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专题18 与角相关的三大计算类问题压轴复习
类型一 “钟面角”相关
【知识点睛】
钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰
好对应着一个周角360°，每一大格=30°角，每一小格=6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指
针．
钟表时针、分针、秒针的转动情况：
时针：每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；
分针：每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；
秒针：每5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1 分钟转一个圆周．
时针、分针、秒针的转速：
时针的转速为：30°/小时或0.5°/分钟；
分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；
秒针的转速为：6°/秒．
【类题训练】
一、时针/分针间的夹角问题
1．时钟显示为2：00时，时针与分针所夹的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．75° B．80° C．70° D．67.5°
3．下列说法中正确的是（ ）
A．3时30分，时针与分针的夹角是90°
B．6时30分，时针与分针重合
C．8时45分，时针与分针的夹角是30°
D．9时整，时针与分针的夹角是90°
二、从某一时刻到另一时刻的角度问题
1．时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为 ．
2．从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度是 ．
3．同一天中，从9：30到10：05，分针转了几度？时针转了几度？
4．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距 180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，
两车同时出发，同向 而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示
分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．（1）3：40时，时针与分针所成的角度 ；
（2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
三、由角度求对应时刻时间
1．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟
面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为
∠AOB；本题中所提到的角都不小于 0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整
之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 °，分针每分钟转动的角度为 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ °，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时
∠AOB的度数．
2．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，时针每走 1分钟对应0.5°的角，分针每走1分钟对度6°的
角．
（1）如图1，时钟所表示的时间为2点30分，则钟面角为 °；
（2）若某个时刻的钟面角为60°，请写出一个相应的时刻： ；
（3）如图2，时钟所表示的时间为3点，此时钟角为90°，在4点前，经过多少分钟，钟角为35°？3．钟面上的数学
基本概念
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图 1，∠AOB 即为某一时刻的钟面角，通常
0°≤∠AOB≤180°．
简单认识
时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，
角度为360°．由此可知：
（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °；
初步研究
（2）已知某一时刻的钟面角的度数为 ，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当 ＝90°时， ； α
②当α＝180°时， ；
（3）如α 图2，钟面显示的时间是8点O4分，此时钟面角∠AOB＝ °；
深入思考
A类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）．
①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；
②时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻．
B类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）
①若钟面角为30°，求此时对应的时刻；
②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边OA、OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射
线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻．类型二 与角有关的折叠问题
【知识点睛】
有折叠必有角度相等→折叠所形成的角与原角相等→折痕所在直线为角平分线；
成一条直线的几个角组成平角——即和为180°；
正方形、长方形的一个角均为90°；
【类题训练】
1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内
部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（ ）
A．12° B．24° C．39° D．45°
2．如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点
A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．55°
3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形
DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（ ）
A．18° B．20° C．36° D．45°
4．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝52°，则∠2的度数为 ．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝ ．
6．如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE．
（1）求∠CBD的度数．
（2）若∠A′BE＝120°，求∠CBA的度数．
类型三 与角有关的旋转问题
【知识点睛】
图形的旋转也就是其中线段/射线的旋转，审题中先考虑“旋转三要素”
——旋转中心、旋转方向、旋转角度；
旋转角度=射线转动的速度×转动的时间；故常引入字母，用代数式表示角度；
根据角度间的数量关系，多用方程思想解决动角问题；
常见的角度间的数量关系表述：∠A=∠B，∠A=2∠B，∠A与∠B互余（或互补）等
角的边的位置不确定时，需要分类讨论
【类题训练】
1．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC，∠BOC的度数；
（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；
（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．2．已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．
（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，
①当∠COD＝45°时，求α+β的值．
②当α＝3β时，求∠BOE的度数．
（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．
3．如图，将一副三角板的 30°角和45°角的顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是
∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）如图1，当OB与OC重合时，∠MON的度数为 ；
（2）当∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置时，∠BOC＝10°，求∠MON的度数；
（3）当∠COD绕点O旋转至如图3所示的位置时，∠BOC＝n°，求∠MON的度数．
4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．
（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转
过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．5．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠AOC＝120°，将一个有一个角为30°直角三角
板的直角顶点放在点O处，使边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方，将图中的三角板绕
点O按顺时针方向旋转180°．
（1）三角板旋转的过程中，当ON⊥AB时，三角板旋转的角度为 ；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为 ；
（3）在旋转的过程中，∠AOM与∠CON的数量关系为
；（请写出所有可能情况）
（4）若三角板绕点O按每秒钟20°的速度顺时针旋转，同时射线OC绕点O按每秒钟5°的速度沿顺时
针方向，向终边OB运动，当ON与射线OB重合时，同时停止运动，直接写出三角板的直角边所在射
线恰好平分∠AOC时，三角板运动时间为 ．
6．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，
同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤45秒）．
（1）则∠MOA＝ ，∠NOB＝ ．（用含t的代数式表示）
（2）在运动过程中，当∠AOB达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成
的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明
理由．7．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝ ∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．
例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝ ∠AOB，称射线OC是射
线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝ ∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线
OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理
由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
