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专题 28.1 锐角三角函数
1.能根据锐角三角函数的概念进行计算；
2.熟练运用给出的锐角三角函数值进行有关计算；
3.知道特殊角的三角函数值，以及能根据特殊的三角函数值得到对应角
一、锐角三角函数的概念
如图所示，在 中， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也叫做 的邻
边， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也是 的邻边，直角 所对的边 记为 ，叫做斜
边．
B
c
a
A C
b锐角 的对边与斜边的比叫做 的正弦，记作 ，即 ；
锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 ，即 ；
锐角 的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 ，即 .
同理 ； ； ．
注意：
（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的
比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2） 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ，不能
理解成 与 ， 与 ， 与 的乘积．书写时习惯上省略 的角的记号“∠”，但对三个
大写字母表示成的角(如 )，其正切应写成“ ”，不能写成“ ”；
另外, 常写成 .
（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
（ 4 ） 由 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 知 ： 当 角 度 在 间 变 化 时 ，
二、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3
考点01利用定义求三角函数值
例1．在 中， ，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大
变式1-1．如图，在 中， ， ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．已知 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．如图，在直角 中， ， 于点D，则 等于（ ）
A． B． C． D．
考点02根据三角函数值求边长
例2．等腰三角形的底角是 ，腰长为 ，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，若 ， ， ，则
的面积的值是 ．变式2-2．如图，在 中， ， ，分别以点A和点 为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧相交于 两点，作直线 ，交边 于点 ，连结 ，若 ，则 的长为
；
变式2-3．为了测量一个光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出
．这张光盘的半径是 cm．
考点03三角函数值的混合运算
例3．下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．变式3-1． ．
变式3-2．求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
变式3-3．计算：
(1) ；
(2) ．
考点04构造直角三角形求三角函数值
例4．如图， 的顶点都在方格纸的格点上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．如图，在 中， ， ．若 是 上一点，且 ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
变式4-2．把一副三角板按如图方式放置，含 角的顶点 在等腰直角三角板的斜边 的延长线上，
， ，则 的值是（ ）．
A． B． C． D．
变式4-3．如图，在等腰三角形 中， 是锐角，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的长．
考点05利用三角函数值求角度
例5．某同学遇到了这样一道题： ，则锐角 的度数应是（ ）
A． B． C． D．变式5-1．在 中， ， ，则 的形状（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．无法确定
变式5-2．已知 中， 均为锐角，且满足 ，则 ．
变式5-3．关于x的方程 有两个相等的实数根，其中 是锐角三角形 的一个内角，
则 ．
考点06已知角度求三角函数值的大小
例6．已知 ，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．若 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． 随 的增大而增大 B．cos 随 的减小而减小C．tan 随 的增大而增大D．
0<sin <1
变式6-2．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂 ，阻力臂 ，如果动力F的用力
方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
变式6-3．比较大小： ．考点07互余两角的三角函数关系
例7．计算：s ．
变式7-1．在 中， ， ，则 ．
变式7-2．化简 等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不对
变式7-3．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：
如图2：
如图3：
①观察上述等式，猜想：如图4，在 中， ，都有 ；
②如图4，在 中， ， ， ， 的对边分别是 ， ， ，利用三角函数的定义和
勾股定理，证明你的猜想；
③已知： ，且 ，求 ．
考点08根据三角函数值求锐角的取值例8．若锐角 满足 ，则锐角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式8-1．已知 为锐角，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
变式8-2．已知 ，则锐角 的取值范围是 ．
变式8-3．若锐角 满足 ，则 的取值范围是 ．
考点09三角函数的综合1+3
例9．如图，四边形 是 的内接四边形， 是直径， ， ，则四边形 的面
积为（ ）
A． B． C． D．
变式9-1．如图，矩形 的边 在 轴上， 在 轴上，点 ，把矩形 绕点 逆时针旋
转，使点 恰好落在 边上的 处，则点 的对应点 的坐标为 ．变式9-2．如图， 中， ，将 绕点A逆时针旋转，使得C点对应的 恰在CB
延长线上，点B的对应点为 ，连接 ，若 ， ，则 ．
变式9-3．如图，在平行四边形 中， 为 中点， ， ， ．动点 从点 出
发，沿 以每秒1个单位的速度向终点 运动．连结 ，过点 作 ，且 ，
连结 ，点 和点 始终在直线 的同侧．设运动的时间为 秒．
(1)当点 沿 运动时，求 的长（用含 的代数式表示）．
(2)当点 落在 边上时，求 的值．
(3)连结 ，当 与平行四边形 的边平行时，直接写出 的值．基础过关练
1．在 中， ， 、 、 分别为 、 、 的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．在 中， ， ， ，则边 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
3．在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的顶点上，且 、 相交于点
O，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知： 是 斜边 上的高线， 是 斜边 上的高线，如果 ，
，那么 等于（ ）A．2 B．4.5 C．8 D．12.5
5．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东 的方向且与轮船相距52海里．若该轮
船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离 是 海里．（用含三角函数的式子表示）
6．下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公
式 ，求 的值，即
．试用公式
，求出 的值是 ．
7．如图，在四边形 中，连接 ， ， ， ．若 ， ，
则 ．
8．如图，在 中， ， ，以 为直径作 ，交斜边 于点 ，点 在直径 右侧的半圆上，且 ，连接 ，则 的长度为 .
9．如图，点 在 轴的正半轴上，抛物线 与直线 在第一象限内的交点为 ，试求 的
值．
10．学习完特殊角的三角函数，爱思考的小明同学想探究一下 的值．他的做法是：如图，先画
，使得 ，再延长 到 ，使 ，连接 ．你能根据小明的做法，
求出 的值吗？请你试一试．
11．如图，在 中， 于点 ， ， ， ．(1)求 的大小；
(2)若点 ， 分别为 ， 的中点，求 的长．
12．如图，正方形 的边长为1，延长边 到点 ，使 ，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求 的值．
能力提升练
1．如图，在正方形 中，点 为边 的中点，连接 、 、 ，且 交 于 ， 交
于 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中， ， 交 的延长线于 ．若 ，则
的值是（ ）A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C在半径为5的 上， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，若 ，则 的值为
．
5．如图，在边长为1的小菱形组成的网格中， ，A、B、D、E四点都在这些小菱形的顶点上，
相交于P点，则 的正切值为 ．6．如图，在 中， ， ，点D为边 的中点，则 的值为 ．
7． 是 的直径，弦 于点 ，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的值．
8．如图， 是 的直径， 是 的弦，且 ，垂足为E，连接 ，过点B作 的切
线，交 的延长线于点F．(1)求证： ；
(2)若点 是 的中点，且 ，求线段 的长；
