)如图 ，连 ，动点 从点 开始在 轴上以每秒 个单位的速度向左运动，同时点 从点
开始在 轴上以每秒 个单位的速度向下运动．若经过 秒，三角形 与三角形 的面积相
等，试求 的值及点 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ， 满足
(1)填空： ， ；
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示三角形 的面积
(3)在（2）的条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得三角形 的面积与三角形 的面积相等，请求出点 的坐标．
5．如图，C为x轴正半轴上一动点， ， ，且a，b满足 ， ．
(1)求△ABO的面积；
(2)求点O到AB的距离；
(3)如图2，若 ， 轴于点C，点M从点P出发，在射线PA上运动，同时另一动点N
从点B出发向点A运动，到点A时两点停止运动，M，N的速度分别为2个单位长度/秒，3个单位
长度/秒，当 时，求运动的时间t的值．
6．如图1，已知点A（0，a），点B（b，0），其中a，b满足 ，点C
（m，n）在第一象限，已知m的算术平方根是2，64的立方根为n．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求出△ABC的面积；
(3)如图2，延长BC交y轴于D点，求点D的坐标；
(4)如图3，过点C作CE AB交y轴于E点，求E点的坐标．
7．如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0）、C（a，b）三点，其中a是 的
整数部分，b＋1的平方根是±2．
（1）请求出a、b的值；
（2）求出ABC的面积；
（3）在第四象限中是否存在点P到两坐标轴的距离相等且使四边形AOPB的面积与ABC的面积
相等？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+
＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发
沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点B的坐标，AO和BC位置关系是 ；
（2）如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S PAB＝4S QBC，求出点P
△ △
的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请直接写出∠OPQ和∠PQB的数量关系．9．已知，在平面直角坐标系中，点A， B的坐标分别是(a， 0)，(b， 0)且 ．
(1)求a， b的值；
(2)在y轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积是12？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请
说明理由．
(3)已知点P是y轴正半轴上一点，且到x轴的距离为3，若点P沿x轴负半轴方向以每秒1个单位
长度平移至点Q，当运动时间t为多少秒时，四边形ABPQ的面积S为15个平方单位？写出此时
点Q的坐标．
10．如图1,在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b),且a、b满足 .
(1)请直接写出A、B两点的坐标：点A为_______,点B为________.
(2)若点P的坐标为(-2，n)，且三角形PAB的面积为7，求n的值.
(3)如图2，过点B作BC//x轴，点Q为x轴上点A左侧的一动点，连结QB，BM平分∠QBA，BN平
分∠CBA，当点Q运动时，∠MBN:∠AQB的值是否发生变化？如果 变化，请说明理由；如果不变，
请求出其值.11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（ ，0），B（ ，0），C
（﹣1，2），且 ．
(1)求 的值；
(2)若点M在 轴上运动，使三角形COM的面积是三角形ABC面积的2倍，请求出M的坐标；
(3)过点C作AB的平行线，交y轴于点D，连接BD，过A作BD的平行线AE，交直线CD于点
E，再作EG⊥ 轴于G.动点P从D出发，沿DE→EG方向运动，速度为每秒1个单位长度，设运
动时间为t秒，请回答：
①求P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示出来）；
②当6秒﹤t﹤8秒时，设∠EDP= ,∠PBG= ,∠DPB= ,请求出 之间的数量关系．
12．如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ，且(1)求 ， 的值．
(2)①在 轴的正半轴上存在一点 ，使 ，求点 的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点 ，使 仍然成立，若存在，请直接写出符合条
件的点 的坐标．
(3)如图2，过点 作 轴交 轴于点 ，点 为线段 延长线上一动点，连接 ， 平
分 ， ．当点 运动时， 的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明
理由．
13．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，且 ．
(1)求a，b的值；
(2)①在x轴的正半轴上存在一点M，（使 的面积 的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使 的面积 的面积恒成立？若存在，请直
接写出符合条件的点M的坐标．
