文档内容
专题20.4 勾股定理（高频易错题题型训练）
【原卷版】
题型十四 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 题型一 用勾股定理解三角形
题型十五 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 题型二 勾股树（数）问题
题型十六 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型十七 解决航海问题（勾股定理的应用） 题型四 勾股定理与网格问题
题型十八 求河宽（勾股定理的应用） 题型五 勾股定理与折叠问题
题型十九 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
题型二十 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系
勾股定理
题型二十一 判断是否受台风影响（沟股定理的应用） 题型八 勾股定理的证明方法
题型二十一 选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 题型九 以弦图为背景的计算题
题型二十三 求最短路径（勾股定理的应用） 题型十 用勾股定理构造图形解决问题
题型二十四 利用勾股定理的逆定理求解 题型十一 勾股定理与无理数
题型二十五 勾股定理逆定理的实际应用 题型十二 求梯子滑落高度（勾股定理的应用）
题型二十六 勾股定理逆定理的拓展问题 题型十三 求旗杆高度（勾股定理的应用）
题型一 用勾股定理解三角形
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=BC=5．建立适当的平
面直角坐标系，把△ABC的各个顶点的坐标写出来，并求出△ABC的面积．2．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾
股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，∠A=∠B=∠CED=90°，请
推导勾股定理．
(2)如图2，在△ABC中，AC=10，BC=17，AB=21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
题型二 勾股树（数）问题
3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作
一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；
如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方
形的面积和是 ．
4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：a,b,c为正整数，若c2=a2+b2，则称c为“完美勾股数”，
a,b为c的“伴侣勾股数”．如132=52+122，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)判断填空：数17__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0．求证：c是“完美勾股数”．
题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积
5．如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底
月牙”：当AC=3，BC=4时，则阴影部分的面积为 ．6．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分
别为S ，S ，S ；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S ，S ，S ．其中
1 2 3 4 5 6
S −S =−2，S +S =56，则S +S =（ ）
6 1 2 5 3 4
A．86 B．64 C．54 D．48
题型四 勾股定理与网格问题
7.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，请
仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按
步骤完成下列问题：
(1)如图1，作△ABC的高线CD；
AD
(2)直接写出 的值___________；
BD
(3)如图2，在（1）的条件下，在AC边上取一点P，使BP+DP的值最小．8．如图，在4×5的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
(1)在图1中画一条线段AB，使AB=❑√17，线段AB的端点在格点上；
(2)在图2中画一个斜边长为❑√34的等腰直角三角形DCE，其中∠DCE=90°，三角形的顶点在格点上，
并求△DCE的面积．
题型五 勾股定理与折叠问题
9．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为BC上一个动点，连接
AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为D，连接BD，若AC=5，BC=12，当△PBD为
直角三角形时，线段CP的长为 ．
10．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折
叠时，定点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．
(1)求BF的长；
(2)求EC的长.题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
11．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
(1)如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C；
证明：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC（依据： ① ）
∴∠B=∠C（依据： ② ）
(2)某同学顺势提出一个问题：既然AB=AC，即知AB+BD=AC+CD．若把（1）中的条件BD=CD替
换为AB+BD=AC+CD，还能推出∠B=∠C吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方
法．
小军 小民
证明：∵AD⊥BC，
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使 ∴△ADB与△ADC均为直角三角
得…… 形
根据勾股定理，得……
请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整．
12．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示
的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2= ．题型七 利用勾股定理证明线段平方关系
13．在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三
角形时，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC
中， ，在 中， ．
AD2=b2−x2 Rt△ADB AD2=c2−(a−x) 2,∴a2+b2=c2+2ax
∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2．所以小明的猜想是正确的．
(1)请你猜想，如图3，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．
(2)证明你猜想的结论是否正确．
14．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【问题提出】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为直角边在AD右侧
做等腰直角△ADE，连接EC．
（1）∠ECD的度数为______；
（2）线段BC，DC，EC之间有怎样的数量关系，写出并说明理由；
【类比探究】
如图2，若点D在BC边的延长线上，其他条件不变，
（3）试探究线段BD，DC，DE之间满足的数量关系，并说明理由．题型八 勾股定理的证明方法
15．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，
故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另
外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，
不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（24-25八年级下·河北沧州·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的
证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常
春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长
分别为a，b，c，（a>0），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC的面积，（提示：S =S +S ）梯形AEDC，
四边形ABDC △ABC △BCD
△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)如图3，网格中小正方形边长为1，
①点P为已给网格中格点上的点，求BP的最大值为______．②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为
______．
(3) 如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，求AD的长．
题型九 以弦图为背景的计算题
17．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的
“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角
边长分别为 、 ．若小正方形面积为3，且满足 则大正方形面积为（ ）
m n(m>n) (m+n) 2=15
A．8 B．9 C．10 D．11
18．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系
证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等.朱入与朱出的三角
形全等，朱方与青方是两个正方形.探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边
长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b−a=2，a2+b2=28，则图2中的阴影部分面积为（
）A．20 B．22 C．23 D．24
题型十 用勾股定理构造图形解决问题
19．看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，
∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向
点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度
与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
20．一辆装满货物的卡车，高2.6m，宽1.6m，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．
已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长为2.3m．
(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由．
(2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为1.2m、高为2.8m的卡车能安全通过，那
么此桥洞的宽至少应增加到多少米？题型十一 勾股定理与无理数
21．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题
的重要工具，也是数形结合的纽带．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，
OB为半径作弧，则点C表示的数为_______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，BE=1m，将它往前推至点C处时，水平距离CD=4m,CF=3m，它的绳索始终拉
直，求绳索AC的长．
22．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，数轴上点A、B表示的数分别是−2和1，BC⊥AB，垂
足为B，BC=2，以点A为圆心，AC长为半径在右边作弧，交数轴于点D．
甲说：点D表示的数为❑√13；乙说：点D表示的数在1和2之间．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对
题型十二 求梯子滑落高度（勾股定理的应用）
23．（25-26八年级下·全国·期末）一架方梯AC长25m，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点C离墙7m．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点A'，A A'=4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
24．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，
将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一
架梯子（AE=2.5米）靠在宣传牌(AB)A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌(AB)的
B处，而底端E向外移到了0.5米到C处（CE=0.5米）．测量得BM=2米．求宣传牌(AB)的高度（结果
用根号表示）．题型十三 求旗杆高度（勾股定理的应用）
25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探
究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题．
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD
模型抽象
①测得水平距离ED的长为15米
测绘数据
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
(1)求线段AD的长；
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？26．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代
北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂
直高度DE=0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC=1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度
BF=CE=1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，
(1)求绳索AD的长度．
(2)如图3，秋千荡到∠CAB=30°时踏板离地面的高度．
题型十四 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）
27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，有两棵树，一棵高18米（AB=18米），另一棵高2米
（CD=2米），两树相距12米（BD=12米）．(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断处M距离地面
多少米？
28．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，
A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．
(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小
鸟下降的距离．
题型十五 求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
29．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面3m的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端4m处，
(1)如图1，求木杆折断之前的高度；
(2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端3m处，求AD的长．
30．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点P处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点
P处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
题型十六 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
31．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为4cm，宽为3cm，高为
12cm，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为3cm，则此
吸管的总长度为 cm．32．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其
中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，
芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水
面平齐，即OC=OE， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度OD；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用
现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a， 芦苇高出水面的部分CD=n(n0且m>n，c=2m2+2mn+2n2，a=m2+4mn+n2，b=❑√3(m+n)，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求该多项式的另一个因式．
52．先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：1，❑√3，2； 第二组：❑√2，2，❑√6；
第三组：❑√3，❑√5，❑√8； 第四组：2，❑√6，❑√10；
……
（1）根据各组数反映的规律，用含n的代数式表示第n组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，CB=3，AB=m，AC=n，若3，m，n为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且
∠DAB=90°，AD=AC，求BD的长．
