文档内容
专题21.4 特殊四边形的折叠、动点、最值问题
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
优选题型 模型讲练............................................................................................................................................1
模型讲练一 一般平行四边形与折叠问题...........................................................................................................................1
模型讲练二 矩形与折叠问题..................................................................................................................................................3
模型讲练三 正方形与折叠问题.............................................................................................................................................5
模型讲练四 （特殊）平行四边形中的动点问题.............................................................................................................7
模型讲练五 四边形中的线段最值问题.............................................................................................................................10
培优检测 能力提升..........................................................................................................................................12
模型讲练一 一般平行四边形与折叠问题
【典例分析】（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点
A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为B(4,6)，D为BC的中点，线段MN在边OC上移动，且MN=3，当
四边形ADMN的周长最小时，则点M的坐标为 ．
【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点
E，∠AEB=45°，BD=2．将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，点B的对应
点为点B′，AD交B′C于点F，连接B′D．(1)求证：AF=CF．
(2)求B′D的长．
【变式训练2】（23-24九年级下·海南·月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，
∠ABC=120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，EC=
，DE= ．
【变式训练3】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，直线EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F．求证：AE=CF．
（2）如图②，将▱ABCD沿过对角线交点O的直线EF折叠，使点A落在点A 处，点B落在点B 处，FB
1 1 1
交CD于点G，A B 与CD，DE分别交于点H，I．求证：EI=FG．
1 1模型讲练二 矩形与折叠问题
【典例分析】（24-25九年级下·福建·自主招生）如图，已知矩形ABCD，点E是AB的中点，将BC边
AB
沿CE翻折到CF的位置，点B的对应点为F，连接CF并延长交AD于点H，当H恰为AD的中点时，
AD
的值是 ．
【变式训练1】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC
边的点F处，折痕为AE，已知AB=8，BC=10，则CE的长为 ．
【变式训练2】如图是一张矩形纸片ABCD，AC与BD相交于点O，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE
折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF．若OF=AB，∠DAF=α．
(1)请用α表示∠ODF的大小；
(2)请求出α的值．【变式训练3】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形纸片ABCD的边
AB∥CD，点B坐标为(9,3)，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．
(1)求证：△≝¿为等腰三角形；
(2)求折痕EF的长．
【变式训练4】（24-25八年级下·重庆·开学考试）在矩形ABCD中，E是BC边上一定点，F是直线
AD上一动点，将△BEF沿直线EF翻折，点B的对应点为G．
(1)若点G落在矩形的内部，且E，G，D三点在一条直线上时，请在图中作出此时的点G和直线EF；（请
用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若AB=3，AD=6，BE=2，求AF的长度．模型讲练三 正方形与折叠问题
【典例分析】如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、
AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为（ ）
3 5 9
A． B． C． D．3
2 2 4
【变式训练1】（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是BC的中点，把
△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（ ）
A．3❑√5 B．2 C．2❑√10 D．4❑√2
【变式训练2】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′
处，点A的对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（ ）A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
【变式训练3】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，
且CD=3DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE处，延长EF交BC于点G，连接AG，CF，有下列结论：①
△ABG≌△AFG；② BG=CG；③ S =S ；④ ∠AGB+∠AED=145°．其中正确结论的个
△EGC △AFE
数是 ．
【变式训练4】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，
在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在BC、CD、AD、AB上，且¿⊥HF，垂足为M，那么GE与
HF相等吗？分别过点G、H作GP⊥BC、HQ⊥CD，垂足分别为P、Q，通过证明△GPE≌△HQF，
得到¿=HF．
根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题．
【探究1】
如图2，在正方形ABCD中，点E在BC上，使用无刻度的直尺和圆规作BF⊥AE，交CD于点F（要求直
尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法；
【探究2】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，将正方形ABCD沿着EF翻折，点B、C分别落
在B′、C′处，且B'C'经过点D，将纸片展开，延长C′F交BC于点G，连接DG交EF于点M．
（1）求证：DF=GF；
（2）猜想线段AE、CG、DF之间的数量关系，并说明理由．模型讲练四 （特殊）平行四边形中的动点问题
【典例分析】（23-24八年级下·全国·期中）已知：如图，在直角梯形ABCD中，
∠B=90°，AD∥BC，AD=24cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运
动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，
另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒
(1)t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(2)t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？
【变式训练1】（24-25八年级下·四川达州·月考）如图，在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=DC=4，AD=BC=8．延长BC到E，使CE=3，连接DE．动点P从
点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（t>0）．(1)四边形ABCD的形状为 ；
(2)当t= 时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
(4)当00)
(1)当P在AB上运动时，用含t的式子表示出线段BP的长 ；
PE
(2)当Q点落在平行四边形ABCD的某边中点上时，求 的值（用含t的代数式表示）；
PQ
(3)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和平行四边形ABCD重叠部分图形为
轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．模型讲练五 四边形中的线段最值问题
【典例分析】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC=4，
BD=5，则AD+BC的最小值是 ．
【变式训练1】【问题原型】
如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE=DF．
【问题应用】
如图，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=BF．
（1）如图2，连接CE、DF交于点G，H为GE的中点，连接DH，FH．当E为AB的中点时，四边形
CDHF的面积为 ；
（2）如图3，连接DE、DF，当点E在边AB上运动时，DE+DF的最小值为 ．【变式训练2】（2023·湖南湘西·三模）如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点
P在对角线BD上移动，则△PCE周长的最小值是（ ）
A．❑√5 B．❑√5+1 C．2❑√5 D．2❑√5+2
【变式训练3】如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段
CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．
(1)求证：AF=EF；
(2)求MN+NG的最小值．【变式训练4】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图
形，DE为折痕，点C的对应点为C′．若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为 ．
一、选择题
1．（24-25八年级下·吉林白城·月考）如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的
点F处，若AB=6，AD=10，则CF的长为（ ）
10
A．2 B．4 C．8 D．
3
2．（2023·山东泰安·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿
AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）8 9 12 18
A． B． C． D．
5 5 5 5
3．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，在正方形纸片ABCD的AD与BC边上分别取M，N两点，
将纸片ABCD沿着MN折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，若AB=2，则线段MD的长
是（ ）
❑√2 2 ❑√3 3
A． B． C． D．
2 5 3 4
4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P
在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间
往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，开始
运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
20 40 20 40 40 40
A． B． C． 或 D． 或
3 7 3 7 3 7
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB =3❑√3，AD=3，
M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）．若E，F分别为DM，MN的中
点，则线段EF长度的最大值为（ ）A．❑√7 B．3.5 C．3 D．2.5
二、填空题
6．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，G是BO的
中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线AC上运动，连结BE、GF，若AB=8❑√2,EF=4，则
BE+GF的最小值是 ．
7．如图，在长方形ABCD中，M是CD的中点，P是AB上任意一点．若AD=1，AB=2，则
PA+PB+PM的最小值为 ，最大值为 ．
8．（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别
在x轴，y轴上，B点坐标为B(4,6)，D为BC的中点，线段MN在边OC上移动，且MN=3，当四边形
ADMN的周长最小时，则点M的坐标为 ．9．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s
的速度匀速运动到点B，点F运动时， 的面积 随时间 的变化关系图象如图（2），则菱
△FBC y(cm2 ) x(s)
形ABCD的面积为 cm2．
（1） （2）
10．（24-25八年级下·天津南开·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=16，
BC=21，CD=13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，
在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P
的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为 秒．
11．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在长方形ABCD中，对角线BD=16，∠BDC=60°，
1
将长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，点M 是线段BD上一点，则EM+ BM的最小值是
2
．12．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是边AD的中点，将
△DCE沿着CE翻折，得到△D′CE，则CE= ．延长BD′交CE的延长线于点H，则EH= ．
三、解答题
13．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，连接AE，把
△ADE沿AE所在直线折叠，点D的对称点F恰好落在BC上，已知CE=3，FC=4，求边AD的长．14．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，将一张矩形纸片ABCD的边AD斜着向BC边对折，使点
D落在BC边上，记为D′，折痕为AF，再将AB边斜向上对折，使点B落在AD′上，记为B′，折痕为AE，
(1)求证：B′E∥D′F；
(2)根据以下描述：分别延长FD′和AE交于点G，过点G作BC的平行线，分别交AB和DC的延长线于点
GF
M和N，请补全图形，并求 的值．
MG+DF
15．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将△ABE沿AE
折叠，使点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG．
(1)求证：△ADG≌△AFG；
(2)连接CF，若CF∥AG，求证：G为DC的中点．16．（2023·吉林长春·二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD
折叠，使点C落在对角线BD上的点E处，连结CE，与折痕DF交于点F，折痕DF交AC于点M．
求证：△ODM≌△OCE．
17．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm，点P从点D出发向
点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都
是1cm/s连接PQ，AQ，CP，设点P，Q运动的时间为ts．
(1)求t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)求t为何值时，四边形AQCP是菱形．18．【问题原型】
如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE=DF．
【问题应用】
如图，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=BF．
（1）如图2，连接CE、DF交于点G，H为GE的中点，连接DH，FH．当E为AB的中点时，四边形
CDHF的面积为 ；
（2）如图3，连接DE、DF，当点E在边AB上运动时，DE+DF的最小值为 ．
19．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究：
问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，Rt△ABC中，
∠ABC=90°,AB=BC，Rt△≝¿中，∠≝=90°,∠F=30°．
探究：
将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边BC与边DE重合．动点P从点A出发以1cm/s的速
度向点B运动，同时，动点Q从点F出发以2cm/s的速度向点E运动．当其中一个动点到达终点时，另一
个动点也随之停止运动．
①若PQ∥AC．判断四边形ACQP的形状，并说明理由；
②若BC=DE=4cm，经过多长时间四边形PQFB为平行四边形．20．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，在正方形
ABCD中，点E、F、G、H分别在BC、CD、AD、AB上，且¿⊥HF，垂足为M，那么GE与HF相等
吗？分别过点G、H作GP⊥BC、HQ⊥CD，垂足分别为P、Q，通过证明△GPE≌△HQF，得到
¿=HF．
根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题．
【探究1】
如图2，在正方形ABCD中，点E在BC上，使用无刻度的直尺和圆规作BF⊥AE，交CD于点F（要求直
尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法；
【探究2】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，将正方形ABCD沿着EF翻折，点B、C分别落
在B′、C′处，且B'C'经过点D，将纸片展开，延长C′F交BC于点G，连接DG交EF于点M．
（1）求证：DF=GF；
（2）猜想线段AE、CG、DF之间的数量关系，并说明理由．
