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专题19 旋转模型之奔驰型
1．如图， 是等边三角形 外一点， ， ， ，求 的度数．
2．已知，如图， 为等边三角形 内一点， ， ， ，求 的面积．
3． 是等边 内一点， ， ， ，求 的长．
4．如图，点 是等边三角形 内一点，且 ， ， ，若将 绕着点 逆
时针旋转后得到 ．
（1）求点 与点 之间的距离．
（2）求 的度数．
5．如图①，在等腰 中， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的点，
且 ，连接 ，如图②，将 绕点 顺时针旋转一定角度，使 ，连接
， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．6．已知 为等边三角形， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，将 绕点
旋转至如图所示的位置，连接 ， 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，求证： 是 的平分线．
7．如图①， 和 中， ，点 、 分别在边 、 上，
．
（1）如图②，将 绕点 逆时针旋转到如图位置，若 ，求 的度数；
（2）如图②，将 绕点 逆时针旋转过程中，当旋转角度 时，直线 与 垂直
；
（3）如图③， 绕点 在平面内自由旋转，连接 ，且 ， ，求 的最大
值和最小值．
8．（1）如图1，点 是等边 内一点，已知 ， ， ，求 的度数．
要直接求 的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作 使 ，连接 ， ，则 是等
边三角形．
，
是等边三角形
，
，
在 中， ， ， ，
（2）如图3，在 中， ， ，点 是 内一点， ， ，
，求 的度数．
9．如图， 是等边三角形 内的一点，连接 ， ， ，以 为边作 ，且
，连接 ．
（1）观察并猜想 与 之间的大小关系，并说明理由．
（2）若 ， ， ，连接 ，判断 的形状并说明理由．10．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，
求 度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△ ，连接 ，得到两个特殊的三角形，从而将问题
解决（如图 ．
请回答：图1中 的度数等于 ，图2中 的度数等于 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系 中，点 坐标为 ， ，连接 ．如果点 是 轴上的一动
点，以 为边作等边三角形 ．当 在第一象限内时，求 与 之间的函数表达式．
11．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对
集中，以达到解决问题的目的．
（1）探究发现
如图（1）， 是等边 内一点， ， ， ．求 的度数．
解：将 绕点 旋转到 的位置，连接 ，则 是 三角形．
， ， ，
为 三角形． 的度数为 ．
（2）类比延伸在正方形 内部有一点 ，连接 、 、 ，若 ， ， ，求
的长；
（3）拓展迁移
如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点 ，且
，比较 与 的大小关系，并说明理由．
12．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图 1，已知 中， ， ， 是 内的一点，且 ， ，
，求 的度数．
小强在解决此题时，是将 绕 旋转到 的位置（即过 作 ，且使 ，
连接 、 ．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设 是等边 内一点， ， ， ，求 的度数．
13．如图， 是等腰 内一点， ，连接 ， ， ．
（1）如图1，当 时，将 绕 点顺时针旋转 ，画出旋转后的图形；
（2）在（1）中，若 ， ， ，求 的大小；
（3）当 时，且 ， ， ，则 的面积是 （直接填答案）
14．（1）如图①， 是正方形 内一点，连接 ， ， ．
①画出将 绕点 顺时针旋转 得到的△ ；
②若 ， ， ，求 的长．
（2）如图②，设 是等边三角形 内的一点， ， ， ，则 的度数是
．15．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1， 是正方形
内一点，连结 ， ， 现将 绕点 顺时针旋转 得到的△ ，连接 ．若
， ， ，则 的长为 ，正方形 的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点 是等边 内的一点，且 ， ， ，请猜想
的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的长度为
．
16．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
（1）如图1，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的度数．
解：将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，则 为等边三角形．
， ， ，
．
为 三角形．
的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形 内部有一点 ，若 ，试判断线段 、 、 之间的数量
关系，并说明理由．17．问题提出
（1）如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．
问题探究
（2）在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决
（3）如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上
修一凉亭 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？
若存在，请画出点 的位置，并求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
18．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求
的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△ ，连接 ，得
到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
（1）请你回答：图1中 的度数等于 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数
和正方形的边长．
