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第12 章 全等三角形（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定全等 B．腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
2．已知 与 全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四
点共线，如图所示 若 ， ，则下列叙述何者正确？（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使
得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（
）
A．49° B．59° C．41° D．51°
4．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板 ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 点，
两条直角边分别与 交于点F，与 延长线交于点E．则四边形 的面积是（ ）A．4 B．6 C．10 D．16
5．如图，在 的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 ， ， ， 都在格点上，连接 ，
相交于 ，那么 的大小是（ ）
A． B． C． D．
6． ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BA、BC于M、
△
N，再分别以M、N为圆心，以大于 MN为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则图中
与BC相等的线段有（ ）
A．BD B．CD C．BD和AD D．CD和AD
7．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、
△
N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D．
下列说法错误的是（ ）
A． B．若 ，则点D到AB的距离为2C．若 ，则 D．
8．如图，长方形 中，点 为 上一点，连接 ，将长方形 沿着直线 折叠，点
恰好落在 的中点 上，点 为 的中点，点 为线段 上的动点，连接 、 ，若 、
、 ，则 的最小值是( )
A． B． C． D．
9．如图，点 在线段 上， 于 ， 于 ． ，且 ， ，
点 以 的速度沿 向终点 运动，同时点 以 的速度从 开始，在线段 上往
返运动（即沿 运动），当点 到达终点时， ， 同时停止运动．过 ， 分别
作 的垂线，垂足为 ， ．设运动时间为 ，当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时，
的值为（ ）
A．1或3 B．1或
C．1或 或 D．1或 或5
10．如图，在 中， ， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点
， 交 于点 ，若已知 周长为 ， ， ，则 长为（ ）A． B． C． D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ．
12．数学课上，老师出示如下题目：“已知： ．求作： ．”如图是小宇用直
尺和圆规的作法，其中的道理是作出△ ，根据全等三角形的性质，得到
．△ 的依据是 ．
13．如图，已知 ， ， ，直线 与 ， 分别交于点 ， ，且
， ，则 的度数为 ．
14．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形
ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝．
15．如图， 为 的平分线， 为 上一点，且 于点 ， ，
给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤四边形 的面积
是 面积的2倍，其中结论正确的个数有 ．
16．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点
E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 ．
17．如图，在 中， ， ， ，有下列结论：① ；②
；③连接 ， ；④过点 作 交 于点 ，连接 ，则
．其中正确的结论有 ．
18．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且
△都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则 CEF的周长为
． △
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图， ，点E在BC上，且 ， ．
(1) 求证： ；
(2) 判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
20．（8分）如图，在五边形 中， ， ．
(1) 请你添加一个条件，使得 ，并说明理由；
(2) 在(1)的条件下，若 ， ，求 的度数．21．（10分）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边 的
边上，且 ， ， 交于点Q．求证： ．同学们利用有关知识完成了解答后，
老师又提出了下列问题：
(1) 若将题中“ ”与“ ”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案
并说明理由．
(2) 若将题中的点M，N分别移动到 的延长线上，是否仍能得到 ？请你画出图形，
给出答案并说明理由．22．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边三角形ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶
点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，证明 ≌ ；
（2） 会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）P、Q运动几秒时， 是直角三角形？
（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。
23．（10分）如图，在Rt AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB为一边作等边 ABE，作OA的
△ △垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．
（1）连接BD，OE．求证：BD＝OE；
（2）连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
24．（12分）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．
（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明
你的猜想．
（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你
的猜想．参考答案
1．D
【分析】根据全等图形的判定和性质对各个选项进行判断即可．
解：两个等边三角形边长不一定相等，所以不一定全等，A错误；
腰对应相等的两个等腰三角形对应角不一定相等，所以不一定全等，B错误；
形状相同的两个三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，C错误；
全等三角形的面积一定相等，所以D正确，
故选D．
【点拨】本题考查了全等图形的判定和性质，对应角相等、对应边相等的两个图形确定，全等形的周
长和面积相等．
2．B
【分析】由 与 全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得 ， ，
，可得 ； ， 可得 ，由大角对大边可得 ；
利用 ，可得 ，即 ，由上可得正确选项．解： ≌ ，
， ， ，
，
．
， ，
．
．
，
，即 ．
．
， ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．
3．C
【分析】由△ABE≌△BCD（SAS），可求出∠BAE＝∠CBD＝21°，△ABC是等腰三角形，BF是底边
AC的高，可以求出∠DBF＝90°﹣（∠CBD＋∠C）.
解：在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，
∴∠CBD＝21°，
∴∠BDF＝∠CBD＋∠C＝21°＋28°＝49°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°
故选：C.
【点拨】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，
解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向.4．D
【分析】由四边形 为正方形可以得到 ， ，又 ，而
由此可以推出 ， ，进一步得到 ，所以根
据 可以证明 ，所以 ，那么 ，据此求解即可．
解： 四边形 为正方形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
∴ ，
即： ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的面积等知识点，熟悉相关知识是解题的
关键．
5．C
【分析】取格点 ，连接 ，先证明 ，得出
，再证明 得出 ，最后证明 是等腰直角三角形，得
出 ，从而得出 即可．
解：取格点 ，连接 ，
由已知条件可知： ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
即 ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，
所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键．
6．C
【分析】由基本作图得到BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠CBP=36°，则利用等腰三角形的性质得
∠C=∠ABC=72°，再利用三角形内角和定理计算出∠A=36°，于是得到AD=BD，然后计算出∠BDC=72°，从而
得到∠BDC=∠C，所以BD=BC.
解：由画法得BP平分∠ABC，则∠ABP＝∠CBP＝ ，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠A＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即BC＝BD＝AD．
故选C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已
知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形
的判定与性质.7．D
【分析】根据角平分线的性质定理即可一一判断；
解：如图作DE⊥AB于E．
由作图可知，DA平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB，故A正确，
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，故B正确，
若∠B=30°，则∠CAB=60°，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=60°，
∴∠CDA=∠CAB，故C正确，
无法判断BD=2CD，故D错误，
故选D．
【点拨】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
8．D
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，可得 所以当 、 、
三点共线时， 的值最小．
解：取 的中点 ，连接 、 ，
四边形 是长方形， 是 的中点，
四边形 是长方形，
；由折叠可知： ，
是 的中点， 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
,
当 、 、 三点共线时， 的值最小，最小值为：
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解决问题
的关键是作辅助线，利用两边之和大于第三边解决问题．
9．C
【分析】分三种情况讨论，①当点P在AC上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点
C返回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．
解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝6−3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝3t−6，
∴t＝ ，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴2t−5＝18−3t，
∴t＝
综上所述：t的值为1或或 或
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
10．B
【分析】证明 得出 ，证明 得出 ，进而即
可求解．
解：如图，在 上截取 ，连接
平分 ， 平分 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
周长为 ，
，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
11．6
【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.
解：把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.
【点拨】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.
12．SSS
【分析】根据SSS证明三角形全等即可解答．
解：在 和△ 中，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，读懂图形信息得到证明三角形全等
的条件是解题的关键．
13．【分析】根据SSS得到 ，进而得到 ， ，再结合对顶角相等，可
得 ，最后再利用角的和差即可求解．
解：∵ ， ， ，
，
， ，
与 是对顶角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10°．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，对顶角的性质、角的和差计算等内容，识别出 与
这一组对顶角，得到 的度数是解题的关键．
14．2
【分析】延长BD到E，使DE=BD，连接AE，证明△ADE≌△CDB（SAS），可得AE=CB，∠EAD=∠BCD，
再根据△ABM和△BCN是等腰直角三角形，证明△MBN≌△BAE，可得MN=BE，进而可得BD与MN的数量
关系即可求解．
解：如图，延长BD到E，使DE=BD，连接AE，
∵点D是AC的中点，∴AD=CD，
在△ADE和△CDB中， ，∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，
∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，
∴BN=AE，
又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，
∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，
在△MBN和△BAE中，
，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，
∵BE=2BD，∴MN=2BD．
又MN=4，∴BD=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握全等三角形
的判定与性质．
15．3
【分析】过点 作 ，垂足为点 ．证明 、 ，最后利用全等
三角形的性质即可解答．
解：过点 作 ，垂足为点 ．
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
故①错误，
在△PAK和△PCD中，
，
∴△PAK≌△PCD（ASA），
∴AK＝CD，PA＝PC，
故②正确，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故④正确．
故答案为3．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线、
构造全等三角形是解题的关键．
16．
【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得 ，由对应边、对应角相等可得
出 ，进而可求出 ，则 ．
解：作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵ ，∴
∵ ，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题
的关键．
17．①②③
【分析】①根据 证明 ；②由 ，得到角相等，从而推出 ；③
连接 ，过点D作 ，过点D作 ，根据角平分线的性质，即可判断；④无法证明
，从而无法证明 ．
解：∵在 与 中，
，
∴故①正确；
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故②正确；
如图，连接 ，过点D作 ，过点D作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ 是 的角平分线
∵
∴
∴
故③正确；
如图，过点 作 交 于点 ，连接 ，若
∵
则
∵
则
若 ，
则
∵
∴
∵
∴
则
∴
∴
故④错误．
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是能够根据题目条件，进
行推论，能够作出辅助线连接 ，过点D作 ，过点D作 ．
18．4
【分析】根据题意过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得
MJ=FN，连接PJ，进而利用全等三角形的性质证明EF=EM+EN，即可得出结论．
解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连
接PJ．∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2EM＝2PM，∵S ABC＝ •BC•AC＝ （AC+BC+AB）•PM，
△
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问．
19．(1)见解析；(2) ，理由见解析
【分析】（1）运用SSS证明即可；
（2）由（1）得 ，根据内错角相等，两直线平行可得结论．
解：（1）在 和 中，
，
∴ (SSS)；
（2）AC和BD的位置关系是 ，理由如下：
∵
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关
键．
20．(1)见解析；(2) ．
【分析】（1） 或 ．根据 或 ，证明 即可求解；
（2）根据 得出 ，继而根据三角形内角和定理得出
，根据 即可求解．
解：（1）证明：添加： 或 ．∵在 和 中，
∴ 或 ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是
解题的关键．
21．(1)仍是真命题，证明见解析；(2)仍能得到 ，作图和证明见解析
【分析】（1）由角边角得出 和 全等，对应边相等即可．
（2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出 和 全等，对应角相等，即可得出
．
解：（1）∵
∴
∵∴
在 和 中有
∴
∴
故结论仍为真命题．
（2）∵BM=CN
∴CM=AN
∵AB=AC， ，
在 和 中有
∴
∴
∴
故仍能得到 ，如图所示
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角
形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题
目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三
角形全等的思路．22．（1）见解析；（2）∠CMQ=60°，不变；（3）当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形；
（4）∠CMQ=120°，不变．
【分析】（1）利用SAS可证全等；
（2）先证△ABQ≌△CAP，得出∠BAQ=∠ACP，通过角度转化，可得出∠CMQ=60°；
（3）存在2种情况，一种是∠PQB=90°，另一种是∠BPQ=90°，分别根据直角三角形边直角的关系可
求得t的值；
（4）先证△PBC≌△ACQ，从而得出∠BPC=∠MQC，然后利用角度转化可得出∠CMQ=120°．
解：（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由题中“点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.”可知：
AP=BQ
∴ ≌ ；
（2）∠CMQ=60°不变
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（3）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t= ；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BQ，得t=2（4-t），t= ；
∴当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形；
（4）∠CMQ=120°不变，
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△ACQ(SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°．
【点拨】本题考查动点问题中三角形的全等，解题关键是找出图形中的全等三角形，利用全等三角形
的性质进行角度转化，得出需要的结论．
23．(1)见解析;(2)见解析.
【分析】（1）连接OD，易证 ADO为等边三角形，再证 ABD≌△AEO即可．
（2）作EH⊥AB于H，先证 A△BO≌△AEH，得AO＝EH，再△证 AFD≌△HFE即可．
解：证明：（1）连接OD，如△图1， △
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠EAB＝60°，
∵DA⊥BA，
∴∠DAB＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠DAO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OAE＝∠DAB，
∵MN垂直平分OA，
∴OD＝DA，
∴△AOD是等边三角形，
∴DA＝OA，
∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD＝OE；
（2）证明：如图2，作EH⊥AB于H，
∴∠EHA＝∠DAF＝90°，
∵AE＝BE，
∴2AH＝AB，
∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，
∴2OB＝AB，
∴AH＝BO，∴Rt AEH≌Rt BAO（HL），
∴EH△＝AO＝A△D，
∵∠EHF＝∠DAF＝90°，∠EFH＝∠DFA，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF＝DF，
∴F为DE的中点．
【点拨】本题主要考查的是等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握
全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF；
（2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角
形的性质、结合图形证明结论；
（3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答．
解：（1）证明：在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：AE+CF＝EF，
理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，
在△BAE与△BCK中，
，
∴△BAE≌△BCK（SAS），∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°，
在△KBF与△EBF中，
，
∴△KBF≌△EBF（SAS），
∴KF＝EF，
∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；
（3）解：AE﹣CF＝EF，
理由如下：延长DC至G，使CG＝AE，
由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，
∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，
∴∠GBF＝∠EBF，
∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，
∴△GBF≌△EBF，
∴EF＝GF，
∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性
质定理是解题的关键．
