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解密19 直线和圆
【考点解密】
1．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
＝
两点式 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 1
(x≠x，y≠y)
1 2 1 2
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
Ax＋By＋C＝0
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
(A2＋B2≠0)
2．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l⇔k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
(ⅱ)当直线l，l 不重合且斜率都不存在时，l∥l.
1 2 1 2
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l⇔k·k＝－1.
1 2 1 2 1 2 1 2
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l⊥l.
1 2
(2)两条直线的交点
直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0，则l 与l 的交点坐标就是方程组的解．
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
3．几种距离
(1)两点P(x，y)，P(x，y)之间的距离|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0(其中C ≠C )间的距离d＝.
1 2 1 2
4圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
圆心为(a，b)
方 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
半径为r
程
一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：
半径r＝
5．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要)
d < r ⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
(2)代数法：――――→
6．圆与圆的位置关系
设圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r>0)，
1 1 1 1
O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r>0)
2 2 2 2
方法
几何法：圆心距d与r，r 代数法：联立两圆方程组成方程组
1 2
位置
的关系 的解的情况
关系
外离 d>r＋r 无解
1 2
外切 d＝r＋r 一组实数解
1 2
相交 |r－r|<d<r＋r 两组不同的实数解
1 2 1 2
内切 d＝|r－r|(r≠r) 一组实数解
1 2 1 2
内含 0≤d<|r－r|(r≠r) 无解
1 2 1 2
【方法技巧】
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于 与
的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于0，求出定
点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为常数.【核心题型】
题型一：待定系数法求直线方程
1．（2022·北京·统考模拟预测）已知圆 ，直线l过点 且倾斜角为 ，则“直线l与圆C
相切”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知直线 与圆 交于A，B两点，则线段
的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知直线l经过点 ，且被圆 截
得的弦长为4，则直线l的方程是 （ ）
A． B． 或
C． D． 或
题型二：已知两直线位置求参数或者范围
4．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）直线 的方程为 ，当原点 到直线 的
距离最大时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆 过点 ，且圆心在 轴的正半轴上，直线 被圆 所
截得的弦长为 ，则过圆心 且与直线 垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·吉林·统考二模）已知 ，若直线 与直线 垂直，则
的最小值为（ ）A．1 B．3 C．8 D．9
题型三：直线的定点问题
7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点 ， 与直线 ，若在直线 上存在
点 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·贵州毕节·统考一模）已知点 在直线 上，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为 ，则圆心 到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
题型四：直线有关的对称问题
9．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）若 为圆 上的动点，当 到直线
的距离取得最大值时，直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·北京平谷·统考模拟预测）点M、N在圆 上，且M、N两点关于直线
对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为
11．（2023·陕西西安·校考模拟预测） ， ， ， ， ，一束光线从点 出发射
到 上的点 ，经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则 的斜率的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
12．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知点 ， ，若直线 关于 的对称直线 与圆 ：
交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：几何法求圆的方程
13．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知点 是圆 上的任意一点，点 ，
分别为圆 上的两个不同的动点，且 ，点 为线段 的中点，则 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 是圆 上两点，且 ．若存在
，使得直线 与 的交点 恰为 的中点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆 与直线
相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．题型六：待定系数法求圆的方程
16．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 ： 的圆心到直线 的距离为 ，
则圆 与圆 ： 的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
17．（2023·全国·高三专题练习）与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，点A，B，D在圆Γ上，点C在圆Γ内， ，若
，且 与 共线，则圆Γ的周长为（ ）
A． B． C． D．
题型七：几何法求弦长
19．（2023·全国·模拟预测）若直线 与直线 被圆 截得
的弦长之比为 ，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023秋·河南·高三校联考期末）在平面直角坐标系 中，已知圆 被 轴截
得的弦长为2，且与直线 相切，则实数 的值为（ ）A． B． C．3 D．
21．（2022秋·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知双曲线 的渐近线被圆
截得的弦长为 ，则正实数 的值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
题型八：圆或者直线上的点的距离问题
22．（2023·福建福州·统考二模）已知 ， 关于直线 对称的圆记为 ，
点E，F分别为 ， 上的动点，EF长度的最小值为4，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
23．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O： 上一动点，若直线l：
上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点 为抛物线 上任意一点，点 为圆 上任意
一点， 为直线 的定点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．题型九：直线和圆的综合问题
25．（2023·重庆·统考二模）过抛物线 的焦点 作斜率分别为 的两条不同的直线 ，且
相交于点 ， ， 相交于点 ， ．以 ， 为直径的圆 ，圆 为圆心 的公共弦所在的直线
记为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求点 到直线 的距离的最小值．
26．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点 作圆 的两条切线，设切点为 ，直线
恰为抛物 的准线.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是圆 上的动点，抛物线 上四点 满足： ，设 中点为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）设 面积为 ，求 的最大值.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 上点 与圆 上点M的距
离的最大值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点 （Q与A，B不重合），证明：动直线l过
定点，并求出该定点坐标.
【高考必刷】一、单选题
28．（2023·重庆·统考二模）已知点 ，圆 ，若在圆 上存在唯一的点
使得 ，则 可以为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知 ， ，若直线 上存在点 ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·陕西安康·统考二模）已知直线 ： ， ： ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
31．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知直线 ，直线 ，其中实数 ，则直线
与 的交点位于第一象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
32．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知双曲线 的离心率为3，斜率为 的直线
分别交F的左右两支于A，B两点，直线 分别交F的左、右两支于C，D两点， ， 交 于点E，点E
恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（ ）x+4 y=0
A． B． C． D．
33．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知点 ，圆 ，过点 的直线 与圆 交
于 ， 两点，则 的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
34．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知O为平面点角坐标系的原点，点 ，B为圆
上动点，记经过A、B的直线为l，以O为圆心与l相切的圆的面积为 ，经过O、A、B三点的
圆的面积为 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
35．（2023·湖南·模拟预测）已知圆 ： 与圆 ： ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若圆 与x轴相切，则
B．直线 与圆 始终有两个交点
C．若 ，则圆 与圆 相离
D．若圆 与圆 存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为
36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知直线 交 轴于点P，圆 ，过点P作圆M的
两条切线，切点分别为A，B，直线 与 交于点C，则（ ）A．若直线l与圆M相切，则
B．当 时，四边形 的面积为
C．直线 经过一定点
D．已知点 ，则 为定值
37．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 ，点 为直线 上的动点，则下列说
法正确的是（ ）
A．圆心 到直线 的最大距离为8
B．若直线 平分圆 的周长，则
C．若圆 上至少有三个点到直线 的距离为 ，则
D．若 ，过点 作圆 的两条切线，切点为 ， ，当点 坐标为 时， 有最大值
38．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知 为圆 上的两点， 为直线 上
一动点，则（ ）
A．直线 与圆 相离
B．当 为两定点时，满足 的点 有2个
C．当 时， 的最大值是
D．当 为圆 的两条切线时，直线 过定点
三、填空题
39．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知椭圆 ，圆 ，直线 与圆 相切于第
一象限的点A，与椭圆C交于 两点，与 轴正半轴交于点 .若 ，则直线 的方程是__________.40．（2023·河南郑州·统考一模）经过点 以及圆 与 交点的圆的方程为
______．
41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，设直线 与两坐标轴的交点分别为
，若圆 上有且只有一个点 满足 ，则 的值为__________.
42．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线 上的动点，P到y轴的距离为 ，
到圆 上动点Q的距离为 ，则 的最小值为______．
四、解答题
43．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 引圆 ：
的一条切线，切点为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得 的面积为 ？若存在，
求点A的个数；否则，请说明理由.
44．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知圆心为 的圆经过点 和 ，且
圆心在直线 上，求：
(1)求圆心为 的圆的标准方程；
(2)设点 在圆 上，点 在直线 上，求 的最小值；
(3)若过点 的直线被圆 所截得弦长为 ，求该直线的方程．
