文档内容
专题 26 一次函数与图形变换（3 大类型）
题型归纳
题型1：一次函数与平移变换
题型2：一次函数与轴对称变换
k b k k b k
直线y=
1
x+
1
(
1
≠0）与y=
2
x+
2
(
2
≠0)的位置关系
k k b b
（1）两直线平行⟺ 1 = 2 ，且 1 ≠ 2
k k
（2）两直线相交⟺ 1 ≠ 2
k k b b
（3）两直线重合⟺ 1 = 2 ，且 1 = 2
k k
（4）两直线垂直⟺ 1 2 =−1
题型3：一次函数与旋转变换
直线的对称规律
（1）直线y=kx+b关于x轴对称得到直线y=-kx-b
（2）直线y=kx+b关于y轴对称得到直线y=-kx+b
（3）直线y=kx+b关于原点对称得到直线y=kx-b典例分析
【考点1：一次函数与平移变换】
【典例1】（2023•碑林区校级模拟）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y
＝2x+b，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6
【变式1-1】（2022秋•碑林区校级期末）将直线 y＝2x+1向右平移2个单位后
所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
【变式1-2】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线 y＝﹣2x+6向左移1个单位，
所得到的直线解析式为（ ）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【变式1-3】（2022秋•皇姑区校级期末）将直线y＝3x向上平移2个单位长度，
所得直线的表达式为（ ）
A．y＝3x﹣2 B．y＝3（x+2） C．y＝3（x﹣2） D．y＝3x+2
【考点2： 一次函数与轴对称变换】
【典例2】（2021春•东昌府区期末）在直角坐标系中，已知 A，B是x轴上的
两点，且A（6，0），AB＝10，点M是y轴上一点，连接BM，将△ABM沿
过A，M的直线AM折叠，点B恰好落在y轴的点B′处．
（1）求直线AB′的函数表达式；
（2）求直线AM的函数表达式．【变式2-1】（2022•雁塔区校级三模）一次函数 y＝﹣kx+3的图象关于x轴对
称后经过（2，﹣1），则k的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【变式2-2】（2022•武功县一模）已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）
关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式2-3】（2023•榆阳区模拟）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）
与一次函数 y＝2x+1 关于 y 轴对称，则一次函数 y＝kx+b 的表达式为
（ ）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．
【考点3： 一次函数与旋转变换】
【典例3】（2021春•碑林区校级期中）如图，一次函数 y＝2x+b经过M（1，
3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于
点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
【变式3-1】（2021秋•峡江县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y
＝2x﹣3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转
45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．【变式3-2】（秋•宿迁期末）如图，一次函数 y＝（m+1）x+4的图象与x轴的
负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．
（1）则m＝ ，点A的坐标为（ ， ）．
（2）过点 B作直线 BP与x轴的正半轴相交于点 P，且OP＝4OA，求直线
BP的解析式；
（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的
对应的函数表达式．
【典例4】（2020秋•盱眙县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4交x
轴，y 轴分别于点 A，点 B，将△AOB 绕坐标原点逆时针旋转 90°得到
△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：
（1）求：直线CD的函数关系式；
（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF＝45°；
②求：点F的坐标；
（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），
当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．
【变式4】（莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线 l 绕原点O顺时
1
针旋转90°，得到的直线l 称为l 的“旋转垂线”．
2 1
（I） 求出直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式；
（II） 若直线 y＝k x+1（k ≠0）的“旋转垂线”为直线 y＝k x+b．求证：
1 1 2
k •k ＝﹣1．
1 2
夯实基础
1．（2023•渭滨区一模）将直线y＝2x﹣1绕原点旋转180°后，所得直线的函数
表达式为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x+1 C． D．y＝2x﹣1
2．（2022•澄城县二模）在同一平面直角坐标系中，直线 y＝kx﹣3是由直线y
＝2x+b经过平移得到的，则下列各点在直线y＝kx﹣3上的是（ ）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（3，3） D．（5，13）
3．（2022•碑林区校级三模）若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝﹣3、b＝﹣2B．k＝3、b＝﹣2 C．k＝3、b＝﹣4 D．k＝3、b＝4
4．（2021•雁塔区校级三模）在平面直角坐标系中，将直线 y＝﹣2x+2关于平
行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则
直线AB的表达式为（ ）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．y＝﹣ x+5
5．（2023春•雨花区校级月考）在平面直角坐标系中，将直线 y＝2x+b沿x轴
向右平移2个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
6．（2023•秦都区校级二模）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx+4（k≠0）向
右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
7．（2023 春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形
OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1
个单位的速度向下平移，经过 t秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相
等的两部分，则t的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023•临潼区一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图
象向右平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣7 B．7 C．﹣6 D．6
9．（2023•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数 y＝2x+m﹣2
的图象向左平移 3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则 m的值为（
）
A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1
10．（2022秋•石景山区校级期末）把直线 y＝3x向上平移1个单位长度后，其
直线的表达式为（ ）A．y＝3x+1 B．y＝3x+3 C．y＝3x﹣1 D．y＝3x﹣3
11．（2019秋•灞桥区校级期中）如图，已知直线 L ： 与x轴、y轴
1
分别交于A、B两点，直线L 绕坐标原点O顺时针旋转135°，得到直线L 与
1 2
x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）直接写出点 A、B 的坐标是 A ，B
．
（2）点P（a，4）是直线L 上一点，求a的值．
2
12．（2021秋•无锡期末）如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴
上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．
（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；
（2）如图 2，若 x 轴恰好平分∠BAC，BC 与 x 轴相交于点 E，过点 C 作
CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；
（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运
动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求
出BF的长度，若改变，请说明理由．
13.（2021秋•兴化市期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线y＝kx+4与x
轴、y轴分别交于A、B两点，4OA＝3OB．
（1）求k的值；（2）点P在线段AB上，连接OP．若S ＝3S ，求点P的坐标；
△AOB △BOP
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，求直线AC的表达式．
