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解密 01 讲：集合
【考点解密】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的
子集，记作A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B或B A.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
所有属于集合A或属于集合B的 {x|x∈A，
并集 A ∪ B
元素组成的集合 或x∈B}
所有属于集合A且属于集合B的 {x|x∈A，
交集 A ∩ B
元素组成的集合 且x∈B}
全集U中不属于集合A的所有元
{x|x∈U，
补集 素组成的集合称为集合A相对于 ∁ A
U
且x∉A}
全集U的补集
【方法技巧】
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
【核心题型】
题型一：元素与集合
1．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知集合 ，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合
的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·海南·模拟预测）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题）已知集合 ， ，且 有 个子集，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
题型二：集合中元素的特性
4．（2023·全国·高三）设集合 ， ，则集合 元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021·全国·高三专题练习）已知集合 ， 、 、 为非零实数 ，则 的子
集个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））定义集合运算： ，设 ，
，则集合 的所有元素之和为（ ）
A．16 B．18 C．14 D．8
题型三：集合的表示方法7．（2022·陕西·交大附中模拟）已知 表示正整数集合，若集合 ，则 中
元素的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合 ， ，则B中所含元
素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
题型四：集合的基本关系
10．（2022·四川泸州·一模（理））已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·湖南·模拟预测）已知非空集合 ， 其中 ，
若满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·青海·模拟预测（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
题型五：集合的交并补13．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2022·重庆市永川北山中学校模拟预测）设P和Q是两个集合，定义集合 且 ，如果
， ，那么 （ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知有限集X，Y，定义集合 ，且 ， 表示集合X中的
元素个数.若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型六：Venn图
16．（2022·吉林·长春吉大附中）某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数分别是15，12，9.若这三天中只有一
天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．（2007·全国·高考真题（理））如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（
）
A． B． C． D．
18．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分
丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问
题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答
对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
题型七：集合新定义
19．（2022·四川·模拟预测（理））设 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的函数 满足：(i)
；(ii)对任意 ，当 时，恒有 ，那么称这两个集合“保序同构”，以下
集合对不是“保序同构”的是（ ）
A． B． ， 或
C． D．
20．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设A是任意一个n元实数集合，令集合 ，记集合
B中的元素个数为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
21．（2023·全国·高三专题练习）设集合 ，定义：集合 ，
集合 ，集合 ，分别用 ， 表示集合S，T中元素的个数，则下列
结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型八：集合的综合问题22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知 ．
(1)当 时，求 的解集；
(2)若 的解集包含 ，求a的取值范围．
23．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数 的定义域为集合 ，关于 的不等
式 的解集为 ．
(1)当 时，求 ；
(2)若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
24．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，定义集合 ，集合
．
(1)若 ，写出相应的集合 和 ；
(2)若集合 ，求出所有满足条件的 ；
(3)若集合 只含有一个元素，求证： ．
【高考必刷】一、单选题
25．（2022·河北·模拟预测（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
26．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））已知集合 ， ，
则集合 的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·广东韶关·一模）设全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·吉林长春·模拟预测）已知全集为R，集合 ， ，则Venn图中阴影
部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·四川资阳·一模（理））已知全集 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
30．（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）A． B．
C． D．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A，B均为R的子集，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022·湖南·模拟预测）如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合
的元素标号表示为 ），则称其为可列集．下列集合属于可列集的有（ ）
A． B．Z C．Q D．R
33．（2022·全国·高三）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意 ， ，均有 ，
则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A． B．
C． D．
34．（2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）设 表示不大于 的最大整数，已知集合
， ，则（ ）
A． B．
C． D．三、填空题
35．（2007·湖北·高考真题（理））设A、B为两个集合．下列四个命题：
① 不包含于 对任意 ，有 ；
② 不包含于 ；
③ 不包含于 不包含于 ；
④ 不包含于 存在 ，使得 ．
其中真命题的序号是________________．（把符合要求的命题序号都填上）
36．（2022·陕西·大荔县教学研究室一模）设三元集合 ，则 _________.
37．（2020·江苏省天一中学一模）设集合 ，则 ___________.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，其中 且 ，函数 ，且对任
意 ，都有 ，则 的值是_________．
