文档内容
专题2 相交线与平行线中蕴含的数学思想（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 数形结合思想
典例1（2021春•丰台区校级期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠DAE＝∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
思路引领：（1）利用邻补角的定义以及平行线的判定得出即可；
（2）利用角平分线的性质以及平行线的性质进而得出∠FDA＝∠BCF，进而得出答案．
解：（1）AE∥FC，
理由：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝∠1，
∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）；
（2）AD∥BC，
理由：∵DA平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB，
∵AE∥FC，
∴∠FDA＝∠BAD，
∵∠DAE＝∠BCF，
∴∠FDA＝∠BCF，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
总结提升：此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
变式训练
1．（2022春•平舆县期末）如图，点E、D、C、F在一条直线上，AF与BE交于点O，∠ADE+∠BCF＝
180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．
思路引领：（1）根据平角的性质和已知条件，∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°即可得
∠ADF＝∠BCF，即可得出答案；
（2）由已知条件∠ABC＝2∠ABE，∠ABC＝2∠E，可得∠ABE＝∠E，再由平行线的判定即可得出答
案；
1
（3）根据平行线的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质∠ABE= ∠ABC，∠BAF
2
1
= ∠BAD，可得AB∥EF，等量代换即可得出答案．
2
解：（1）AD∥BC，理由如下：
因为∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°．
所以∠ADF＝∠BCF．
所以AD∥BC．
（2）AB∥EF，理由如下：
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABC＝2∠ABE．
因为∠ABC＝2∠E，
所以∠ABE＝∠E．
所以AB∥EF．
（3）因为AD∥BC，
所以∠DAB+∠ABC＝180°．
因为BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
1 1
所以∠ABE= ∠ABC，∠BAF= ∠BAD，
2 2
所以∠ABE+∠BAF＝90°．因为AB∥EF，
所以∠E＝∠ABE，∠F＝∠BAF，
所以∠E+∠F＝90°．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定进行证明是解决本题的
关键．
类型二 方程思想
典例2（2022春•黄陂区期末）如图，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于E，连接
AE，若∠BDC＝6∠BAE，则∠AEC的度数为 ．
思路引领：过E作EF∥AB，可得∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠DCE，设∠DCE＝∠BCE＝ ，则
∠ABC＝2 ，设∠BAE＝ ，则∠BDC＝6∠BAE＝6 ，依据三角形内角和定理，即可得到 + ＝30α°，进
而得出∠BαAE+∠DCE＝3β0°，即∠AEC＝30°． β α β
解：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠DCE，
∵∠BCD的平分线CE交BD于E，
∴可设∠DCE＝∠BCE＝ ，则∠ABC＝2 ，
∴∠DBC＝2∠ABC＝4 ，α α
设∠BAE＝ ，则∠BDCα＝6∠BAE＝6 ，
∵△BCD中β，∠BCD+∠CDB+∠DBCβ＝180°，
∴2 +6 +4 ＝180°，
∴ α+ ＝β30°α，
∴α∠BβAE+∠DCE＝30°，
∴∠AEC＝30°，
故答案为：30°．总结提升：本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
变式训练
1．（2021春•越秀区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两
个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．
（1）求∠AOE的度数；
（2）射线OF从OE出发，绕点O逆时针旋转 （0°＜ ＜180°），如图2，当OF平分∠BOE时，求
∠DOF的度数． α α
思路引领：（1）先求∠AOC，再求∠AOE．
（2）先求∠BOE，再求∠BOF即可．
解：（1）∠AOC与∠BOD互为对顶角．
∴∠AOC＝∠BOD＝75°．
∵OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．
2
∴∠AOE＝75°× =30°．
5
（2）∵∠AOE+∠BOE＝180°．
∴∠BOE＝180°﹣30°＝150°．
∵OF平分∠BOE．
1
∴∠BOF= ×150°＝75°．
2
∴∠DOF＝∠BOF+∠BOD＝75°+75°＝150°．
总结提升：本题考查角度的求法，充分利用对顶角，邻补角，角平分线的性质是求解本题的关键．
2．（2022春•朔州期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；
（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．
思路引领：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝
20°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得
到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，根据角平分线的定义得到
1 1
∠PEF= ∠BEF＝x°，∠EFG= ∠EFD＝（x+25）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P
2 2
＝∠HFG，于是得到结论．
解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，
∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°
∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；
故答案为：100°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，
∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°，
∴∠EFD＝∠BEF+50°；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，
设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
1 1
∴∠PEF= ∠BEF＝x°，∠EFG= ∠EFD＝（x+25）°，
2 2
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，
∴∠P＝25°．
总结提升：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
类型三 整体思想
典例3（2022春•阆中市期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的
平分线交于点F，则∠F的度数为（ ）A．120° B．135° C．150° D．不能确定
思路引领：过F作FQ∥AB，过E作EH∥AB，求出AB∥CD∥EH∥FQ，根据平行线的性质求出∠MFN
＝∠1+∠8，∠MEN＝∠3+∠6＝90°，即可求出答案．
解：
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，
∵EM⊥EN，
∴∠MEN＝90°，
∵MF平分∠AME，NF平分∠DNE，
∴∠1＝∠2，∠7＝∠8，
过F作FQ∥AB，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，AB∥CD∥FQ，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠1＝∠MFQ，∠8＝∠NFQ，
∴∠MEN＝∠4+∠5＝∠3+∠6＝90°，∠MFN＝∠1+∠8，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠3，∠7+∠8＝180°﹣∠6，
∴2∠1+2∠8＝180°+180°﹣（∠3+∠6）＝360°﹣90°＝270°，
∴∠1+∠8＝135°，
∴∠MFN＝135°，
故选：B．
总结提升：本题考查了平行线的性质和判定、角平分线定义、垂直定义等知识点，能够求出∠MEN＝∠3+∠6＝90°、∠MFN＝∠1+∠8是解此题的关键．
变式训练
1．（2020春•鲤城区校级月考）（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，
AB∥CD，∠BAE＝25°，∠DCE＝20°，求∠AEC的度数；
（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC＝ °，∠ABC＝ °，求
∠AEC的度数； α β
（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交
∠ADP
PQ于点D，请问 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
|∠ACB−∠ABC|
思路引领：（1）过点E作EM∥AB，则EM∥AB∥CD，根据平行线的性质及角的和差即可求得答案；
（2）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠ABC+∠BAD+∠ADC，又由角
平分线的性质，即可求得答案；
（3）由三角形内角和定理，可得∠ADP+90°＝∠ACB+∠DAC，∠ADP+∠DFO＝∠ABC+∠BEO，再利
用角平分线的性质和三角形的外角的性质可得答案．
解：（1）如图1，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠DCE＝∠CEM，∠BAE＝∠AEM，∵∠BAE＝25°，∠DCE＝20°，
∴∠AEC＝∠CEM+∠AEM＝∠DCE+∠BAE＝25°+20°＝45°；
（2）如图2，延长BC交AD于点F，
∵∠BFD＝∠B+∠BAD，∠BCD＝∠BFD+∠D，
∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD，
1 1
∴∠ECD＝∠ECB= ∠BCD，∠EAD＝∠EAB= ∠BAD，
2 2
∵∠AEC+∠ECB＝∠ABC+∠EAB，
1 1
∴ ∠ AEC ＝ ∠ ABC+∠ EAB﹣ ∠ ECB ＝ ∠ ABC+∠ EAB− ∠ BCD ＝ ∠ ABC+∠ EAB−
2 2
1 1
（∠ABC+∠BAD+∠ADC）= （∠ABC﹣∠ADC）= （ ﹣ ），
2 2
β α
β−α
即∠AEC= ；
2
∠ADP 1
（3） 的值不发生变化，其值为 ，理由如下：
|∠ACB−∠ABC| 2
如图3，记AB与PQ交于E，AD与CB交于F，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，
∵PQ⊥MN，
∴∠DOF＝∠BOE＝90°，
∵∠DOF+∠ADP＝∠DAC+∠ACB①，∠ADP+∠DFO＝∠OEB+∠ABC②，
所以①﹣②得，
90°﹣∠DFO＝∠DAC+∠ACB﹣∠OEB﹣ABC，
∴90°﹣∠DFO+（∠OEB﹣∠DAC）＝∠ACB﹣ABC，
∴∠ADP+∠ADP＝∠ACB﹣ABC，
∴2∠ADP＝∠ACB﹣ABC，
∠ADP 1
∴ = ．
|∠ACB−∠ABC| 2
总结提升：此题为几何变换综合题，考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质、垂
直的性质以及角平分线的定义，熟练掌握、平行线的性质、三角形外角性质及角平分线的性质、等量代
换是解决问题的关键．
类型四 分类讨论思想
典例4 （2021春•伊春期末）如果∠1的两边与∠2的两边互相平行，且∠1＝（3x+20）°，∠2＝（8x﹣
5）°，则∠1的度数为 ．
思路引领：根据：∠1的两边与∠2的两边互相平行得出∠1＝∠2或∠1+∠2＝180°，代入求出x，即可
得出答案．
解：∵∠1的两边与∠2的两边互相平行，
∴∠1＝∠2或∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝（3x+20）°，∠2＝（8x﹣5）°，
∴3x+20＝8x﹣5或3x+20+8x﹣5＝180，
解得：x＝5，或x＝15，
当x＝5时，∠1＝35°，
当x＝15时，∠1＝65°，
故答案为：35°或65°．
总结提升：本题考查了平行线的性质的应用，能知道“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，
那么这两个角相等或互补”是解此题的关键．
变式训练
1．（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD
经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是 ．
思路引领：分两种情况：如果∠AOD是锐角，∠AOD＝∠COA﹣∠COD；如果∠AOD是钝角，∠AOD
＝∠COA+∠COD，由平行线的性质求出∠COA，∠COD，从而求出∠AOD的度数．
解：∵DE∥CF，
∴∠COD＝∠ODE．（两直线平行，内错角相等）
∵∠ODE＝27°，
∴∠COD＝27°．
在图1的情况下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．
在图2的情况下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．
∴∠AOD的度数为45°或99°．
故答案为：45°或99°．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，分析入射光线OD的不同位置是做本题的关键．
2．（2022春•双城市期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD＝7：
11．（1）求∠COE的度数．
（2）若射线OF⊥OE，请在图中画出OF，并求∠COF的度数．
思路引领：（1）根据∠AOC+∠AOD＝180°可得∠AOC和∠AOD的度数，根据对顶角相等可得∠BOD
＝70°，再利用角平分线定义可得∠DOE＝35°，再根据邻补角定义可得∠COE的度数；
（2）分两种情况画图，进而求出∠COF的度数．
解：（1）∠AOC：∠AOD＝7：11，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝70°，∠AOD＝110°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝70°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝35°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝145°；
（2）分两种情况，
如图1，∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝145°﹣90°＝55°，
如图2，∠COF＝∠360°﹣∠COE﹣∠EOF＝125°．
总结提升：此题主要考查了垂线、邻补角、对顶角，关键是掌握对顶角相等，邻补角互补．
第二部分 专题提优训练
1．（2021春•南沙区月考）若∠ 与∠ 的两边分别平行，且∠ ＝（x+10）°，∠ ＝（2x﹣25）°，则∠
的度数为 ． α β α β α
思路引领：根据两角的两边互相平行得出两角相等或互补，得出方程，求出即可．
解：∵∠ 与∠ 的两边分别平行，
∴∠ +∠α＝180β°或∠ ＝∠ ，
∵∠α＝（βx+10）°，∠α ＝（β2x﹣25）°，
α β∴x+10+2x﹣25＝180或x+10＝2x﹣25，
解得：x＝35或65，
∴∠ ＝45°或75°，
故答α案为：45°或75°．
总结提升：本题考查了平行线的性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内
错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
2．（2021•荔湾区期中）如果∠ 的两边与∠ 的两边分别平行，且2∠ ﹣∠ ＝30°，则∠ 的度数为
． α β β α α
思路引领：根据两边分别平行的两个角相等或互补用∠ 表示出∠ ，然后列出方程求解即可．
解：∵∠ 与∠ 的两边分别平行， α β
∴∠ ＝∠α 或∠β ＝180°﹣∠ ，
∴2∠α ﹣∠β ＝30β°或2（180°﹣α ∠ ）﹣∠ ＝30°，
解得∠α ＝3α0°或∠ ＝110°， α α
∴∠ 的α度数是30α°或110°．
故答α案为：30°或110°．
总结提升：本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补．
3．（2020秋•石家庄期中）已知∠AOB＝90°．
（1）如图1所示，若OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝70°，则∠BOC的度数是 ；
（2）如图2所示，若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝60°，求∠EOD的度数；
（3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝ （0°＜ ＜180°），则∠EOD的度数是 ．
α α
1
思路引领：（1）根据题意可得∠EOD= （∠AOB+∠BOC），代入已知角度可求；
2
1 1
（2）根据已知得所求∠EOD＝∠EOC﹣∠COD，而∠COD= ∠BOC，∠EOC= ∠AOC，相减得出所
2 2
求；（3）分析两种可能性，当0°＜ ＜90°时和90°＜ ＜180°时，计算方法同（2）；
1 α α
解：（1）由题知∠EOD= （∠AOB+∠BOC），
2
∴∠BOC＝2∠EOD﹣∠AOB＝2×70°﹣90°＝50°；
1 1 1 1
（2）由题知∠EOD＝∠EOC﹣∠COD= ∠AOC− ∠BOC= （∠AOB+∠BOC）− ∠BOC＝45°；
2 2 2 2
（3）①若OE或OD至少有一个在∠AOB内部时，
1 1 1 1
则∠EOD＝∠EOC﹣∠COD= ∠AOC− ∠BOC= （∠AOB+∠BOC）− ∠BOC＝45°；
2 2 2 2
②若OE和OB都在∠AOB外部时（如右图），
1 1
则∠EOD= （∠AOC+∠BOC）= （360°﹣∠AOB）＝180°﹣45°＝135°，
2 2
综上∠EOD的度数为45°或135°．
总结提升：本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据 的取值范围分情况讨论．
4．如图，CD与BH相交于点G，∠B＝∠BGD，∠CGF+∠BFE＝180°α．求证：∠B＝∠EFH．
（请先完成下面的填空，再继续完成此题的证明．）
证明：∵∠CGF+∠BFE＝180°（已知），
∴CD∥EF（ ）．
思路引领：根据平行线的判定可先证明AB∥CD，CD∥EF，再根据平行线的传递性可证明AB∥EF，可
证明∠B＝∠EFH．
证明：
∵∠B＝∠BGD（已知）∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行），
∵∠DGF＝∠BFE，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFH．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
总结提升：本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角
相等 两直线平行，②内错角相等 两直线平行，③同旁内角互补 两直线平行，④ a∥b，
b∥c⇔a∥c． ⇔ ⇔
5．（20⇒21秋•叙州区期末）如图，已知直线 a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，BE平分
∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度数；
（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，试求∠BED的度数（用含m、n的代数式表示）．
1 1
思路引领：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质证得∠BEF= ∠ABC，∠DEF= ∠ADC，进而
2 2
得出∠BED＝∠BEF+∠DEF＝60°；
1 1
（2）根据平行线的性质证得∠BEF= ∠ABC，∠DEF= ∠ADC，进而得出∠BED＝∠BEF+∠DEF
2 2
1
= (m°+n°)．
2
解：（1）过E作EF∥AB，
∴ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝25°，
∴∠BEF＝25°，
∵a∥b，
∴AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵∠ADC＝70°，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝60°；
（2）∵EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE＝∠CBE= n°，
2
1
∴∠BEF= n°，
2
∵a∥b，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵∠ADC＝m°，DE平分∠ADC，
1
∴∠CDE＝∠DEF= m°，
2
1
∴∠DEF= m°，
2
1
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF= (m°+n°)，
2
1
即∠BED= (m°+n°)．
2
总结提升：本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性
质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行
线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
6．（2022春•乾安县期末）如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，
（1）求∠2和∠4的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳：如果一个角的两边分别平行于另一个角的
两边，那么这两个角 ；
（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的两倍，求这两个角
的大小．
思路引领：（1）由平行线的性质可求得∠2，再求得∠4；
（2）由（1）的结果可得到这两个角相等或互补；
（3）根据（2）的规律可知这两个角互补，利用方程可求得这两个角．
解：
（1）∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1＝115°，
∵EF∥MN，
∴∠4+∠2＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝65°；
（2）由（1）可知如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（3）由（2）可知这两个角互补，设一个角为x°，则另一个角为2x°，
根据题意可得x+2x＝180，
解得x＝60，
∴这两个角分别为60°和120°．
总结提升：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行
同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c a∥c．⇔
7．（2021春•武安市期末）如图⇔1，已知直线CD∥EF，点A⇔、B分别在直线CD与EF上．P为⇒两平行线间一点．
（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝ 110 ° ．
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．
（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP 、BP 分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P 的数量关系，并说明理由．
1 1 1
②如图3，AP 、BP 分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝ ，求∠AP B（用含 的代数式表示）．
2 2 2
思路引领：（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错β角相等可得∠APM＝β∠DAP，再根据平行公
理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝
∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；
②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP B＝∠CAP +∠EBP ，然后根据角平分线的定义和
2 2 2
平角等于180°列式整理即可得解．
（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）
即∠APB＝∠DAP+∠FBP＝40°+70°＝110°．
（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P＝2∠P ；
1
理由：由（2）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P ＝∠DAP +∠FBP ，
1 1 1
∵∠DAP＝2∠DAP ，∠FBP＝2∠FBP ，
1 1
∴∠P＝2∠P ．
1②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP B＝∠CAP +∠EBP ，
2 2 2
∵AP 、BP 分别平分∠CAP、∠EBP，
2 2
1 1
∴∠CAP = ∠CAP，∠EBP = ∠EBP，
2 2 2 2
1 1
∴∠AP B= ∠CAP+ ∠EBP，
2 2 2
1 1
= （180°﹣∠DAP）+ （180°﹣∠FBP），
2 2
1
＝180°− （∠DAP+∠FBP），
2
1
＝180°− ∠APB，
2
1
＝180°− ．
2
β
总结提升：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难
点在于过拐点作平行线．
8．（2022春•荔湾区期末）已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠EAB＝∠C+∠E；
（2）如图2，点F在∠AEC内且在AB、CD之间，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，请猜想∠F与
∠EAB的数量关系并证明；
（3）如图3，点M在AB上，点N在CD上，点E是AB上方一点，点G在AB、CD之间，连接EM、
EN，GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．思路引领：（1）利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解；
（2）利用（1）的结论及角平分线的定义求解；
（3）利用平行线的性质，综合角的和差、角平分线的定义、平角，对顶角求解．
（1）证明：
反向延长AB交CE于点F，过点E作EG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BAE＝∠GEA，∠C＝∠GEF，
∴∠BAE＝∠GEC+∠AEC＝∠E+∠C．
（2）∠EAB＝360°﹣2∠F．
证明：由（1）得∠EAB＝∠ECD+∠AEC，
∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，
∴∠AEC＝2∠CEF，∠ECD＝2∠ECF，
∴∠EAB＝∠ECD+∠AEC
＝2∠CEF+2∠ECF
＝2（∠CEF+∠ECF）
＝2（180°﹣∠F）
＝360°﹣2∠F．
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠AME＝2x，
∵CD∥AB，AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
1 1
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE= ∠CNG＝90°− y，
2 2
∵ET∥AB，AB∥CD，
∴ET∥CD，
1
∴∠TEN＝∠CNE＝90°− y，
2
1
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°− y﹣2x，∠MGN＝x+y，
2
∵2∠MEN+∠MGN＝105°，
1
∴2（90°− y﹣2x）+x+y＝105°，
2
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
总结提升：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，综合角的和差、角平分线的定义、平角，对
顶角是解题的关键．9．（2021春•张家港市月考）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路
两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射
线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，
灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ ．
（2）若灯B射线先转动45秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ
于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系．
思路引领：（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当 0＜t＜90时，根据2t＝1•
（45+t），可得 t＝45；当90＜t＜135时，根据1•（45+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝105；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出
∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
1
∴∠BAN＝180°× =60°，
3
故答案为：60°；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（45+t），
解得 t＝45；
②当90＜t＜135时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（45+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝105，
综上所述，当t＝45秒或105秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行
求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
