文档内容
第 03 讲 二次根式的加减 （5 个知识点+5 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几
个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同
类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看
被开方数是否相同．
知识点2．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外
的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
知识点3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次
根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面
的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作
“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当
的解题途径，往往能事半功倍．
知识点4．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算
区分，避免互相干扰．
知识点5．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体
性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的
方法．
知识复习
一．同类二次根式（共6小题）1．（2023春•前郭县期中）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么
的值是 2
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【解答】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，
，解得： ．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同
的二次根式叫做同类二次根式．
2．（2023春•乌鲁木齐期末）若 和最简二次根式 是同类二次根式，则 的值
为
A． B． C． D．
【分析】先把 化为最简二次根式 ，再根据同类二次根式得到 ，然后解方
程即可．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同
那么这几个二次根式叫同类二次根式．
3．（2023•衡阳县校级一模）若最简二次根式 和 能合并，则 的值为
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【分析】依据同类二次根式的被开方数相同求解即可．
【解答】解： 最简二次根式 和 能合并，
．
解得 ．故选： ．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义列出关于 的
方程是解题的关键．
4．（2023春•文登区期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为
4 ．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
就把这几个二次根式叫做同类二次根式解答即可．
【解答】解： ，
根据题意得： ，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简
二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的
关键．
5．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则
A． B．1 C．3 D．
【分析】由最简二次根式 与 是同类二次根式可得 ，计算即
可．
【解答】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能熟练运用是解决本
题的关键．
6．（2023秋•绿园区期末）下列二次根式中，能与 合并的是A． B． C． D．
【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二
次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查同类二次根式，关键是掌握同类二次根式的定义．
二．二次根式的加减法（共19小题）
7 ． （ 2023 春 • 岳 池 县 校 级 期 末 ） 化 简 的 结 果 是
．
【分析】先把各根式化简，然后进行合并同类项得到结果．
【解答】解：
．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，比较简单．
8．（2023春•武胜县校级期末） ．
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．（2022秋•南关区校级期末）规定用符号 表示一个实数 的整数部分，例如：
， ，按此规定 的值为 4 ．
【分析】直接估算 的取值范围，进而结合符号 表示一个实数 的整数部分，进而得
出答案．
【解答】解： ，
．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确估算无理数的大小是解题关键．
10．（2023春•吴忠校级期中）化简： ．
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解： ，
，
原式 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
11．（2024•渝中区校级开学）计算题：
（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据分式的加减运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了分式的加减法，二次根式的加减法，熟练掌握这两个运算法则是解题
的关键．
12．（2024•垫江县开学）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
13．（2023春•长顺县期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意；
、 与 不属于同类二次根式，不能运算，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算的法则的掌握．
14．（2024•南岗区校级开学）计算 结果是 ．
【分析】先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝
＝＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握把二次根式化成最
简二次根式的方法．
15．（2023•吴桥县校级模拟）若 ，则 1 2 ．
【分析】直接根据根式加减运算法则求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
，
，
故答案为：12．
【点评】本题考查根式的加减运算，及根式相等的条件，解题的关键是熟练掌握合并同类
二次根式及根式相等即被开方数相同．
16．（2023春•梁子湖区期中）计算 的结果是 ．
【分析】先去括号和化简二次根式，再计算加减即可．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2023春•灌云县期末）三角形三边长分别为 ，这个三角形的周长是
．
【分析】首先化简各二次根式进而求出三角形的周长．
【解答】解： ， ， ，
．故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（2023春•雄县期末）已知“ “，则 的值为 2 ．
【分析】已知等式左边化简后，根据合并的结果确定出 的值即可．
【解答】解：已知等式整理得： ，
，
解得： ．
故答案为：2．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2023春•辛集市期末）已知 ， 都是实数， 为整数，若 ，则称 与
是关于 的一组“平衡数”．
（1） 与 是关于1的“平衡数”；
（2） 与 是关于3的平衡数；
（3）若 ， ，判断 与 （是或否）为关于某数的一组“平衡
数”．
【分析】（1）根据“平衡数”的定义列方程求解；
（2）根据“平衡数”的定义列方程求解；
（3）根据二次根式的运算法则计算出 ，再根据“平衡数”的定义判断．
【解答】解：（1）设 与 是关于1的“平衡数”，
则 ，
解得 ．
故答案为： ；
（2）设 与 是关于3的“平衡数”，则 ，
解得 ．
故答案为： ；
（3） 与 是关于19的一组“平衡数”，理由如下：
， ，
，
，
与 是关于19的一组“平衡数”．
故答案为：是．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，新定义的实数运算，解题的关键是理解“平衡
数”的定义．
20．（2023春•番禺区校级期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）
；（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各二次根式化为最
简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式是解题的关键．
21．（2023春•青秀区校级期中）计算： ．
【分析】先利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：原式
．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
22．（2023春•铜梁区校级期末）若 和 都是正整数且 ， 和 是可以合并的二
次根式，下列结论中正确的个数为
①只存在一组 和 使得 ；
②只存在两组 和 使得 ；
③不存在 和 使得 ；
④若只存在三组 和 使得 为定值），则 可以被49或64整除．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用同类二次根式的定义得出 ， 是同类二次根式，进而得出答案．【解答】解：① 和 都是正整数且 ， ， 可以合并的二次根式，
，
，
当 时， ，故该选项正确；
② ，
当 ，则 ，
当 ，则 ．故该选项正确；
③ ，
当 时， ，
，所以不存在，故该选项正确；
④只存在三组 和 使得 ，即：
， ， ，
或 ， ， ，
其中 与 、 为同类二次根式，且 为最简根式，
即 可以被49或64整除，故该选项正确；
故选： ．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的
关键．
23 ． （ 2023 春 • 泸 县 校 级 期 中 ） 设
则与 最接近的整数是
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008【分析】通过上式找出规律，得出通项公式 再进行化简，得结果为
，将自然数 代入求出结果，再判断与 最接近的整数．
【解答】解： 为任意的正整数，
，
．
因此与 最接近的整数是2009．
故选： ．
【点评】用裂项法将分数 化成 ，寻找抵消规律求和．
24 ． （ 2023 春 • 涪 城 区 期 中 ） 已 知 实 数 、 、 满 足 等 式
，则 5 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出 的值，再根据非负数的性质列出方程组，
然后求解即可．
【解答】解：由题意得， 且 ，
解得 且 ，所以 ，
所以，等式可化为 ，
由非负数的性质得， ，
解得 ，
故 的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，二元一次方程组的解法，
难点在于求出 并整理等式．
25．（2023春•喀什地区期末）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先把各个二次根式化简，然后合并同类二次根式；
（2）先把2001和1999写成 和 的形式，然后利用平方差公式进行计算
即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查了实数的计算，解题关键是熟练掌握化简二次根式和平方差公式．
三．二次根式的混合运算（共5小题）
26．（2023秋•丹江口市期末）计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．5【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：
＝ ×4 ﹣ ×3 +4 ×
＝3 ﹣2 +3
＝ +3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
27．（2024•垫江县开学）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、2 ﹣ ＝ ，原计算错误，不符合题意；
C、 ×2 ＝4，原计算错误，不符合题意；
D、 ÷ ＝ ＝2，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关
键．
28．（2022秋•鼓楼区期末）下列二次根式计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符
合题意．
【解答】解： ，故选项 错误，不符合题意；，故选项正确，符合题意；
，故选项 错误，不符合题意；
不能合并，故选项 错误，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
29．（2023春•江阳区校级期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子
有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根
式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题
例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：
因为 ，所以
再例如：求 的最大值．做法如下：
解：由 ， 可知 ，而
当 时，分母 有最小值2，所以 的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较 和 的大小；
（2）求 的最大值和最小值．【分析】（1）利用分子有理化得到 ， ，然后比较
和 的大小即可得到 与 的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到 ，而 ，利用当 时
有最大值 1， 有最大值 1 得到所以 的最大值；利用当 时，
有最小值 ， 有最下值0得到 的最小值．
【解答】解：（1） ，
，
而 ， ，
，
；
（2）由 ， ， 得 ，
，
当 时， 有最小值，则 有最大值1，此时 有最大值1，所
以 的最大值为2；当 时， 有最大值，则 有最小值 ，此时 有最下值
0，所以 的最小值为 ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同
类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性
质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
30．（2023春•灵丘县月考）阅读下面解题过程．
例：化简 ．
解： ．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：① ；② ．
（2）应用：化简 ．
（3）拓展： ．（用含 的式子
表示， 为正整数）
【分析】（1）利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）① ；
② ；
故答案为：① ；② ；（2）
；
（3）
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关
键．
四．二次根式的化简求值（共5小题）
31．（2023春•西湖区期中）已知 ， ，求下列各式的值．
（1） 和 ；
（2） ．
【分析】（1）直接进行二次根式的加法和乘法运算即可；
（2）先利用完全平方公式将 进行变形，再代入数值计算即可．
【解答】解：（1） ；；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式的变形，掌握二次根式的
加法和乘法运算法则，完全平方公式的变形是解题的关键．
32．（2022秋•运城期末）阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知 ，求 的值”时，小明
是这样分析与解答的：
． ， ，
， ．
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 ，求 的值．
【分析】先利用分母有理化化简 ，再利用完全平方公式求出 的值，最后整体代入．
【解答】解：，
，
，
即 ，
，
，
．
即 的值为 ．
【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则是关键．
33．（2023秋•长沙期末）已知 ， ，求下列各式的值；
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先计算出 和 的值，再把 分解因式，然后利用整体代入的方
法计算；
（2）先计算出 ，再通分，则根据完全平方公式得到原式 ，然后利用整体代入
的方法计算．
【解答】解：（1） ， ，， ，
；
（2） ， ，
，
原式
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求
值．利用整体代入的方法可简化计算．
34．（2023•蚌山区模拟）如果 并且 表示当 时的值，即
， 表示当 时的值，即 ，那么
的值是
A． B． C． D．
【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【 解 答 】 解 ： 代 入 计 算 可 得 ， ， ， ，
，
所以，原式 ．
故选： ．
【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
35．（2023春•雄县期中）已知 ， ，求 的值．
嘉琪同学的解题步骤如下：
①
②
③
④
其中，首先出错的步骤是
A．① B．② C．③ D．④
【分析】先用平方差公式分解，再代入数据求解即可．
【解答】解：
．
首先出错的步骤是②．故选： ．
【点评】本题考查了求代数式的值，涉及平方差公式，二次根式的运算，掌握平方差公式
的结构特征是解题的关键．
五．二次根式的应用（共8小题）
36．（2023春•东莞市期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则
图中阴影部分的面积为
A．2 B． C．4 D．6
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
图中阴影部分的面积为： ，
故选： ．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利
用数形结合的思想解答．
37．（2023春•西岗区期末）电流通过导线时会产生热量，电流 （单位： 、导线电阻
（单位： 、通电时间 （单位： 与产生的热量 （单位： 满足 ．已知
导线的电阻为 ， 时间导线产生 的热量，电流 的值是
A．2 B．5 C．8 D．10
【分析】将已知量代入物理公式 ，即可求得电流 的值．
【解答】解：通电时间 （单位： 与产生的热量 （单位： 满足 ，所以电流 ．
故电流 的值为5，
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是根据已知量代入公式，比较简单．
38．（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形
的三边求面积的公式，称为海伦 秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ，
记 ，那么三角形的面积为 ．如果在 中， ，
， 所对的边分别记为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为
．
【分析】根据 ， ， 的值，求出 的值，代入公式计算即可求出 ．
【解答】解： ， ， ，
，
则 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
39．（2023春•遵义期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，
一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时
间 （单位： 和高度 （单位： 近似满足公式 （不考虑风速的影响，
．
（1）求从 高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位： 物体质量（单位： 高度（单位： ，某质量为 的玩具在高空被抛出后经过 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下
的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要 的动能）
【分析】（1）将 代入 计算即可；
（2）将 代入 计算求出 ，再将 及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可．
【解答】解：（1）当 时，
，
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当 时， ，
解得 ，
高空抛物动能 ，
这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点评】此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解
题意代入求值是解题的关键．
40．（2023春•瑶海区期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示
“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空
抛物下落的时间 （单位： 和高度 （单位： 近似满足公式 （不考虑风速的
影响， ，
（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为 ，假如从小明家坠落一个物品，求该物品
落地的时间；（结果保留根号）
（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦物体质量（千克） 高度（米 ，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒
落地就可能会伤害到楼下的行人？
【分析】（1）根据题意可先求得 ，根据 代入计算即可求解；
（2）由题意可知“高度（米 ”，以此求出该玩具最低的下落高度，
再由 代入求解即可．
【解答】解：（1） 小明家住20层，每层的高度近似为3米，
（米 ，
（秒 ，
该物品落地的时间为 秒；
（2）该玩具最低的下落高度为 （米 ，
（秒 ．
最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
41．（2023春•陵城区期中）海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦
九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形
的 三 边 长 分 别 为 、 、 ， 记 ， 那 么 三 角 形 的 面 积 为 ：
，在 中， ， ， 所对的边分别是 、 、 ，若
、 、 ，则 的面积 为
A． B．30 C． D．45
【分析】根据公式算出 的值，代入公式即可求出解
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查代入求值能力，考查了二次根式化简的知识．
42．（2023•邵阳县一模）古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分
别为 ， ， ．记 ，那么三角形的面积为 ，俗称
海伦公式，若在 中， ， ， ，则用海伦公式求得 的面积
为 ．
【 分 析 】 先 根 据 的 三 边 长 求 出 的 值 ， 然 后 再 代 入 面 积 公 式
，进行计算即可得到答案．
【解答】解：由题意可得： ， ， ，
，，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题
的关键．
43．（2023春•遵义期中）若实数 ， ， 满足
（1）求 ， ， ；
（2）若满足上式的 ， 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【分析】（1）首先由 得出 ，再进一步得出 、 的数值即可；
（2）分 是腰长与 是底边和 是腰长与 是底边两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）由题意得 ， ，
则 ， ，0
则 ， ，
所以 ， ．
（2）当 是腰长与 是底边，
则等腰三角形的周长为 ；
当 是腰长与 是底边，
则等腰三角形的周长为 ．
【点评】此题考查二次根式的意义与加减运算，以及等腰三角形的性质．
强化训练一、单选题
1．（2024·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期末）下列二次根式中，能与
合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二
次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．
【详解】解：A、 ＝2 ，故A不符合题意；
B、 ＝2 ，故B不符合题意；
C、 ＝2 ，故C不符合题意；
D、 ＝2 ，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，熟记同类二次根式的定义是解本题的关键．
2．（2024·全国·八年级竞赛）计算： （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减运算法则以及完全平方公
式是解答的关键，
【详解】解：
故选D
3．（2024下·八年级课时练习）下列计算中，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘运算及化简；掌握“ （ ，
）”和合并同类二次根式法是解题的关键.
【详解】解：A. ，计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，计算错误，不符合题意；
D. ，不能进行运算，计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．（2024·内蒙古包头·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．
【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 ，原计算错误，本选项不合题意；
C、 ，计算正确，本选项符合题意；
D、 ，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．5．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，某小区有块长为 ，宽为 的长方形空
地，现要在中间修建一个长为 ，宽为 的花坛，则图中空白部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出长方形空地的面积和花坛的面积，再相减即可．
【详解】解：根据题意得，长方形空地的面积为 ，
花坛的面积为 ，
∴图中空白部分的面积为 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了长方形的面积，属于基础题，要熟练掌握．
6．（2024下·全国·八年级专题练习） 的结果应在（ ）
A． 和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可．
【详解】解：原式=
∵
∴故选B．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根
式的取值范围是解决本题的关键．
7．（2024·全国·八年级竞赛）在下列根式中，与 进行加法或减法运算不能合并为一项
的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查化最简二次根式，同类二次根式的判断，二次根式的加减法．将各二次
根式化为最简二次根式是解题关键．将各选项化为最简二次根式，再判断其与 是否为
同类二次根式即可解答．
【详解】解：A． ，与 是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，
故该选项不符合题意；
B． ，与 是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项不
符合题意；
C. ，与 不是同类二次根式，不能进行加法或减法运算合并为一项，故该选
项符合题意；
D． ，与 是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项
不符合题意．
故选C．
8．（2024下·八年级课时练习）化简 得（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．根据二次根式的运算即可化简求解．
【详解】解：原式
．
故选：A．
9．（2024下·全国·八年级专题练习）若三个实数 ， ， 满足 ，且 ，
则有： ，则
的值（ ）
A． B． C．2023 D．
【答案】B
【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．
【详解】解： 三个实数 ， ， 满足 ，且 ，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关
键是理解清楚所给的条件．10．（2024·全国·八年级竞赛）已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则
的值为（ ）
A．10 B．7 C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出
m，n的值，再代入进行求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
， ，
，
故选：A．
二、填空题
11．（2024下·八年级课时练习）若长方形的周长是 ，一边长是 ，
则它的面积是 ．
【答案】 /
【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得．
【详解】解：∵矩形的周长是 ，一边长是 ，
∴另一边长为： ，
∴矩形的面积为： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，利用周长求出矩形的边长是解题的关键．
12．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期中）根据平方差公式： ，
由此得到 ，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式 第2式
第3式 第4式 ．…
若 ，则 ．
【答案】399
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化．根据分母有理化原式可变形为
，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：39913．（2024下·全国·八年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算
的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．
【详解】解：
=
=
= ．
故答案为： ．
14．（2024·全国·八年级竞赛）若设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则
【答案】 /
【分析】本题考查了复杂二次根式的化简，以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式
的运算法则是解答本题的关键．先把化简后求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即
可．
【详解】
，
所以 ，代入 得．
15．（2023·四川成都·模拟预测）设 的整数部分 ，小数部分为 ，则 ，
．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，以及估算无理数大小，先把式子分母
有理化，再估算出 所在范围，再根据化简后的式子进行变形，即可解题．
【详解】解： ，
，
，
，
，
的整数部分 ，小数部分为 ，
， ．
故答案为：2， ．
16．（2024上·湖南常德·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
．【答案】0
【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定 ， ， 的符号，再根据二次根式的
性质进行化简，再合并同类项．
【详解】解：由数轴可知， ， ，
∴ ， ， ，
∴原式＝
故答案为：0
【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质
是解题的关键.
17．（2024·全国·八年级竞赛）设 是 的小数部分， 为
的小数部分，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值及二次根式的运算；令t＝
，则可求得t的值，进而求得a；同理，令p＝ ，则
可求得p的值，进而求得b，最后即可求得代数式的值．
【详解】解：令t= ，
则 ，
∴ ，
∴ ， ；
令p= ，
则 ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
18．（2024·全国·八年级竞赛）已知 的小数部分为a．则
．
【答案】 /
【分析】本题考查了分式的混合运算，无理数的估算，分母有理化，先根据分式的运算法
则把所给代数式化简，再求出a的值，然后代入化简后的结果计算即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ 的整数部分3，
∴ ．
∴ ．故答案为： ．
三、解答题
19．（2024下·全国·八年级随堂练习）合并下列各式中的同类二次根式：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式的运算法则计算是解决问
题的关键．
（1）直接合并同类二次根式求解即可得到答案；
（2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案；
【详解】（1）
；
（2）
；
20．（2024下·全国·八年级专题练习）已知 是最简二次根式，且与 可以合并．
(1)求x的值；
(2)求 与 的乘积．
【答案】(1)9；(2)5．
【分析】（1）根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】（1）解： 是最简二次根式，且与 可以合并，
∵
，
∴解得 ；
（2）解：当 时， ．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟
知二次根式的相关知识是解题的关键．
21．（2024上·江西南昌·八年级统考期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木
板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为________ ，________ ；
(2)求剩余木料的面积；
(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为 ，宽为 的长方形木条，最多能截出几块
这样的木条，并说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据算术平方根的含义可得答案；（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案；
（3）先计算剩余木条的长为 ，宽为 ，再利用
， ，从而可得答案．
【详解】（1）解： ， ，
（2）矩形的长为 ，宽为 ，
∴剩余木料的面积 ；
（3）剩余木条的长为 ，宽为 ，
∵ ， ，
∴能截出 个木条．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的
大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键．
22．（2024下·全国·八年级专题练习）（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）18；（2）
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出 ，根据二次根式的乘法法则求出 ，根
据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可．
【详解】解：（1） ， ，
， ，
则；
（2） ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题
的关键．
23．（2024下·八年级课时练习）阅读下面的问题：
= ；
= ；
= ；
…
(1)求 与 的值；
(2)计算 +……+ ．
【答案】(1) ，
(2)9【分析】题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确分母有理化的
方法．
（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；
（2）根据分母有理化的方法可以将所求式子化简，然后合并即可．
【详解】（1） = = ，
= = ；
（2）
=
24．（2024下·全国·八年级专题练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂．
（1）去括号，分别化简每个二次根式，再作加减法；
（2）先化简括号内的部分，再算除法和乘方，最后作加减法．【详解】（1）原式
（2）原式
25．（2024下·全国·八年级专题练习）计算
(1)
(2) ；
【答案】(1)17
(2)
【分析】（1）先计算完全平方和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式乘法法则是解
题的关键．注意：最后结果必须化成最简二次根式．
【详解】（1）
（2）26．（2024下·全国·八年级专题练习）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并，
求 的值；
求 与 的乘积．
【答案】(1) ；
(2) ； ．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 进行求解即可；
（2） 根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案；
根据 所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可；
本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式
的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
【详解】（1）∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ；
（2） ，
∵ 与 可以合并，
∴ ，
解得： ；由 得： ，
，
．
