文档内容
专题21.2 平行四边形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
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知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................2
知识点一：平行四边形..............................................................................................................................................................2
知识点二：平行四边形的性质定理......................................................................................................................................2
知识点三：平行线间距离.........................................................................................................................................................3
知识点四：平行四边形的判定定理......................................................................................................................................4
知识点五：三角形的中位线....................................................................................................................................................4
知识点六：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状..............................................................................4
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................4
考点讲练一 利用平行四边形的性质求解...........................................................................................................................4
考点讲练二 利用平行四边形的性质证明...........................................................................................................................5
考点讲练三 平行四边形性质的其他应用...........................................................................................................................6
考点讲练四 求平行线间的距离.............................................................................................................................................7
考点讲练五 利用平行线间距离解决问题...........................................................................................................................8
考点讲练六 判断能否构成平行四边形...............................................................................................................................9
考点讲练七 添一个条件成为平行四边形........................................................................................................................10
考点讲练八 数图形中平行四边形的个数........................................................................................................................11
考点讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数............................................................................................11
考点讲练十 证明四边形是平行四边形.............................................................................................................................12
考点讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题...............................................................................................................13
考点讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解......................................................................................................14
考点讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明..........................................................................................................15
考点讲练十四 平行四边形性质和判定的应用...............................................................................................................16
考点讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题..........................................................................................................17
考点讲练十六 与三角形中位线有关的证明....................................................................................................................18
考点讲练十七 三角形中位线的实际应用........................................................................................................................19
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................20
难度分层闯关训练............................................................................................................................................22基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................22
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................25
知识点一：平行四边形
1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC 对边：AB和DC，AD和BC.
邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD.
对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC 对角线：AC和BD
【易错点拨】
平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点.
知识点二：平行四边形的性质定理
性质 符号语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
边 平行四边形的对边平行且相等
∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
∵四边形ABCD是平行四边形
角 平行四边形的对角相等
∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC
∵四边形ABCD是平行四边形
对角线 平行四边形的对角线互相平分 1 1
∴OA=OC= AC,OB=OD= BD
2 2
【易错点拨】
1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.
2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形.
如图S =S =S =S ,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO
△ABO △BCO △CDO △ADO
知识点三：平行线间距离
1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.
2.性质
（1）两条平行线间的距离处处相等.
如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即
两条平行线间的距离处处相等.
（2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD.
【易错点拨】平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈.知识点四：平行四边形的判定定理
判定定理 符号表示
∵AB=CD,AD=BC
两组对边分别相等的四边形式平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
边
∵AD=BC,AD//BC
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AO=CO,BO=DO
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
【易错点拨】
1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点.
2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分.
知识点五：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【易错点拨】
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周
1 1
长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点六：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.考点讲练一 利用平行四边形的性质求解
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O．
若AC=16cm，BD=10cm，则AD的长度可能是（ ）
A．30cm B．20cm C．13cm D．12cm
【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，
E，F分别是边AD，BC上的点，连接EF交AC于点G．若AE=CF=4，EF=6，∠GFC=90°，求AC
的长度．
考点讲练二 利用平行四边形的性质证明
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，
E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=CD B．CE=FG C．¿=FC D．¿=DB
【变式训练】（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC⊥AB，BD=2AC，当AC=6时，求▱ABCD的面积．
考点讲练三 平行四边形性质的其他应用
【典例分析】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=6，动
点P沿AD边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t(t>0)秒．
(1)线段PD的长为______（用含t的代数式表示）；
(2)当CP平分∠BCD时，求t的值．
(3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当
点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值．
【变式训练】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的
顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中
完成画图， 每个任务的画线不得超过四条．
(1)在图①中，先画点F 使四边形BCDF是平行四边形，设DF与AB相交于点 G ，再在BC上画出点
P ，使BP=DG．
(2)在图②中，在边AC上画出点 E ，使∠CBE=45°．(3)在图②中，在边BC点画点 H ，使AH+DH值最小．
考点讲练四 求平行线间的距离
【典例分析】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读材料】
运用基本事实“同位角相等，两直线平行”
证明“两直线平行，同位角相等”．
已知：如图1，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．求证：∠1=∠2．
证明：首先，假设∠1≠∠2，那么可以过点O作直线GH，使得∠EOH=∠2．根据“同位角相等，两直
线平行”可以得到GH∥CD，这样，过点O就有两条直线AB，GH都与CD平行，这与基本事实“过直线
外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾．
所以假设不正确，于是∠1=∠2．
【解决问题】
(1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程．
已知：如图2，AB∥CD,EF⊥AB,GH⊥AB．求证：EF=GH．
首先，假设________，将GH沿着直线BA的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线AB上．
因为EF≠GH，所以点Q与点F不重合．由EQ∥GH,GH⊥AB，易得EQ⊥AB，而EF⊥AB，同时
EQ⊥AB，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是EF=GH．
(2)如图3，AB∥CD,S 表示△EFO的面积，S 表示△GHO的面积．求证：S =S ．
1 2 1 2
(3)按照要求，画出图形，并简要说明画法．
①如图4，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分；
②如图5，在△ABC中，N是AB上的一点（不是中点），过点N画一条直线将△ABC分割成面积相等的两
部分．【变式训练】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距
离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，
相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为
（ ）
5
A． m2 B．2m2 C．5m2 D．4m2
2
考点讲练五 利用平行线间距离解决问题
【典例分析】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形
的一条面积等分线．
(1)平行四边形有 条面积等分线；
(2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
(3)如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S ∠DAC中，正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点讲练六 判断能否构成平行四边形
【典例分析】能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB=AD，CB=CD B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB∥CD，AD=BC
【变式训练】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边AB、
BC、CA上的动点，满足DE=EF，且∠≝=60°．点E与点G关于AC对称，连接CG、DG．
(1)求证：△BDE≌△CEF；
(2)求证：四边形DBCG是平行四边形；
(3)连接DF，FG，当∠BDE=15°时，试判断△DFG的形状，并说明理由．考点讲练七 添一个条件成为平行四边形
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点
E，F在对角线BD上，且OA=OC，BE=DF．要使四边形AECF为平行四边形，则应添加的条件是
（写出一种情况即可）．
【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=4❑√5cm，
其中BD是AC边上的高，点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点E由点B出发，
沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点E的直线EF ∥AC，交BC于点F，连接EG，设运动时间为
t(s)(0S
四边形ABCD 四边形DEGF
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知
AO=CO，BO=DO，则下列结论错误的是（ ）
A．AD=BC B．AD∥BC
C．AB=CD D．AC⊥AB
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知a∥b，下列线段的长中，是a，b之间的距离的是
（ ）
A．AB的长 B．AE的长 C．EF的长 D．BC的长
4．（2024·山东潍坊·一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE
于点E，连接DE．若AC=5，DE=1，则AB等于（ ）
A．7 B．6.5 C．6 D．5.5
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线
b与c之间的距离是5cm，则直线a与c之间的距离是 cm．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，AE=CF．若∠EDF =60°，则∠EBF
的度数是 ．7．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且满足
|a−c)+❑√b−d=0，则这个四边形是 ．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且
AE=CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD= ，AD∥ ．
因为AE=CF，
所以AD+AE= + ，
即DE= ．
又因为DE∥ ，
所以四边形EBFD为平行四边形．
9．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】
（1）如图1，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的平分线BE，AE交于CD边上的点E．求证：E为CD的
中点；
【问题解决】
（2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园ABCD，点E是CD上一点，连接BE、AE，沿BE和
AE修建景观步道，BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，△ECB为花卉区，△AEB是休憩草坪区，△DAE
为健身活动区．为方便游客，在AE中点F设休息驿站，并修建一条连接驿站F与大门C的观景小道CF，
CF与BE交于点G，规划师需确定BG与EG的数量关系，请你帮忙解答并说明理由．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且
AE=CF．
(1)求证：△ABE≌△CDF．
(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形．
创新拓展 拔尖冲刺
1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在▱ABCD中，已知AB=8，AD=12，∠BCD的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张
纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AD=AB B．∠DAC=∠ACD C．AD=BC D．AO=BO
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，∠B=∠AEB，AE∥DF，DC是
∠ADF的平分线．有下列结论：①BE=CF；②AE是∠DAB的平分线；③∠DAE+∠DCF=120°．其
中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，
AD=10cm，P，Q分别从A、C两点同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以1cm/s的速度由C
向B运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线PQ将四边形ABCD截出
一个平行四边形．
5．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折
痕，点C的对应点为C′．若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为 ．
7．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交
DA的延长线于点E，求证：AE=AD．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．过点O作
OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE=∠CBD=15°．求∠ABC的度数．9．（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO
的延长线与边AD交于点F，连接BF､DE，如图1．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)在（1）中，若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE､BD､BF分别交于点G､H､R，如
图2
①当CD=6，CE=4时，求BE的长．
②探究BH与AF的数量关系，直接写出答案．
10．（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边
形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA=OC，OB=OD．
【知识应用】（2）如图②，在△ABC中，P为BC的中点．延长AB到点D，使得BD=AC，延长AC到点E，使得
CE=AB，连接AP，BE，DE．若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你
的结论，并加以证明．
