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考点 25 二项式定理及其应用（核心考点讲与练）
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝ Ca n ＋ Ca n － 1b ＋…＋ Ca n － r b r ＋…＋ Cb n (n∈N)；
+
(2)通项公式：T ＝ Ca n － r b r ，它表示第 r ＋ 1 项；
r＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 C ＝ C
当k＜(n∈N)时，是递增的
二项式系 +
增减性
数C
当k＞(n∈N)时，是递减的
+
二项式 当n为偶数时，中间的一项 取得最大值
系数最
大值
当n为奇数时，中间的两项 与 取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ 2n .
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ 2n － 1.
1.与二项展开式有关问题的解题策略
（1）求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．
（2）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．
（3）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得
出r值，最后求出其参数．
2.（1）二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C ( k ＝ 0 ， 1 ， 2 ，…， n ) ．
（2）二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．
在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．3.一般地，若f(x)＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a
0 1 2 n 0
＋a＋a＋…＝ ，偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝ ．
2 4 1 3 5
4.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当
变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项 T ＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项
k＋1
式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项T ＝Can－kbk(n∈N )中，要注意有n∈N ，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
k＋1 + +
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项
展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为
0，±1.
求展开式的指定项
1.（2021山东师范大学附属中学高三上期中）在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之
和为65，则常数项为______.2.（2021吉林省桦甸市四中高三上10月月考）若二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，则展
开式中二项式系数最大的项为（ ）
A. B. C. D.
3.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）若二项式 的展开式中所有项的二项式
系数和为128，则该二项式展开式中含有 项的系数为（ ）
A. 1344 B. 672 C. 336 D. 168
4．（2021安徽省怀宁中学高三上模拟测试） 的展开式中 项的系数为（ ）
A.140 B． C． D.1120
5.（2021北京市第十三中学高三上期中）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. C. D.
二项式系数的性质或各项系数
1．若二项式 的展开式中所有项的系数的绝对值的和为 ，则展开式中二项式系数最大的项为
（ ）
A． B． C． D．
2.（2022年高考数学一轮复习）已知 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常
数项为（ ）
A. 80 B. 160 C. 240 D. 320二项式系数的性质及各项系数和
1.．（多选题）若 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2. 已知 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ）） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ）） 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
一、单选题
1.（2022·全国·模拟预测）在 的展开式中，记 项的系数为 ，若，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A. 648 B. 1296 C. 1944 D. 3888
2.（2022·山东淄博·一模）若 ，则 （ ）
A. -448 B. -112 C. 112 D. 448
3.（2022·福建漳州·一模）已知二项式 的展开式的所有项的系数和为32，则
的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
4.（2022·福建龙岩·一模）已知二项式 的展开式中各项系数之和是 ，则下列说法正确的
有（ ）
A. 展开式共有7项 B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 所有二项式系数和为128 D. 展开式的有理项共有4项
5.（2022·全国·模拟预测）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ， 、 为整数，则
B. 是正整数
C. 是 的小数部分
D. 设 ，若 、 为整数，则
6.（2022·河北·模拟预测）已知 的展开式的常数项为16，则（ ）
A. B.
C. 展开式中各项的系数之和为216 D. 展开式中 的系数为127.（2022·浙江·模拟预测）已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
8.（2022·海南·模拟预测）在 的展开式中， 的系数是___________.
9.（2022·福建漳州·二模）已知 的展开式中 的系数为____________
10.（2022·天津·一模）在 的展开式中， 的系数是___________.
11.（2022·北京·模拟预测）在 的展开式中，常数项为______.（用数字作答）
12.（2022·湖南·雅礼中学一模） 展开式中的常数项为______.
13.（2022·全国·模拟预测）已知 ，若 ，则
___________.
14．（2022·北京·二模）二项式 的展开式中 的系数为21，则 __________.
15．（2022·广东湛江·二模） 的展开式中常数项为___________.
16．（2022·广东潮州·二模）设 ，则 ______．
17．（2022·浙江·模拟预测）若 的二项展开式中各项的二项式系数和为64，则
___________；展开式中常数项为___________.18．（2022·江苏无锡·模拟预测）(1)若数列 的通项公式为 ，则该数列中的最小项的值为
__________．
(2)若 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．
(3)如图所示的数阵中，用 表示第m行的第n个数，则以此规律 为__________．
(4) 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知 ，且 ，
有下列结论：① ；② ；③ ， 时， 的面积为 ；④当
时， 为钝角三角形．其中正确的是__________ 填写所有正确结论的编号
