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第 18 章 平行四边形 章节复习卷（15 个知识点+50
题练习）
知识点
知识点1．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
知识点2．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于
斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条
边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
知识点3．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝ BC．
知识点4．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
知识点5．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边
行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边
行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行
ABCD是平行四边形．
知识点6．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平
行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考
虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边
形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的
定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行
四边形的性质和判定去解决问题．
知识点7．菱形的性质
（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
知识点8．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
知识点9．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改
变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线
相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，
首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因
而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不
只是正方形．
知识点10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2条对称轴，分别是每组对边中点连
线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半．
知识点11．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四
边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
知识点12．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四
边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行
四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等
有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝
∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
知识点13．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图
形，有四条对称轴．
知识点14．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
知识点15．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
练习卷
一．平行线之间的距离（共3小题）
1．（2023春•思明区校级期中）如图，一把带有 角的三角尺放在两条平行线间，已知
量得平行线间的距离为 ，三角尺最短边和平行线成 角，则三角尺斜边的长度为
A． B． C． D．
2．（2021春•环江县期中）如图，直线 ， 和 的夹角 ， ．
求 和 之间的距离．3．（2023春•宜都市期末）在同一平面内，已知直线 ，若直线 和 之间的距
离为5，直线 和 之间的距离为2，则直线 和 之间的距离为 ．
二．直角三角形斜边上的中线（共3小题）
4．（2022•新华区校级期末）如图，一架梯子 斜靠在竖直墙上，点 为梯子 的中
点，当梯子底端向左水平滑动到 位置时，滑动过程中 的变化规律是
A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大
5．（2024•泉州模拟）在 中， ， ，点 为 的中点，则 的
长为 ．
6．（2023春•麻章区期末）在 中， ， 是 的中点．
求证： ．
三．三角形中位线定理（共3小题）
7．（2023春•相城区校级月考）如图， 中， ， 分别是 ， 的中点， 是
延长线上的一点，且 ，若 ， ，则 的长为 ．8．（2024•榆阳区校级一模）如图，在 中， ， 是 边上的高，垂
足为 ，点 在边 上，连接 ， 为 的中点，连接 ，若 ，则 的长
为
A．3 B．6 C．5 D．4
9．（2023春•桥西区期末）【三角形中位线定理】
已知：在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点．直接写出 和 的关系；
【应用】
如图，在四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，若 ， ，
， ，求 的度数；
【拓展】
如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，点 ， 分别为 ， 的中点，
分别交 ， 于点 ， ， ．
求证： ．
四．平行四边形的性质（共4小题）
10．（2023春•如东县月考）已知平行四边形 的周长为56， ，则A．4 B．12 C．27 D．283
11．（2023春•海淀区校级月考）如图， 的对角线 、 交于点 ，
的周长为30，直线 过点 ，且与 ， 分别交于点 ． ，若 ，则四边形
的周长是
A．30 B．25 C．20 D．15
12．（2024•青山湖区模拟）在 中， ， ， ，点 为平行四
边形 边上的动点，且满足 是直角三角形，则 的长度是 ．
13．（2023春•长顺县期末）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ，
．
（1）求证： ；
（2）若点 、 分别为线段 、 的中点，连接 ， ， ，求 的长
及四边形 的面积．
五．平行四边形的判定（共4小题）
14．（2023春•播州区期中）在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，下列条件
不能判定这个四边形是平行四边形的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
15．（2023春•大同期末）如图，点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ，在第
三象限内有一点 使四边形 为平行四边形，那么点 的坐标是 ．16．（2023春•商城县期末）在四边形 中， ，再从下列四个条件中：①
；② ；③ ；④ 任选一个，能使四边形 为平行
四边形的条件的序号是 ．
17．（2023春•竞秀区期末）如图，四边形 的对角线 ， 交于点 ，已知 是
的中点， ， ．
（1）求证： ．
（2）求证：四边形 是平行四边形．
六．平行四边形的判定与性质（共4小题）
18．（2023春•越秀区校级月考）四边形 的两条对角线相交于点 ， ，且
， ，则四边形 的面积为 ．
19．（2023•贵阳模拟）如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使 ，则
等于A． B． C． D．
20．（2024•和平区模拟）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直
角三角形围成，即 ，其中四边形 是正方形，
四边形 是正方形，如图2，将图1中的线段 和线段 分别延长到点 和点 ，
使 ， ，连接 ， ， ， ，得到四边形 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
21．（2023春•泉港区期中）在 中， ， 是斜边 上的一点，作
，垂足为 ，延长 到 ，连结 ，使 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）连接 ，若 平分 ， ， ，求四边形 的面积．
七．菱形的性质（共3小题）
22．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系中，四边形 是菱形．若点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
23．（2024•正阳县一模）在菱形 中，对角线 与 交于点 ，则
的值可以是
A． B． C． D．
24．（2023春•番禺区期末）如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作
，且
，连接 交 于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若菱形 的边长为4， ，求 ．
八．菱形的判定（共4小题）
25．（2023春•岳阳县期末）小惠自编一题：“如图，在四边形 中，对角线 ，
交于点 ， ， ．求证：四边形 是菱形，并将自己的证明过程
与同学小洁交流．
小惠：证明： ， ，小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一
个条件才能证明．
垂 直 平 分 ， ，
， 四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内的 中打“ ”；若赞成小洁的说法，请你
补充一个条件，并证明．（1）你补充的条件是：
（2）证明：
26．（2023春•儋州期末）如果一个四边的对角线互相平分、互相垂直，则这个四边形
是
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．无法判定
27．（2023春•绥江县期中）在平面直角坐标系中，已知 、 ，点 在第一象
限，且 ，若存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则点
的坐标为 ．
28．（2023•南海区校级模拟）如图，在 中， ，过点 的直线
， 为 边上一点，过点 作 ，交直线 于 ，垂足为 ，连接
、 ．
（1）求证： ；
（2）当 在 中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由．
九．菱形的判定与性质（共3小题）
29．（2023春•顺义区校级期中）下列关于菱形的描述不正确的是
A．菱形是特殊的四边形
B．菱形是特殊的平行四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
30．（2023春•湘桥区期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线
， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
31．（2023春•海淀区期末）如图，在 中， ，点 ， ， 分别为 ，
， 的中点．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
一十．矩形的性质（共3小题）
32．（2023春•香河县校级期中）矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩
形的较短边长为
A．12 B．10 C．7.5 D．5
33．（2024•遂平县一模）在矩形 中， ， ，点 在 边上，
若点 是矩形 边上一点，且 是以 为底边的等腰三角形，则 的长是
．
34．（2023•本溪开学）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经
知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中
是长方形， 是 延长线上一点， 是 上一点，并且 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ，长方形 面积为4，请直接写出 的周长．一十一．矩形的判定（共3小题）
35．（2023•于洪区期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边
形是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是
A．测量四边形的三个角是否为直角
B．测量四边形的两组对边是否相等
C．测量四边形的对角线是否互相平分
D．测量四边形的其中一组邻边是否相等
36．（2023春•廊坊期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，
在平面直角坐标系中找一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形，则 的
长为 ，点 的坐标为 ．
37．（2022•朝阳区校级期末）如图，在 中， ，点 、 分别是线段 、
的中点，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）求证：四边形 为矩形．
一十二．矩形的判定与性质（共3小题）
38．（2023春•仓山区校级期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和
上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线 ， 就可以判断，其
推理依据是A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
39．（2023春•开福区校级期末）如图，在 中， ， ， ，
为 上任意一点， 于 ， 于 ，则 的最小值是 ．
40．（2023春•盱眙县期中）在矩形 中， ， ， 、 是对角线 上
的两个动点，分别从 、 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为
秒，其中 ．
（1）若 ， 分别是 ， 中点，则四边形 一定是怎样的四边形 、 相遇
时除外）？
答： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形 为矩形，求 的值；
（3）在（1）条件下，若 向 点运动， 向 点运动，且与点 ， 以相同的速度同
时出发，若四边形 为菱形，求 的值．
一十三．正方形的性质（共4小题）
41．（2023•茂南区校级期末）若正方形的对角线是6，则此正方形的面积是 ．
42．（2024•江夏区校级模拟）如图，在正方形 中， 是 的中点， 是 上一
点， ．有下列结论：① ；②射线 是 的角平分线；③；④ ．其中正确结论的为
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④
43．（2023春•临邑县期末）如图，正方形 边长为4，点 在边 上（点 与
点 、 不重合），过点 作 ，垂足为 ， 与边 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的面积为 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，取 ， 的中点 ， ，连接 ，求 的长．
44．（2023春•夏津县期末）问题背景：如图，在正方形 中，边长为4．点 ，
是边 ， 上两点，且 ，连接 ， ， 与 相交于点 ．
（1）探索发现：探索线段 与 的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点 ， 分别是 与 的中点，计算 的长；
（3）拓展提高：延长 至 ，连接 ，若 ，请直接写出线段 的长．一十四．正方形的判定（共3小题）
45．（2022•青羊区期末）下列说法中，正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
46．（2023春•正阳县期末）已知矩形 ，请添加一个条件： ，使得矩形
成为正方形．
47．（2023•南海区期中）综合与实践
通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们可以认识到矩形、菱形都是特殊的平行四
边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质，联系前面学过的三角
形知识，我们会发现矩形和菱形中能得到很多特殊的三角形，因此在解决矩形、菱形问
题时经常会用到特殊三角形的知识．请你运用所学的知识解答下面的题目．
如图所示，在 中， ， 、 两点分别为 、 两边的中点，过
点 作 的平行线，与 的延长线相交于点 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）当 满足什么条件时，四边形 是正方形？请说明理由．
一十五．正方形的判定与性质（共3小题）
48．（2023春•岱岳区期末）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四
个条件：
① ；
② ；
③ ；
④ 中选两个作为补充条件，使平行四边形 为正方形．现有下列四种选法你认为错误的是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
49．（2023春•启东市期末）如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，
测得对角线 ，将正方形学具变形为菱形（如图 ，且 ，则图2中
对角线 的长为 ．
50．（2023春•柘城县期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，
过点 作 ，交射线 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）如图1，求证：矩形 是正方形；
（2）若 ， ，求 的长度；
（3）当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数．
