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专题3.18 实际问题与一元一次方程（一）（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
【类型一】和、差、倍、分问题
1．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌：“远看巍巍
塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝
塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则这个
塔顶有（ ）盏灯．
A．1 B．2 C．3 D．7
2．解决实际问题“某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一小组26人，第二小
组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一小组的人数调整为第二小组的一半，应从第
一小组调多少人到第二小组？”时，若设应从第一小组调 人到第二小组，依题意可得的
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【类型二】等积变形问题
3．一个长方形的周长为26cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为
一个正方形，设这个长方形的长为x cm，可列方程（ ）．
A． B．
C． D．
4．在一个底面直径为6cm，高为9cm的圆柱形瓶内注水，使水柱的高为5cm，向瓶中
放入一块长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm的长方体铁块，则此时水柱的高为（ ）（
取3）A． cm B． cm C． cm D． cm
【类型三】调配问题
5．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个
口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，根
据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，就会空出5间宿
舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？设
在学校住宿的学生有x人，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【类型四】行程问题
7．沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡
古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，
顺流航行全程需3小时，逆流航行全程需4小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、
洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知
甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，经过t小时两车相距50千米．则t
的值是（ ）
A．2 B．2或2．25 C．2．5 D．2或2．5【类型五】工程问题
9．某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由
甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2
天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时( )
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
二、填空题
【类型一】和、差、倍、分问题
11．甲乙两个仓库，甲仓库存粮16吨，如果从乙仓库中取出 放入甲仓库，则两仓
库存粮的数量相等，两仓库一共存粮________吨．
12．甲处有272人，乙处有196人，要使甲处的人数是乙处人数的3倍，应从乙处调
多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则可列方程__．
【类型二】等积变形问题
13．如图，一个尺寸为 单位： 密封的铁箱中，有3dm高的液体．当此铁
箱竖起来 以 为底面 时，箱中液体的高度是________dm．
14．将一根底面积为 平方厘米，高为 厘米的圆柱形铁块锻压成底面积为
平方厘米的“胖”铁块，此时的高为____________.
【类型三】调配问题
15．某车间有20名工人，生产一种特殊的螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或
螺母16个．如果分配x名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，且每天生产的螺母恰好是
螺栓的2倍．则可列方程为 _____．
16．某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零件15个，
而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好配低，则每天可生产_____套．
【类型四】行程问题
17．在400米的环形跑道上，小明每分钟跑280米，小丽每分钟跑240米，两人同时
同地同向出发， 分钟后小明追上小丽，则 _________．
18．一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一条公路同方向行驶，客车的行驶速度
是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地．A，B两地间的路程是
多少？若设A，B两地相距xkm，可列方程_____．
【类型五】工程问题
19．一件工程，甲独做18天可完，乙独做24天可完．现在两个人合作，但是中途乙
因有事离开几天，从开工后12天两人把这件工程做完，则乙中途离开了_____________天．
20．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时．现在先由甲单独做5小时，
然后乙加入进来合做完成了整个工程．完成整个工程其中乙一共用了多少小时？若设乙一
共用了x小时，则所列的方程为______．
三、解答题
21．一个农民提出如下问题：用一张长 ，宽 的席子围成一个圆筒，摆在地上作
粮囤，席子可以有两种围法：一种用 作高，另一种用 作高（席子缝合时接口处不重
叠），用两种粮囤盛的粮食是否一样多？你能帮他做出正确的判断吗？
22． 为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际象棋社团有学生
64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀
起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是
羽毛球社团人数的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
23．石城县矿山机械设备闻名省内外．在某矿山机械设备车间工人正在紧张地按订单
进度进行生产，若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？
24．有一条围成梯形的篱笆，它的边长如图所示.因为另有他用，计划将它的形状改为
一个正方形或者长是宽的 倍的长方形，如果使围出的篱笆面积较大，应采用哪种围法？
25．如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的
距离为10.动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时
间为t 秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是
______；
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q
同时出发，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
26．[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．
问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块
广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
（1）两人合作需要__________天完成．
（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人
合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师
徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
参考答案
1．C
【分析】设塔顶的灯数为x盏，则根据每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，分别求出
每一层灯的数量，然后求和，根据它们的和是381解答即可．
解：设塔顶的灯数为x盏，则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是x，2x，4x，8x，16x，32x，64x，
所以x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，
127x=381
x=381÷127
x=3
答：这个塔顶的灯数为3盏．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答此题的关键是理解把握每下一层
灯的盏数都是上一层的2倍．
2．A
【分析】根据题意，表示出两组人数，进而列出方程解答即可．
解：设应从第一小组调x人到第二小组，依题意可得的方程为：
2（26−x）＝22＋x．
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，
设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3．D
【分析】根据正方形的边长相等，即可列出等式：长方形的长-1cm=长方形的宽
+2cm，由此列出方程，即可选择．
解：设这个长方形的长为xcm，则它的宽为 cm，
根据题意即可列出方程： ．
故选D．
【点拨】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，找出等量关系，列出等式是解答
本题的关键．
4．D
【分析】利用长方体及圆柱的体积公式列出方程求解即可．
解：设水面将增高 ，由题意可得，
，
解得 ，．
此时水柱的高为 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了体积公式，解题的关键是利用长方体及圆柱的体积公式列出
方程．
5．B
【分析】根据x名工人生产的口罩面的数量是（26-x）名工人生产的耳绳数量的一半
列方程即可；
解：x名工人生产口罩面，则由（26-x）名工人生产耳绳，
∵一个口罩面配两个耳绳，
∴ ，
故选： B．
【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用；找准题目中的等量关系是解题关键．
6．A
【分析】根据宿舍间数一定即可列出方程．
解：根据题意得：
故选：A．
【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，列出方程
是解决本题的关键．
7．A
【分析】设出路程，然后表示出逆水航行速度和顺水航行速度，然后利用静水速度相
同列出方程即可；
解：若设A、B两个码头问的路程为x千米，根据题意得：
，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是表示出顺水、逆水行驶
时候的速度，难度一般．
8．D【分析】有两种情况，第一次还没相遇时相距50千米，第二次相遇后相距50千米，
根据路程=速度×时间，可列方程求解．
解：设经过t小时两车相距50千米，
根据题意得 或 ，
解得 或 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是能够理解有两种情况，
能根据路程=速度×时间列方程．
9．D
【分析】设甲、乙一共用x天完成，根据题意，列出方程，即可求解．
解：设甲、乙一共用x天完成，根据题意得：
．
故选：D
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题
的关键．
10．D
【分析】设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据
总工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可
得出结论．
解：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，
根据题意得： 1，
解得：x＝4．
即完成这项工程共耗时4天．
故选：D
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是
解题的关键．
11．36
【分析】设乙仓库中原来有x吨存粮，根据如果从乙仓库中取出 放入甲仓库，则两
仓库存粮的数量相等，可以列方程，即可解答．解：设乙仓库中原来有x吨存粮，根据题意可得：
解得： ，
∴甲乙两仓库一共存粮：16+20=36(吨)
故答案为：36
【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意假设未知数，根据等量关系
列方程求解是解题的关键．
12．272+x＝3（196﹣x）
【分析】设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为（272+x）人，乙处现有
的工作人数为（196﹣x）人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可．
解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为（272+x）人，乙处现有的工
作人数为（196﹣x）人．
根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：272+x＝3（196﹣x），
故答案为：272+x＝3（196﹣x）．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．
13．45．
【分析】设当此铁箱竖起来 以 为底面 时，箱中液体的高度是 dm，根据等积法
列方程求解即得．
解：设当此铁箱竖起来 以 为底面 时，箱中液体的高度是 dm
由题意得：
解得：
答：当此铁箱竖起来 以 为底面 时，箱中液体的高度是 dm
故答案为：45．
【点拨】本题考查了一元一次方程实际问题，解题关键是熟知前后液体体积不变．
14． 厘米.
【分析】设“胖”铁块的高为x厘米，根据锻造前的体积=锻造后的体积列方程求解即
可.
解：设“胖”铁块的高为x厘米，由题意得
78.5x=28.26×10,解之得
x=3.6.
故答案为 厘米.
【点拨】本题考查了几何图形中一元一次方程的应用，根据“锻造前的体积=锻造后
的体积”得到等量关系是解决本题的关键．
15．
【分析】根据工人总数和螺栓螺母的数量关系列出一元一次方程即可求解．
解：∵分配x名工人生产螺栓，则分配 名工人生产螺母，
∴由题意可列方程为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
16．144
【分析】设应分配 人生产甲种零件，则 人生产乙种零件，才能使每天生产的
这两种零件配套．根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件15个，可列方程求
解．
解：设分配 人生产甲种零件，则应分配 人生产乙种零件，根据题意，得
，
解得 ，
生产乙种零件的人数： ，
每天生产零件的套数： ．
故答案是：144．
【点拨】本题考查的是一元一次方程的应用和理解题意的能力，解决这个问题的关键
是设出生产甲种零件和乙种零件的人数，以配套的比例列方程求解．
17．10
【分析】根据题意，找出等量关系：小明跑的路程-小丽跑的路程=一圈的长度，列出
方程求解即可．解：280t-240t=400，解得：t=10
故答案为：10
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程
求解是解题的关键．
18．
【分析】设A，B两地相距xkm，根据“客车比卡车早1h经过B地”列一元一次方程
即可．
解：设A，B两地相距xkm，
根据题意，得 ﹣ ＝1．
故答案为： ﹣ ＝1．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握知识点并准确理解题意是解题的
关键．
19．4
【分析】把这件工程看作单位“1”，则甲乙的工作效率分别是 和 ，甲12的天工
作量+乙的工作量=总工作量，要求乙的工作时间，设乙中途离开了x天，列方程求解．
解：设乙中途离开了x天，根据题意得：
+ =1，
解得：x=4，
故答案为：4．
【点拨】一元一次方程的应用-简单的工程问题，根据总工作量为“1”得出方程是解题
关键．
20．
【分析】首先根据题意，知甲、乙的工作效率分别是 、 ．再根据先由甲单独做
5小时，然后乙加入进来合做完成工程，来列方程即可．
解：根据题意，得
甲先做了 ，然后甲、乙合做了 ．
则有方程： ．
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是掌握：工作
量 工作效率 工作时间．
21．不一样多.
【分析】分两种情况求出体积比较即可：①若 作高， 为底面周长；②若 作
高， 为底面周长.
解：不一样多，
①若 作高， 为底面周长，则 ， .
②若 作高， 为底面周长，则 ， .
因为 ，所以用两种粮囤盛的粮食不一样多.
【点拨】本题考查了列代数式的应用，分两种情况讨论是解决本题的关键．
22．有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团
【分析】设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据“现在国际象棋社团人
数是羽毛球社团人数的一半”列出一元一次方程，解方程求解即可．
解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据题意得：
2(64-x)=56+x，
解得x=24；
答：有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确利用数量关系列出一元一次方程
是解题的关键．
23．调配36个人加工轴承，54个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配
套．
【分析】设x个人加工轴承，（90-x）个人加工轴杆，列方程求解即可．
解：设x个人加工轴承，（90-x）个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，
根据题意得：12x×2=16（90-x），
去括号得：24x=1440-16x，
移项合并得：40x=1440，
解得：x=36．
90-x=90-36=54．
答：调配36个人加工轴承，54个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配
套．
【点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程
求解．
24．围成正方形
【分析】分别求出正方形和长方形的面积比较即可.
解：当篱笆围成正方形时，正方形的边长为 ，
所以正方形的面积为
.
当篱笆围成长方形时，设长方形的宽为 ，则长为 .
根据题意，得 .
解得 .
所以 .
所以长方形的面积为 .
因为 ，所以，如果使围出的篱笆面积较大，应围成正方形.
【点拨】本题考查了几何图形中一元一次方程的应用，根据“长方形的周长等于48”
得到等量关系是解决本题的关键．
25．(1)-4；1
(2)当点P运动1秒或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B
两点间的距离为10．即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到AB的中点时，它所表
示的数；
（2）根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
（1）
解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离
为10，
∴得B点表示的数为-4；
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为 =1．
故答案为：-4；1；
（2）
解：当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度，
根据题意，得：2t+（10-4t）=8，
解得t=1；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度，
根据题意，得：（4t-10）-2t=8，
解得t=9．
答：当点P运动1秒或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点
的运动情况列方程．
26．[教材改编]（1）2.4；（2）师傅和徒弟各分225元；[拓展]师傅所得报酬为306元，
徒弟所得报酬为144元．
【分析】[教材改编]（1）用总工作量除以两人的工作效率之和，即可求解；（2）两
人合作x天，根据题意，列出方程，即可求解；
[拓展]先分别求出两人完成的工作量，可得两人完成工作量相同部分，再根据工作量
相同部分的报酬，师徒按3：2分配，即可求解．
解：[教材改编]解：（1）两人合作的天数为： 天，
答：两人合作需要2.4天完成；
（2）设两人合作x天，根据题意得：
，
解得： ，∴徒弟完成的工作量为 ，师傅完成的工作量为 ，
∴两人的工作量相同，
∴师傅和徒弟各分一半，即 元，
答：师傅和徒弟各分225元；
[拓展] 解：由（1）得：两人合作的时间为2.4天，
徒弟完成工作量的 ，
师傅完成工作量的 ，
两人完成工作量相同部分为 ，
徒弟所得报酬为 元，
∴师傅所得报酬为 元，
答：师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，明确题意，
准确得到数量关系是解题的关键．
