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专题 7.4 平行线的性质与判定中的常用辅助线
【人教版2024】
【题型1 过拐点作平行线】
1．（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED的
度数．
2．（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，
B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西45°方向．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求∠ACB的度数．
3．（23-24七年级·重庆·阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠A+∠1=180°．
(1)求证：AE∥BD；
(2)若∠E=80°，∠ABD的角平分线BF与∠CDE的角平分线DF交于点F，BF与CD交于点M，
∠1=116°，求∠F的度数．
4．（23-24七年级·全国·期末）探究：如图①，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．下面给
1
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学科网（北京）股份有限公司出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：
解：如图①，过点C作CF∥AB，
∴∠B=∠1（ ）．
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴ （ ），
∴∠E=∠2（ ），
∴∠B＋∠E=∠1＋∠2，
即 ；
应用：如图②，直线l ∥l ，AB⊥l ，垂足为O，BC与l 相交于点E，若∠1=30°，求∠OBE的度数；
1 2 1 2
拓展：如图③，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC=30°，∠≝=45°，则∠CDE= ．
5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接EA、EC．
(1)如图1，若∠A=80°，∠C=50°，求∠AEC的度数；
(2)如图2，若AF平分∠BAE，CF平分∠DCE交AF于点F，直接写出∠AEC和∠AFC之间的数量关系
∠AEC=________；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长AE交DC于点G，在AG上取一点K，连接FK交CD于点H，
CL⊥AF，若∠CEG=50°，∠AFK=∠CHF．求∠GKH．
6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：BE平分∠ABD，∠BED=∠DBE （本题不能直接用三
角形内角和）
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1， 求证：AB∥DE；
(2)如图2， 点K、F分别在BE、BD 的延长线上， 点C在线段DE上， 且满足∠FCD=∠FCK，求
证：∠F+∠ABD+∠FCK=180°；
(3)如图3， 在（2）的条件下，∠F−∠K=15°，且DN平分∠CDF，求 ∠FND的度数．
7．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得
∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，N=45°，则∠N为∠M的6系
补周角．
(1)若∠H=110°，则∠H的4系补周角的度数为______
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE,DE．
①如图1，∠D=70°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
∠ABE ∠CDE
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF= ，∠CDF=
n n
（其中n为常数且n<1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个
点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
8．（24-25七年级·全国·期末）如图，已知AB∥CD，∠B=36°，∠D=108°，点E、F为AB、CD之
间的两点．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，若∠E=90°，求∠F的度数；
(2)如图2，请探索∠F−∠E的度数是否为定值，请说明理由；
(3)如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
9．（23-24七年级·云南曲靖·阶段练习）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接
AE、CE．
【感知】如图1，若∠BAE=40°，∠ECD=50°，则∠AEC= ；
【探究】如图2，猜想∠BAE，∠ECD和∠AEC之间的数量关系，并说明理由：
【应用】如图3，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG，若∠AEC=80°，FH平分
∠DFG，求∠AHF的度数．
10．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：AB∥CD，点E在CD上，点G、F在AB上，点H在
AB、CD之间，连接FE、EH、HG，∠AGH=∠FED，FE⊥HE，垂足为点E．
(1)如图1，求∠EHG的度数；
(2)如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM、EM交于点M，求∠M的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH=23：13，FK与
ME所在直线交于点Q，若射线QP从射线QF的位置开始绕着点Q逆时针以每秒5°的速度进行旋转，射线
QP交直线CD于点P，旋转时间为t秒，当t为何值时，QP第一次与GH平行？并求此时∠FQE的度数．
11．（23-24七年级·全国·期末）直线AB∥CD，P 为直线AB上方一点，连接PA、PD．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求∠APD的度数；
(2)如图1，设∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度数（用含α、β的式子表示）；
∠APC
(3)如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3∠PAN，连接CN，若∠DCN=3∠PCN，求 的值．
∠ANC
12．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，∠ACB=90°，MA∥BN．
(1)①如果∠MAC=30°，求∠CBN的度数；
②设∠MAC=α，∠CBN=β，直接写出α、β之间的数量关系： ；
(2)如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发
生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数；
(3)在（2）的条件下，若∠MAC=40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于
点F，连接EP．已知∠FEP=10°，求∠BPE的度数．
13．（23-24七年级·河南郑州·期中）如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的
度数．
（1）下面是小明同学的解答过程，请你补充完整；
解：过点P作PE∥AB，
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学科网（北京）股份有限公司∵AB∥PE，AB∥CD，
∴PE∥CD．（_________）
∴∠APE+∠PAB=180°，∠CPE+∠PCD=180°
又∵∠PAB=130°，∠PCD=120°（已知），
∴∠APE=_________，∠CPE=_________，
∴∠APC=_________．
【问题迁移】
（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PCD=α，∠APD=β，当点P在B、C两点之
间运动时，问∠PAB与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
【问题应用】
（3）在（2）的条件下，如果点P在C、B两点外侧运动时（点P与点C、B、O三点不重合），请你直接
写出∠PAB与∠α、∠β之间有何数量关系．
14．（2024七年级·河南郑州·专题练习）[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B= ，∠C=
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
所以∠B+∠BAC+∠C=180°
（2）[方法运用]：
如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
（3）[深化拓展]：
已知AB∥CD，点C在D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的
直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，若∠ABC=60°，则∠BED= °
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学科网（北京）股份有限公司②如图4，点B在点A的右侧，若∠ABC=n°，则∠BED= °（用含n的代数式表示）
15．（2024七年级·浙江·专题练习）综合与实践．
活
动
设计一款日常的多功能椅子
主
题
座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提
供舒适的工作和休息．
图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧
面示意中分别对应CE、FG、BF和AD，椅腿AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可
以绕点H转动的连杆HD，靠背与椅腿的夹角∠GFB在转动过程中形状保持不变．此时椅面CE和
靠背FG平行．注：三角形内角和为180°．
素
材
1
图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD与椅腿AD夹角∠HDA变小，使HD与椅面CE贴合，此
时椅面CE与地面AB平行．
素
材
2
座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负
素
担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般
材
在105°~120°，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背
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的要求．
素
通过将靠背GF与椅腿BF的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面CE
材
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学科网（北京）股份有限公司下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背GF和椅面CE的角度，以满足不同的需要．图4是
4 舒适档．椅面倾角α为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠
背GF的延长线与椅面EC的延长线的夹角．
问题解决
任务 根据素材1，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得∠ECB=150°，∠OBA=70°，延长GF，与地
1 面BA的夹角为α，求α
任务 根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点I，探究∠FIB与∠PCE的
2 数量关系
根据素材3，4，回答问题：
从舒适档调整为工作档时，椅腿FB于地面AB的夹角始终为θ
任务
3 ①请用θ表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角∠GFB=
②求从舒适档调整为工作档过程中，靠背GF需要装过多少度？
【题型2 连接两点或延长线段使相交】
16．（24-25七年级·全国·期末）如图，直线l ，l 相交于点O，点A，B在l 上，点 D，E 在l 上，
1 2 1 2
BC∥EF，∠BCA=∠EFD．
(1)求证∶AC∥FD．
(2)若∠1=20°，∠2=15°，求∠EDF的度数．
17．（24-25七年级·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=55°,∠D=40°，则∠BPD= °；
(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外部（CD的下方），则∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为
；
(3)如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系为 ，并证明．
18．（2024七年级·全国·专题练习）已知∠ACB=∠E=90°，∠B=30°，∠D=45°．
(1)如图①，当∠BCD=15°时，请判断AB与CE之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若CE⊥AB，求∠BCD的度数．
19．（23-24七年级·广东肇庆·期中）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，
D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，
若AF∥DE，∠B=∠C+9°，∠D=∠E=105°．
(1)求∠F的度数．
(2)计算∠B−∠CGF的度数是______．
(3)连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD．并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司20．（23-24七年级·浙江宁波·阶段练习）如图1，∠ACB=90°，MA∥BN．
(1)①如果∠MAC=28°，求∠CBN的度数；
②设∠MAC=α，∠CBN=β，直接写出α、β之间的数量关系：________；
(2)如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发
生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数；
(3)在（2）的条件下，若∠MAC=44°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点
F，连接EP．已知∠FEP=15°，求∠BPE的度数．
21．（23-24七年级·江苏南通·期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相
等．例如：在图①、图②中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α．
(1)如图①，若α=90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若90°<α<180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH=β．探索α与β的数量关系，
并说明理由；
(3)如图③，若α=110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=γ(90°<γ<180°)，入射光线EF与镜面AB的
夹角∠1=m(0°
