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考点巩固卷 01 集合与常用逻辑用语(七大考点)
考点01：集合元素的特征
集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了.给定集合 ，可知 ,在该集合中， ,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合 应满足 .
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 和 是同一个集合.
1．若 ，则 ．
2．若集合中的三个元素分别为 ,则元素 应满足的条件是 ．
3．集合 中恰好有两个元素，则实数 满足的条件是 .4．已知集合 ，若 ，则实数 .
5．若 ，则 .
考点02：集合与集合之间的关系
集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，我们
就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”
（或“ 包含 ”）.
（2）真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合 的真子集，记作
（或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合
与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的子集，是任何非
空集合的真子集.
注意：1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
结论：若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子
集有 个．
6．已知集合 ， ，若 ，则 .
7．已知集合 ， ，若 ，则 ．
8．已知集合 ，则 的取值集合为 .
9．已知集合 ， ，则 的概率为 ．
10．已知集合 ， ，则 的子集个数 ．
考点03：集合交并补运算集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，
即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，
即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集
的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．
集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
结论：（1）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（2） ．
（3） , ．
11．已知全集 ，集合 ， ，则 ．（结果
用区间表示）
12．已知集合 ， ，则 .
13．已知 ， ， ，则 ．
14．已知集合 ， ，则 .
15．已知集合 ， ，则 ．
考点04：充分条件与必要条件的判定
1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。
如：命题 是命题 成立的××条件，则命题 是条件，命题 是结论。
又如：命题 成立的××条件是命题 ，则命题 是条件，命题 是结论。
又如：记条件 对应的集合分别为A,B则 ,则 是 的充分不必要条件； ,则 是 的
必要不充分条件。2、“ ”读作“推出”、“等价于”。 ，即 成立，则 一定成立。
3、充要条件
已知命题 是条件，命题 是结论
（1）充分条件：若 ，则 是 的充分条件.
所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。
如： 是 的充分条件。
（2）必要条件：若 ，则 是 的必要条件.
所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。
如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关
于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足
f(−x)=f(x) f(−x)=−f(x)
才是偶函数，满足 是奇函数。
（3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.
技巧：对于充分条件，可以看作是小推大，即若 p是q的充分条件（q是p的必要不充分条件），则即可
认为p是q的子集.若是充分不必要条件，可以认为p是q的真子集，即在判定充要条件的时候只要认准谁
是谁的子集即可.
16．已知向量 ， ，则“ ”是“ 或 ”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．在 中，角 所对的边分别为 .则“ 成等比数列”是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
18．设 ， 为两个不同的平面， ， 为两条相交的直线，已知 ， ，则“ ， ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．命题 ，命题 函数 且 在 上单调，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．“ ”是直线 和圆 相交的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点05：根据充分（必要）条件求参数范围
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围；一般可按照如下步骤：
（1）化简p，q两命题；
（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；
（3）利用集合间的关系建立不等式；
（4）求解参数范围.
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数
的不等式（组）求解；
（2）注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否
能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误；
21．关于 的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
22．已知命题 ：函数 在 内有零点，则命题 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
23．已知关于 的不等式 成立的一个必要不充分条件是 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．24．已知集合 的一个必要条件是 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
25．集合 ，若 的充分条件是 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
考点06：存在（全称）量词命题中有关参数的取值范围
由特称命题的真假确定参数的取值范围
解题方法：（等价转化，分离参数）
（1）对于命题p，∃x∈I,p(x,a)(a为参数）为真
，通过分离参数的方法求得参数的取值范围
（2）对于命题p，∃x∈I,p(x,a)(a为参数）为真
，通过否定
¬¿p ¿∀x∈I,¬¿p(x,a)(a为参数）为假
¿转化
为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集
（3）对于命题p，∃x∈I,p(x,a)(a为参数）为假
，通过否定
¬¿p ¿∀x∈I,¬¿p(x,a)(a为参数）为假
¿转化
为恒成立问题，确定出a的取值范围
（4）对于命题p，∃x∈I,p(x,a)(a为参数）为假
，通过分离参数的方法求得参数的取值范围
由全称命题的真假确定参数的取值范围
解题方法：此类型的题目主要把握全称命题为真时和恒成立问题的联系，最终转化成恒成立问题求参数的
取值范围
26．若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 .
27．已知命题“对于 ， ”为真命题，写出符合条件的 的一个值： ．
28．若命题“ ，使得 ”是假命题，则 的取值范围是 ．
29．若命题：“ ，使 ”是假命题，则实数m的取值范围为 ．
30．已知命题 .若 为假命题，则 的取值范围为 .
考点07：你中有我，我中有你（Venn 图）一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解
31．高一 班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有32人学习选修
一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时
学习必修二和选修一的有（ ）人，只学习必修一的有（ ）人.
A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9
32．已知集合 ， ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
33．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
34．设集合 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A． B． C． D．
35．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学
参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ）
A．20人 B．17人 C．15人 D．12人
