八下数学全册教学设计_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_2026春季新版-持续更新中_第三套-东方_02.人教数学8下教案汇总26春

教学 备课 第十九章 二次根式 设计 素材 ． 二次根式及其性质 １ ３ １９１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 二次根式的概念 １ ３ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 二次根式的性质 ４ ６ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 二次根式的乘法与除法 ７ ９ １９２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 二次根式的乘法 ７ ９ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 二次根式的除法 １０ １２ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 最简二次根式 １３ １５ ３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 二次根式的加法与减法 １６ １８ １９３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 二次根式的加法与减法 １６ １８ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 二次根式的混合运算 １９ ２１ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 教学 备课 第二十章 勾股定理 设计 素材 ． 勾股定理及其应用 ２３ ２５ ２０１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 验证勾股定理 ２３ ２５ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 勾股定理的应用 ２７ ２９ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 利用勾股定理作图、计算 ３１ ３３ ３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 勾股定理的逆定理及其应用 ３５ ３７ ２０２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 勾股定理的逆定理 ３５ ３７ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 ３８ ４０ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 教学 备课 第二十一章 四边形 设计 素材 ． 四边形及多边形 ４１ ４４ ２１１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 四边形及其内角和 ４１ ４４ ２１１１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 多边形及其内角和 ４５ ４８ ２１１２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 平行四边形 ４９ ５２ ２１２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 平行四边形及其性质 ４９ ５２ ２１２１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 平行四边形的性质 ４９ ５２ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 平行四边形的性质的运用 ５３ ５６ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 平行四边形的判定 ５７ ５９ ２１２２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 平行四边形的判定 ５７ ５９ １ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 平行四边形的判定 ６０ ６２ ２ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 三角形的中位线 ６３ ６５ ２１２３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 特殊的平行四边形 ６６ ６９ ２１３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 矩形 ６６ ６９ ２１３１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 矩形的性质 ６６ ６９ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 矩形的判定 ７０ ７２ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 菱形 ７３ ７６ ２１３２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 菱形的性质 ７３ ７６ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 菱形的判定 ７８ ８１ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 正方形 ８２ ８５ ２１３３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 正方形的性质 ８２ ８５ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 正方形的判定 ８７ ８９ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺教学 备课 第二十二章 函数 设计 素材 ． 函数的概念 ９０ ９２ ２２１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 常量和变量 ９０ ９２ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 函数 ９３ ９５ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 用函数解析式表示函数关系 ９６ ９８ ３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 函数的表示 ９９ １０２ ２２２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 函数的图象 ９９ １０２ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 利用函数图象解决实际问题 １０４ １０６ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 函数的三种表示方法 １０８ １１１ ３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 教学 备课 第二十三章 一次函数 设计 素材 ． 一次函数的概念 １１３ １１５ ２３１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 一次函数的图象和性质 １１６ １１９ ２３２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 正比例函数的图象和性质 １１６ １１９ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 一次函数的图象和性质 １２０ １２３ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 用待定系数法求一次函数的解析式 １２５ １２８ ３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 一次函数与方程 组 不等式 １３０ １３３ ２３３ ( )、 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 一次函数与一元一次方程、不等式 １３０ １３３ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 一次函数与二元一次方程(组) １３５ １３８ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 实际问题与一次函数 １３９ １４１ ２３４ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 建立一次函数模型 １３９ １４１ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 选择方案 １４３ １４５ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 设计方案 １４６ １４８ ３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 综合与实践 音乐与数学 １５０ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 教学 备课 第二十四章 数据的分析 设计 素材 ． 数据的集中趋势 １５４ １５７ ２４１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 平均数 １５４ １５７ ２４１１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 平均数 １５４ １５７ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 计算分组数据的平均数或百分数 １５８ １６０ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 用样本的平均数估计总体的平均数 １６１ １６３ ３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ．． 中位数和众数 １６４ １６６ ２４１２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 中位数和众数 １６４ １６６ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 用平均数、中位数和众数刻画数据的集中趋势 １６７ １７０ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 数据的离散程度 １７１ １７４ ２４２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 离差平方和、方差 １７１ １７４ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第 课时 利用数据的集中趋势和离散程度做决策 １７５ １７７ ２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 数据的四分位数 １７８ １８０ ２４３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ． 数据的分组 １８２ １８５ ２４４ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 综合与实践 学生体质健康调查与分析 １８６ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺第十九章 二次根式 １９．１ 二次根式及其性质 第 课时 二次根式的概念 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 二次根式的概念 授课人 １９１ １ ．理解二次根式的概念 会判断一个式子是否为二次根式 感悟利用数学符号表示实际问题的意义． １ , , ．理解二次根式有无意义的条件 领会数学分类讨论思想． 素养目标 ２ , ．会求二次根式的被开方数中字母的取值范围 在解题过程中利用不等式 组 模型来培养全面思考问题的 ３ , ( ) 正确习惯． 教学重点 二次根式的识别 理解二次根式有意义的条件． , 教学难点 会求二次根式中字母的取值范围． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:复习回 【知识回顾】 【教学建议】 顾,旧知启发 学生代表独立回 ． 的平方根是 ,算术平方根是 ． １１６ ±４ ４ 答,教师提示并总结, 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ． 的平方根是 ,算术平方根是 ． 引出二次根式的有关 ２０ ０ ０ 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生回􀪋忆􀪋已􀪋 ． 有没有平方根? 有没有算术平方根? 知识． 学的内容,为突 ３ －２ 破本课时的难点 答: 没有平方根,也没有算术平方根． －２ 做准备． 活动二:问题引 探究点１ 二次根式的概念 【教学建议】 入,自主探究 阅读教材 例 上方的部分 回答下列问题 学生思考,并完 P２ １ , : 成相应的问题．老师应 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 h １ ．教材 P２ 上方的思考中三个问题的答案依次为 ６５, a２ ＋１, ． 了解学生是否掌握上 􀪋这􀪋里􀪋是􀪋利􀪋用开􀪋方􀪋 ５ ．上述三个式子有什么共同特征 述问题的结果中式子 开不尽的式子引 ２ ? 答 它们表示一些正数的算术平方根． 的特点． 出二次根式的概 : ．什么样的式子叫作二次根式 二次根式是代数式吗 念．通过第 点,并 ３ ? ? ２ 答 形如aa 的式子叫作二次根式．二次根式是代数式． 【教学建议】 结合复习回顾要 : (≥０) 学生独立思考并 引导学生说出只 ４ ．想一想 : 如果a ＜０, 那么a是否为二次根式 ? 完成,教师总结二次 有正数和 才有 答 : 不是． ０ 【对应训练】 根式应满足两个条 算术平方根,负数 件: 形 式 上 带 有 没有算术平方根． １ ．判断下列各式是否为二次根式． ① “ ”; 被开方数 通过第 ,点,要 ② ３４ (１) ３２(√ ) (２) －２(✕ ) 是非负数(正数或 ), 使学生理解二次 m ２ ０ (３)６(✕ ) (４) ( －３)(√ ) 即a ．第 题是二 根式的概念． ≥０ ２ １ xyxy异号 次根式的应用,目的 (５) (√ ) (６) (, )(✕ ) ５ 是感知二次根式的产 (７) a２ ＋１(√ ) (８) ３ ５(✕ ) 生是实际的需要,注 (９) ２ －３ (√ ) 意开方应满足的条件． ．教材 练习第 题． ２ P３ １ １教学步骤 师生活动 设计意图 探究点２ 二次根式有意义的条件 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生关􀪋注􀪋求􀪋 阅读教材 例 及 上方的思考 回答下列问题 二次根式有意义 P２ １ P３ , : 【教学建议】 ．确定式子 x 中字母x的取值范围的依据是什么 解题步骤是什么 的条件的依据和 １ －２ ? ? 学生独立思考, 解题步骤． 答 : 依据 : 二次根式的概念． 解决问题,教师统一 解题步骤 由x 得x ．当x 时 x 在实数范围内有意义． 答案,教师关注如下 : －２≥０, ≥２ ≥２ , －２ 问题: ．(教材 练习第 题)当a满足什么条件时 下列各式在实数范围内有意义 ２ P３ ２ , ? ()学生对例 中 １ １ a a a２ ． 不等式得出的依据是 (１) －１; (２) ５－ ; (３) ２ ＋１ 解 a a a为任意实数． 否清楚． :(１)≥１;(２)≤５;(３) ()确定二次根 ．若 x３ 在实数范围内有意义 则x ． ２ ３ － , ≤０ 式中被开方数所含字 【对应训练】 母的取值范围的一般 １ ．当x满足什么条件时 , 下列各式在实数范围内有意义 ? 步骤是: 根据 a中 ① (１) x －３; (２) －３ x ; (３) ４ x２ ; a ≥０ 的条件列不等 式; 解不等式; 确 ② ③ １ １ x３． 定字母的取值范围． (４) x２; (５) x; (６) ()指导学生分析 解 x x 全体实数 ３ :(１)≥３;(２)≤０;(３) ; 使 x２ 与 x３ 在实数 (４) x ≠０;(５) x ＞０;(６) x ≥０ ． 范围内有意义的条件． ．求二次根式中字母的取值范围时 其基本依据是什么 ２ , ? 答 被开方数大于等于零 分母中有字母时 要保证分母不为零． :① ;② , 活动三:重点突 例 (１) 若二次根式 x －２＋ ５－ x有意义 , 则x的取值范围是 ２≤ x ≤５ ． 【教学建议】 破,提升探究 若二次根式 x x有意义 则x的值为 ． 学生在独立思考 (２) －５＋ ５－ , ５ {x , 的基础上讨论解答．教 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 解析:()因为二次根式 x x有意义,所以 －２≥０ １ －２＋ ５－ x , 师适时引导学生观察 ５－ ≥０ 􀪋巩􀪋固􀪋对􀪋二􀪋次根􀪋式􀪋 所以 x ． 例题中两个二次根式 有意义的条件的 ２≤ ≤５ {x , 的关系,特别提醒学 认知． ()因为二次根式 x x有意义,所以 －５≥０所以x ． ２ －５＋ ５－ x ． ＝５ 生注意第()小题,可 ５－ ≥０ ２ 【对应训练】 以发现两个二次根式 已知xy为实数 且y x x 求 xy的算术平方根． 的被开方数互为相反 , , ＝ －９－ ９－ ＋４, 数,则这两个二次根 解 因为xy为实数y x x : , ,＝ －９－ ９－ ＋４, 所以 {x －９≥０,所以x ．所以y ． 式的值都等于 ０ ． x ． ＝９ ＝４ ９－ ≥０ 所以 xy 所以 xy的算术平方根为 ． ＝ ９×４＝６, ６ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 本节课你学到了哪一类新的式子 二次根式有意义的条件是什么 二次根式与算术平方根有什么关系 ? ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P５ １９１ １,５,６,７ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ２教学步骤 师生活动 ． 二次根式及其性质 １９１ 板书设计 第 课时 二次根式的概念 １ 二次根式 一般地 我们把形如aa 的式子叫作二次根式． : , (≥０) 本节课属于概念数学 概念数学经历 引入概念 形成概念 深化概念 三个环节．本节课通过平 , “ ——— ——— ” 方根的知识引入二次根式的概念 在解决用式子表示数量关系的过程中利用类比归纳的方法形成概念 再 , , 不断地通过实例分析深化概念． 教学反思 本节课的重难点是对二次根式概念的理解 学生容易片面地理解概念 所以要将二次根式和前后的知 , , 识点联系起来 形成知识网络． , 在教学过程中 教师要及时提出问题 让学生充分讨论 横向比较 然后一起总结二次根式概念当中的 , , , , 注意点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 二次根式的概念 二次根式的概念是从式子的结构和形式上界定的 必须含有 如 是二次根式 而３ 就不是二次根式 被 (１) , “ ”, ４ , ２ ;(２) 开方数a可以是数也可以是整式或分式 但a的值必须是非负数 形如abb 的式子也是二次根式 二次根号前面 , ;(３) (≥０) , 的因式若是带分数 书写时要写成假分数的形式 如５ 不可写成 ２ 的形式． , , ７ １ ７ ３ ３ 例１ 下列式子 m２ ２ ２ －２ a２ ２ a ．其中 哪些是二次根式 哪 : ３－π,－ ＋１, －３ , (－３), ３ , －( ＋１),||＋１ , ? 些不是二次根式 ? 解: m２ ２ －２ a 是二次根式 ２ a２ ２ 不是二次根式． － ＋１, (－３), ３ ,||＋１ ; ３－π, －３ , －( ＋１) 解题大招二 求二次根式中字母的取值范围 单个二次根式 如 A 有意义的条件 A 多个二次根式相加 如 A B 有意义的条件 A 且B (１) ( ) : ≥０;(２) ( ＋ ) : ≥０ ≥０; ( A ) ( A) 二次根式作为分式的 分母 如 时 有意义的条件B 二次根式与分式的和或积 如 A １或 有意义 (３) “ ” B , : ＞０;(４) ＋B B 的条件 A 且B 零指数幂 负整数指数幂的底数不等于零 根据实际问题得到的二次根式除了本身的限制条 : ≥０ ≠０;(５) 、 ;(６) 件外 还要考虑其实际意义． , 例２ 当x取何值时 x １ 在实数范围内有意义 , ２ ＋３＋x ? ＋１ {x 解:依题意 得 ２ ＋３≥０,所以x ３且x ． , x ≥－ ≠－１ ＋１≠０, ２ 所以当x ３且x 时 x １ 在实数范围内有意义． ≥－ ≠－１ , ２ ＋３＋x ２ ＋１ 注意:()在求二次根式的被开方数中字母的取值范围时,常将其转化为解不等式(组)的问题; １ ()在求与二次根式有关的字母的取值范围时,应把限制条件考虑全面． ２ 培优点 二次根式有意义的条件的应用 例１ 使式子 x ２ 在实数范围内有意义的未知数x有 个 (１) －(－５) １ ; m２ m２ 设mn都是实数 且满足n －４＋ ４－ ＋２ 求 mn的值． (２) , , ＝ m , －２ 解: 解析:由题意可得 (x ) ２ ,所以(x ) ２ ．又(x ) ２ ,所以(x ) ２ ,所以x ． (１) － －５ ≥０ －５ ≤０ －５ ≥０ －５ ＝０ ＝５ 故使式子 (x ) ２ 在实数范围内有意义的未知数x有 个．故答案为 ． － －５ １ １ {m２ －４≥０, (２) 由题意 , 得 ４－ m２ ≥０, 所以m ＝－２, 则n ＝－ １ , 所以 mn ＝１ ． m ． ２ －２≠０ 例２ 已知a满足 a a a 求a的值． |４－ |＋ －５＝ , 解:由a 得a 所以 a 所以 a a ． －５≥０, ≥５, ４－ ＜０, |４－ |＝ －４ 因为 a a a 所以a a a 所以 a ．所以a 所以a ． |４－ |＋ －５＝ , －４＋ －５＝ , －５＝４ －５＝１６, ＝２１第 课时 二次根式的性质 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 二次根式的性质 授课人 １９１ ２ 经历二次根式的三条性质 a a a ２ aa a２ aa 的探究概括过程 学会类比 １􀆰 : ≥０(≥０);( )＝ (≥０); ＝ (≥０) , 素养目标 的数学观念 掌握二次根式的基本运用． , 利用二次根式的性质进行计算和化简 培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯． ２􀆰 , 教学重点 二次根式的性质的理解及运用． 教学难点 会运用二次根式的性质进行化简． 教学活动 教学步骤 师生活动 【回顾导入】 【教学建议】 活动一:知识回 我们知道a中a ,那么a有没有可能小于 ? 它还有哪些性质? 今天我们 让学生讨论,带 顾,导入新课 ≥０ ０ 来学习下． 着疑问进入新课． 探究点１ a a 【教学建议】 活动二:问题引 ≥０(≥０) 入,自主探究 １ ．当a ≥０ 时 , a表示什么含义 ? 其数值有什么特点 ? 教师引导学生分 情况讨论,中间要点 答 当a 时 a表示a的算术平方根 因此a 当a 时 a表示 的算术 : ＞０ , , ＞０; ＝０ , ０ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 平方根 因此a ．所以当a 时 a 即当a是非负数时 a也是非负数． 出“因为 a表示a的 , ＝０ ≥０ , ≥０, , 算术平方根,而负数 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生探􀪋究􀪋二􀪋 归纳总结:二次根式具有双重非负性,即a ０(a ０)． ≥ ≥ 没有算术平方根,所 次根式的双重非 ．我们还学过哪些非负数 ２ ? 负性． 答 一个数的绝对值 一个数的偶次幂． 以 a不可能小于 ” : ; ０ 来回答活动一的问 【对应训练】 题,然后总结出二次 ．已知实数mn满足 m n 则m n ． １ , | ＋３|＋ －１＝０, ＝ －３ ,＝ １ 根式的双重非负性． ．已知x ２ y 则xy的值为 １ ． ２ (－２)＋ ＋１＝０, ２ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ a ２ aa 【教学建议】 ( )＝ (≥０) 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生根􀪋据􀪋实􀪋 ．根据算术平方根的意义填空 对于问题 ,教师 １ : ２ 例归纳出(a) ２ ( ) 可利用算术平方根的 ２ a(a )． (３) ２ ＝ ３ ;( ０ ． ５) ２ ＝ ０ ． ５ ; １ ＝ １ ;(０) ２ ＝ ０ ． 意义进行分析,总结 ＝ ≥０ ３ ３ 解析: 是 的算术平方根,根据算术平方根的意义, 是一个平方等于 的 出(a) ２ a(a )． ３ ３ ３ ３ ＝ ≥０ 非负数．因此,( ) ２ ． 指定学生代表解答问 ３ ＝３ 题 ,教师讲解时可指 同理, ．, １, 分别是 ．,１, 的算术平方根．因此,( ．) ２ ．, 出整 ３ 式的运算性质在 ０５ ０ ０５ ０ ０５ ＝０５ ３ ３ ( ) 实数范围内都适用． １ ２ １,( ) ２ ． ＝ ０ ＝０ ３ ３ ．观察上述等式 如果a 那么 a ２ 等于多少 ２ , ≥０, ( ) ? 答 一般地 a ２＝aa ０． : ,( ) (≥ ) ．解答教材 例 ．第 小题利用了ab２ a２b２ 这个性质 ３ P４ ２( (２) ( )＝ ) ４教学步骤 师生活动 【对应训练】 ．教材 练习第 题． １ P４ １ ．计算 ２ : ( ) ２ ． ２ ３ ． (１)(－ ０５); (２) ５ 解 原式 ２ ． ２ ． ． :(１) ＝(－１)×( ０５)＝１×０５＝０５; 原式 (３) ２ ３． ( 这里利用了 (a) ２ a２ 这个性质 ) (２) ＝ ２ ＝ b ＝b２ ５ ２５ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点３ a２ a 【教学建议】 ＝|| 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生发􀪋现􀪋总􀪋 ．填空 学生口答问题 １ : １ 结出 a２ a ． ( ) 和问题 ,指定学生代 ＝|| ２ ．２ ． ２ ２ ２ ２ ． ２ (１)２ ＝ ２ ; ０１ ＝ ０１ ; ＝ ;０ ＝ ０ 表解答问题 ,引导学 ３ ３ ３ 当a 时 a２ a 当a 时 a２ ． 生参照探究点 的过 (２) ＞０ , ＝ ; ＝０ , ＝ ０ ２ 归纳总结:一般地,a２＝a(a ０)． 程,借助算术平方根 ≥ ．填空 的意义进行归纳总结． ２ : 学生共同讨论问题 , ( ) ２ ３ (１) (－２) ２ ＝ ２ ; (－０ ． １) ２ ＝ ０ ． １ ; － ２ ＝ ２ ． 指定学生代表回答,教 ３ ３ 当a 时 a２ a ． 师总结出 a２ a． (２) ＜０ , ＝ － ＝|| ．解答教材 例 ． ３ P４ ３ ．如果a是任意实数 那么如何化简 a２ ４ , ? ì ï ï a ( a ＞０), 答 a２ a í a : ＝||＝ïï ０(＝０), î aa ． － (＜０) 【对应训练】 教材 练习第 题． P４ ２ 活动三:重点突 例 计算 :２５－ (－３) ２ ＋(５－ ５) ２． 【教学建议】 破,提升探究 解 : 原式 ＝５－３＋(５－ ５)＝７－ ５ ． 指定学生代表回 【对应训练】 答．对应训练问题 中 １ 提醒学生不要遗漏 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １ ．若 x２ ＝－ x成立 , 则x满足的条件为 (B ) x 的情况．问 题 􀪋巩􀪋固􀪋对􀪋二次􀪋根􀪋式􀪋 ＝０ ２ A􀆰 x ≥０ B􀆰 x ≤０ C􀆰 x ＞０ D􀆰 x ＜０ 中要引导学生对n从 的性质的理解． ．已知 n是整数 则正整数n的最小值是 ． 开始讨论．问题 中 ２ ２ , ２ １ ３ ３ ．计算 :(２３) ２ ＋ (３－π) ２ －( π－３) ２． 教师可总结:当a ＜０ 解 原式 ． 时,a２ ( a) ２． : ＝１２＋π－３－(π－３)＝１２ ＝ － 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”练习相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 今天学习了二次根式的哪些性质 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 ５教学步骤 师生活动 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P５ １９１ ２,３,４,８,９,１０ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 二次根式及其性质 １９１ 第 课时 二次根式的性质 ２ 二次根式的性质 : 板书设计 a a (１) ≥０(≥０); a ２ aa (２)( )＝ (≥０); a２ a ． (３) ＝|| 本课时是二次根式的性质 教学时需结合具体的实例 通过观察 分析 类比等方法来引导学生进行总 教学反思 , , 、 、 结．要多让学生之间进行讨论 找出认识的误区 也可以培养他们合作交流的意识． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 二次根式非负性的应用 几个非负数的和为零 那么每个加数都必为零． , 例１ 已知实数abc满足 c a b２ b 则a b c２０２５ ． ,, |６－|＋ －２＋ －６ ＋９＝０, (＋ － ) ＝ －１ 解析:因为 c a b２ b , |６－|＋ －２＋ －６ ＋９＝０ 所以 c a (b ) ２ ． |６－|＋ －２＋ －３ ＝０ ì ï c , ì ïa , ï６－ ＝０ ï ＝２ 所以ía ,所以íb , ïï －２＝０ ïï ＝３ îb , îc ． －３＝０ ＝６ 所以(a b c) ２０２５ ( ) ２０２５ ( ) ２０２５ ． ＋ － ＝ ２＋３－６ ＝ －１ ＝－１ 故答案为 ． －１ 注意:在利用非负性解题时,有时要对所给的式子进行代数恒等变形,如用到完全平方公式:a２ ab b２ (a b) ２． ±２ ＋ ＝ ± 解题大招二 二次根式性质的逆运用 由 a ２ aa 可得a a ２a ． ( )＝ (≥０) ＝( )(≥０) 例２ 在实数范围内分解因式x４ ． : －９ 解:x４ x２ x２ －９＝( ＋３)( －３) x２ x x ． ＝( ＋３)(＋ ３)(－ ３) 培优点 利用“ a２ ”的性质化简 例 实数ab在数轴上的位置如图所示 化简 , , : a b ２ a b２ ． | ＋１|－ (－１)＋ (－ )＝ ２ 解析:由实数a,b在数轴上的对应点的位置可得 a , b , －１＜ ＜０１＜ ＜２ 所以a ,b ,a b , ＋１＞０ －１＞０ － ＜０ 所以a a ,b b ,a b (a b)b a． | ＋１|＝ ＋１| －１|＝ －１| － |＝－ － ＝ － 所以a (b ) ２ (a b) ２ a b a b a (b ) (b a)a b b a ． | ＋１|－ －１ ＋ － ＝| ＋１|－|－１|＋| －|＝ ＋１－ －１＋ － ＝ ＋１－ ＋１＋ － ＝２ 故答案为 ． ２１９．２ 二次根式的乘法与除法 第 课时 二次根式的乘法 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 二次根式的乘法 授课人 １９２ １ ．理解和掌握二次根式的乘法法则 a b aba b ．经历法则的探究过程 体会合情推理与演 １ : 􀅰 ＝ (≥０,≥０) , 绎推理相互补充的辩证关系． 素养目标 ２ ．理解和掌握积的算术平方根的性质 : ab ＝ a 􀅰 b ( a ≥０, b ≥０) ．体会二次根式的乘法法则与积的算术 平方根的性质之间的互逆关系． ．利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简 提高学生的运算能力 初步要求计 ３ , , 算结果达到求简意识． 教学重点 会利用积的算术平方根的性质化简 会进行二次根式的乘法运算． , 教学难点 二次根式的乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 【教学建议】 活动一:创设情 如图,元元家有一块长方形菜地,长为 ,宽为 ,你能求出菜地的面 让学 生 相 互 讨 境,导入新课 ２１m ６m 积吗? 论,教师说明学完本 课时就可以解决这个 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 问题,调动积极性． 􀪋利􀪋用􀪋实􀪋际问􀪋题􀪋引􀪋 入新课． 探究点１ 二次根式的乘法法则 【教学建议】 活动二:问题引 入,自主探究 １ ．计算下列各式 , 观察计算结果 , 你能发现什么规律 ? 学生口答问题 １ 的填空,指定学生代 (１)４× ９＝ ６ , ４×９＝ ６ ; 表回答规律,教师补充 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (２) １６× ２５＝ ２０ , １６×２５＝ ２０ ; 完整．学生讨论问题 , 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生观􀪋察􀪋总􀪋 ． ２ (３) ３６× ４９＝ ４２ , ３６×４９＝ ４２ 教师板书总结,并提 结出二次根式的 答 规律 被开方数都是正数 左边的两个二次根式的乘积等于右边的 乘法法则． 一个二次 : 根式 :(１ 且 ) 左边的两个二次根 ; 式 (２ 的 ) 被开方数的乘积等于右边的一个二次根 醒 a 􀅰 b ＝ ab , (a ,b )可以推 式的被开方数． ≥０ ≥０ 广到多个二次根式的 ．你能用字母表示你发现的规律吗 ２ ? 情况,如 a􀅰b􀅰c 答 二次根式的乘法法则 a b aba ０b ０． : : 􀅰 ＝ (≥ ,≥ ) 即二次根式相乘 , 把被开方数相乘 , 根指数不变． ＝ abc(a ≥０ ,b ≥０ , ３ ．(教材 P６ 例 １ )利用你发现的规律计算 : c ≥０ )．提醒学生二次 根式的乘法可以类比 (１)３× ５; (２) １ × ２７; (３) ２ × ５． 单项式的乘法,如果有 ３ ５ ８ 系数,就将系数与系数 解 :(１)３× ５＝ ３×５＝ １５; 相乘,二次根式与二次 (２) １ × ２７＝ １ ×２７＝ ９＝３; 根式相乘． ３ ３ ２ ５ ２ ５ １ １． (３) × ＝ × ＝ ＝ ５ ８ ５ ８ ４ ２ ７教学步骤 师生活动 【对应训练】 ．下列各等式中成立的是 １ (D ) A􀆰４５×２５＝８５ B􀆰５３×４２＝２０５ C􀆰４３×３２＝７５ D􀆰５３×４２＝２０６ ．计算 １ ． ２ : × ２× ６＝ ２ ３ ．教材 练习第 题． ３ P７ １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 积的算术平方根的性质 【教学建议】 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生逆􀪋向􀪋思􀪋 把a b aba b 反过来 就得到 ab a􀅰b(a ０,b ０) 指定学生代表回 考,发现积的算 􀅰 ＝ (≥０,≥０) , ＝ ≥ ≥ 利用它可以进行二次根式的化简． 答,说明 ab a􀅰 术平方根的性质． , １ a． , b的取值有什么特点 ? 积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在 b(a ≥０ ,b ≥ ＝ ０ )可以 用法上有什么区别和联系 推广为右边是多个二 ? 答ab都是非负数．积的算术平方根的性质是二次根式的乘法法则的逆用 次根式的情况,例如 :, , 可以用来化简二次根式． abc a􀅰b􀅰c ．(教材 例 )化简 ＝ ２ P７ ２ : (a ,b ,c )． ≥０ ≥０ ≥０ a２b３． (１) １６×８１; (２) ４ 解 :(１) １６×８１＝ １６× ８１＝４×９＝３６; a２b３ a２ b３ a b２ b a b２ b abb． (２) ４ ＝ ４􀅰 􀅰 ＝２􀅰 􀅰 􀅰 ＝２ 􀅰 ＝２ 【对应训练】 教材 练习第 题． P７ ２ 例１ 解答教材 例 ． 【教学建议】 活动三:重点突 P７ ３ 例２ 解答活动一中的问题． 提醒学生:()在 破,提升探究 １ 解 ２ ２ ． 二次根式相乘的时候 :２１× ６＝ ２１×６＝ ７×３×３×２＝ ３×１４＝ ３ × １４＝３ １４ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 故菜地的面积为 ３ １４m ２． 就可以考虑因数(式) 【对应训练】 分解,如由 直 􀪋巩􀪋固􀪋对􀪋二次􀪋根􀪋式􀪋 １４×７ 的乘法法则和积 １ ．化简 (－２) ２ ×８×３ 的结果是 (D ) 接可得 ７ ２ ×２ ,而不 必先写成 ;()化 的算术平方根的 A􀆰２ ２４ B􀆰－２ ２４ C􀆰－４６ D􀆰４６ ９８ ２ 性质的理解． ２ ．计算 : 简二次根式 ab时, 先找出ab中最大的 ２ ． xy２ xy． (１) ３０× ２ × ０４; (２) ２ 􀅰 ８ 能开得尽方的因数 ３ (式),再按公式化简; 解 ２ ． ８ ． ８ ． :(１) ３０× ２ × ０４＝ ３０× × ０４＝ ３０× ×０４＝ ()能开得尽方的一 ３ ３ ３ ３ ２ 定要开出来;()有带 ８×４＝ ４×２＝４２; ４ xy２ xy xy２ xy x２y３ x２ y３ xyy． 分数的先化为假分数． (２) ２ 􀅰 ８ ＝ ２ 􀅰８ ＝ １６ ＝ １６􀅰 􀅰 ＝４ ．教材 练习第 题． ３ P７ ３ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 二次根式的乘法法则是什么 其逆向公式怎么表示 二次根式的乘法运算与化简要注意什么 ? ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１１~１２ １９２ １,５,６,１２,１３ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ８教学步骤 师生活动 ． 二次根式的乘法与除法 １９２ 第 课时 二次根式的乘法 板书设计 １ ．二次根式的乘法法则 a b aba b ． １ : 􀅰 ＝ (≥０,≥０) ．积的算术平方根的性质 ab a ba b ． ２ : ＝ 􀅰 (≥０,≥０) 本节课的内容环环相扣 层层递进 最后要综合运用 前面理解不透就很可能导致后面无法下手 所以 教学反思 , , , , 要特别注意帮助学生夯实基础．教学中可以多引导学生自己发现总结 互相讨论 以便让他们理解更深刻． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 化简二次根式 对被开方数进行因数或因式分解 (１) ; 分解后把能开得尽方的开出来． (２) 例１ 化简二次根式１ x３ 的结果是 x － (D ) x x x x A􀆰 － B􀆰 C􀆰－ D􀆰－ － { x３ , 解析:根据题意,知 － ≥０所以x ,所以原式 １ x２ 􀅰(x) １􀅰(x) x x．故选 ． x , ＜０ ＝x － ＝x － － ＝－ － D ≠０ 注意:在利用积的算术平方根的性质化简时,一定不能忽视被开方数均为非负数的条件,不能犯这样的错误: ( ) ( ) ． －４× －９ ＝ －４× －９ 解题大招二 根据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质确定字母的取值范围 例２ 等式 x x x x 成立的条件是 ４－ 􀅰 ＋５＝ (４－ )(＋５) (C ) x x x x 或x A􀆰 ≥４ B􀆰 ≥－５ C􀆰－５≤ ≤４ D􀆰 ≥－５ ≤４ { x , 解析:由题意,得 ４－ ≥０所以 x ．故选 ． x , －５≤ ≤４ C ＋５≥０ 培优点 二次根式乘法法则的灵活运用 例１ 设xy是有理数 且xy满足等式x y y 则 x y的平方根是 , , , ＋２ － ２ ＝１７＋４２, ＋ (A ) A􀆰±１ B􀆰±２ C􀆰±３ D􀆰±４ {x y , {x , 解析:因为x,y为有理数,所以x y为有理数．又x y y ,所以 ＋２ ＝１７ 解得 ＝２５ ＋２ ＋２ － ２ ＝１７＋４２ y , y , － ２ ＝４２ ＝－４ 所以 x y ．因为 的平方根是 ,所以 x y的平方根是 ．故选 ． ＋ ＝５－４＝１ １ ±１ ＋ ±１ A 例２ 已知m为正整数 若 m是整数 则根据 m m m可知m有最小值 ． , １８９ , １８９ ＝ ３×３×３×７ ＝３ ３×７ ３×７＝２１ 设n为正整数 若 ３００是大于 的整数 则n的最小值为 最大值为 ． , n １ , ３ , ７５ 解析:因为 ３００ ３×１００ ３,且为整数,所以n的最小值为 ． n ＝ n ＝１０ n ３ 因为 ３００是大于 的整数,所以 ３００越小,３００越小,则n越大． n １ n n 当 ３００ 时,３００ ,所以n ． n ＝２ n ＝４ ＝７５ 经检验,n 是原方程的解．故n的最大值为 ． ＝７５ ７５ 故答案为 , ． ３７５第 课时 二次根式的除法 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 二次根式的除法 授课人 １９２ ２ a a ．理解并掌握二次根式的除法法则 a b ．会用类比的数学思想方法来探究除法法则． １ : b＝ b(≥０,＞０) a a ．理解并掌握商的算术平方根的性质 a b ．体会二次根式的除法法则与商的算术平方 素养目标 ２ : b＝b (≥０,＞０) 根的性质之间的互逆关系． ．利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行计算和化简 培养学生良好的运算习惯 提高运 ３ , , 算能力和推理能力． 教学重点 会利用商的算术平方根的性质化简 会进行二次根式的除法运算． , 教学难点 二次根式的除法与商的算术平方根的性质的关系及应用． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 【教学建议】 活动一:创设情 广播电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波就传播得越 让学 生 拓 展 知 境,导入新课 远,从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．那么 识,共同讨论,教师说 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 广播电视塔高h(单位: )与广播电视节目信号的传播半 明学完本课时就可以 km 􀪋利􀪋用􀪋实􀪋际问􀪋题􀪋引􀪋 径r(单位: )之间存在近似关系r Rh,其中R是地 解决这个问题,调动 km ＝ ２ 入新课． 球半径,R ．如果两个广播电视塔的高分别是h ,h ,那么它们的 积极性． ≈６４００km １km ２km Rh 传播半径之比是 ２ １．你能将这个式子化简吗? Rh ２ ２ 化简这个式子需要学习二次根式的除法,下面我们一起来看看． 探究点１ 二次根式的除法法则 活动二:问题引 【教学建议】 ．计算下列各式 观察计算结果 你能发现什么规律 入,自主探究 １ , , ? ()学生口答问题 １ ４ ２ ４ ２ １６ ４ １６ ４ 的填空,指定学生代 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (１) ９ ＝ ３ , ９ ＝ ３ ;(２) ２５ ＝ ５ , ２５ ＝ ５ ; １ 表回答规律,教师补充 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生观􀪋察􀪋总􀪋 ３６ ６ ３６ ６ ． 完整． (３) ＝ , ＝ 结出二次根式的 ４９ ７ ４９ ７ ()学生讨论问题 除法法则． 答 : 规律 :(１) 被开方数都是正数 ;(２) 左边的两个二次根式的商等于右边的一 ,教师 ２ 板书总结,提醒 个二次根式 且左边的两个二次根式的被开方数的商等于右边的一个二次根式的 ２ , 学生这里b ,因为 被开方数． ＞０ b 时分母为 ,没有 ．你能用字母表示你发现的规律吗 ＝０ ０ ２ ? 意义． a a 答 二次根式的除法法则 a ０b ０． ()指定学生代表 : :b＝ b(≥ ,＞ ) ３ 回答问题 ,提醒学生 即二次根式相除 把被开方数相除 根指数不变． ３ , , 计算二次根式的除法 ．(教材 例 )计算 ３ P８ ４ : 应注意: 结果中应不 ① ２４ ３ １． 含能开得尽方的因数 (１) ; (２) ÷ ３ ２ １８ １０教学步骤 师生活动 或因式; 如果有系 解 ２４ ２４ ② :(１) ＝ ＝ ８＝ ４×２＝２２; 数,就将系数与系数 ３ ３ 相除,二次根式与二 (２) ３ ÷ １ ＝ ３ ÷ １ ＝ ３ ×１８＝ ３×９＝３３ ． 次根式相除,两者的 ２ １８ ２ １８ ２ 【对应训练】 积作为商． ．教材 练习第 题 １ P９ １ ． ．计算 ４ １． ２ : １ ÷ ５ １０ 解 ４ １ ９ １ ９ １ ９ ． : １ ÷ ＝ ÷ ＝ ÷ ＝ ×１０＝ ９×２＝３２ ５ １０ ５ １０ ５ １０ ５ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 商的算术平方根的性质 【教学建议】 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生逆􀪋向􀪋思􀪋 指定学生代表回 a a 考,发现商的算 １ ．把 b＝ b( a ≥０, b ＞０) 反过来 , 可以得到什么 ? 答,提醒学生:()化 １ 术平方根的性质． 简和计算的结果中应 a a 答 : 商的算术平方根的性质 : b＝b( a ≥ ０ , b ＞ ０ ), 利用它可以进行二次根 不含能开得尽方的因 数或因式,分母中也 式的化简． 应不含根号; ．(教材 例 )化简 ２ P８ ５ : ()可先将分子 y３ ２ ３ ． 与分母中公共的因数 (１) ; (２) x２ １００ 或因式约去,再转化 解 ３ ３ ３ 为二次根式的商的形 :(１) ＝ ＝ ; １００ １００ １０ 式进行化简; y３ y３ y２ y yy 􀅰 ． ()根号下是带 (２) x２＝ x２ ＝ x ＝ x ３ 分数的应先化为假分 【对应训练】 数再化简． 教材 练习第 题． P９ ２ 例１ 解答教材 例 ． 【教学建议】 活动三:重点突 P９ ６ 例２ 计算 ()指定学生代 破,提升探究 : １ 表回答,提醒学生在 ３ ２ １． (１) ４５÷３３× ; (２) ２７× ２ ÷ 进行二次根式的乘除 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ５ ３ ２ 混合运算时要遵循从 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生对􀪋二􀪋次􀪋 解 ３ １ ４５ ３ １ ４５ ３ １ １ :(１) ４５÷３３× ＝ × ＝ × ＝ ９＝ ×３ 左到右的顺序,可先 ５ ３ ３ ５ ３ ３ ５ ３ ３ 根式的除法法则 观察式子特点再决定 ＝１; 和商的算术平方 计算之前是否化简． 根的性质的理解． (２) ２７× ２ ２ ÷ １ ＝ ２７× ８ ÷ １ ＝ ２７× ８ ÷ １ ＝ ()如果有带分 ３ ２ ３ ２ ３ ２ ２ 数,就先将带分数化为 ８ ２ ２ ． ２７× ３ ×２＝ ９×１６＝ ３×４ ＝３×４＝１２ 假分数,再进行计算． 【对应训练】 ．教材 练习第 题． １ P９ ３ ．计算 １ ． ２ : ÷(－ １２)×３ ２４ ２ 解 １ １ １ : ÷(－ １２)×３ ２４＝－ ÷１２×３ ２４＝－ ×３ ２４＝ ２ ２ ２４ １ ． －３ ×２４＝－３ ２４ １１教学步骤 师生活动 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 二次根式的除法法则是什么 其逆向公式怎么表示 在二次根式的运算中 你认为应该注意哪些问题 ? ? , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１１~１２ １９２ ２,３,７,１０,１１ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 二次根式的乘法与除法 １９２ 第 课时 二次根式的除法 ２ a a 板书设计 ．二次根式的除法法则 a b ． １ : b＝ b(≥０,＞０) a a ．商的算术平方根的性质 a b ． ２ : b＝b (≥０,＞０) 活动二中的两个探究点的学习应注意引导学生用与乘法相类似的方法去学习 在运算化简过程中 灵 , , 教学反思 活运用积与商的算术平方根的性质 注意最终结果中分母不能含有根式 以规范做题． , , 在教学中感受到学生对分母有理化的运用不够灵活 应在今后的复习中强化巩固． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 a a 解题大招一 商的算术平方根的性质“ a b ”的应用 b＝b (≥０,＞０) y y 例１ 若 ＋２ ＋２ 且x y 则x的取值范围是 x ＝ x , ＋ ＝５, (D ) ２ －１ ２ －１ x １ １ x １ x １ x A􀆰 ＞ B􀆰 ≤ ＜５ C􀆰 ≤ ＜７ D􀆰 ＜ ≤７ ２ ２ ２ ２ y y 解析:因为 ＋２ ＋２, x ＝ x ２ －１ ２ －１ 所以 y ,x , ＋２≥０２ －１＞０ 所以 y ,x １． ≥－２ ＞ ２ 因为x y ,所以 y x,则 x ,解得x ． ＋ ＝５ ＝５－ ５－ ≥－２ ≤７ 故x的取值范围是１ x ．故选 ＜ ≤７ D􀆰 ２ 解题大招二 培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面二维码下载获取． &第 课时 最简二次根式 ３ 教学目标 课题 ． 第 课时 最简二次根式 授课人 １９２ ３ ．理解最简二次根式的概念 利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 感知数学转化思想的应用． 素养目标 １ , , ．能够判断一个二次根式是否为最简二次根式． ２ 教学重点 最简二次根式的概念 最简二次根式的识别及运用． , 教学难点 运用二次根式的性质把二次根式化成最简二次根式． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:复习回 【知识回顾】 【教学建议】 顾,旧知启发 ．请分别写出二次根式的乘法法则和除法法则． １ 教师带领学生回 二次根式的乘法法则:a􀅰b ab(a ,b ); 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ＝ ≥０ ≥０ 顾二次根式的乘除法 􀪋通􀪋过􀪋对􀪋给出􀪋的􀪋二􀪋 二次根式的除法法则: a a (a ,b )． 法则,引导学生分析 b＝ b ≥０ ＞０ 次根式进行分析 对比给出的二次根式 ．在前面的课时中,我们进行了二次根式的乘法、除法运算,得到的结果有 对比,发现它们 ２ 的分母,根号内的因 所具备的特点, , ,３, yy , ３０,观察这些式子中的二次根式,可以发现,它们都具备相 数(式),为最简二次 方便引入最简二 ２２３３ １０ x ３ 根式的引入做好铺垫． 次根式的概念． 同的特点,本课时我们将对这一类二次根式进行探究学习． 活动二:问题引 探究点１ 最简二次根式及其识别 入,自主探究 ．活动一第 点中 列举的二次根式具有什么特点 １ ２ , ? 答 观察发现 这些二次根式有如下两个特点 被开方数不含分母 被开方 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : , :① ;② 数中不含能开得尽平方的因数或因式． 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生发􀪋现􀪋总􀪋 概念引入:我们把满足上述两个条件的二次根式,叫作最简二次根式． 结最简二次根式 ．判断下列二次根式是否为最简二次根式 并说明理由． ２ , 【教学建议】 的特点． 可先 让 学 生 讨 ３ x a２b m２ (１) １２; (２) ; (３) ３０ ; (４) ; (５) ＋１; ２ 论,再指定学生代表 y m４ m２． 回答,教师进行总结． (６) x３; (７) ＋９ 提醒学生根号下是小 解 是最简二次根式 不是最简二次根式．理由 的 :(３)(５) ,(１)(２)(４)(６)(７) :(１) 数时,先化成分数． 被开方数中含有因数 的被开方数中含有因式a２ 的被开方数中含有 ４,(４) ,(２)(６) 分母 的被开方数经过因式分解后含有因式m２． ,(７) 【对应训练】 下列各式是最简二次根式的是 (C ) ． １ A􀆰 ０３ B􀆰 C􀆰 １５ D􀆰 １８ ９ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋２􀪋􀪋把􀪋二􀪋次􀪋根􀪋式􀪋􀪋化􀪋成􀪋最􀪋简􀪋二􀪋次􀪋根􀪋􀪋式􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋【教􀪋学􀪋􀪋建􀪋议􀪋】 􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋应􀪋用􀪋积􀪋的算􀪋术􀪋平􀪋 根据最简二次根 ．观察 ３和 １ 怎么去掉被开方数中的分母 方根的性质与商 １ , ? 式的概念,教师引导 ２ １８ 的算术平方根的 答 综合利用分数的基本性质 商的算术平方根的性质．例如 学生总结把二次根式 : 、 : 性质,把二次根 化成最简二次根式的 ３ ３×２ ６ ６ １ １×２ ２ ２．这里令分子 分母 式化成最简二次 ２ ＝ ２×２ ＝ ２ ２ ＝ ２ , １８ ＝ １８×２ ＝ ３６ ＝ ６ ( 、 步骤: ① 将被开方数 根式． 乘同一个数 使得分母变成完全平方数 化为最简分式或整式; , ) １３教学步骤 师生活动 利用分式的性质将 ．(教材 例 )计算 ② ２ P９ ７ : 分母化成完全平方数 ３ ３２ ８ ． (式); 开方． (１) ; (２) ; (３) a ③ ５ ２７ ２ 解 解法 ３ ３ ３×５ １５ １５ １５．这里先用二次根 :(１) １: ５ ＝ ５ ＝ ５×５ ＝ ５ ２＝ ５ ２ ＝ ５ ( 式的除法法则 再用 中方法 , １ ) 解法 ３ ３× ５ １５ １５．这里分子 分母乘同一个二次根式 使 ２: ＝ ＝ ２＝ ( 、 , ５ ５× ５ (５) ５ 得分母变成有理数 ) ３２ ３２ ３２ ２ ２× ３ ６． (２) ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ２７ ３ ２ ×３ ３ ２ × ３ ３ ３× ３ ３ a a a ８ ８􀅰 ２ ４ ２ ． (３) a＝ a a＝ a＝ a 【教学建议】 ２ ２ 􀅰 ２ ２ ．化简 使结果中的二次根式为最简二次根式 教师 需 注 意 强 ３ , : b３ 调:二次根式计算及 ． a２b ２７ ． (１) １２; (２) ０８; (３) ４５ ; (４) a２c 化简后的最终结果是 解 原式 最简二次根式,解题 :(１) ＝ ４×３＝２３; 后需要对结果进行检 原式 ４ ４×５ ２５ (２) ＝ ＝ ＝ ; 查,避免在化简过程 ５ ５×５ ５ 原式 a２ b a b 中出现遗漏． (３) ＝ ９ 􀅰５ ＝３ ５ ; b３ c b２ bc b bc 原式 ２７ 􀅰 ９ 􀅰３ ３ ３ ． (４) ＝ a２c c＝ a２c２ ＝ ac 􀅰 ．计算 ４ : mn １ ３２ ６ ． (１) ; (２) ; (３) m ８ ５ ３ 解 原式 １× ８ ２２ ２ 原式 ３２× ５ ３ １０ :(１) ＝ ＝ ＝ ; (２) ＝ ＝ ; ８× ８ ８ ４ ５× ５ ５ mn m mn m 原式 ６ 􀅰 ３ ６ ３ n m． (３) ＝ m m＝ m ＝２ ３ ３ 􀅰 ３ ３ 【对应练习】 教材 练习． P１０ 活动三:重点突 例 已知最简二次根式 a b与a－b 的被开方数相同 则a b 【教学建议】 (１) ４＋ ２３ , ＋ ＝ ８ ; 破,提升探究 若二次根式 x 是最简二次根式 则x可取的最小整数是 ． 通常情况下,若 (２) ２ ＋７ , －２ 一个二次根式为最简 【思路分析】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 二次根式,根号内字 􀪋根􀪋据􀪋相􀪋关定􀪋义􀪋与􀪋 (１) 母的取值不止一个, 已知条件,求出 教师需要引导学生根 对应字母的值, 据题目中的限定条 强化对最简二次 件,找出最符合题意 根式概念的理解． 的结果． (２) 【对应训练】 已知二次根式 a与 化成最简二次根式后 被开方数相同．若a是正整 ２３－ ８ , 数 则a的最小值为 ． , ５ １４教学步骤 师生活动 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 最简二次根式具有哪些特点 如何将一个二次根式化简为最简二次根式 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１１ １９２ ４,８,９ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 二次根式的乘法与除法 １９２ 第 课时 最简二次根式 板书设计 ３ ．最简二次根式的概念． １ ．把二次根式化为最简二次根式． ２ 本课时先对比观察前面课时中例题的计算结果 总结归纳其特点 引入最简二次根式的概念 再结合积 , , , 教学反思 和商的算术平方根的性质 为最简二次根式的化简提供依据．同时强调二次根式相关运算的结果需要化为 , 最简形式 让学生养成规范答题的良好习惯． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 化为最简二次根式 概念 符合下列两个条件的二次根式 叫作最简二次根式 (１) : , : 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式． ① ;② 如 ２ ２ 不是最简二次根式 因为 ２ ２ m２ n２ 是最简二次根式． : ５＋１２ , ５＋１２ ＝ ２５＋１４４＝ １６９＝１３; ＋ 化简二次根式一般分三步 (２) : a 化去分母 如果被开方数是分数或分式 运用商的算术平方根的性质将其化成 的形式 ① : , b ; 能开则开 把被开方数分解因式 利用积的算术平方根的性质把能开得尽平方的因数或因式开出来 ② : , ; 化去分母中的根号 如果分母中含有根号 则运用分式的基本性质化去分母中的根号． ③ : , 例 将 １化为最简二次根式． １２ ２ 解: １ ２５ ２５ ５ ５× ２ ５２． １２ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ２ ２ ２ ２ ２× ２ ２ 注意:化简时别犯这种错误: １ １ ２ ． １２ ＝ １２× ＝２３× ＝ ６ ２ ２ ２ 培优点 因式分解在二次根式中的应用 例 当x y 时x y x ２ y ２ x y x y 同理x xy y x y ２ ． (１) ≥０,≥０ ,－ ＝( )－( )＝( ＋ )( － ), ,－２ ＋ ＝ ( － ) a b a ab b ab均为非负数 且a b化简 ４ － ４ ＋４ ＋ ． (２), , ≠ , a b＋ a b ２ － ２ ＋ 解:４ a － b ４ a ＋４ ab ＋ b (２ a ＋ b )(２ a － b ) (２ a ＋ b ) ２ a b a b a b． a b＋ a b ＝ a b ＋ a b ＝２ ＋ ＋２ ＋ ＝４ ＋２ ２ － ２ ＋ ２ － ２ ＋１９．３ 二次根式的加法与减法 第 课时 二次根式的加法与减法 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 二次根式的加法与减法 授课人 １９３ １ ．理解可以合并的二次根式的含义 会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式． １ , 素养目标 ．理解和掌握二次根式加减的方法 会正确进行二次根式的加减运算． ２ , ．通过类比整式的加减法 体会化归思想 提高计算能力 培养认真细致的良好学习习惯． ３ , , , 教学重点 二次根式加减法则的理解及应用． 教学难点 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算． 教学活动 教学步骤 师生活动 【回顾导入】 活动一:回顾旧 知,导入新课 ．观察下列两组二次根式,它们各有什么特征? １ () , , , ,２ ,􀆺;() , , , , １,􀆺． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １ ２３２ －２２１５２ ２ ２ ２ ８ －５ １８ ３２ 【教学建议】 ３ ２ 答:第()组二次根式的被开方数相同,都是 ,第()组二次根式的被开方数 对于第()组二 􀪋回􀪋顾􀪋最􀪋简二􀪋次􀪋根􀪋 １ ２ ２ ２ 不同,但化简为最简二次根式后,被开方数相同,都是 ． 次根式学生可能无法 式的化简,类比 ２ ．复习回顾,感悟知识: 直接找出特征规律, 整式的合并同类 ２ ()x和 x 是 (填“是”或“不是”)同类项,所以 x x x ; 教师可提示学生先化 项,引入新课． １２ ５ ２ ＋５ ＝ ７ ()a２ 和 a３ 不是 (填“是”或“不是”)同类项,所以 a２ a２ a３ 简为最简二次根式． ２３ － ３ ＋２ － ＝ a２ a３ ． ５ － 类比整式的加减,被开方数相同的二次根式应该如何加减? 被开方数不同的 二次根式又该如何加减? 本课时我们将进行相关知识的学习． 活动二:问题引 探究点１ 可以合并的二次根式 入,自主探究 思考(教材 思考):如何计算 P１３ ２７＋ １２? 【教学建议】 ． 与 的被开方数相同吗 你认为它们能否直接相加 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １ ２７ １２ ? ? 提醒学生注意以 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生发􀪋现􀪋可􀪋 答 :２７ 与 １２ 的被开方数不同 , 无法直接相加． 下两点: 以合并的二次 ２ ．将 ２７ 与 １２ 化为最简二次根式 , 看看它们可以合并吗 ? 为什么 ? ( １ )在有理数范围 根式． 答 :２７＝３３, １２＝２３, 可以合并．由于它们有共同的因数 ３, 可以利用 内成立的运算律,在实 分配律进行合并．即 ． 数范围内仍然成立． ２７＋ １２＝３３＋２３＝(３＋２)３＝５３ 归纳总结:可以合并的二次根式:化简为最简二次根式后被开方数相同的二次 ()辨别两个二 ２ 根式． 次根式能否合并,一 定要先化为最简二次 ．若 和最简二次根式 m 可以合并 则m ． ３ ５ ３ ２ －１ , ＝ ３ 根式,再看它们的被 【对应训练】 开方数是否相同,若 ．下列各式中 能与 合并的是 １ , ３ (D ) 相同则可以合并,若 A􀆰 ０ ． ３ B􀆰 １８ C􀆰 ３０ D􀆰 ３００ 不同则不能合并． ．下列各组二次根式中 化简后能合并的是 ２ , (D ) 与 与 与 与 A􀆰 ８ ３ B􀆰 ２ １２ C􀆰 ５ １５ D􀆰 ７５ ２７ １６教学步骤 师生活动 设计意图 探究点２ 二次根式的加减 【教学建议】 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生掌􀪋握􀪋二􀪋 解答教材 例 和例 回答下列问题 P１３ １ ２, : 指定学生代表解 次根式的加减的 ．计算ma na pa 并说明其中的依据． １ ＋ － , 答,提醒学生在二次 一般步骤． 解 : ma ＋ na － pa ＝( m ＋ n － p ) a．将a看成共同的因式 , 依据是分配律． 根式的加减中注意: ．教材 例 和例 的计算中先做了什么 后做了什么 ２ P１３ １ ２ ? ? ()若被开方数中含 答 先把每个二次根式化简成了最简二次根式 然后把被开方数相同的二次根 １ : , 有带分数或者小数, 式进行合并． 则要先化成(假)分数, 归纳总结:一般地,二次根式加减时,先将二次根式化简,再将被开方数相同的 进而化为最简二次根 二次根式合并． 式;()原式中若有括 ．比较二次根式的加减与整式的加减 你能得出什么结论 ２ ３ , ? 号,要先去括号,特别 答 二次根式的加减 第一步是化简 第二步是合并被开方数相同的二次根式 : , , , 注意需要变号的情况, 第二步类似于整式的加减中的合并同类项． 再将被开方数相同的 【对应训练】 二次根式进行合并． 教材 练习第 题． P１４ １,２ 例 (教材 例 )有一块长为 ． 宽为 的木板 能否采用如图所 P１４ ３ ７５dm、 ５dm , 活动三:重点突 示的方式 在这块木板上截出两个面积分别是 和 的正方形木板 ２ ２ 破,提升探究 截 , 取的两块正方形木板的边长分别是多 ８d 少 m １８dm ? 【教学建议】 (１) ? 二次根式的估值 答 截取的两块正方形木板的边长分别是 和 ． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : ８dm １８dm 方法多种多样,若是 按如图方式截取正方形木板 原木板的长和宽分别需 􀪋利􀪋用􀪋二􀪋次根􀪋式􀪋的􀪋 (２) , 比较大小,可直接用 要满足什么条件 ? 加减,并估计二 平方法;若估值精度 答 原木板的长需要大于 原木板的宽需要大于 ． 次根式的近似 : (８＋ １８)dm, １８dm 要求不高,可直接判 分析比较对应数据 你认为能否按要求截出相应的两块木板 值,解决生活中 (３) , ? 断二次根式位于哪两 解 ．因为 ． 所以 的实际问题． :８＋ １８＝２２＋３２＝５２ １８＜ ２５＝５,２＜１５, ５２＜ 个整数之间;若估值 ．．所以这块木板足够宽 也足够长．因此 可以用这块木板按要求截出两个面积分 ７５ , , 精度要求较高,可利 别是 ８dm ２ 和 １８dm ２ 的正方形木板． 用计算器取近似值． 【对应训练】 教材 练习第 题． P１４ ３ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 什么样的二次根式可以合并 二次根式的加减的一般步骤是怎样的 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１６ １９３ １,２,４ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 二次根式的加法与减法 １９３ 第 课时 二次根式的加法与减法 １ 板书设计 ．化简后被开方数相同的二次根式才可以合并． １ ．二次根式的加减 一般地 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相 ２ : , , , 同的二次根式进行合并． 本节课从实际问题引出二次根式的加减 要注意引导学生自主探究 用合并同类项的方法来解决二次 教学反思 , , 根式的加减．运算中的主要难点在于化简二次根式 教学中要注意找到学生不熟练的地方加以巩固． , １７􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 可以合并的二次根式 例１ 若最简二次根式３a－b a b与二次根式 ab２ b３ b２ 可以合并 求ab的值． ４ ＋３ ２ － ＋６ , , 分析:先把 ab２ b３ b２ 化简,再根据最简二次根式的概念和二次根式可以合并的条件,列方程组进行求解． ２ － ＋６ 解:首先把二次根式 ab２ b３ b２ 化为最简二次根式 即 ab２ b３ b２ b２ a b b a b ． ２ － ＋６ , ２ － ＋６ ＝ (２ － ＋６)＝||􀅰 ２ － ＋６ {a b a b {a b {a 由题意 得 ４ ＋３ ＝２ － ＋６,整理 得 ＋２ ＝３,解得 ＝１, , a b , a b b ． ３ － ＝２, ３ － ＝２, ＝１ 解题大招二 二次根式的加减 ( x ) ( y ) 例２ 已知 x２ y２ x y 求 ２x x y２ x２ １ x 的值． ４ ＋ －４ －６ ＋１０＝０, ９ ＋ y３ － x－５ x ３ 分析:首先将已知等式变形成两个完全平方式的和的形式,然后结合非负数的性质求出x,y的值．其次,根据二次根式 的加减运算,先把各项化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并,最后代入求值． 解:因为 x２ y２ x y 所以 x２ x y２ y 所以 x ２ y ２ ．所以x １y ． ４ ＋ －４ －６ ＋１０＝０, ４ －４ ＋１＋ －６ ＋９＝０, (２ －１)＋(－３)＝０ ＝ ,＝３ ２ x y 原式 ２x x y２ x２ １ x xx xy xx xy xx xy． ＝ ９ ＋ y３－ x＋５ x＝２ ＋ － ＋５ ＝ ＋６ ３ 当x １y 时 原式 １ １ １ ２ ． ＝ ,＝３ , ＝ × ＋６ ×３＝ ＋３６ ２ ２ ２ ２ ４ 解题大招三 二次根式的大小比较方法 比较二次根式的大小 通常有平方比较法 作差比较法 作商比较法 倒数比较法 分子有理化法等． , 、 、 、 、 运用平方法 (１) 如:比较 和 的大小．解:因为 ２ ２ ２ ２ 且 所以 ． ３２ ２３ (３２)＝３×２＝１８,(２３)＝２×３＝１２, １８＞１２, ３２＞２３ 运用作差法 (２) 如:比较 和 的大小．解:因为 ２ ２ 所以 ． ３２ ２３ ３２－２３＝ ３×２－ ２×３＝ １８－ １２＞０, ３２＞２３ 运用作商法 (３) 如:比较 和 的大小．解:因为３２ ３ 所以 ． ３２ ２３ ＝ ＞１, ３２＞２３ ２３ ２ 运用倒数法 (４) 如:比较 n n 与 n n的大小 其中n为正整数 ． ＋２－ ＋１ ＋１－ ( ) n n 解:因为 １ ＋２＋ ＋１ n n n n ＝ n n n n ＝ ＋２＋ ＋１, ＋２－ ＋１ ( ＋２－ ＋１)( ＋２＋ ＋１) n n １ ＋１＋ n n n n＝ n n n n ＝ ＋１＋ , ＋１－ ( ＋１－ )( ＋１＋ ) 又n为正整数 所以 n n n n 所以 n n n n． , ＋２＋ ＋１＞ ＋１＋ , ＋２－ ＋１＜ ＋１－ 运用分子有理化法 (５) 如:比较 与 的大小． ７－ ６ ６－ ５ 解:因为 ７－ ６ (７－ ６)(７＋ ６) １ ６－ ５ (６－ ５)(６＋ ５) １ 又 ７－ ６＝ ＝ ＝ ,６－ ５＝ ＝ ＝ , ７＋ １ ７＋ ６ ７＋ ６ １ ６＋ ５ ６＋ ５ 所以 １ １ 即 ． ６＞ ６＋ ５, ＜ , ７－ ６＜ ６－ ５ ７＋ ６ ６＋ ５ 培优计划 培优计划可扫描下面二维码下载获取．第 课时 二次根式的混合运算 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 二次根式的混合运算 授课人 １９３ ２ ．正确进行二次根式的混合运算 灵活运用运算律 乘法公式使计算简便 掌握规范的解题过程 体会类比 １ , 、 , , 、 素养目标 化归等数学思想 培养学生知识迁移的能力． , ．经历观察 推理 类比 交流等数学活动过程 提高数学探究能力和归纳表达能力． ２ 、 、 、 , 教学重点 二次根式的加 减 乘 除混合运算． 、 、 、 教学难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 【教学建议】 活动一:创设情 境,导入新课 生活中有许多梯形,比如足球球门的侧面．如果一个梯 让学生相互讨论, 形的上、下底边长分别为 , ,高为 ,那么它的面积 可以引导学生利用计 ２２４３ ６ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 是多少? 状状是这样算的: 算器检验是否正确． 􀪋借􀪋助􀪋梯􀪋形的􀪋面􀪋积􀪋 梯形的面积:１ ( ) ( ) 导入新课的学习． ２ × ２２＋４３ × ６＝ ２＋２３ × ６ ． ＝ ２× ６＋２３× ６＝ １２＋２ １８＝２３＋６２ 他的做法正确吗? 答:正确． 探究点１ 二次根式的混合运算 【教学建议】 活动二:问题引 指定学生代表解 入,自主探究 ．对比a bc ac bc 想一想 成 １ (＋ )＝ ＋ , (２＋２３)× ６＝ ２× ６＋２３× ６ 立的依据是什么 答,引导学生回忆整 ? 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 答 分配律． 式乘法中的分配律, : 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生类􀪋比􀪋整􀪋 类比整式的乘法来计 ．类似地 参考a b c a b １ a １ b １ a b m 式学习二次根式 ２ , (＋ )÷ ＝(＋ )􀅰c＝ 􀅰c＋ 􀅰c ,(＋ )( ＋ 算．告诉学生在二次根 的混合运算． n am bm an bn 计算 式的运算中,整式的 )＝ ＋ ＋ ＋ , : ． 乘法法则仍然适用． (１)(８＋ ３)× ６;(２)(４２－３６)÷２２;(３)(２＋３)(２－５) 解 原式 :(１) ＝ ８× ６＋ ３× ６＝ ８×６＋ ３×６＝４３＋３２; 原式 １ １ １ ３ (２) ＝(４２－３６)× ＝４２× －３６× ＝２－ ３; ２２ ２２ ２２ ２ 原式 ２ ． (３) ＝(２)－５２＋３２－１５＝２－２２－１５＝－１３－２２ 【对应训练】 计算 : ． (１)２(３＋ ５);(２)( ８０＋ ４０)÷ ５;(３)(５＋３)(５＋２) 解 原式 原式 :(１) ＝ ６＋ １０;(２) ＝ １６＋ ８＝４＋２２; 原式 ２ ． (３) ＝(５)＋３５＋２５＋６＝５＋５５＋６＝１１＋５５ １９教学步骤 师生活动 设计意图 探究点２ 二次根式与乘法公式 【教学建议】 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生运􀪋用􀪋乘􀪋 指定学生代表解 ．对比a b a b a２ b２ 想想该怎么计算 １ (＋ )(－ )＝ － , (５＋ ３)(５－ ３)? 法公式进行二次 答,引导学生回忆乘 解 ２ ２ ． 根式的运算． :(５＋ ３)(５－ ３)＝(５)－(３)＝５－３＝２ 法公式,告诉学生在 ．类似地 参考a b２ a２ ab b２ a b２ a２ ab b２ 计算 ２ , (＋ )＝ ＋２ ＋ ;(－ )＝ －２ ＋ , : 二次根式的运算中, (１)(２＋ ３) ２ ; (２)(３７－２３) ２． 乘法公式仍然适用．注 解 原式 :(１) ＝(２) ２ ＋２× ２× ３＋(３) ２ ＝２＋２６＋３＝５＋２６; 意提醒学生将 平 原式 ３７ (２) ＝(３７) ２ －２×３７×２３＋(２３) ２ ＝６３－１２ ２１＋１２＝７５－ 方时,要把 和 都 ３ ７ １２ ２１ ． 平方． 【对应训练】 计算 : (１)(６＋ ２)(６－ ２); (２)(４＋ ７)(４－ ７); a b a b ２ (３)( ＋ )( － ); (４)(３＋２); ２． (５)(２５－ ２) 解 原式 ２ ２ :(１) ＝(６)－(２)＝６－２＝４; 原式 ２ ２ 原式 a ２ b ２ a b (２) ＝４－(７)＝１６－７＝９;(３) ＝( )－( )＝ － ; 原式 ２ ２ (４) ＝(３)＋２× ３×２＋２＝３＋４３＋４＝７＋４３; 原式 ２ ２ ． (５) ＝(２５)－２×２５× ２＋(２)＝２０－４ １０＋２＝２２－４ １０ 活动三:重点突 例１ 计算 : 【教学建议】 提醒学生二次根 破,提升探究 １ (１) ４８÷(－ ３)－ × １２＋ ２４; 式的混合运算顺序与 ２ 有理数相同:先算乘 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (２)(３－ ７)(３＋ ７)＋ ２(２－ ２); ( ) ( ) 方、开方,再算乘除, ２ 􀪋帮􀪋助􀪋学􀪋生准􀪋确􀪋熟􀪋 (３)３ １２－２ １ ＋ ４８ ÷２３＋ １ ． 最后算加减,如果有 ３ ３ 练地进行二次根 解 原式 括号就先算括号里面 :(１) ＝－ １６－ ６＋２６＝－４＋ ６; 式的混合运算． 原式 的．一般先将每个二次 (２) ＝９－７＋２２－２＝２２; 根式化为最简二次根 ( ) (３) 原式 ＝ ６３－ ２３ ＋４３ ÷２３＋ １ ＝３－ １ ＋２＋ １ ＝５ ． 式再计算 ( 可根据式 ３ ３ ３ ３ 例２ 已知a b 求a２b ab２ 的值． ＝３＋２２,＝３－２２, － 子特点灵活选择,比 解ab a b 所以a２b ab２ aba b ． : ＝１,－ ＝４２, － ＝ (－ )＝１×４２＝４２ 如例 ()中的 和 【对应训练】 １１ ４８ ．计算 １ 就 没 有 先 化 １ : ２ ( ) ) ５＋１ ５＋１ 简 ,最后将结果中的 (１) ２７－(３＋２)÷ ３; (２) －１ × ; ２ ２ ( ) 每一项化为最简二次 １ ３ ３ ． (３) ６－ － ２４ ×(－２６) 根式或整式． ３ ２ ４ 解 原式 ２３ ７ :(１) ＝３３－１－ ＝ ３－１; ３ ３ 原式 ５＋１－２ ５＋１ ５－１ ５＋１ ５－１ (２) ＝ × ＝ × ＝ ＝１; ２ ２ ２ ２ ４ ( ) 原式 ６ ３ ． (３) ＝ ６－ － ６ ×(－２６)＝－１２＋２＋１８＝８ ６ ２ ．先化简 再求值 a a aa 其中a ． ２ , :２(＋ ３)(－ ３)－ (－６)＋６, ＝ ２－１ 解 原式 a２ a２ a a２ a２ a a２ a． : ＝２( －３)－( －６ )＋６＝２ －６－ ＋６ ＋６＝ ＋６ 当a 时 原式 ２ ． ＝２－１ , ＝(２－１)＋６(２－１)＝２－２２＋１＋６２－６＝４２－３ ２０教学步骤 师生活动 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 以前学过的运算律 运算法则和乘法公式在二次根式的混合运算中依然适用吗 二次根式的混合运算 、 ? 最后的计算结果有什么要求 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１６ １９３ ３,５,６,７,８ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 二次根式的加法与减法 １９３ 第 课时 二次根式的混合运算 ２ ．二次根式的混合运算 板书设计 １ : 先算乘方 开方 再算乘除 最后算加减 有括号的先算括号里面的． ( ), , , ．运用乘法公式和运算律进行计算 ２ : 在二次根式的混合运算中 整式的乘法法则和乘法公式仍然适用． , 本课时要将整式运算的知识迁移到二次根式中来 教学中先用类比的方式引导学生理解 再用练习帮 , , 教学反思 助学生在实例中掌握．本课时可以说是本章所学内容的综合运用 通过检查可以估计本章教学的基本要求 , 是否达到 关注有哪些不足的地方 以便后续复习时查漏补缺． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 有理化因式的应用 两个含有二次根式的代数式相乘 如果它们的积不含有二次根式 我们说这两个代数式互为有理化因式．如 是 , , :３－ ２ 的有理化因式 ma nb是ma nb的有理化因式． ３＋ ２ ; ＋ － 例１ 阅读材料 解答问题 , : 材料 已知 x x 求 x x的值． : １８－ － １１－ ＝１, １８－ ＋ １１－ 张山同学是这样解答的 : 因为 x x x x x ２ x ２ x x ( １８－ － １１－ )( １８－ ＋ １１－ )＝( １８－ )－( １１－ )＝１８－ －１１＋ ＝７, 所以 x x ． １８－ ＋ １１－ ＝７ 问题 已知 x x ． : ３０－ ＋ ９－ ＝７ 求 x x的值 求x的值． (１) ３０－ － ９－ ;(２) 解: 因为 x x x x x ２ x ２ x x 所以 x (１) ( ３０－ ＋ ９－ )( ３０－ － ９－ )＝( ３０－ )－( ９－ )＝３０－ －９＋ ＝２１, ３０－ － x ． ９－ ＝３ { x x 由 ３０－ ＋ ９－ ＝７,得 x (２) ３０－ ＝５, x x ３０－ － ９－ ＝３, 所以 x 所以x ．经检验x 符合题意．故x的值为 ． ３０－ ＝２５, ＝５ ,＝５ ５ 解题大招二 分母有理化 把分母中的根号化去 通常是分子 分母同乘同一个二次根式 达到化去分母中的根号的目的． , 、 , 如 １ ３－ ２ ． : ＝ ＝ ３－ ２ ３＋ ２ (３＋ ２)(３－ ２)􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 x y 例２ 在化简 － 时 甲 乙两位同学的解法如下 x y , 、 : ＋ x y x y x y x y x y 甲 － (－ )( － ) (－ )( － ) x y． : x y＝ x y x y ＝ x y ＝ － ＋ ( ＋ )( － ) － x y x ２ y ２ x y x y 乙 － ( )－( ) ( － )( ＋ ) x y． : x y＝ x y ＝ x y ＝ － ＋ ＋ ＋ 则对甲 乙两人的解法的判断正确的是 、 (B ) 两人都对 甲错 乙对 甲对 乙错 两人都错 A􀆰 B􀆰 , C􀆰 , D􀆰 解析:当x y时,x y ,根据分式的基本性质可知甲的解法不正确,乙的解法正确,故选 ． ＝ － ＝０ B 例３ 阅读下列材料 然后回答问题 , : １ ２－１ １ ３－ ２ １ ５－２ ． ＝ ＝ ２－１; ＝ ＝ ３－ ２; ＝ ＝ ５－２ ２＋１ (２＋１)(２－１) ３＋ ２ (３＋ ２)(３－ ２) ５＋２ (５＋２)(５－２) 求 １ 的值 求 １ n为正整数 的值 (１) ;(２) n n ( ) ; ７＋ ６ ＋１＋ 计算 １ １ １ １ １ ． (３) : ＋ ＋ ＋􀆺＋ ＋ １＋ ２ ２＋ ３ ３＋ ４ ９８＋ ９９ ９９＋ １００ 解: １ ７－ ６ ７－ ６ (１) ＝ ＝ ＝ ７－ ６; ７＋ ６ (７＋ ６)(７－ ６) ７－６ n n n n １ ＋１－ ＋１－ n n (２) n n＝ n n n n ＝ n n ＝ ＋１－ ; ＋１＋ ( ＋１＋ )( ＋１－ ) ＋１－ 原式 ． (３) ＝ ２－１＋ ３－ ２＋ ４－ ３＋􀆺＋ ９９－ ９８＋ １００－ ９９＝ １００－１＝１０－１＝９ 解题大招三 二次根式的混合运算 注意: 在进行计算时,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式,同时注意合理地运用运算律; 进行二次根式的开方运 ① ② 算时应使开出的因数(式)是非负数(式)． 例４ 计算 ２０２４ ２０２５ ． :(３－２) ×(３＋２) ＝ ３＋２ 解析:原式 ( ) ２０２４ ( ) ２０２４ ( ) [( )( )] ２０２４ ( ) ( ) ２０２４ ( ) ． ＝ ３－２ × ３＋２ × ３＋２＝ ３－２ ３＋２ × ３＋２＝ －１ × ３＋２＝ ３＋２ 例５ 已知a １ 求１－２ a ＋ a２ a２ －２ a ＋１的值． ＝ , a － a２ a ２＋ ３ －１ － 解:因为a １ 所以a １ 所以a ． ＝ , ＝２－ ３,a＝２＋ ３, －１＝２－ ３－１＝１－ ３＜０ ２＋ ３ a ２ a ２ a a 所以原式 (－１) (－１) a | －１| a －(－１)a １ ． ＝ a －aa ＝ －１－aa ＝ －１－aa ＝ －１＋a＝１－ ３＋２＋ ３＝３ －１ (－１) (－１) (－１) 解题大招四 二次根式的求值 变形后降次或整体求值 (１) 例６ 已知x 则代数式x３ x２ x 的值为 ． ＝ ５＋３, － －２６ ＋５ －１５ 解析:因为x ,所以x ,x２ x ,所以x２ x ,所以原式 x２ (x ) x (x )(x ＝ ５＋３ －３＝ ５ －６ ＋９＝５ ＝６ －４ ＝ －１－２６ ＋５＝ ６ －４ － ) x x２ x x (x ) x ．故答案为 ． １－２６ ＋５＝６ －１０ ＋４－２６ ＋５＝６６ －４－３６ ＋９＝－１５ －１５ 运用乘法公式a b２ a２ ab b２ 求值 (２) (± )＝ ±２ ＋ 例７ 已知a b ． ＝ ３＋１,＝ ３－１ b a 求 的值 求a２ b２ ab的值． (１) a＋b ;(２) ＋ ＋７ 解:因为a b 所以a b ab ． ＝ ３＋１,＝ ３－１, ＋ ＝２３, ＝２ b a a２ b２ a b２ ab a b２ ２ ＋ (＋ )－２ (＋ ) (２３) １２ ． (１)a＋b＝ ab ＝ ab ＝ ab －２＝ －２＝ －２＝４ ２ ２ a２ b２ ab a b２ ab ２ ． (２) ＋ ＋７ ＝(＋ )＋５ ＝(２３)＋５×２＝１２＋１０＝２２ 培优计划 培优计划可扫描下面二维码下载获取．第二十章 勾股定理 ２０．１ 勾股定理及其应用 第 课时 验证勾股定理 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 验证勾股定理 授课人 ２０１ １ ．了解勾股定理 探索勾股定理的证明过程 学会利用几何图形的截 割 补证明勾股定理． １ , , 、 、 素养目标 ．能叙述勾股定理 并能应用它进行简单的计算． ２ , ．通过拼图活动 体会数形结合的思想方法 培养学生的动手实践和创新能力． ３ , , 教学重点 运用割补 拼图的方法证明勾股定理的正确性 并能进行简单计算． 、 , 教学难点 数形结合 思想方法的理解和应用． “ ” 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境导入】 【教学建议】 境,导入新课 直角三角形作为一种特殊的三角形,它的三个角满足其中一个角是直角、其余 给学生说明,从 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 两个角互余．对于直角三角形的三条边,它们之间有什么特殊关系呢? 一个直角三角形中得 在«周髀算经»的开篇􀆺􀆺(其他内容见教材 探究上方内容) 出的结论,还需更一 􀪋介􀪋绍􀪋我􀪋国古􀪋代􀪋数􀪋 P２３ 般的验证． 学成就,激发学 生的学习兴趣． 活动二:问题引 探究点 勾股定理的认识与证明 入,自主探究 １．直角三角形中勾股定理的探究(教材 探究) P２３ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生􀪋探􀪋索􀪋、 发现、证明勾股 定理． 如图 每个小方格的面积均为 图中正方形 的面积之间有什么 【教学建议】 (１) , １, A１,B１,C１ 关系 呢 呢 可提示学生利用 ? A２,B２,C２ ? A３,B３,C３ ? 请你通过计算相关图形的面积进行说明． 割补法计算图中正方 解S S S 所以S S S 形 , , 的面积 :A１＝１,B１＝４,C１＝５, A１＋ B１＝ C１; C１ C２ C３ S S S 所以S S S (等于某个正方形的 A２＝４,B２＝９,C２＝１３, A２＋ B２＝ C２; 面积减去 个直角三 S S S 所以S S S ． A３＝９,B３＝２５,C３＝３４, A３＋ B３＝ C３ ４ 以格点为顶点 在方格纸中任意画一个直角三角形 类似地作出三个正方 角形的面积)． (２) , , 形 这三个正方形的面积有什么关系 , ? 答 可以发现 以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和 等于以斜 : , , 边为边的正方形的面积． ２３教学步骤 师生活动 你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗 (３) ? 答 如果直角三角形的两条直角边长分别为ab斜边长为c那么a２ b２ c２． : ,, , ＋ ＝ ２．勾股定理的证明 􀪍􀪍􀪍􀪍 阅读教材 了解我国古代数学家赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述 P２４, 猜想的 我国把它称为 勾股定理 感兴趣的同学可以自己拼图试一试． , , 活动三:知识运 例１ (教材 探究)根据 赵爽弦图 你能通过计算弦图的面积推导出勾 【教学建议】 P２５ “ ”, 用,典例讲练 股定理吗 ()告诉学生用 ? １ 解 整个图形的面积可以表示为c２． 拼图方法证明勾股定 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : 整个图形的面积还可以表示为四个直角三角形的 理通常有两种情况: 􀪋帮􀪋助􀪋学􀪋生巩􀪋固􀪋对􀪋 一个图形就利用它 勾股定理的认识． 面积与小正方形的面积之和 , 即 ４× １ab ＋( b － a ) ２． ① 的两种不同面积表示 ２ 所以 ４× １ab ＋( b － a ) ２ ＝ c２． 方法列等式; ② 两个 ２ 图形就利用它们的面 化简 , 得a２ ＋ b２ ＝ c２． 积相等列等式． 勾股定理得证． ()提醒学生牢 例２ (教材 例 )如图 根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． ２ P２５ １ , 记直角所对的边是斜 解 在 ABC中 根据勾股定理 :(１) Rt△ , , 边,并要掌握勾股定 AB２ ＝ AC２ ＋ BC２ ＝８ ２ ＋６ ２ ＝１００, 所以AB ＝１０ ． 理公式的其他变形 (２) 在 Rt△ DEF中 , 根据勾股定理 , DE２ ＋ (直角边为a,b,斜边 EF２ ＝ DF２ , 从而DE２ ＝ DF２ － EF２ ＝１７ ２ － 为c时的情况): １５ ２ ＝６４, 所以DE ＝８ ． a２ c２ b２ , 【对应训练】 ＝ － b２ c２ a２ , ．教材 练习． ＝ － １ P２５~２６ c a２ b２ , ．如图是传说中毕达哥拉斯的证法 利用这两个图形证明勾股定理．提示 ＝ ＋ 图 ２ 中拼成的正方形与图 中拼成的正方 , 形面积相等 ( : a ＝ c２ － b２ , ① ② ) b c２ a２． ＝ － 证明 从图上可以看到 这两个大正方形的边长都是a b所以面积相等． : , ＋ , 所以a２ b２ １ab c２ １ab ＋ ＋４× ＝ ＋４× , ２ ２ 化简整理 得a２ b２ c２． , ＋ ＝ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 什么是勾股定理 你知道几种证明它的方法 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P３０ ２０１ １ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ２４教学步骤 师生活动 ． 勾股定理及其应用 ２０１ 第 课时 验证勾股定理 板书设计 １ ．勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为ab斜边长为c那么a２ b２ c２． １ : ,, , ＋ ＝ ．勾股定理的证明 赵爽弦图 ． ２ :“ ” 本节课以 情境导入 从特殊到一般 假设猜想 拼图验证 为主线 使学生亲身体验勾股定理的探索 “ － － － ” , 教学反思 和验证过程 达到更好的学习效果．勾股定理的证明是本节课的难点 可以设计一些拼图活动 让学生从图 , , , 形上感知 再层层设问 从面积 数 入手 师生共同探究 从而突破这一难点． , , ( ) , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 勾股定理的证明方法 例１ 以ab为直角边 以c为斜边作两个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面积都等于１ab 把这两个直角三 , , , , ２ 角形拼成如图所示的形状 使AEB三点在一条直线上．求证a２ b２ c２． , , , : ＋ ＝ 证明: EAD CBE ADE BECED CE． ∵Rt△ ≌Rt△ ,∴∠ ＝∠ , ＝ AED ADE AED BEC ． ∵∠ ＋∠ ＝９０°,∴∠ ＋∠ ＝９０° DEC AED BEC ． ∴∠ ＝１８０°－(∠ ＋∠ )＝９０° DEC是一个等腰直角三角形 它的面积等于１c２． ∴△ , ２ 又 DAE EBC AD BC． ∠ ＋∠ ＝９０°＋９０°＝１８０°,∴ ∥ 四边形ABCD是一个直角梯形 它的面积等于１a b２． ∴ , (＋ ) ２ １a b２ １ab １c２． ∴ (＋ )＝２× ＋ ２ ２ ２ a２ b２ c２． ∴ ＋ ＝ 例２ 作三个边长分别为abc的正方形 把它们拼成如图所示的形状 HCB三点在一条直 ,, , , , , 线上 连接BFCD．求证a２ b２ c２． , , : ＋ ＝ 证明:如图 过点C作CL DE于点L 交AB于点M． , ⊥ , FAC BAD FAC CAB BAD CAB 即 FAB CAD． ∵∠ ＝∠ ＝９０°,∴∠ ＋∠ ＝∠ ＋∠ , ∠ ＝∠ 又AF ACAB AD FAB CAD S S ． ＝ , ＝ ,∴△ ≌△ (SAS),∴ △ FAB＝ △ CAD FAB的面积等于１AF AC １a２ CAD的面积等于１AD DL 即长方形ADLM面 ∵△ 􀅰 ＝ ,△ 􀅰 ( 积的一半 长方形ADL ２ M的面积 a２ ２ ． ２ ),∴ ＝ 如图 连接AKCE 同理易证 ABK EBC 易得长方形MLEB的面积 b２． , , , △ ≌△ ,∴ ＝ 正方形ADEB的面积 长方形ADLM的面积 长方形MLEB的面积 ∵ ＝ ＋ , c２ a２ b２ 即a２ b２ c２． ∴ ＝ ＋ , ＋ ＝ 解题大招二 利用勾股定理求边长 应用勾股定理求直角三角形的边长时 直角边长为ab斜边长为c 经常利用a２ b２ c２ 和其变式a２ c２ b２b２ ( ,, ), ＋ ＝ : ＝ － , ＝ c２ a２c a２ b２a c２ b２b c２ a２． － ,＝ ＋ ,＝ － ,＝ － 例３ 在 ABC中 AB AC BC边上的高AD 则另一边BC等于 △ , ＝１０, ＝２ １０, ＝６, (C ) 或 或 A􀆰１０ B􀆰８ C􀆰１０ ６ D􀆰１０ ８ 分析:本题要分两种情况考虑,分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD,从而可求出BC的长． 解析:如图 ,由勾股定理,得BD AB２ AD２ ２ ２ ,CD AC２ AD２ ( ) ２ ２ , ① ＝ － ＝ １０－６ ＝８ ＝ － ＝ ２ １０ －６ ＝２ 所以BC BD CD ． ＝ ＋ ＝８＋２＝１０􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如图 ,由勾股定理,得BD AB２ AD２ ２ ２ ,CD AC２ AD２ ( ) ２ ２ , ② ＝ － ＝ １０－６ ＝８ ＝ － ＝ ２ １０ －６ ＝２ 所以BC BD CD ． ＝ － ＝８－２＝６ 综上所述,BC的长为 或 ．故选 ． １０ ６ C 例４ 已知直角三角形的两边长xy满足x２ y ２ 则第三边长为 , | －４|＋ (－２)－１＝０, (D ) 或 或 A􀆰 ３ B􀆰 １３ C􀆰 ５ １３ D􀆰 ３,５ １３ 解析:因为x２ (y ) ２ ,所以x２ ,(y ) ２ ． | －４|＋ －２ －１＝０ －４＝０ －２ －１＝０ 所以x 或 (舍去),y 或 ． ＝２ －２ ＝３ １ 当直角三角形的两边长为 和 时, ① ２ ３ 若两直角边的长分别是 ,,则第三边的长为 ; ２ ２ ２３ ２＋３ ＝ １３ 若 为斜边长,则第三边的长为 ２ ２ ． ３ ３－２ ＝ ５ 当直角三角形的两边长为 和 时, ② ２ １ 若两直角边的长分别是 ,,则第三边的长为 ; ２ ２ ２１ ２＋１ ＝ ５ 若 为斜边长,则第三边的长为 ２ ２ ． ２ ２－１ ＝ ３ 综上所述,第三边的长为 , 或 ．故选 ． ３ ５ １３ D 注意:解题时注意分类讨论思想的应用,考虑问题不全面就会导致漏解． 培优点 勾股定理的证明 例１ 如图 在 ABD中 AC BD于点CE为AC上一点 连接BEDE 延长DE交AB于点F 已知DE AB , △ , ⊥ , , , , , ＝ , CAD ． ∠ ＝４５° 求证 DF AB (１) : ⊥ ; 利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明． (２) 已知 在 ABC中 ACB BC aAC bAB c求证a２ b２ c２． : △ ,∠ ＝９０°, ＝ , ＝ , ＝ , : ＋ ＝ 证明: AC BD CAD (１)∵ ⊥ ,∠ ＝４５°, AC DC ACB DCE ． ∴ ＝ ,∠ ＝∠ ＝９０° {AB DE 在 ABC和 DEC中 ＝ , Rt△ Rt△ ,AC DC ＝ , ABC DEC ∴Rt△ ≌Rt△ (HL), BAC EDC． ∴∠ ＝∠ BAC ABC EDC ABC ． ∵∠ ＋∠ ＝９０°,∴∠ ＋∠ ＝９０° BFD DF AB． ∴∠ ＝９０°,∴ ⊥ 由 知 ABC DECDF AB (２) (１) Rt△ ≌Rt△ , ⊥ , EC BC aDC AC bDE AB c． ∴ ＝ ＝ , ＝ ＝ , ＝ ＝ 由阴影部分面积 得S S S S ． , △ BCE＋ △ ACD＝ △ AED＋ △ BED 又AC BDDF AB ⊥ , ⊥ , １a２ １b２ １c AF １c BF １c AF BF １c AB １c c １c２ ∴ ＋ ＝ 􀅰 ＋ 􀅰 ＝ 􀅰( ＋ )＝ 􀅰 ＝ 􀅰 ＝ , ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ a２ b２ c２． ∴ ＋ ＝ 例２ 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 勾股定理的应用 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 勾股定理的应用 授课人 ２０１ ２ ．进一步理解和掌握勾股定理． １ 素养目标 ．能够利用勾股定理解决简单的实际问题． ２ ．通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型 体会转化思想 模型思想 形成应用意识． ３ , 、 , 教学重点 运用勾股定理解决实际问题． 教学难点 勾股定理的灵活应用． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境导入】 【教学建议】 境,导入新课 (教材 练习第 题)电视机的屏幕尺寸是指其屏 P２７ ３ 让学生交流讨论, 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 幕对角线的长度 通常以英寸 英寸 ． 为单位． , (１ ＝２５４cm) 引导学生回忆勾股定 王芳测得自家电视机的屏幕宽为 高为 这台 􀪋借􀪋助􀪋实􀪋际􀪋情􀪋境􀪋, ７１cm, ４０cm, 理的内容,再尝试解决 电视机的屏幕尺寸是多少英寸 结果取整数 激发学生的学习 ( )? 问题． 兴趣． 活动二:问题引 探究点 勾股定理的应用 入,自主探究 例１ (教材 例 )一个门框的尺寸如图所示 一块长 宽 ． 的长方 P２６ ２ , ３m, ２２m 形薄木板能否从门框内通过 为什么 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ? ? 􀪋培􀪋养􀪋学􀪋生把􀪋实􀪋际􀪋 生活中的问题转 化为数学问题的 能力． 分析: 【教学建议】 让学 生 交 流 讨 论,引导学生从实际 生活的角度多方面考 虑,从而分析出解决 问题的关键条件:比 较AC 和木板的宽． 教师总结:解决木板 进门问题不仅需要考 虑木板的长、宽和门 的长、宽,有时还要考 虑门的对角线． 解 连接AC 在 ABC中 根据勾股定理AC２ AB２ BC２ ２ ２ ． : , Rt△ , , ＝ ＋ ＝１＋２＝５ 所以AC ． ． ＝ ５≈２２４ 因为AC大于木板的宽 ． 所以木板能从门框内通过． ２２m, ２７教学步骤 师生活动 例２ (教材 例 )如图 一架长为 ． 的梯子斜靠在竖直的墙上 此时 P２６ ３ , ２５m , 梯子一边的顶端位于墙面的点A处 底端位于地面的点B处 点B到墙面的距离 , , BO为 ． ．如果将梯子底端沿OB向外移动 ． 那么梯子顶端也沿墙AO下 ０７m ０８m, 滑 ． 吗 ０８m ? 分析: 【教学建议】 引导学生分析出 梯子顶端下滑的距离 AC OA OC,从而 ＝ － 需要先计算出 OA, 解 如图 当梯子底端沿OB向外移动 ． 时 设梯子的底端由点B移动到 点D 顶 : 端由 , 点A下滑到点C．可以看出 AC ０８ O m A , OC． OC的长度．从题中抽 在 , Rt△ AOB中 , 根据勾股定理 , OA , ２ ＝ A ＝ B２ － O － B２ ＝２ ． ５ ２ －０ ． ７ ２ ＝５ ． ７６, 象 出 Rt△ AOB 和 OA ．． COD,分别利用勾 ＝２４ Rt△ 在 COD中 根据勾股定理OC２ CD２ OD２ ．２ ． ．２ 股定理求出OA,OC． Rt△ , , ＝ － ＝２５－(０７＋０８)＝４, OC ． ＝２ 所以 AC OA OC ． ．． , ＝ － ＝２４－２＝０４ 因此 当梯子底端向外移动 ． 时 梯子顶端并不是下滑 ． 而是下滑 ． ． , ０８m , ０８m, ０４m 【对应训练】 ．教材 练习第 题． １ P２７ １,２ ．如图 小巷左右两侧是竖直的墙 一架梯子斜靠在左墙上 ２ , , 时 梯子底端到左墙脚的距离为 ． 顶端距离地面 ． 如果 , ０７m, ２４m, 保持梯子底端位置不动 将梯子斜靠在右墙上时 顶端距离地 , , 面 那么小巷的宽度为 ２m, (C ) ． ． A􀆰０７m B􀆰１５m ． ． C􀆰２２m D􀆰２４m 活动三:重点突 例３ 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门 , 如果把竹竿竖放 【教学建议】 破,提升探究 就比门高出 １ 尺 , 斜放就恰好等于门的对角线长 , 已知门宽 ４ 尺 , 求竹竿长与门高． 提醒学生:()在 解 如图 设门高x尺 则竹竿长x 尺． １ : , , (＋１) 实际生活中,树、竿、 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 根据勾股定理可得x２ ＋４ ２ ＝( x ＋１) ２ , 建筑等一般视为垂直 􀪋巩􀪋固􀪋用􀪋勾股􀪋定􀪋理􀪋 即x２ ＋１６＝ x２ ＋２ x ＋１, 解得x ＝７ ． ５ ． 于地面,从而可抽象 解决实际问题的 则x ．． ＋１＝８５ 出直角三角形模型; 能力． 故竹竿长 ８ ． ５ 尺 , 门高 ７ ． ５ 尺． ()当已知直角三角 【对应训练】 ２ 形两边的数量关系和 如图 , 在树上距地面 １０m 的D处有两只猴子 , 它们同时发现地面上C处有一 第三边的长度时,一 筐水果 , 一只猴子从D处向上爬到树顶A处 , 然后利用拉在A处的滑绳AC滑到 般设未知数,再借助 C处 , 另一只猴子从D处先滑到地面B处 , 再由B处跑到C处 , 已知两只猴子所 勾股定理列方程求解． 经过的路程都是 求树高AB． １５m, 解 根据题意 得BD BD BC AD AC : , ＝１０m, ＋ ＝ ＋ ＝１５m, 所以BC ． ＝５m 设AD x 则AC x AB x ． ＝ m, ＝(１５－ )m, ＝(１０＋ )m 在 ABC中 根据勾股定理可得AB２ BC２ AC２ Rt△ , ＋ ＝ , 即 x２ ２ x２ 解得x ．所以AB ． (１０＋ )＋５＝(１５－ ), ＝２ ＝１２m 答 树高AB为 ． : １２m ２８教学步骤 师生活动 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 想想生活中哪些场景可以利用勾股定理 只知道直角三角形一边的长和另两边的数量关系 怎样求出 ? , 另两边的长 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P３０~３１ ２０１ ２,３,４,５,９,１０,１２ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 勾股定理及其应用 ２０１ 第 课时 勾股定理的应用 板书设计 ２ ．勾股定理的简单应用． １ ．勾股定理中的方程思想． ２ 本节课以生活中常见的问题为例 引导学生想象 比较 分析 把实物抽象为直角三角形模型 再借助勾 , 、 、 , , 教学反思 股定理来求解 充分培养学生把课本上的理论知识应用到实际生活中的能力．教学中发现学生的阅读理解 , 和空间想象能力还有待提高 需要在后续的学习中加强． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 利用勾股定理解决图形面积问题 例１ 如图 在 ABC中 AB AC BC 求 ABC的面积． , △ , ＝１３, ＝１５, ＝１４, △ 解:如图 过点A作AD BC于点D 设BD的长为x 则CD的长为 x． , ⊥ , , １４－ AD２ AB２ BD２AD２ AC２ CD２ AB２ BD２ AC２ CD２ ∵ ＝ － , ＝ － ,∴ － ＝ － , ２ x２ ２ x２ 解得x BD ．AD２ ２ ２ AD ∴１３－ ＝１５－(１４－ ), ＝５,∴ ＝５∴ ＝１３－５＝１４４,∴ ＝１２, BC AD S 􀅰 １４×１２ 即 ABC的面积是 ． ∴ △ ABC＝ ＝ ＝８４, △ ８４ ２ ２ 例２ 如图 在四边形ABCD中AB BC CD ABC BCD 求四边形ABCD的面积． , , ＝６, ＝５－３, ＝６,∠ ＝１３５°,∠ ＝１２０°, 解:如图 过点A作AE CB交CB的延长线于点E 过点D作DF BC交BC的延长线于点F． , ⊥ , ⊥ ABE ABC DCF BCD ∵∠ ＝１８０°－∠ ＝１８０°－１３５°＝４５°,∠ ＝１８０°－∠ ＝１８０°－１２０°＝６０°, 易知AE BECF １CD １ ． ∴ ＝ , ＝ ＝ ×６＝３ ２ ２ 又AE２ BE２ AB２CF２ DF２ CD２ ＋ ＝ , ＋ ＝ , AE BE ２AB ２ DF ３CD ３ ． ∴ ＝ ＝ ＝ × ６＝ ３, ＝ ＝ ×６＝３３ ２ ２ ２ ２ EF BE BC CF ． ∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ３＋５－ ３＋３＝８ 由AE EFDF EF 易知AE DF． 四边形AEFD是梯形． ⊥ , ⊥ , ∥ ∴ ∴ S四边形ABCD＝ S梯形AEFD－ S △ ABE－ S △ CDF １ AE DF EF １AE BE １CF DF ＝ ( ＋ )􀅰 － 􀅰 － 􀅰 ２ ２ ２ １ １ １ ＝ ×(３＋３３)×８－ × ３× ３－ ×３×３３ ２ ２ ２ ２３３－３． ＝ ２ 解题大招二 利用勾股定理解决图形折叠问题 例３ 如图 在长方形ABCD中E为AD上一点 将 CDE沿CE翻折至 CFEEF交AB于点GCF交AB于点 , , , △ △ , , H 且GA GF．若CD BC 则AE的长是 １２ ． , ＝ ＝１０, ＝６, ７􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解析:由长方形和折叠的性质,可知 A D F ,DE EF,AD BC ,CF CD AB ． ∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０° ＝ ＝ ＝６ ＝ ＝ ＝１０ { A F, ∠ ＝∠ 在 AGE和 FGH中,GA GF, AGE FGH( ), △ △ ＝ ∴△ ≌△ ASA AGE FGH, ∠ ＝∠ AE FH,GE GH, AH GA GH GF GE EF DE． ∴ ＝ ＝ ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ 设AE FH x,则AH DE AD AE BC AE x, ＝ ＝ ＝ ＝ － ＝ － ＝６－ BH AB AH ( x)x ,CH CF FH x． ∴ ＝ － ＝１０－ ６－ ＝ ＋４ ＝ － ＝１０－ BC２ BH２ CH２ , ２ (x ) ２ ( x) ２ ,x １２, AE １２．故答案为１２． ∵ ＋ ＝ ∴６＋ ＋４ ＝ １０－ ∴ ＝ ∴ ＝ ７ ７ ７ 例４ 如图 折叠长方形ABCD的一边AD 使点D落在BC边上的点F处 AE是折痕． , , , 若AB AD 求折痕AE的长 (１) ＝４, ＝５, ; 若AE 且CECF 求长方形ABCD的周长． (２) ＝ ５, ∶ ＝３∶４, 解: 由折叠可知 AD BC AF DE EFCD AB AFE D B (１) , ＝ ＝ ＝５, ＝ , ＝ ＝４,∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０°, BF AF２ AB２ ２ ２ CF BC BF ． ∴ ＝ － ＝ ５－４ ＝３,∴ ＝ － ＝５－３＝２ 设EF DE x 则CE CD DE x． ＝ ＝ , ＝ － ＝４－ ( ) CF２ CE２ EF２ ２ x２ x２ 解得x ５ DE ５ AE AD２ DE２ ２ ５ ２ ５５． ∵ ＋ ＝ ,∴２＋(４－ )＝ , ＝ ,∴ ＝ ,∴ ＝ ＋ ＝ ５＋ ＝ ２ ２ ２ ２ 设CE xx 则CF x EF CF２ CE２ x２ x２ x DE EF x (２) ＝３ (＞０), ＝４ ,∴ ＝ ＋ ＝ (４ )＋(３ )＝５ ,∴ ＝ ＝５ , AB CD DE CE x． ∴ ＝ ＝ ＋ ＝８ 设AF AD yy 则BF y x． ＝ ＝ (＞０), ＝ －４ 在 ABF中 AB２ BF２ AF２ x２ y x２ y２ y x AD x． Rt△ , ＋ ＝ ,∴(８ )＋(－４ )＝ ,∴ ＝１０ ,∴ ＝１０ 在 ADE中 AD２ DE２ AE２ x２ x２ ２ 解得x １或x １ 舍去 Rt△ , ＋ ＝ ,∴(１０ )＋(５ )＝(５), ＝ ＝－ ( ), ５ ５ ( ) AD x AB x ８． 长方形ABCD的周长为 ８ ３６． ∴ ＝１０ ＝２, ＝８ ＝ ∴ ２＋ ×２＝ ５ ５ ５ 培优点 勾股定理与动点问题 例 如图 在 ABC中 B AB AC PQ分别是 ABC的两边上的动点 , △ ,∠ ＝９０°, ＝１６cm, ＝２０cm, , △ , 其中点P从点A开始沿A B方向运动 且速度为 点Q从点B开始沿B C A方向运动 且 → , １cm/s; → → , 速度为 它们同时出发 当一点到达终点时 另一点也随之停止 设出发的时间为t ． ２cm/s, , , , s BC ． (１) ＝ １２ cm 当t为何值时 点P在边AC的垂直平分线上 并求出此时CQ的长． (２) , ? 当点Q在边AC上运动时 写出使 BCQ成为等腰三角形时t的值． (３) , △ 解: 当点P 在边AC 的垂直平分线上时 PC PA t PB AB PA t ．在 BPC 中 (２) , ＝ ＝ cm, ＝ － ＝(１６－ )cm Rt△ , BC２ PB２ PC２ 即 ２ t２ t２ 解得t ２５．易知此时点Q在边AC上CQ ２５ ． ＋ ＝ , １２＋(１６－ )＝ , ＝ , ＝２× －１２＝１３(cm) ２ ２ 当CQ BQ时 如图 则 C CBQ． ABC CBQ ABQ ． A C A (３)① ＝ , ①, ∠ ＝∠ ∵∠ ＝９０°,∴∠ ＋∠ ＝９０°∵∠ ＋∠ ＝９０°,∴∠ ＝ ABQ BQ AQ．CQ AQ １AC １ BC CQ t ∠ ,∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ＝ ×２０＝１０(cm),∴ ＋ ＝１２＋１０＝２２(cm),∴ ＝２２÷２＝１１; ２ ２ 当CQ BC时 如图 则BC CQ t ② ＝ , ②, ＋ ＝１２＋１２＝２４(cm),∴ ＝２４÷２＝１２; 当BC BQ时 如图 过点B作BE AC于点E 则CE １CQ． ③ ＝ , ③, ⊥ , ＝ ２ AB BC S １AB BC １AC BE BE 􀅰 １６×１２ ４８ ． ∵ △ ABC＝ 􀅰 ＝ 􀅰 ,∴ ＝ AC ＝ ＝ (cm) ２ ２ ２０ ５ ( ) ２ CE BC２ BE２ ２ ４８ ３６ CQ CE ７２ ． ∴ ＝ － ＝ １２－ ＝ (cm),∴ ＝２ ＝ cm ５ ５ ５ BC CQ ７２ １３２ t １３２ ６６． ∴ ＋ ＝１２＋ ＝ (cm),∴ ＝ ÷２＝ ５ ５ ５ ５ 综上所述 当t的值为 或 或６６时 BCQ为等腰三角形． , １１ １２ ,△ ５第 ３ 课时 利用勾股定理作图、计算 教学目标 课题 ． 第 课时 利用勾股定理作图 计算 授课人 ２０１ ３ 、 ．理解直角三角形三边的关系 会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明． １ , 素养目标 ．能利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点． ２ ．在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯 并体会勾股定理的应用价值． ３ , 教学重点 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点． 教学难点 转化思想 方程思想 数形结合思想的灵活运用． 、 、 教学活动 教学步骤 师生活动 【回顾导入】 【教学建议】 活动一:交流新 在八年级上册中,我们曾经通过探究得出结论: 师生共同画图, 知,验证旧知 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 写出已知、求证,引导 等．学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗? 学生分析:锐角未知, 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 已知:如图,在 ABC 和 A′B′C′中, 只能 通 过 “ ”或 Rt△ Rt△ 􀪋让􀪋学􀪋生􀪋利用􀪋勾􀪋股􀪋 C C′ ,AB A′B′,AC A′C′． “ ”证明,并 SS 指 S 定学 ∠ ＝∠ ＝９０° ＝ ＝ 定理证明之前学 求证: △ ABC ≌△ A′B′C′． 生 SA 代 S 表证明． 过的“ ”． 证明:在 ABC和 A′B′C′中,C C′ , HL Rt△ Rt△ ∠ ＝∠ ＝９０° 根据勾股定理,BC AB２ AC２ ,B′C′ A′B′２ A′C′２． ＝ － ＝ － 又AB A′B′,AC A′C′,BC B′C′． ＝ ＝ ∴ ＝ ABC A′B′C′( )． ∴△ ≌△ SSS 探究点 利用勾股定理在数轴上表示实数 【教学建议】 活动二:问题引 让学 生 交 流 讨 我们知道 任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示 你能在数轴上画出表 入,自主探究 , , 论,教师给予适当提 示 的点吗 １３ ? 示．最后总结在数轴上 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 如果能画出长为 的线段 就能在数轴上画出表示 的点．想一想 你 画表示无理数的点的 (１) １３ , １３ , 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生探􀪋究􀪋在􀪋 能画出长为 ２ 的线段吗 ? 怎么画 ? 说说你的画法． 一般 ( 步 ) 骤 利 : 用勾股定理 数轴上画出表示 答 画一个两条直角边的长都为 的直角三角形 它的斜边长就是 ． １ : １ , ２ 拆分出两条线段长的 无理数的点． 长为 的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗 平方和等于所求无理 (２) １３ ? 答 设斜边c 两直角边分别为ab 根据勾股定 数的平方(一般拆分的 : ＝ １３, ,, 两条线段的长是正整 理有a２ b２ c２ 若ab为正整数 则 必须分解为两 ＋ ＝ ＝１３, , , １３ 数,这样作图较方便); 个完全平方数的和 即 a２ b２ 则a b , １３＝４＋９, ＝４, ＝９, ＝２,＝ ()以原点为直角 ３, 所以长为 １３ 的线段是直角边长分别为正整数 ２ 和 ３ 的 三角形 ２ 斜边的顶点,在 直角三角形的斜边长 如图所示． 数轴上作一条直角边, , 在数轴上画出表示 的点． 再作另一条直角边,构 (３) １３ 造直角三角形; 解 如图O为数轴原点 在数轴上找出表示 的点A 则OA :① , , ３ , ＝３; ()以数轴原点 过点A作直线l垂直于OA 在l上取点B 使 ３ ② , , 为圆心,以斜边长为 AB ＝２; 半径作弧,弧与数轴 ③ 以原点O为圆心 , OB长为半径作弧 , 弧与数轴正 的交点即为所求的表 半轴的交点C即为表示 的点． 示该无理数的点(一 １３ 般所求无理数是正 我们知道了怎么画出斜边长为 的直角三角形 那么怎么画出斜边长为 (４) ２ , 的,所求点就是弧与 的直角三角形呢 ３ ? 正半轴的交点)． ３１教学步骤 师生活动 答 根据 先画出长为 的线段 再以 和 为直角边的 ２ ２ : (２)＋１＝３＝(３), ２ , ２ １ 长画直角三角形 则斜边长即为 ． , ３ 你能画出斜边长为nn是正整数 的直角三角形吗 你能在数轴上画出 (５) ( ) ? 表示n的点吗 ? 答 类似地 利用勾股定理 可以作出长为 的线段 如图 ．按照 : , , ２,３,５,􀆺 ( ①) 同样的方法 可以在数轴上画出表示 的点 如图 ． , １,２,３,４,５,􀆺 ( ②) 【对应训练】 教材 练习第 题． P２９ １ 例 如图 数轴上点A表示的数为 AB OA 且AB OA．以原点O为圆 , １, ⊥ , ＝ 活动三:重点突 心OB长为半径作弧 交数轴的负半轴于点C 则点C所表示的数为 破,提升探究 , , , (D ) 【教学建议】 提醒学生解决此 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 类题需注意:()弧与 １ 􀪋从􀪋不􀪋同􀪋角度􀪋巩􀪋固􀪋 数轴的交点与圆心的 学生对勾股定理 A􀆰 ２－１ B􀆰１－ ２ C􀆰 ２ D􀆰－ ２ 【对应训练】 位置关系(有时交点 的认识． ．如图 数轴上点A所表示的数为a 则a的值是 在圆心左侧);()作 １ , , (B ) ２ 弧时所取的圆心在数 轴上表示的数(有时 不是 )． ０ A􀆰 ５＋１ B􀆰 ５－１ C􀆰－ ５＋１ D􀆰－ ５－１ ．教材 练习第 题． ２ P２９ ２,３ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 你会用勾股定理证明 吗 你会在数轴上画出表示无理数的点吗 “HL” ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P３０~３２ ２０１ ６,７,８,１１,１３,１４ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 勾股定理及其应用 ２０１ 第 课时 利用勾股定理作图 计算 板书设计 ３ 、 ．利用勾股定理证明 ． １ “HL” ．利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点． ２ 本节课的重点和难点是在数轴上画出表示无理数的点 学生之前没有接触过这类题型 教学中教师要 教学反思 , , 引导学生积极地发表自己的看法 梳理所学到的知识 逐步探究 加深对知识的理解和巩固． , , , ３２􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 利用勾股定理进行几何作图 例１ 如图 正方形网格中每个小正方形的边长都是 小正方形的顶点称为格点 在正方形网格中分别画出下列图形 , １, , : 在图 的网格中画出长为 的线段AB (１) ① ５ ; 在图 的网格中画出腰DEDF的长为 面积为 的等腰三角形DEF (２) ② , １０, ３ ; 在图 的网格中画出三边长分别为 的三角形 并直接写出其面积为 ． (３) ③ ５,１３,２５ , ４ 解: 如图 由 ２ ２ 可以构造一个两条直角边长分别为 和 的直角三角形 则斜边AB的长为 ． (１) ①, ５＝ １＋２ １ ２ , ５ 如图 由 ２ ２ 可以构造一个底边长为 高为 的等腰三角形DEF． (２) ②, １０＝ １＋３ ６, １ 由 可以构造如图 所示的三角形 ２ ２ ２ ２ ２ ２ (３) ５＝ １＋２ ,１３＝ ２＋３ ,２５＝ ２０＝ ２＋４ ③ , 此三角形的面积为 １ １ １ ． ３×４－ ×１×２－ ×２×３－ ×２×４＝４ ２ ２ ２ 例２ 在正方形网格中 每个小正方形的边长都为 点A和直线l的位置如图所示． , １, 将点A向右平移 个单位长度 再向上平移 个单位长度得到点B 请在图 中标出点B 并写出线段AB的长度 (１) ６ , ２ , ① , : ２ １０ ; 在 的条件下 在直线l上确定一点P 使PA PB的值最小 在图 中保留作图痕迹 并直接写出PA PB的最 (２) (１) , , ＋ , ① , ＋ 小值 : ６２ ; 在 的条件下C为直线l上的格点 ABC是以AB为斜边的直角三角形 请在图 中标出点C 并写出线段AC (３) (１) , ,△ , ② , 的长度 或 ． : ２２ ２５ 解析:()如图 ,AB ２ ２ ．故答案为 ． １ ① ＝ ２＋６ ＝２ １０ ２ １０ ()如图 ,PA PB PA′ PB A′B ２ ２ ．故答案为 ． ２ ① ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ６＋６ ＝６２ ６２ ()如图 ,存在两个符合条件的点,分别为C,C,AC ２ ２ ,AC ２ ２ ．故答案为 或 ． ３ ② １ ２ １＝ ２＋２＝２２ ２＝ ２＋４＝２５ ２２ ２５ 解题大招二 利用勾股定理解决最短路线问题 例３ 如图是一个三级台阶 它的每一级的长 宽 高分别为 A和B是这个台阶 , 、 、 ２０dm,３dm,２dm, 上两个相对的端点 点A处有一只蚂蚁 想到点B处去吃可口的食物 则蚂蚁沿台阶面爬行到点B的 , , , 最短路程是 (B ) A􀆰２０dm B􀆰２５dm C􀆰３０dm D􀆰３５dm 解析:如图,三级台阶平面展开图为长方形,长为 ,宽为( ) ( ), ２０dm ３＋２×３＝１５dm 则蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是此长方形的对角线长． 故蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程为 ２ ２ ( )． ２０＋１５ ＝２５dm 故选 B．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 例４ 如图 圆柱形玻璃杯的高为 底面周长为 在杯内壁离杯底 的点 , １４cm, ３２cm, ５cm B处有一滴蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿 且与蜂蜜相对的点A处 则 , , ３cm , 该蚂蚁从外壁A处爬到内壁B处的最短路程为 ．杯壁厚度不计 ２０ cm( ) 解析:将圆柱体侧面展开,如图所示, 作点A关于PS的对称点A′,连接A′B交PS于点C, 则蚂蚁从点A爬到点C,再爬到点B,爬行的路程最短,最短路程等于A′B的长． PA′ PA ,OQ ,PQ ,PS , ∵ ＝ ＝３cm ＝５cm ＝１４cm ＝３２cm OA′ ( ),OB １PS ． ∴ ＝１４＋３－５＝１２cm ＝ ＝１６cm ２ 在 A′OB中,可得A′B ２ ２ ( )． Rt△ ＝ １２＋１６ ＝２０cm 故该蚂蚁从外壁A处爬到内壁B处的最短路程为 ．故答案为 ． ２０cm ２０ 例５ 如图 长方体的长 宽 高分别为 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A , 、 、 ８cm,４cm,５cm, 爬到点B 则蚂蚁爬行的最短路径的长是 ． , １４５ cm 解析:把长方体按前面、上面展开如图 ,由勾股定理可得AB ２ ( ) ２ ( ); ① ＝ ８＋５＋４ ＝ １４５cm 把长方体按前面、右面展开如图 ,由勾股定理可得AB ( ) ２ ２ ( ); ② ＝ ８＋４ ＋５ ＝１３cm 把长方体按左面、上面展开如图 ,由勾股定理可得AB ( ) ２ ２ ( )． ③ ＝ ８＋５ ＋４ ＝ １８５cm , 蚂蚁爬行的最短路径的长是 ．故答案为 ． ∵ １４５＜１３＜ １８５ ∴ １４５cm １４５ 培优点 勾股定理与线段和的最小值问题 例 如图 C为线段BD 上一动点 分别过点BD 作AB BDED BD 已知AB ①, , , ⊥ , ⊥ , ＝５, DE BD 连接ACCE．设CD x． ＝１, ＝８, , ＝ 用含x的代数式表示AC CE的长． (１) ＋ 当点C满足什么条件时 AC CE的值最小 求出这个最小值． (２) , ＋ ? 根据上述结论 构图求出代数式 x２ x２ 的最小值． (３) , ＋９＋ (１５－ )＋２５ 解: AC CE x２ x２ ． (１) ＋ ＝ (８－ )＋２５＋ ＋１ 当ACE三点共线时 AC CE的值最小． (２) ,, , ＋ 如图 过点A作AF ED的延长线于点F 连接AEAC CE的最小值即为AE的长． ①, ⊥ , , ＋ 易知AF BD DF AB ＝ ＝８, ＝ ＝５, EF DF DE ． ∴ ＝ ＋ ＝５＋１＝６ 在 AEF中 AE AF２ EF２ ２ ２ Rt△ , ＝ ＋ ＝ ８＋６ ＝１０, AC CE的最小值是 ． ∴ ＋ １０ 如图 作BD 过点B作AB BD 过点D作ED BD 使AB DE 连接 (３) ②, ＝１５, ⊥ , ⊥ , ＝３, ＝５, AE交BD于点C 设BC x 则AE的长即为代数式 x２ x２ 的最小值． , ＝ , ＋９＋ (１５－ )＋２５ 如图 过点A作AF ED的延长线于点F 可得长方形ABDF , ⊥ , , 则DF AB AF BD EF DE DF ＝ ＝３, ＝ ＝１５, ＝ ＋ ＝５＋３＝８, AE AF２ EF２ ２ ２ ∴ ＝ ＋ ＝ １５＋８ ＝１７, 即 x２ x２ 的最小值为 ． ＋９＋ (１５－ )＋２５ １７２０．２ 勾股定理的逆定理及其应用 第 课时 勾股定理的逆定理 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 勾股定理的逆定理 授课人 ２０２ １ ．理解并掌握勾股定理的逆定理 能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形． １ , 素养目标 ．探究勾股定理的逆定理的证明方法 感悟数形结合思想的应用． ２ , ．会认识并判断勾股数 由特殊到一般寻找勾股数规律． ３ , 教学重点 勾股定理的逆定理的理解及其应用． 教学难点 探究勾股定理的逆定理． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 【教学建议】 活动一:逆向思 如图给出了确定直角的一种方法:把一根长绳打上等距离 给学生说明,数 考,导入新课 的 个结,然后以 个结间距、个结间距、个结间距的长度 学中有很多定理的逆 １３ ３ ４ ５ 为边长,用木桩将长绳钉成一个三角形,其中一个角便是直角． 命题也是正确的,但 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 由勾股定理可以知道,直角三角形的两条直角边长的平 需要经过严格的论证． 􀪋通􀪋过􀪋对􀪋勾􀪋股定􀪋理􀪋 方和等于斜边长的平方．反过来,如果三角形的三条边满足两 内容的逆向思考, 条边长的平方和等于第三条边长的平方,那么这个三角形是不是直角三角形呢? 引出勾股定理的 􀆺􀆺 逆定理的学习． 上述方法意味着,如果围成三角形的三边长分别为 ,,,它们满足关系“ ２ ３４５ ３＋ ２ ２ ”,那么围成的三角形是直角三角形．一般地,满足两条边长的平方和等于第 ４＝５ 三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢? 探究点 勾股定理的逆定理 【教学建议】 活动二:问题引 入,自主探究 １．观察与猜想 引导学生发现直 观察(教材 观察) 角都是两条较短边所 (１) P３４ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 画一画 如果三角形的三边长分别为 ． ． 它们满足关系 ．２ 夹的角． , ２５cm,６cm,６５cm, “２５＋ 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生动􀪋手􀪋探􀪋 ６ ２ ＝６ ． ５ ２ ”, 画出的三角形是直角三角形吗 ? 换成三边长分别为 ４cm,７ ． ５cm, ． 再试一试． 究,发现勾股定 ８５cm, 理的逆定理． 答 : 两次画出的三角形都是直角三角形． 猜想 (２) 【教学建议】 通过上面的尝试 你能得到什么样的猜想 , ? 学习了勾股定理 答 如果三角形的三边长abc满足a２ b２ c２ 那么这个三角形是直角三 : ,, ＋ ＝ , 的逆定理之后,可以 角形． 给学生总结判定直角 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ２．证明 三角形的两种思路: 上面只是我们的猜想 怎么证明它呢 如图 􀪋通􀪋过􀪋证􀪋明􀪋,让􀪋学􀪋 , ? ①, ()从角的方面考虑: 生体会数学结论 已知 △ ABC的三边长分别为a , b , c , 且满足a２ ＋ b２ ＝ 证 １ 明有一个角是直角 的严谨性,并提 c２ , 怎么证明 △ ABC是直角三角形呢 ? (或两个内角互余); 回想上节课中用勾股定理证明 借助全等 升推理能力． “HL”, ()从边的方面考虑: 三角形的知识 , 如图 ②, 作一个 Rt△ A′B′C′ , 使B′C′ 证 ２ 明两边长的平方和 ＝ a , A′C′ ＝ b ,∠ C′ ＝９０° ． △ ABC与 △ A′B′C′全等吗 ? 可以说明 △ ABC是直角三 等于第三边长的平方． 角形吗 ? ３５教学步骤 师生活动 答 全等． : 根据勾股定理 A′B′２ B′C′２ A′C′２ a２ b２． , ＝ ＋ ＝ ＋ 因为a２ b２ c２ 所以A′B′ c． ＋ ＝ , ＝ 在 ABC和 A′B′C′中BC a B′C′AC b A′C′AB c A′B′ △ △ , ＝ ＝ , ＝ ＝ , ＝ ＝ , 所以 ABC A′B′C′ ．所以 C C′ 即 ABC是直角三角形． △ ≌△ (SSS) ∠ ＝∠ ＝９０°, △ 归纳总结:我们证明了勾股定理的逆命题是正确的,它也是一个定理．这个定 理叫作勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 例１ (教材 例 )判断由线段abc组成的三角形是不是直角三角形 P３５ １ ,, : a b c 􀪋通􀪋过􀪋计􀪋算􀪋,加􀪋强􀪋 (１)＝８,＝１５,＝１７; a b c ． 对勾股定理的逆 (２)＝１４,＝１３,＝１５ 分析:根据勾股定理及其逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要判 定理的掌握． 断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 解 因为 ２ ２ ２ 所以 ２ ２ ２．根据勾股 :(１) ８＋１５＝６４＋２２５＝２８９,１７＝２８９, ８＋１５＝１７ 定理的逆定理 由线段abc组成的三角形是直角三角形． , ,, 因为 ２ ２ ２ (２) １４＋１３＝１９６＋１６９＝３６５,１５＝２２５, 所以 ２ ２ ２．根据勾股定理 由线段abc组成的三角形不是直角三 【教学建议】 １４＋１３≠１５ , ,, 角形． 提醒学生,勾股 延伸概念:像 , , 这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称 数必须满足两个条 ８１５１７ 为勾股数． 件: 以三个数为边 ① 【对应训练】 长的三角形是直角三 ．教材 练习． 角形; 三个数必须 １ P３６ ② ．有下列 组数 ． ． ． ．其中 勾 是正整数． ２ ４ :①７,２４,２５;②８,１５,１９;③０６,０８,１０;④３０,４０,５０ , 股数有 (B ) 组 组 组 组 A􀆰１ B􀆰２ C􀆰３ D􀆰４ 例２ 四边形ABCD的各边长如图所示 对角线BD 求四边形ABCD 【教学建议】 活动三:重点突 , ＝１０, 的面积． 提醒学生记住常 破,提升探究 解 AD AB BD CD BC 见的几组勾股数:, :∵ ＝８, ＝６, ＝１０, ＝２６, ＝２４, ３ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ∴ AB２ ＋ AD２ ＝ BD２ , BD２ ＋ BC２ ＝ CD２． ４ , ５ ; ６ , ８ , １０ ; ５ , １２ , １３ ; ABD和 BCD都是直角三角形 , , ;, , ,碰 􀪋加􀪋强􀪋学􀪋生对􀪋勾􀪋股􀪋 ∴△ △ , ７２４２５８１５１７ 且 A CBD ． 到时就可以较快地联 定理的逆定理的 ∠ ＝９０°,∠ ＝９０° 想到直角三角形． 运用能力． ∴ S四边形ABCD＝ S △ ABD＋ S △ BCD＝ １ ×６×８＋ １ ×１０×２４＝１４４ ． ２ ２ 答 四边形ABCD的面积是 ． : １４４ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 勾股定理的逆定理是什么 什么样的数叫作勾股数 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P３８ ２０２ １,２,６ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ３６教学步骤 师生活动 ． 勾股定理的逆定理及其应用 ２０２ 第 课时 勾股定理的逆定理 板书设计 １ ．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长abc满足a２ b２ c２ 那么这个三角形是直角三角形． １ : ,, ＋ ＝ , ．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数． ２ : , 本节课通过对勾股定理内容的逆向思考 让学生动手操作 猜想并验证勾股定理的逆定理 体会了数学 , , , 教学反思 结论的严谨性 并延伸出了勾股数的概念 过程中要引导学生积极参与．本节课的难点在于勾股定理的逆定 , , 理的证明 要适当给予学生提示和引导 提升学生学好数学的信心． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 培优点一 运用勾股定理的逆定理判断三角形形状 若a２ b２ c２ 则以abc为三边长的三角形是钝角三角形 ＋ ＜ , ,, ; 若a２ b２ c２ 则以abc为三边长的三角形是直角三角形 ＋ ＝ , ,, ; 若a２ b２ c２ 则以abc为三边长的三角形是锐角三角形． ＋ ＞ , ,, 在以上三角形中c均为最长边 ( , ) 例１ 已知 ABC的三边长分别为abca m２ n２b mnc m２ n２ 其中mn是正整数 且m n 试判断 △ ,,,＝ － ,＝２ ,＝ ＋ , , , ＞ , ABC是否为直角三角形． △ 分析:本题中已给出三角形的三边长,判断该三角形是否为直角三角形,只需看两条较小边长的平方和是否等于最大边 长的平方就可以了,其关键是确定最大边长． 解:因为mn是正整数 且m n 所以c b m２ n２ mn m n２ c a m２ n２ m２ n２ n２ 所以 , , ＞ , － ＝ ＋ －２ ＝( － )＞０,－ ＝ ＋ －( － )＝２ ＞０, c bc a．所以 ABC的最大边长为c．因为a２ b２ m２ n２ ２ mn２ m４ m２n２ n４ m２n２ m４ m２n２ n４ ＞ ,＞ △ ＋ ＝( － )＋(２ )＝ －２ ＋ ＋４ ＝ ＋２ ＋ , c２ m２ n２ ２ m４ m２n２ n４ 所以a２ b２ c２．所以 ABC是直角三角形． ＝( ＋ )＝ ＋２ ＋ , ＋ ＝ △ 例２ 若 ABC的三边长abc满足a２ b２ c２ a b c试判断 ABC的形状． △ ,, ＋ ＋ ＋２００＝１２ ＋１６ ＋２０, △ 分析:由等式条件来判断三角形的形状,就是将已知的等式进行代数恒等变形,再根据它的结构特点,得出a,b,c的关 系,从而判断三角形的形状． 解:由已知得a２ b２ c２ a b c 所以a２ a b２ b c２ c 所以 ＋ ＋ －１２ －１６ －２０＋２００＝０, ( －１２ ＋３６)＋( －１６ ＋６４)＋( －２０ ＋１００)＝０, a ２ b ２ c ２ ．因为a ２ b ２ c ２ 所以a ２ b ２ c ２ ．所 (－６)＋(－８)＋(－１０)＝０ (－６)≥０,(－８)≥０,(－１０)≥０, (－６)＝０,(－８)＝０,(－１０)＝０ 以a b c ．所以a２ b２ ２ ２ ２ c２．所以 ABC是直角三角形． ＝６,＝８,＝１０ ＋ ＝６＋８＝３６＋６４＝１００＝１０＝ △ 培优点二 有关勾股数的探究题 满足a２ b２ c２ 的三个正整数abc称为勾股数． (１) ＋ ＝ ,, 勾股数有无数组 如对于任意两个整数mnm n 用含字母的代数式表示勾股数 (２) , ,( ＞ ＞０), : n２ nn２ n n为正整数 －１,２ , ＋１(≥２, ); n n２ n n２ n n为正整数 ２ ＋１,２ ＋２ ,２ ＋２ ＋１( ); m２ n２ mnm２ n２m nmn为正整数 ． － ,２ , ＋ ( ＞ , , ) 如果abc为一组勾股数 那么nanbncn是正整数 也是一组勾股数． (３) ,, , , , ( ) 例如 是一组勾股数 则 也是一组勾股数 也是一组勾股数． ３,４,５ , ６,８,１０ ,９,１２,１５ 注意:只满足勾股定理,但不满足都是正整数的三个数不是勾股数． 例３ 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 授课人 ２０２ ２ ．理解勾股定理与其逆定理的区别和联系． 素养目标 １ ．灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题 培养应用数学的意识． ２ , 教学重点 灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题． 教学难点 割补思想 转化思想和数形结合思想的应用． 、 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境导入】 【教学建议】 境,导入新课 如图,已知小岛B与港口A相距 ,一艘船C位 指定学生回答, ５nmile 于港口A正东方向 处,与小岛B相距 ,根据 提醒学生 , 分别表 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ３nmile ４nmile EN 这些条件能知道小岛B在船C的哪个方向吗? 示东、北两个方向． 􀪋通􀪋过􀪋实􀪋际􀪋情􀪋境􀪋, 激发学生的学习 兴趣． 活动二:问题引 探究点１ 勾股定理的逆定理的实际应用 【教学建议】 入,自主探究 例１ (教材 例 )如图 港口P位于东西方向的海岸 告诉学生可先根 P３６ ２ , 线上．远航 号 海天 号轮船同时离开港口 各自沿一固定方 据已知条件计算出各 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 “ ” 、“ ” , 向航行 远航 号每小时航行 海天 号每小时航行 边长,再利用勾股定 􀪋培􀪋养􀪋学􀪋生利􀪋用􀪋勾􀪋 ,“ ” １６nmile,“ ” ．它们离开港口 ． 后分别位于点QR处 且相距 理及其逆定理判断三 股定理的逆定理 １２nmile １５h , , ．如果 远航 号沿东北方向航行 那么 海天 号沿什么 角形是否为直角三角 解决实际问题的 ３０nmile “ ” , “ ” 方向航行 形,最后解答问题． 能力． ? 分析:在图中可以看到,由于“远航”号的航向已知,如果能求出两艘轮船的航 向所成的角,就能知道“海天”号的航向了． 解 根据题意 PQ ． PR ． QR ． : , ＝１６×１５＝２４, ＝１２×１５＝１８, ＝３０ 因为 ２ ２ ２ 即PQ２ PR２ QR２ 所以 QPR ． ２４＋１８＝３０, ＋ ＝ , ∠ ＝９０° 由 远航 号沿东北方向航行可知 ． “ ” ,∠１＝４５° 因此 即 海天 号沿西北方向航行． ∠２＝４５°, “ ” 【对应训练】 教材 练习第 题． P３７ １,２ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋【教􀪋学􀪋􀪋建􀪋议􀪋】 􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 勾股定理及其逆定理的综合应用 ()指定学生代 􀪋将􀪋勾􀪋股􀪋定􀪋理􀪋及􀪋 勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么 １ ? 表回答,教师总结勾 其逆定理结合 答 股定理及其逆定理的 : ()勾股定理是已知直角三角形,得出三边之间的关系;勾股定 起来考查,提升 区别 理 １ 的逆定理是已知三角形的三边关系,得出直角三角形; 区别和联系． 对知识的综合运 ()提醒学生:已 ()勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理 ２ 用能力． ２ 知直角三角形时,要 联系 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关 联想到应用勾股定理 求长度;已知三角形 例２ 教材 例 如图 在四边形ABCD中 AB ( P３７ ３) , , 的三边长时,要联想 BC AD ５ DC １３．如果AC BC 判断AC 到应用勾股定理的逆 ＝５, ＝３, ＝ ３ , ＝ ３ ⊥ , 定理找直角．注意直角 与AD是否也垂直 , 并说明理由． 的邻补角也是直角． ３８教学步骤 师生活动 分析:若能求出AC的长,就可以根据勾股定理或其逆定理判断 ACD是不 △ 是直角三角形,从而判断AC是否垂直于AD． 解 因为AC BC 所以 ACB ． : ⊥ , ∠ ＝９０° 在 ABC中 AC２ AB２ BC２ ２ ２ ．所以AC ． Rt△ , ＝ － ＝５－３＝１６ ＝４ ( ) 在 ACD中 AC２ AD２ ２ ５ ２ １６９ △ , ＋ ＝４＋ ＝ , ３ ９ ( ) CD２ １３ ２ １６９ 所以AC２ AD２ CD２． ＝ ＝ , ＋ ＝ ３ ９ 因此 ACD是直角三角形 即AC AD． △ , ⊥ 【对应训练】 教材 练习第 题． P３７ ３ 活动三:重点突 例３ 如图 , 在四边形ABCD中 , AB ＝ BC ＝２, CD ＝３, DA ＝１, 且 ∠ B ＝９０°, 【教学建议】 破,提升探究 求 BAD的度数． ∠ 提示学生:()已 解 如图 连接AC． １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : , 知直角时,要构造相 B AB BC ∵∠ ＝９０°, ＝ ＝２, 应的直角三角形并利 􀪋将􀪋勾􀪋股􀪋定理􀪋及􀪋其􀪋 AC AB２ BC２ BAC ． 用勾股定理求边长; 逆定理与其他几 ∴ ＝ ＋ ＝２２,∠ ＝４５° 何知识综合起来 ∵ CD ＝３, DA ＝１,∴ AC２ ＋ DA２ ＝８＋１＝９＝ CD２． ( ２ )仅知道三角形的 考查,培养对各 ∴△ ACD是直角三角形 , 且 ∠ CAD ＝９０° ． 边长求角度时,所求 知识点特征的敏 BAD BAC CAD ． 角度一般比较特殊, ∴∠ ＝∠ ＋∠ ＝４５°＋９０°＝１３５° 感度,使知识的 【对应训练】 要联想到直角三角 综合运用能力得 如图 正方形ABCD是由 个边长为 的小正方形组成 形、等腰三角 形 等; , ９ １ 到升华． 的 点EF均在格点 每个小正方形的顶点都是格点 上 连接 ()网格中求角度,一 , , ( ) , ３ AEAF 求 EAF的度数． 般先构造出相应的三 , , ∠ 解 如图 连接EF 角形,再利用勾股定 : , , 则AE ２ ２ EF ２ ２ 理求各边长,然后利 ＝ １＋２ ＝ ５, ＝ １＋２ ＝ ５, 用勾股定理的逆定理 AF ２ ２ AE２ EF２ ２ ２ ２ AF２． ＝ １＋３ ＝ １０,∴ ＋ ＝(５)＋(５)＝１０＝( １０)＝ 找直角,也可能涉及 AEF是直角三角形 且 AEF ． 又 ∴△ AE EF EAF , E ∠ FA ＝９０ ． ° “等边对等角”． ＝ ,∴∠ ＝∠ ＝４５° 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 不用量角器 怎么检验一个直角是否标准 勾股定理及其逆定理的区别和联系是什么 , ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P３８ ２０２ ３,４,５ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 勾股定理的逆定理及其应用 ２０２ 第 课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 ２ 板书设计 ．勾股定理的逆定理的应用． １ ．勾股定理及其逆定理的区别和联系． ２ ．勾股定理及其逆定理的综合应用． ３ 本节课的重点在于利用勾股定理的逆定理解决实际问题 教学中要注意引导学生将实际问题抽象为数 , 教学反思 学问题．难点在于让学生将勾股定理及其逆定理结合起来并灵活运用 因此要让学生清楚勾股定理及其逆 , 定理的区别和联系 培养出 知直角 求边长 知三边 找直角 的意识． , “ , ; , ” ３９􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 培优点 勾股定理及其逆定理的综合应用 例１ 如图 在正方形网格中 从在格点上的点ABCD中任取三点 所构成的三角形恰好是直角 , , , ,, , 三角形的个数为 (C ) A􀆰１ B􀆰２ C􀆰３ D􀆰４ 解析:如图,连接AB,AC,AD,BC,BD,CD,设小正方形的边长为 ,由勾股定理,得 １ AB２ ２ ２ ,AC２ ２ ２ ,AD２ ２ ２ ,BC２ ２ ,BD２ ２ ２ ,CD２ ２ ２ , ＝１＋２＝５ ＝２＋４＝２０ ＝１＋３＝１０ ＝５＝２５ ＝１＋２＝５ ＝１＋３＝１０ AB２ AC２ BC２ ,AD２ CD２ AC２ ,AB２ BD２ AD２ , ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ABC, ADC, ABD是直角三角形,即共 个直角三角形．故选 ． ∴△ △ △ ３ C 例２ 如图 在正方形ABCD中E是BC的中点 点F在AB上 且BF １AB． , , , , ＝ ４ 请你判断EF与DE的位置关系 并说明理由 (１) , ; 若此正方形的面积为 求DF的长． (２) １６, 分析:平面内两直线的位置关系有两种:平行和相交,EF和DE都过点E,说明它们相交,如只考虑相 交还不够,需考虑相交的特殊情况———垂直．从图中观察EF与DE是垂直的,故设正方形的边长为a,利用勾股定理,用含a 的代数式分别表示DE２ ,EF２ ,DF２ ,再利用勾股定理的逆定理判断 DFE是否为直角三角形,再判断EF DE是否成立． △ ⊥ 解: EF DE．理由 (１) ⊥ : 设正方形的边长为a 则AD CD aAF ３aBF １aBE CE １a A B C ． , ＝ ＝ , ＝ , ＝ , ＝ ＝ ,∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０° ４ ４ ２ ( ) 在 CDE中 DE２ CD２ CE２ a２ １a ２ a２ １a２ ５a２． Rt△ , ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ２ ４ ４ ( ) ( ) 在 EFB中EF２ BF２ BE２ １a ２ １a ２ １a２ １a２ ５a２． Rt△ , ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ４ ２ １６ ４ １６ ( ) 在 DAF中 DF２ AD２ AF２ a２ ３a ２ a２ ９a２ ２５a２． Rt△ , ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ４ １６ １６ DE２ EF２ ５a２ ５a２ ２５a２ DF２ ∵ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ , ４ １６ １６ DEF为直角三角形 且 DEF ． ∴△ , ∠ ＝９０° EF DE． ∴ ⊥ 正方形的面积为 a２ ． (２)∵ １６,∴ ＝１６ DF２ ２５a２ ２５ DF ． ∵ ＝ ＝ ×１６＝２５,∴ ＝５ １６ １６ 例３ 如图 MN以西为我国领海 以东为公海 某日上午 时 分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C以 , , , ９ ５０ 每小时 的速度沿CD方向偷偷向我国领海开来 便立即通知正在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意 并告知A １３nmile , , 和C两艇的距离是 缉私艇B测得A与其距离为 C与其距离为 若走私艇C的速度不变 最早 １３nmile, ５nmile, １２nmile, , 在什么时间进入我国领海 ? 解: AB２ BC２ ２ ２ ２ AC２ ∵ ＋ ＝５＋１２＝１６９＝１３＝ , ABC为直角三角形 且 ABC ． ∴△ , ∠ ＝９０° {x２ BD２ ２ 又BD AC 可设CD x ＋ ＝１２,① ⊥ , ＝ nmile,∴ x２ BD２ ２． (１３－ )＋ ＝５ ② 得x２ x２ ２ ２ 即 x ①－②, －(１３－ )＝１２－５, ２６ －１６９＝１１９, 解得x １４４．CD １４４ ． ＝ ∴ ＝ nmile １３ １３ １４４ １４４ ． ． ∵ ÷１３＝ ≈０８５(h)＝５１(min),９h５０min＋５１min＝１０h４１min １３ １６９ 走私艇最早约在 时 分进入我国领海． ∴ １０ ４１第二十一章 四边形 ２１．１ 四边形及多边形 ２１．１．１ 四边形及其内角和 教学目标 课题 ．． 四边形及其内角和 授课人 ２１１１ ．了解四边形的概念及四边形的边 顶点 对角线 内角与外角． １ 、 、 、 素养目标 ．探索并掌握四边形的内角和与外角和 提升推理能力． ２ , ．了解四边形的不稳定性及其在生活中的一些应用． ３ 教学重点 四边形的内角和． 教学难点 四边形的内角和与外角和的推导． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境引入】 【教学建议】 境,引入新知 现实世界的很多物体中都有四边形的形象,例如,宏伟的建筑、一望无际的农 让学 生 交 流 互 田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂􀆺􀆺 动,列举生活中见到 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 的四边形的例子,丰 􀪋通􀪋过􀪋日􀪋常生􀪋活􀪋场􀪋 富课堂学习氛围． 景,引出四边形 的学习,激发学 生兴趣． 与三角形一样,四边形也是一种基本的几何图形．本节我们类比三角形,学习 四边形的一些概念和性质,并把它们推广到多边形． 【教学建议】 探究点１ 四边形的相关概念 活动二:类比学 四边形的相关概 １．四边形及其边、顶点,四边形的表示方法 习,探究新知 念可以类比三角形来 类比三角形 根据教材内容填一填四边形的相关概念内容． , 学习．但应注意:三角 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 三角形 四边形 形的三个顶点总是在 􀪋认􀪋识􀪋四􀪋边形􀪋及􀪋其􀪋 由不在同一条直线上的三条线 在平面内,由 不在同一直线上 一个平面内,也就是 相关要素,并为 概念 段首尾顺次相接所组成的图形 的􀪍􀪍四􀪍条􀪍线段 首尾顺次相接 组 说三角形肯定是平面 后面的学习打下 叫作三角形 成的图形叫作四边形 图形,但四个点可能 基础． 不共面,所以四边形 组成三角形的线段叫作三角形 组成 四边形 的各条线段叫作 的定义中,“在平面 边 的边 四边形的边 内”这个前提􀪍不􀪍能􀪍遗 漏􀪍,后􀪍面􀪍􀪍学􀪍习􀪍多􀪍边􀪍形 相邻两边的公共端点叫作三角 每相邻两条 线段的公共端点 顶点 形的顶点 叫作四边形的 顶点 的􀪍定义也应注意这点． 图形及 记法 记作: ABC 记作: 四边形ABCD △ ４１教学步骤 师生活动 设计意图 ２．凸四边形 􀪋准􀪋确􀪋理􀪋解凸􀪋四􀪋边􀪋 如图 画出四边形ABCD的任何一条边 例如CD 所在直线 整个四边形都在 , ( ) , 形的概念． 这条直线的同一侧 这样的四边形叫作凸四边形． , 在图 中已经画出了边CD所在直线 发现整个四边形都在这条直线的同 (１) ① , 一侧．请你自己动手 在图 中画出剩下的三条边所在直线 对于每一条直线 观察 , ① , , 四边形ABCD的位置 看整个四边形是否都在这条直线的同一侧． , 答 如图 对于每一条边所在的直线 整个四边形都在这条直线的同一侧． : ①, , 观察图 对于边CD 或BC 所在直线 整个四边形都在这条直线的同一 (２) ②, ( ) , 侧吗 四边形ABCD是不是凸四边形 ? ? 答 对于边CD 或BC 所在直线 整个四边形不都在这条直线的同一侧．四边 : ( ) , 形ABCD不是凸四边形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 􀪋认􀪋清􀪋四􀪋边􀪋形的􀪋内􀪋 角与外角,为后面 内角和与外角和 的探究打下基础． ４２ 􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋 【教学建议】 让学生动手画图, 厘清凹四边形与凸四 边形的区别．对于凹四 边形的概念,教学中 不必说明,只要让学 生明白此类四边形不 是凸四边形即可． 特别规定:今后,如无特殊说明,所讨论的四边形都是凸四边形． ３．四边形的对角线 【教学建议】 连接四边形不相邻的两个顶点的线段 叫作四边形的对 给学生说明: , 角线．在图中 ACBD是四边形ABCD的两条对角线 它们 ()四边形的每 , , , １ 分别将四边形ABCD分为两个三角形． 一个顶点处可以画出 ４．四边形的内角与外角 两个外角(如 , ), ∠１∠２ 与三角形类似 四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角 简称四边形的 且这两个外角是相等 , , 角 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边 的．一般我们讨论外角 ; 形的外角． 问题时,每个顶点处 四边形ABCD如图所示．请你将它的所有内角表示 任选其中一个外角探 (１) 出来． 讨即可; 解 它的所有内角为 A B C D． ()我们在画顶 : ∠ ,∠ ,∠ ,∠ ２ 对于 中的四边形ABCD 请你画出顶点AC 点处的外角时,两边 (２) (１) , , 处的外角． 的延长线也形成了一 解 如图 顶点A处的外角为 顶点C处的 个夹角,注意这个角 : , ∠１,∠２, 外角为 ． 不是四边形的外角． ∠３,∠４ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 四边形的内角和与外角和 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生在􀪋三􀪋角􀪋 １．四边形的内角和 形的内角和定理 思考(教材 思考):我们知道 三角形的内角和是 长方形的内角和是 P４７ , １８０°, 的基础上推导出 ３６０° ．那么 , 任意一个四边形的内角和是多少度 ? 你能证明你的结论吗 ? 【教学建议】 四边形的内角 如图 在四边形ABCD中 连接对角线AC 则四边形 , , , 厘清思路之后,指 和,加强知识之 ABCD被分为 ABC和 ACD两个三角形． △ △ 定学生上台板演,推导 间的联系,提升 ABC的三个内角为 B ． (１)△ ∠１ , ∠ , ∠３ 出四边形的内角和． 推理能力． ACD的三个内角为 D ． (２)△ ∠２ , ∠４ , ∠ 观察图形 四边形ABCD的内角和与 ABC的内 (３) , △ 角和 ACD的内角和之间有什么等量关系 、△ ? 答 四边形ABCD的内角和 ABC的内角和 ACD的内角和． : ＝△ ＋△教学步骤 师生活动 根据以上分析 请你求出四边形ABCD的内角和． (４) , 答 在 ABC中 由三角形内角和定理 得 : △ , , B D ． ∠１＋∠ ＋∠３＝１８０°,∠２＋∠４＋∠ ＝１８０° 由此可得 DAB B BCD D B D ∠ ＋∠ ＋∠ ＋∠ ＝∠１＋∠２＋∠ ＋∠３＋∠４＋∠ B D ． ＝(∠１＋∠ ＋∠３)＋(∠２＋∠４＋∠ )＝１８０°＋１８０°＝３６０° 归纳总结:四边形的内角和等于 ． ３６０° 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ２．四边形的外角和 例 (教材 例 )如图 在四边形的每个顶点处各取一个外角 这些外角的 􀪋在􀪋四􀪋边􀪋形内􀪋角􀪋和􀪋 P４７ １ , , 和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少 的基础上,结合 ? 【教学建议】 分析:因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角,所以四边形的外 邻补角,运用整 这里 给 学 生 强 角和与内角和的总和为 ．根据这个关系,可以利用四边形的内角和求出其 体思想推导出四 ４×１８０° 调,四边形的外角和, 外角和． 边形的外角和． 只从每个顶点处取一 解 如图． DAB与 是邻补角 : ∵∠ ∠１ , 个外角． DAB ．同理 ABC ∴∠ ＋∠１＝１８０° ∠ ＋∠２＝１８０°, BCD CDA ． ∠ ＋∠３＝１８０°,∠ ＋∠４＝１８０° DAB ABC BCD ∴∠ ＋∠１＋∠ ＋∠２＋∠ ＋∠３＋ CDA ． ∠ ＋∠４＝７２０° 而 DAB ABC BCD CDA ∠ ＋∠ ＋∠ ＋∠ ＝３６０°, ． ∴∠１＋∠２＋∠３＋∠４＝３６０° 归纳总结:四边形的外角和等于 ． ３６０° 【对应训练】 教材 练习第 题． P４９ １,２ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点３ 四边形的不稳定性 【教学建议】 􀪋结􀪋合􀪋生􀪋活􀪋经􀪋验􀪋, (教材 探究) 可提前准备好道 P４８ 学习四边形的不 如图 在每个角上钉一枚钉子 将四根木条钉成一个四 具,让学生真实体验, (１) ①, , 稳定性,体会数 边形木架 然后扭动它 它的形状会改变吗 加深印象;还可让学 , , ? 学的应用价值． 答 可以发现 四边形木架的形状会改变．因为四边形的四条 生从生活中的场景多 : , 边确定后 四个角并不确定 这说明四边形不具有稳定性． 举例子,加强互动． , , 如图 在四边形木架上再钉一根木条 将它的一对不相 (２) ②, , 邻的顶点连接起来 然后再扭动它 这时木架的形状还会改变吗 , , ? 为什么 ? 答 再钉一根木条后 四边形木架变成两个三角形木架 由于 : , , 三角形具有稳定性 这时四边形木架的形状不会改变． , 在日常生活中 有时需要利用四边形的不稳定性 如图 中的伸缩门 升降机 , , ① 、 等 有时又需要克服四边形的不稳定性 如图 中在窗框未安装好之前 木工师傅 ; , ② , 常常先在窗框上钉一根木条 以防窗框变形等． , 【对应训练】 教材 练习第 题． P４９ ３ ４３教学步骤 师生活动 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 什么是四边形 四边形的组成要素有哪些 四边形的内角和是多少 我们是怎么得到四边形的内角 ? ? ? 和的 四边形的外角和是多少 四边形的稳定性如何 你能结合生活中的例子进行说明吗 ? ? ? ? 【知识结构】 活动三:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P５２~５３ ２１１ １,５,８ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 四边形及其内角和 ２１１１ ．四边形． 板书设计 １ ．四边形的内角和 外角和． ２ 、 ．四边形的不稳定性． ３ 本节课类比三角形的相关概念 引出了四边形的学习 并根据三角形的内角和定理推导出了四边形的 , , 内角和 进而推导出四边形的外角和．同样 通过与三角形的稳定性进行对比 学习了四边形的不稳定性 并 教学反思 , , , , 了解到该性质在日常生活中的一些应用 体会了数学与实际生活的紧密联系．类比引导的学习方式能够提 , 升学生学习数学的信心 今后的教学中可以继续采用这种方式． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面的二维码下载获取． &２１．１．２ 多边形及其内角和 教学目标 课题 ．． 多边形及其内角和 授课人 ２１１２ ．了解多边形的概念及相关要素． 素养目标 １ ．探索并掌握多边形的内角和与外角和公式 提升推理能力． ２ , 教学重点 多边形的内角和与外角和． 教学难点 多边形的内角和与外角和公式的推导． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境引入】 【教学建议】 境,引入新知 多边形在生活中也很常见,观察图中的图片,你能从中找出一些多边形的形 让学生结合生活 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 象吗? 中的场景,谈谈自己 见到的多边形,融入 􀪋通􀪋过􀪋观􀪋察生􀪋活􀪋中􀪋 的图片,引出多 课堂． 边形的学习,激 发学生兴趣． 探究点１ 多边形的相关概念 活动二:类比学 习,探究新知 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 􀪋认􀪋识􀪋多􀪋边形􀪋及􀪋其􀪋 相关要素,提升 类比学习的能力． (１) 请类比四边形 , 说出多边形的边 、 顶点 、 内角 、 外角 、 对角线的定义． 答 组成多边形的各条线段叫作多边形的边 每相邻两条线段的公共端点叫作 : , 多边形的顶点 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角 多边形内角的一边与 , , 另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角 连接多边形不相邻的两个顶点的线 , 段叫作多边形的对角线． 指出图中六边形的边 顶点 内角和外角 画出它的全部对角线． (２) 、 、 , 答 该六边形的边为ABBCCDDEEFAF 顶点为点ABCDEF : , , , , , ; , , , , , ; 内角为 A B C D E F 外角如图 所示 分别为 ∠ ,∠ ,∠ ,∠ ,∠ ,∠ ; ① , ∠１,∠２,∠３, 画出它的全部对角线如图 所示． ∠４,∠５,∠６,∠７,∠８,∠９,∠１０,∠１１,∠１２; ② 与四边形类似 在多边形中 有的是凸多边形 有的不是凸多边形． , , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４５ 􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋 【教学建议】 要带领全班将多 边形的各要素梳理清 楚．对于多边形的对角 线,要让学生自己动 手去画,在画的过程 中,由于要做到不遗 漏,学生会自行体会 到从一个顶点出发可 以画几条对角线,若 细心观察(或稍后加 以引导),还能发现从 一个顶点出发的对角 线可以将多边形分割 成几个三角形．这对于 后面的学习很有帮助． 特别规定:今后,如无特殊说明,所讨论的多边形都是凸多边形．教学步骤 师生活动 设计意图 【教学建议】 概念引入:我们知道,正方形的各个角都相等,各条边都相等．像正方形这样,各 讲述正多边形时, 􀪋准􀪋确􀪋理􀪋解正􀪋多􀪋边􀪋 个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形．如图是正多边形的一些例子． 各角相等与各边相等 形的概念,认识 是两个相互独立的条 其特点,为后面 件,对于边数大于 的 ３ 多边形,必须同时满 的学习打下基础． 足这两个条件才能判 定其为正多边形．可让 注意:要判断一个多边形是不是正多边形,各个角都相等,各条边都相等必须 学生举一些正多边形 的实例,加深对概念 同时具备,缺一不可．另外,由于正多边形的各内角相等,所以它的各外角也相等． 的理解． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 多边形的内角和 【教学建议】 􀪋通􀪋过􀪋设􀪋问引􀪋导􀪋学􀪋 (教材 探究)类比四边形的内角和的推导过程 你能推导出五边形和六边 对于多边形的边 P５０ , 生探索,经历多 形的内角和各是多少度吗 由上述推导过程 你能得出多边形的内角和与边数的 数与分割成的三角形 ? , 边形内角和公式 关系吗 的个数之间的关系, ? 的推导过程,体 观察图形 可以发现 多边形的内角和与各 , : 会数与形之间的 从五边形的一个顶点出发 可以作 条对角线 它们将五边形分为 个 三角形内角和之间的 联系,感受由特 , ２ , ３ 三角形 五边形的内角和等于 关系,要让学生按照 殊到一般的数学 , ３ ×１８０°; 从六边形的一个顶点出发 可以作 条对角线 它们将六边形分为 个 自己的观察去认真总 推理过程和思考 , ３ , ４ 三角形 六边形的内角和等于 ． 结,从而加深印象． 方法,发展合情 , ４ ×１８０° 的推理能力． 归纳总结:一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n )条对角线,它们 －３ 将n边形分为(n )个三角形,n边形的内角和等于(n ) ． －２ －２×１８０° 这样就得出了多边形的内角和公式:n边形的内角和等于(n ) ． －２×１８０° 注意:由于正多边形的每个内角都相等,所以正n边形的每个内角的度数都为 (n ) －２×１８０°． n 思考:把一个多边形分成若干个三角形 还有其他分法吗 由新的分法 能得 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 , ? , 【教学建议】 出多边形的内角和公式吗 􀪋让􀪋学􀪋生􀪋感受􀪋得􀪋到􀪋 ? 对于每种分割方 结论的方法并不 答 : 有其他分法 , 这里介绍两种 , 可由此得到多边形的内角和公式． 式,都尽量让学生自 是唯一的,发散 图示 方法 己去总结规律． 学生思维,拓展 如图,在n边形内任取一点O,连接点O与各个顶点的线 学生的创新意识． 段,把n边形分成n个三角形．因为这n个三角形的内角 和是n ,以O为公共顶点的n个角的和是 ,所 ×１８０° ３６０° 以n边形的内角和是n ,即(n ) ×１８０°－３６０° －２ ×１８０° 如图,在n边形的边上任意取一点P(不与顶点重合),连 接这点与各顶点的线段,把n边形分成(n )个三角形． －１ 因为这(n )个三角形的内角和是(n ) ,以P －１ －１ ×１８０° 为公共顶点的(n )个角的和是 ,所以n边形的内 －１ １８０° 角和是(n ) ,即(n ) －１ ×１８０°－１８０° －２ ×１８０° 【对应训练】 ．教材 练习第 题． １ P５２ １ ．教材 练习第 题 ． ２ P５２ ２ (１)(２) ４６教学步骤 师生活动 设计意图 探究点３ 多边形的外角和 【教学建议】 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 通过推理与观察 (教材 探究)与四边形的外角和类似 在多边形的每个顶点处各取一个外 有了上节课四边 P５１ , 两种方式得出多 角 它们的和叫作多边形的外角和．多边形的外角和等于多少度 请你说明理由． 形内角和与外角和的 , ? 边形的外角和, 答 与四边形类似 多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角 因此n边形 学习,此处推导多边形 : , , 发展学生的推理 的内角和与外角和的总和等于n 外角和等于n n ． 的外角和相对容易,可 ×１８０°, ×１８０°－(－２)×１８０°＝３６０° 能力和几何直观 归纳总结:多边形的外角和等于 ． 让学生自己推理,教 ３６０° 感知能力． 注意:由于正多边形的每个外角都相等,所以正n边形的每个外角的度数都为 师适当加以引导和指 正．应让学生特别牢记 ３６０°． n 结论:多边形的外角 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于 和恒等􀪍于􀪍􀪍􀪍,􀪍与􀪍多 ３６０° ３６０°: 边􀪍形􀪍的􀪍边􀪍数􀪍无􀪍关􀪍 ． 􀪍􀪍 如图 从多边形的一个顶点A出发 沿多边形的各边依 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 , , 次走过各顶点 再回到点A 然后转向出发时的方向．在行程 , , 中所转的各个角的和 就是多边形的外角和．由于走了一周 所转的各个角的和等 , , 于一个周角 所以多边形的外角和等于 ． , ３６０° 【对应训练】 教材 练习第 题 ． P５２ ２ (３) 例 (教材 例 )一个多边形的内角和等于外角和的 倍 这个多边形是 【教学建议】 活动三:综合运 P５２ ２ ２ , 几边形 学生独自完成,教 用,巩固提升 ? 解 设这个多边形的边数为n．因为它的内角和等于n 外角和等于 师集中批改、订正．给学 : (－２)×１８０°, 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 所以n ． 生强调,解此类题的关 ３６０°, (－２)×１８０°＝２×３６０° 解得n ． 键在于牢记多边形的 􀪋综􀪋合􀪋多􀪋边形􀪋的􀪋内􀪋 ＝６ 因此这个多边形是六边形． 内角和与外角和公式, 角和与外角和进 【对应训练】 再根据两者之间的关 行强化训练,使 学生在运用中熟 一个多边形 , 它的内角和比外角和的 ３ 倍多 １８０°, 求这个多边形的边数及内角 系列方程求解． 练掌握新知． 和度数． 解 设多边形的边数为n由题意 得n 解得n ． : , , (－２)×１８０°＝３×３６０°＋１８０°, ＝９ 内角和度数为 ． (９－２)×１８０°＝１２６０° 答 这个多边形的边数为 内角和度数为 ． : ９, １２６０° 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 什么是多边形 多边形的组成要素有哪些 什么是正多边形 多边形的内角和公式是怎样的 你能 ? ? ? ? 推导吗 多边形的外角和是多少 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P５２~５３ ２１１ ２,３,４,６,７,９ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ４７教学步骤 师生活动 ．． 多边形及其内角和 ２１１２ ．多边形． 板书设计 １ ．多边形的内角和． ２ ．多边形的外角和． ３ 本节课类比上节课四边形的内容 学习了多边形的有关知识 采用同样的思路推导了多边形的内角和 教学反思 , , 、 外角和．教学中注意思维引导 让学生积极思考 主动参与 较好地培养了学生类比学习的能力． , , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 与多边形的内角和有关的问题 多边形的内角和通常有以下几种应用类型 已知多边形边数求内角和 或已知多边形内角和求边数 求正多边形 :(１) , ;(２) 的每个内角度数 或已知正多边形的各个内角度数求边数 多边形内角和与外角和的综合运用． , ;(３) 例１ 已知一个多边形的内角和是 则这个多边形是 ９００°, (C ) 五边形 六边形 七边形 八边形 A􀆰 B􀆰 C􀆰 D􀆰 例２ 一个多边形的内角和不可能是 (D ) A􀆰１８００° B􀆰５４０° C􀆰７２０° D􀆰８１０° 分析:n边形的内角和是(n ) ,即多边形的内角和一定是 的正整数倍, 不能被 整除,所以一个多边 －２×１８０° １８０° ８１０° １８０° 形的内角和不可能是 ． ８１０° 例３ 如图 在正六边形ABCDEF内 以AB为边作正五边形ABGHI 求 FAI的度数． , , , ∠ 分析:利用多边形内角和及正多边形的性质分别求得 BAF,BAI的度数,然后利用角的差计算即可． ∠ ∠ 解:在正五边形ABGHI中 BAI (５－２)×１８０° ,∠ ＝ ＝１０８°, ５ 在正六边形ABCDEF中 BAF (６－２)×１８０° ,∠ ＝ ＝１２０°, ６ 则 FAI BAF BAI ． ∠ ＝∠ －∠ ＝１２０°－１０８°＝１２° 解题大招二 与多边形的外角和有关的问题 多边形的外角和通常有以下几种应用类型 直接求多边形外角和 求正多边形的每个外角度数 或已知正多边形 :(１) ;(２) , 的各个外角度数求边数 多边形内角和与外角和的综合运用． ;(３) 注意:行走问题实际上属于上述类型(),它是多边形的外角和等于 的现实意义．如果每次走的路程都相等,每次转 ２ ３６０° 的方向都相同,当回到出发点时,所走路径将会构成一个正多边形,而每次的转向角就是正多边形的外角,据此即可求解． 例４ 已知一个正多边形的每个外角都等于 则这个多边形是 ６０°, (B ) 正五边形 正六边形 正七边形 正八边形 A􀆰 B􀆰 C􀆰 D􀆰 例５ 如图 是我国古建筑墙上采用的八角形空窗 其轮廓是一个正八边形 窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如 ① , , 图 是八角形空窗的示意图 它的一个外角 的度数是 ② , ∠１ (A ) A􀆰４５° B􀆰６０° C􀆰３０° D􀆰５０° 培优计划 培优计划可扫描下面的二维码下载获取．２１．２ 平行四边形 ２１．２．１ 平行四边形及其性质 第 课时 平行四边形的性质 １ 教学目标 课题 ．． 第 课时 平行四边形的性质 授课人 ２１２１ １ ．理解平行四边形的概念． １ ．探究并掌握平行四边形的对边相等 对角相等 对角线互相平分的性质 发展学生的合情推理能力 培养学 素养目标 ２ 、 、 , , 生主动探究的习惯． ．利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力． ３ , 教学重点 平行四边形的概念及平行四边形边 角 对角线的性质． 、 、 教学难点 如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:创设情 仔细观察下列实际生活中的图片,你能从中找到平行四边形的形象吗? 境,导入新课 【教学建议】 让学生根据生活 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 经验及图片思考平行 􀪋通􀪋过􀪋图􀪋片􀪋展􀪋示􀪋, 四边形的概念,教师 引导学生思考现 结合图形,回忆小学知识,我们知道,两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 总结并提示平行四边 实生活中的平行 平行四边形用“ ”表示,如图 ,平行四边形ABCD记作“ ABCD”． 四边形,进而引 ▱ ① ▱ 形的概念既是它的一 出平行四边形的 种判定方法,又是它 概念及表示方法． 的一个基本性质． 几何语言(以图 为例): ① 双重 ．AB CD,AD BC, 四边形ABCD是平行四边形; １∵ ∥ ∥ ∴ 含义 ． 四边形ABCD是平行四边形, AB CD,AD BC． ２∵ ∴ ∥ ∥ 试一试:如图 ,在 ABCD中,EF BC,则图中共有 个平行四边形． ② ▱ ∥ ３ 探究点１ 平行四边形边、角的性质 活动二:动手操 根据上面的概念画一个 ABCD 用刻度尺度量对边AB与CD的长 BC与 作,探究新知 ▱ , , DA的长 并用量角器度量对角 A与 C B与 D的大小． , ∠ ∠ ,∠ ∠ 【教学建议】 据此回答下列问题 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : 让学生借助学具 ．对边AB与CD的长BC与DA的长分别相等吗 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生自􀪋己􀪋动􀪋 １ , ? 测量,讨论平行四边 答 AB CDBC DA． 手探索平行四边 : ＝ , ＝ 形边、角的性质,教师 ．对角 A与 C B与 D的大小分别相等吗 形边、角的性质． ２ 答 A ∠ C ∠ B ,∠ D ∠ ． ? 进行总结． :∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ ．平行四边形的对边 对角具有什么性质 ３ 、 ? 答 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等． : ; ４９教学步骤 师生活动 设计意图 下面我们一起来进行验证． 【教学建议】 􀪋通􀪋过􀪋严􀪋格􀪋的􀪋证􀪋 已知 如图 四边形ABCD是平行四边形． ()提示学生可 : , １ 明,加深对平行 求证 AB CDBC DA B D BAD DCB． 以把平行四边形问题 : ＝ , ＝ ;∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ 四边形边、角性 证明 如图 连接 ABCD的对角线AC． 转化为三角形问题, : , ▱ 质的认识,同时 AD BCAB CD 根据三角形全等证明 ∵ ∥ , ∥ , 提升推理能力． ． 结论． ∴∠１＝∠２,∠３＝∠４ 又AC是 ABC和 CDA的公共边 ()仅仅证明平 △ △ , ２ ABC CDA． 行四边形的对角相 ∴△ ≌△ AB CDBC DA B D． 等,可以不添加辅助 ∴ ＝ , ＝ ,∠ ＝∠ 即 BAD DCB． 线．利用“两直线平行, ∵∠１＝∠２,∠３＝∠４,∴∠１＋∠４＝∠２＋∠３, ∠ ＝∠ 问题 如图 对于 ABCD 不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定 同旁内角互补”以及 , ▱ , 义 证明它的对角相等呢 “同角的补角相等”可 , ? 证得结论． 证明 四边形ABCD是平行四边形 AB CDAD BC :∵ ,∴ ∥ , ∥ , B C C D ∴∠ ＋∠ ＝１８０°,∠ ＋∠ ＝１８０°, B C C D B D． ∴∠ ＋∠ ＝∠ ＋∠ ,∴∠ ＝∠ 同理可得 A C． ∠ ＝∠ 归纳总结:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等． 【对应训练】 ．教材 练习第 题． １ P５７ １,３ ．如图 在 ABCD中EF分别是ABCD的中点．求证 ADE CBF． ２ , ▱ , , , :∠ ＝∠ 证明 四边形ABCD是平行四边形 :∵ , A CAD CBAB CD． ∴∠ ＝∠ , ＝ , ＝ EF分别是ABCD的中点 ∵ , , , AE １ABCF １CD． AE CF． ∴ ＝ , ＝ ∴ ＝ ２ ２ AED CFB ． ADE CBF． ∴△ ≌△ (SAS)∴∠ ＝∠ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 平行四边形的对角线互相平分 【教学建议】 􀪋通􀪋过􀪋动􀪋手􀪋操􀪋作􀪋, 请大家画一个 ABCD 并连接对角线ACBD 设它 提醒学生:对角 ▱ , , , 让学生在活动中 们交于点O．用刻度尺度量一下OAOBOCOD的长 它 线互相平分是平行四 , , , , 提炼出平行四边 们之间有什么关系 边形的一个重要性 ? 形的对角线的性 答OA OCOB OD． 质,应牢记这一结论． : ＝ , ＝ 质,加深印象． 据此我们猜想一下 平行四边形的对角线互相平分． 它提供了线段相等的 : 下面我们一起来进行验证 条件,在解题时经常 : 已知 如图 ABCD的对角线ACBD相交于点O． 会发挥作用． : ,▱ , 求证OA OCOB OD． : ＝ , ＝ 证明 四边形ABCD是平行四边形 :∵ , AD BCAD BC． ． ∴ ∥ , ＝ ∴∠１＝∠２,∠３＝∠４ AOD COB ． ∴△ ≌△ (ASA) OA OCOB OD． ∴ ＝ , ＝ 归纳总结:平行四边形的对角线互相平分． 【对应训练】 教材 练习第 题． P５７ ２ ５０教学步骤 师生活动 例 (教材 例 )如图 ABCD的对角线ACBD相交于点OAB 【教学建议】 活动三:综合运 P５７ １ ,▱ , , ＝１０, AD AC BC．求BCCDACOA的长 以及 ABCD的面积． 提醒学生注意: 用,巩固提升 ＝８, ⊥ , , , , ▱ 解 四边形ABCD是平行四边形 遇到垂直求面积、边 :∵ , BC AD CD AB ． 长,往往可考虑利用 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ∴ ＝ ＝８, ＝ ＝１０ AC BC ABC是直角三角形． 勾股定理解决． 􀪋巩􀪋固􀪋对􀪋平行􀪋四􀪋边􀪋 ∵ ⊥ ,∴△ AC AB２ BC２ ２ ２ ． 形性质的掌握． ∴ ＝ － ＝ １０－８ ＝６ OA OC １AC S BC AC ． ∴ ＝ ＝ ＝３,▱ ABCD＝ 􀅰 ＝８×６＝４８ ２ 【对应训练】 ．如图 ABCD的对角线AC与BD相交于点OAC BD AB 则 １ ,▱ , ＋ ＝２２, ＝６, AOB的周长是 ． △ １７ ．如图 校园内有一片平行四边形草地ABCD 其对角线ACBD交于点O． ２ , , , 已知OC AB AC BC 求该草地的面积． ＝３m, ＝１０m, ⊥ , 解 四边形ABCD是平行四边形 对角线ACBD交于点O :∵ , , , OA OC AC OC ． ∴ ＝ ＝３m,∴ ＝２ ＝６m AC BCAB ACB ∵ ⊥ , ＝１０m,∴∠ ＝９０°, BC AB２ AC２ ２ ２ ∴ ＝ － ＝ １０－６ ＝８(m), ∴ S ▱ ABCD＝ BC 􀅰 AC ＝８×６＝４８(m ２ ) ． 答 该草地的面积为 ２． : ４８m 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 平行四边形的概念是什么 平行四边形的边 角有哪些性质 平行四边形的对角线有什么性质 ? 、 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P６５~６７ ２１２ １,２,３,４,１０,１６,１７ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 平行四边形及其性质 ２１２１ 第 课时 平行四边形的性质 １ 板书设计 ．平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． １ : ．平行四边形边 角的性质 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等． ２ 、 : ; ．平行四边形的对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分． ３ : 本课时要求掌握平行四边形的概念 表示方法及性质 是重点考查内容 学生要融会贯通． 、 , , 教学反思 在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中 培养学生独立思考的习惯 感受获得成功的 , , 乐趣 激发学习热情． , ５１􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ５２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 利用对角线互相平分解决对角线或边的取值范围问题 连接平行四边形的两条对角线后 可以得到一些三角形 由三角形的三边关系可以得到边或对角线的取值范围 再与对 , , , 角线互相平分结合 能得到相关线段的取值范围． , 例１ 如图 ABCD的对角线ACBD相交于点OAD BD AC a 则a的取值范围 ,▱ , , ＝５, ＝６, ＝ , 是 (D ) a a a a A􀆰２＜ ＜８ B􀆰２＜ ＜１０ C􀆰４＜ ＜１０ D􀆰４＜ ＜１６ 解析: 四边形ABCD是平行四边形,OD １BD ,AC OA． ∵ ∴ ＝ ＝３ ＝２ ２ 在 AOD中,由三角形的三边关系,得AD OD OA AD OD, △ － ＜ ＜ ＋ OA ,即 OA ． ∴５－３＜ ＜５＋３ ２＜ ＜８ AC ． a ．故选 ． ∴４＜ ＜１６∴４＜ ＜１６ D 解题大招二 利用平行四边形边、角的性质求角度和线段长 由平行四边形边 角的性质可得到线段相等 角相等 可以利用这些性质求线段长和角度 有些情况下可能还要与等腰 、 、 , , 三角形和全等三角形的性质结合求解． 例２ 如图 在 ABC中 AB AC 点D在AC边上 以CBCD为邻边作 BCDEDE交AB于点F． , △ , ＝ , , , ▱ , 若 A 求 E的度数 (１) ∠ ＝５０°, ∠ ; 若AD CDBC 求EF的长． (２) ＝ , ＝６, 解: 在 ABC中 A AB AC C ABC A ． (１) △ ,∵∠ ＝５０°, ＝ ,∴∠ ＝∠ ＝(１８０°－∠ )÷２＝６５° 四边形BCDE是平行四边形 E C ． ∵ ,∴∠ ＝∠ ＝６５° 四边形BCDE是平行四边形 BE CDBE CDDE BC E ADF EBF A． (２)∵ ,∴ ∥ , ＝ , ＝ ＝６,∴∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ AD CD BE AD． BEF ADF ．EF DF １DE ． ∵ ＝ ,∴ ＝ ∴△ ≌△ (ASA)∴ ＝ ＝ ＝３ ２ 培优点 利用平行四边形中心对称的特点求解或证明 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 性质拓展 平行四边形是中心对称图形 对称中心是两条对角线的交点． (１) , 平行四边形的每一条对角线将它分为两个全等的三角形 两条对角线把它分成四个面积相等的三角形 相对的两个 (２) , , 三角形全等． 若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点 则这个交点是这条直线被一组对边所截的线段的中点 且这条直 (３) , , 线平分该平行四边形的面积和周长． 例 如图 ABCD的对角线ACBD 相交于点O 过点O的直线分别与AD BC相交于点EF 且S ,▱ , , , , , △ AOE＝３, S ． △ BOF＝５ 求证 四边形ABFE的周长等于四边形CDEF的周长 (１) : ; 求 ABCD的面积． (２) ▱ 分析:()利用平行四边形的性质得出AO CO,AD BC,进而得出 EAO FCO,再利 １ ＝ ∥ ∠ ＝∠ 用 证明 AOE COF,即可得到AE CF,最后根据周长的计算公式进行验证; ASA △ ≌△ ＝ ()先由()得到 COF的面积,再求出 BOC的面积,最后利用S S 求解． ２ １ △ △ ▱ ABCD＝４ △ BOC 证明: 四边形ABCD是平行四边形 AO COAD BCAD BCAB CD． EAO FCO．在 AOE和 (１) ∵ ,∴ ＝ , ∥ , ＝ , ＝ ∴∠ ＝∠ △ ì ï ï∠ EAO ＝∠ FCO , COF中 íAO CO AOE COF ． AE CF． AD AE BC CF 即DE BF． 四边形 △ ,ïï ＝ , ∴△ ≌△ (ASA)∴ ＝ ∴ － ＝ － , ＝ ∵ î AOE COF ∠ ＝∠ , ABFE的周长 AB BF EF AE 四边形CDEF的周长 CD DE EF CF 四边形ABFE的周长等于四边形 ＝ ＋ ＋ ＋ , ＝ ＋ ＋ ＋ ,∴ CDEF的周长． 解:由 可知 AOE COF S S ．S S S S ． (２) (１) △ ≌△ ,∴ △ COF＝ △ AOE＝３∵ △ BOF＝５,∴ △ BOC＝ △ BOF＋ △ COF＝５＋３＝８ 四边形ABCD是平行四边形 S S ． ∵ ,∴ ▱ ABCD＝４ △ BOC＝４×８＝３２第 课时 平行四边形的性质的运用 ２ 教学目标 课题 ．． 第 课时 平行四边形的性质的运用 授课人 ２１２１ ２ ．进一步提高对平行四边形性质的认识 并且能灵活运用各种性质． １ , 素养目标 ．以数学的眼光观察生活中的场景 从中抽象出两条平行线之间的距离． ２ , ．理解两条平行线之间的距离的概念 能度量两条平行线之间的距离． ３ , ．平行四边形性质的运用． 教学重点 １ ．两条平行线之间的距离． ２ 教学重点 结合其他几何知识求两条平行线之间的距离． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:回顾知 【回顾导入】 【教学建议】 识,情境激趣 回顾一下,平行四边形有哪些性质? ()让学生自主 １ 【情境导入】 回顾下上节课的一些 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 如图是一条小河,河的两岸a,b平行．从河岸a上的点A处向对岸建桥,为了 性质,强化认知． 􀪋(􀪋)通􀪋过􀪋回􀪋顾􀪋性质􀪋 １ 使桥的长度最短,桥应与河岸a,b都垂直．如果改变点A的位置向对岸建桥(桥仍 ()在进行情境导 为其应用作铺垫． 与河岸a,b都垂直),桥的长度会发生变化吗? 入时, ２ 根据生活经验,学 ()通过实际生活 ２ 生一般知道从不同点 场景引出课题,体 建桥,桥的长度是一样 会数学与现实世 的,这时教师可追问原 界的紧密联系． 让我们带着这两个问题进入今天的学习吧． 因,引发讨论． 探究点１ 平行四边形的性质的运用 活动二:复习巩 平行四边形的对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 通过这些性质 我 固,引入新知 , , , , 们可以将四边形的问题进行有效转化 一般可以将四边形的问题转化为三角形的 , 问题 从而解决问题 我们来看一道例题． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 , , 例１ (教材 例 )如图 ABCD的对角线ACBD相交于点OEF过点 【教学建议】 P５８ ２ ,▱ , , 􀪋培􀪋养􀪋学􀪋生对􀪋平􀪋行􀪋 O且与ABCD分别相交于点EF．求证OE OF． 提醒学生由平行 , , ＝ 四边形性质的灵 证明 在 ABCD中 AB CD 四边形的对角线互相 : ▱ , ∥ , 活运用能力． EAO FCO AEO CFO． 平分可以得到线段相 ∴∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ 又OA OC 等,结合平行四边形 ＝ , AOE COF．OE OF． 的其他性质还可以得 ∴△ ≌△ ∴ ＝ 【对应训练】 到角相等,通过引导 如图 ABCD的对角线ACBD相交于点O 分别过点AC作AE BD 学生证明全等来证明 ,▱ , , , ⊥ , CF BD 垂足分别为EF．求证BE DF． 线段相等． ⊥ , , ＝ 证明 四边形ABCD是平行四边形 :∵ , AB CDAB CD ABE CDF． ∴ ＝ , ∥ ,∴∠ ＝∠ AE BDCF BD 垂足分别为EF ∵ ⊥ , ⊥ , , , AEB CFD ． ∴∠ ＝∠ ＝９０° ì ï ï∠ AEB ＝∠ CFD , 在 AEB和 CFD中 í ABE CDF △ △ ,ïï∠ ＝∠ , îAB CD ＝ , AEB CFD BE DF． ∴△ ≌△ (AAS),∴ ＝ ５３教学步骤 师生活动 设计意图 探究点２ 两条平行线之间的距离 􀪋将􀪋几􀪋何􀪋直观􀪋与􀪋推􀪋 利用方格纸画出直线a bAC为直线a上任意两点． ∥ , , 理证明相结合, 如图 过点AC分别画直线cd 使c dBD分别是直线c和b直线 (１) ①, , ,, ∥ , , , 引出两条平行线 d和b的交点 用刻度尺测量点AB的距离和点CD的距离 它们相等吗 你能 , , , , ? 之间的距离． 结合平行四边形的概念和性质 说说其中的原因吗 , ? 答 点AB的距离和点CD的距离相等．原因 AC BDAB CD 四 : , , :∵ ∥ , ∥ ,∴ 边形ABCD是平行四边形．AB CD． ∴ ＝ 归纳总结:夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 【教学建议】 (２) 如图 ②, 分别过A , C两点作直线b的垂线AB和CD．AB和CD相等吗 ? ()说理的过程 １ 为什么 ? 可让学生自己完成, 必要时教师予以指引 和纠正． ()告诉学生:任 ２ 何两条平行线之间的 答 相等．理由 AB和CD都与直线b垂直 易得AB CD．结合上面的归 距离都是存在的、唯 : :∵ ,∴ ∥ 纳总结可知 AB CD． 一的,都是夹在这两 , ＝ 概念引入:从上面的结论可以知道,如果两条直线平行,那么一条直线上所有 条平行线间最短的线 的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条 段的长度． 直线的距离,叫作这两条平行线之间的距离．图 中线段AB,CD的长均可表示平 ② 行线a,b之间的距离． 说一说:两条平行线之间的距离和点与点之间的距离 点到直线的距离有何联 、 系与区别 ? 答 点与点之间的距离是定义点到直线的距离 两条平行线之间距离的基础 : 、 , 它们本质上都是点与点之间的距离． 【对应训练】 如图 已知l l AB CDCE l FG l 下列说法错误的是 , １∥ ２, ∥ , ⊥ ２, ⊥ ２, (B ) l 与l 之间的距离是线段FG的长度 A􀆰１ ２ 线段CD的长度就是l 与l 之间的距离 B􀆰 １ ２ AC BD C􀆰 ＝ CE FG D􀆰 ＝ 例２ (教材 例 )如图 在梯形ABCD中 AD BCAB DC．求证 B 【教学建议】 P５８ ３ , , ∥ , ＝ ∠ 活动三:知识巩 C． 对于例 ,让学生 固,综合运用 ＝∠ ２ 分析:由于AD BC,可以考虑运用平行线之间的距离, 思考不同的解题思路, ∥ 通过三角形全等进行证明． 给出指引后,让学生完 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 证明 如图 在梯形ABCD中 AD BC 过点AD分别 成剩余的证明过程． : , , ∥ , , 􀪋综􀪋合􀪋其􀪋他几􀪋何􀪋知􀪋 作AE BCDF BC 垂足分别为EF． ⊥ , ⊥ , , 识,加强对平行 AEDF的长都是平行线ADBC之间的距离 ∵ , , , 四边形相关知识 AE DF． ∴ ＝ 点的掌握,提升 又AB DC ＝ , 推理能力和计算 ABE DCF． ∴Rt△ ≌Rt△ 能力． B C． ∴∠ ＝∠ ５４教学步骤 师生活动 追问:你还有其他证明方法吗 ? 提示:还可过点D作DG AB 如图所示．证DG DC ∥ , ＝ , 得 DGC C 再证 B DGC C． ∠ ＝∠ , ∠ ＝∠ ＝∠ 【教学建议】 例３ 如图 在 ABCD中 BAD的平分线AP交BC , ▱ ,∠ 对于例 ,引导学 于点P ,∠ ABC ＝１１０° ． ３ 生根据平行四边形对 求 APB的度数 (１) ∠ ; 边平行且相等的相关 若AB AD 求PC的长． (２) ＝３, ＝５, 性质,结合角平分线 解 四边形ABCD是平行四边形 :(１)∵ , 的已知条件解题．再就 AD BC DAB ABC ∴ ∥ ,∴∠ ＝１８０°－∠ ＝７０°, 是引导学生复习等腰 APB DAP． ∠ ＝∠ 三角形的相关知识, AP平分 DAB DAP １ DAB ∵ ∠ ,∴∠ ＝ ∠ ＝３５°, 注意边角关系的有效 ２ APB DAP ． 转换． ∴∠ ＝∠ ＝３５° 四边形ABCD是平行四边形 (２)∵ , AD BC ． ∴ ＝ ＝５ 由 得 DAP BAP DAP APB (１) ∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ , APB BAP ∴∠ ＝∠ , BP AB PC BC BP ． ∴ ＝ ＝３,∴ ＝ － ＝５－３＝２ 【对应训练】 教材 练习． P５９ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 两条平行线之间的平行线段有什么关系 什么是两条平行线之间的距离 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P６６~６７ ２１２ ９,１１,１２,１５ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 平行四边形及其性质 ２１２１ 板书设计 第 课时 平行四边形的性质的运用 ２ 两条平行线之间的任何两条平行线段都相等 两条平行线之间的距离． → 本节课利用生活中的场景 通过逐步设问 引出课题的学习．学生在日常生活中有很多经验感受 通过 , , , 今天的学习 进一步体会到了背后隐藏的数学道理．今后的教学中 要鼓励学生主动去思考 用数学知识去 教学反思 , , , 解释一些常见的生活现象 这对于学生用数学的眼光认识现实世界是很有帮助的 能够显著提升学生的社 , , 会实践能力． ５５􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ５６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 利用平行线间的距离解决面积问题 同底 等底 等高 同高 的三角形或平行四边形的面积相等． ( ) ( ) 例１ 如图 已知l l 点EF在l 上 点GH在l 上．求证 EGO与 FHO的面积相等． , １∥ ２, , １ , , ２ :△ △ 证明:l l 点EF到l 的距离相等 设这个距离为h． ∵ １∥ ２,∴ , ２ , S １GH hS １GH h．S S ．S S S S ． ∴ △ EGH＝ 􀅰 ,△ FGH＝ 􀅰 ∴ △ EGH＝ △ FGH ∴ △ EGH－ △ GOH＝ △ FGH－ △ GOH ２ ２ EGO与 FHO的面积相等． ∴△ △ 解题大招二 利用平行四边形的性质求点的坐标 在平面直角坐标系中求平行四边形的顶点坐标 关键是利用平行四边形的边的性质将问题转化为求平面直角坐标系中 , 平行且相等的线段的端点坐标 再结合平行线间的距离 平移等知识求解． , 、 例２ 如图 在平面直角坐标系中 ABCD的顶点BCD的坐标分别是 则顶点A的坐标是 , ,▱ ,, (－５,０),(０,０),(２,３), ． (－３,３) 解析: 四边形ABCD是平行四边形,且BC边在x轴上, AD x轴, ∵ ∴ ∥ 点A与点D的纵坐标相等． ∴ 点B,C,D的坐标分别是( ,),(,),(,), AD BC ( ) , ∵ －５０ ００ ２３ ∴ ＝ ＝０－ －５＝５ 点A的横坐标为 , 点A的坐标为( ,)．故答案为( ,)． ∴ ２－５＝－３∴ －３３ －３３ 培优点 平行四边形中的面积关系 例 如图 ABCD的面积为S． ,▱ 如图 P为AD边上任意一点 则 PAB的面积S 和 PDC的面积S 之和与 ABCD的面积S之间的数量关 (１) ①, , △ １ △ ２ ▱ 系是 S S １S ． １＋ ２＝ ２ 如图 设 ABCD的对角线ACBD相交于点P 则 PAB的面积S 和 PDC的面积S 之和与 ABCD的面 (２) ②, ▱ , , △ １ △ ２ ▱ 积S之间的数量关系是 S S １S ． １＋ ２＝ ２ 如图 P为 ABCD内任意一点时 试猜想 PAB的面积S 和 PDC的面积S 之和与 ABCD的面积S之间 (３) ③, ▱ , △ １ △ ２ ▱ 的数量关系 并加以证明． , 如图 已知P为 ABCD内任意一点 PAB的面积为 PBC的面积为 连接BD 求 PBD的面积． (４) ④, ▱ ,△ ２,△ ８, , △ 分析:()AD与BC平行,这两条平行线之间的距离是一个确定的值,再结合三角形与平行四边形的面积公式可以求解; １ ()()过点P作PE AB于点E,延长EP交CD于点F; ２ ３ ⊥ ()结合()中结论,利用面积的和差求解． ４ ３ 解: 结论S S １S． (３) :１＋ ２＝ ２ 证明 如图 过点P作PE AB于点E 延长EP交CD于点F． : ③, ⊥ , 在 ABCD中 AB CDAB CDPE AB PF CD ∵ ▱ , ∥ , ＝ , ⊥ ,∴ ⊥ , S S １AB PE １CD PF １AB EF １S． ∴ １＋ ２＝ 􀅰 ＋ 􀅰 ＝ 􀅰 ＝ ２ ２ ２ ２ S S S S S １S ． (４)△ PBD＝ △ PBC＋ △ PCD－ △ BCD＝８＋ △ PCD－ ▱ ABCD ２ 由 中结论可知 １S S S S (３) , ▱ ABCD＝ △ ABP＋ △ PCD＝２＋ △ PCD, ２ S S S ． ∴ △ PBD＝８＋ △ PCD－(２＋ △ PCD)＝６２１．２．２ 平行四边形的判定 第 课时 平行四边形的判定 １ １ 教学目标 课题 ．． 第 课时 平行四边形的判定 授课人 ２１２２ １ １ ．理解并掌握用边 角 对角线来判定平行四边形的方法 培养学生严谨的书写表达能力． １ 、 、 , 素养目标 ．理解平行四边形的判定定理与性质定理之间的区别和联系 感悟用逆向思维来研究问题． ２ , ．综合运用平行四边形的判定方法与性质进行证明和计算． ３ 教学重点 平行四边形的判定定理的理解与运用． 教学难点 平行四边形判定方法的探究及证明． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境导入】 【教学建议】 境,导入新课 小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD,但是粗心的小华不小心 让学生自己动手 碰碎了玻璃的一部分,剩下的部分如图 所示．无奈的小华只好拿着剩下的玻璃去 画,看能不能在残缺 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ① 玻璃店买同样的玻璃．玻璃店的技师略一思量,很快就画出和原来一模一样的平行 的形状上画出一个平 􀪋通􀪋过􀪋实􀪋际问􀪋题􀪋引􀪋 四边形,如图 ② 所示．聪明的同学们,你们知道技师是用什么方法画出来的吗? 行四边形． 导学生思考怎样 判定平行四边形． 答:我们知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形,那么这里,我们过点 C作CD AB,交过点A且与BC平行的直线于点D,就可以得到一个四边形 ∥ ABCD．因为两组对边分别平行,所以四边形ABCD是平行四边形．可以知道,画出 的平行四边形与原来的一样． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,它的概念就是它的一种判定方法, 那么还有其他的判定方法吗? 我们一起来探讨一下吧! 探究点１ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【教学建议】 活动二:逆向推 通过前面的学习 我们知道 平行四边形的对边相等 对角相等 对角线互相平 提醒学生:连接 理,探索新知 , , 、 、 分．反过来 对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗 也 对角线是解决平行四 , ? 就是说 平行四边形的性质定理的逆命题成立吗 我们猜想可能是成立的． 边形问题常用的辅助 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 , ? 下面我们一起来验证两组对边分别相等的四边形是不是平行四边形． 线,通过连接对角线, 􀪋利􀪋用􀪋逆􀪋向思􀪋维􀪋思􀪋 如图 在四边形ABCD中 AB CDAD BC．求证 四边形ABCD是平行四 把平行四边形问题转 , , ＝ , ＝ : 考性质,让学生 边形． 化为三角形问题． 在解决问题的过 证明 如图 连接BD．AB CDAD CBBD DB : , ∵ ＝ , ＝ , ＝ , 程中总结平行四 ABD CDB ． ∴△ ≌△ (SSS) 边形的判定定理． ABD CDB ADB CBD． ∴∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ AB CDAD CB． 四边形ABCD是平行四边形． ∴ ∥ , ∥ ∴ 归纳总结:平行四边形的对边相等,反过来也是成立的,即两组对边分别相等 的四边形是平行四边形． 【对应训练】 ．在四边形ABCD中 AB BC CD 当AD １ , ＝９cm, ＝６cm, ＝９cm, ＝ ６ cm 时 四边形ABCD是平行四边形． , ．教材 练习第 题． ２ P６１ ２ ５７教学步骤 师生活动 设计意图 探究点２ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【教学建议】 􀪋同􀪋样是􀪋逆􀪋向􀪋思􀪋维􀪋, 我们知道平行四边形的对角相等 那么对角相等的四边形一定是平行四边形 提醒学生:()可根 , １ 让学生由性质猜 吗 我们来验证看看． 据平行线的判定得到两 ? 测判定,再根据概 如图 在四边形ABCD中 A C B D 求证 四边形ABCD是平行 组对边分别平行,进而 , ,∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ , : 念进行推理验证． 四边形． 根据平行四边形的概念 证明 A C B D A C B 进行判定． :∵∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ ,∠ ＋∠ ＋∠ ＋ D A B A D ． ()此判定定理的 ∠ ＝３６０°,∴ ∠ ＋ ∠ ＝１８０°,∠ ＋ ∠ ＝１８０° ２ AD BCAB CD． 四边形ABCD是平行四边形． 使用前提是两组对角分 ∴ ∥ , ∥ ∴ 归纳总结:两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 别相等,若两组邻角分 【对应训练】 别相等,则不能判定平 ．一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下 那么其中是平行四边形的是 行四边形． １ , (D ) A􀆰８８°,１０８°,８８° B􀆰８８°,１０４°,１０８° C􀆰８８°,９２°,９２° D􀆰８８°,９２°,８８° ．教材 练习第 题． ２ P６０ １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点３ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【教学建议】 􀪋通􀪋过􀪋动􀪋手􀪋操􀪋作􀪋, 如图 将两根细木条ACBD的中点重叠并钉在一 学生学完三个判定 ①, , 让学生在活动中 起 用橡皮筋连接木条的端点 做成一个四边形ABCD．转 定理后,教师进行总结, , , 得出平行四边形 动两根木条 四边形ABCD一直是平行四边形吗 说说 可根据情况综合出题．提 , ? 的判定定理,印 你的理由． 醒学生:与对角线有关 象更加深刻． 解 四边形ABCD一直是平行四边形．理由 如图 的平行四边形的判定定 : : ②, 将图形略微简化． AO CO AOD COB DO 理一般易与全等三角形 ∵ ＝ ,∠ ＝∠ , ＝ BO AOD COB ． OAD OCB 相结合． ,∴△ ≌△ (SAS)∴∠ ＝∠ , AD BC．同理可得AB CD 四边形ABCD是平行 ∴ ∥ ∥ ,∴ 四边形． 归纳总结:对角线互相平分的四边形是平行四边形． 通过 个探究得到的结论可知 平行四边形的性质定理的条件与结论互换以 ３ , 后 所得命题仍然成立．也就是说 平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为 , , 逆定理． 【对应训练】 四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O 要使四边形ABCD为平行四边 , , 形 可添加的条件为 , (B ) AB ADBC CD AO COBO DO A􀆰 ＝ , ＝ B􀆰 ＝ , ＝ AO DO AO AB C􀆰 ⊥ D􀆰 ⊥ 例 (教材 例 )如图 ABCD的对角线ACBD相交于点O 点EF在 活动三:巩固新 P６０ ４ ,▱ , , , AC上 并且AE CF．求证 四边形BFDE是平行四边形． 知,灵活运用 , ＝ : 分析:根据平行四边形的性质可以得出AO CO,BO ＝ ＝ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 DO,再结合AE CF,得出四边形BFDE的对角线互相平 ＝ 分,即可得出四边形BFDE是平行四边形． 􀪋通􀪋过􀪋例􀪋题及􀪋练􀪋习􀪋 证明 四边形ABCD是平行四边形 AO COBO DO． 巩固新知,提升 :∵ ,∴ ＝ , ＝ AE CF AO AE CO CF 即EO FO． 学生的解题能力． ∵ ＝ ,∴ － ＝ － , ＝ 又BO DO 四边形BFDE是平行四边形． ＝ ,∴ ５８教学步骤 师生活动 【对应训练】 【教学建议】 ．教材 练习第 题． 提醒学生根据情 １ P６１ ３ 况选择不同的判定定 ．如图 四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O ２ , , , 理解决问题,比如对 AE BDCF BD 垂足分别为EFBE DFAF CE． ⊥ , ⊥ , , , ＝ , ∥ 应训练中:()已知一 试判断四边形AECF 四边形ABCD的形状 并说明理由． １ 、 , 组对边平行,可找另 解 四边形AECF 四边形ABCD都是平行四边形．理由如下 : 、 : 一组对边平行;()有 ∵ AE ⊥ BD , CF ⊥ BD , 对角线,找对角 ２ 线互 ∴ 易得AE ∥ CF． 相平分． 又AF CE ∥ , 四边形AECF是平行四边形． ∴ OA OCOE OF． ∴ ＝ , ＝ 又BE DF ＝ , OE BE OF DF ∴ ＋ ＝ ＋ , 即OB OD． ＝ 四边形ABCD是平行四边形． ∴ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种 这些方法是从什么角度去考虑的 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P６６~６７ ２１２ ７,１４ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 平行四边形的判定 ２１２２ 第 课时 平行四边形的判定 １ １ ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 板书设计 １ ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ２ ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ３ ．对角线互相平分的四边形是平行四边形． ４ 本课时以生活中的实际问题入手 再复习平行四边形的概念和性质 利用逆向思维引导学生发现性质 , , 教学反思 定理与判定定理的关系． 在证明命题的过程中 让学生将判定方法进行对比和筛选 便于思维发散 不把思路局限在某一判定方法上． , , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ５９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面的二维码下载获取． &第 课时 平行四边形的判定 ２ ２ 教学目标 课题 ．． 第 课时 平行四边形的判定 授课人 ２１２２ ２ ２ ．理解并掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． １ 素养目标 ．会将平行四边形问题转化为三角形的问题 渗透化归意识． ２ , ．综合运用平行四边形的判定方法和性质进行证明和计算． ３ 教学重点 平行四边形判定定理的理解及运用． 教学难点 根据不同条件能正确选择平行四边形的判定方法． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境导入】 【教学建议】 境,导入新课 (教材 练习第 题)如图 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行 只要 引导学生进行讨 P６２ １ , , 使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗 论,并将其转化为几 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ? 何模型以便后续进行 􀪋从􀪋实􀪋际􀪋生活􀪋出􀪋发􀪋 证明． 引入新课,激发 学生学习兴趣． 我们上一课时学习了两组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边形 那 , 么这里只有一组对边 该怎样处理呢 , ? 这就需要另一种判定平行四边形的方法了． 探究点 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【教学建议】 活动二:逆向思 我们知道 如果一个四边形是平行四边形 那么它的任意一组对边平行且相 引导学生用不同 考,探究新知 , , 等．反过来 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗 的判定方法来证明平 , ? 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 下面我们共同来验证一下． 行四边形,教师总结 􀪋用􀪋一􀪋题􀪋多解􀪋的􀪋方􀪋 如图 , 在四边形ABCD中 , AB 􀰿 CD．求证 : 四边形 判定定理．告诉学生: 式引导学生验证 ABCD是平行四边形． 已知一组对边平行或 判定方法的正 证法 如图 连接AC．AB CD ． 相等的情况下,还可 １: ①, ∵ ∥ ,∴∠１＝∠２ 确性． 又AB CDAC CA ABC CDA．BC DA． 以找这组对边相等或 ＝ , ＝ ,∴△ ≌△ ∴ ＝ 又AB CD 四边形ABCD是平行四边形． 平行来证明平行四边 ＝ ,∴ 证法 如图 连接BD．AB CD ． 形,而不再拘泥于找 ２: ②, ∵ ∥ ,∴∠１＝∠２ 又AB CDBD DB ABD CDB． 另一组对边的关系． ＝ , ＝ ,∴△ ≌△ ．AD BC． ∴∠３＝∠４∴ ∥ 又AB CD 四边形ABCD是平行四边形． ∥ ,∴ 思考:这两种证法的条件一样 但是证明过程不一样 两种证法的依据分别是 , , 什么 ? 答 证法 的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形 而证法 的依 : １ , ２ 据是平行四边形的概念． 归纳总结:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 我们回过头看前面的铁轨问题 可以知道 互相平行的夹在铁轨之间的枕木长 , , 相等就可以保证铁路的两条直铺的铁轨是互相平行的． ６０教学步骤 师生活动 想一想:在一个四边形中 如果有一组对边平行 另一组对边相等 那么这个四 , , , 边形是平行四边形吗 ? 答 不能确保它是平行四边形 反例如下 : , : 如图 AB CDAD BC 但四边形ABCD不是平行四边形． , ＝ , ∥ , 【对应训练】 ．如图 在四边形ABCD中 AB CD 要使四边形ABCD是平行四边形 可 １ , , ∥ , , 添加的条件不正确的是 (D ) AB CD BC AD A C BC AD A􀆰 ＝ B􀆰 ∥ C􀆰∠ ＝∠ D􀆰 ＝ ．教材 练习第 题． ２ P６２ ３ 例１ (教材 例 )如图 在 ABCD中EF分别是ABCD的中点．求证 活动三:巩固新 P６２ ５ , ▱ , , , DE BF． 知,灵活运用 􀰿 分析:根据E,F 分别是AB,CD 的中点,四边形 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ABCD是平行四边形,可得EB FD． 􀰿 证明 四边形ABCD是平行四边形 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生厘􀪋清􀪋平􀪋 :∵ , AB CD． 行四边形的性质 ∴ 􀰿 与判定． 又EB １ABDF １CD ＝ , ＝ , ２ ２ EB DF． ∴ 􀰿 四边形EBFD是平行四边形． ∴ DE BF． ∴ 􀰿 例２ (教材 练习第 题)如图 在 ABCD中 BD是它的一条对角线 【教学建议】 P６２ ２ , ▱ , , 过AC两点分别作AE BDCF BD 垂足分别为EF．求证 四边形AFCE是 提醒学生:如果 , ⊥ , ⊥ , , : 平行四边形． 平行四边形是条件, 证明 AE BDCF BD 那么用的是性质,而 :∵ ⊥ , ⊥ , AED CFB AEB CFD ． 判定是在不知道这个 ∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０° AE CF． 四边形是平行四边形 ∴ ∥ 四边形ABCD是平行四边形 的情况下,利用已知 ∵ , AB CDAB CD． 条件来判定此四边形 ∴ ∥ , ＝ ABE CDF． 是平行四边形． ∴∠ ＝∠ ABE CDF ． ∴△ ≌△ (AAS) AE CF． ∴ ＝ 四边形AFCE是平行四边形． ∴ 【对应训练】 ．如图 在 ABCD中 点EF分别在边ADBC上 添 １ , ▱ , , , , 加下列条件中的一项 不能保证四边形AFCE是平行四边形 , 的是 (A ) AF CE BF DE AFC AEC BAF DCE． ① ＝ ;② ＝ ;③∠ ＝∠ ;④∠ ＝∠ A􀆰① B􀆰② C􀆰③ D􀆰④ ６１教学步骤 师生活动 ．如图 在 ABCD中 AE CGBF DH 连接EFFGGH HE．求证 四 ２ , ▱ , ＝ , ＝ , , , , : 边形EFGH是平行四边形． 证明 四边形ABCD是平行四边形 :∵ , A C B DAD BC． ∴∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ , ＝ BF DH ∵ ＝ , BC BF AD DH 即CF AH． ∴ － ＝ － , ＝ ì ï ï AE ＝ CG , 在 AEH和 CGF中 í A C △ △ ,ïï∠ ＝∠ , îAH CF ＝ , AEH CGF ． ∴△ ≌△ (SAS) EH GF． ∴ ＝ 同理GH EF． , ＝ 四边形EFGH是平行四边形． ∴ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种 这些方法是从什么角度去考虑的 我们是通过什么 ? ? 方法得出平行四边形的这几种判定方法的 活动四:随堂训 ? 【知识结构】 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P６６ ２１２ ５,８ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 平行四边形的判定 ２１２２ 第 课时 平行四边形的判定 ２ ２ ì {平行 ï ï两组对边 ．用边的关系í 相等 １ ïï î一组对边平行且相等 板书设计 ．用角的关系 两组对角分别相等． ２ : ．用对角线的关系 对角线互相平分． ３ : 本节课以生活中的实际问题入手 再通过一题多解的方式来进一步探究平行四边形的判定 并引导学 , , 教学反思 生灵活选择判定方法． 从本节课的授课过程来看 一题多解能够调动学生发散思维． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ６２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面的二维码下载获取． &三角形的中位线 ２１．２．３ 教学目标 课题 ．． 三角形的中位线 授课人 ２１２３ ．理解三角形中位线的概念 掌握三角形的中位线定理． １ , 素养目标 ．通过对三角形中位线的观察 测量获得猜想 进一步验证猜想 提高学生合情推理能力和逻辑思维能力． ２ 、 , , ．能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算 逐步提高学生分析问题和解决问题的能力． ３ , 教学重点 三角形中位线定理的理解及应用． 教学难点 三角形中位线定理的探索和证明． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:创设情 境,导入新课 如图,将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友,要求每人分得的形 【教学建议】 状和大小必须完全相同,该如何切割? 这个问题与三角形的中位线有关,学完本节 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 从实 际 问 题 出 课就可以解决这个问题． 发,引导学生思考,留 􀪋借􀪋助􀪋生􀪋活情􀪋境􀪋引􀪋 下疑问． 入对三角形中位 线的探究． 探究点１ 三角形的中位线的概念 【教学建议】 活动二:动手操 作,探究新知 如图 , 在 △ ABC中 , D , E分别是边AB , AC的中点 , 连接DE． 提醒学生注意中位 概念引入:像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫作三角 线与中线的区别,可以 形的中位线． 动手画出三角形的各条 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 思考: 中线及中位线,以加深 􀪋让􀪋学􀪋生􀪋了解􀪋三􀪋角􀪋 １ ．一个三角形有几条中位线 ? 自己试着画一画． 印象． 形的中位线的 答 一个三角形有三条中位线． : 概念． ．三角形的中位线和中线一样吗 ２ ? 答 不一样．三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 而中线是连接三 : , 角形的顶点与其对边中点的线段． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋２􀪋􀪋三􀪋角􀪋形􀪋的􀪋中􀪋􀪋位􀪋线􀪋定􀪋理􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【教学建议】 􀪋利􀪋用􀪋动􀪋手操􀪋作􀪋和􀪋 在纸上画一个三角形 , 记作 △ ABC , 分别取AB , AC边的中点 学生自己动手操 几何证明探究三 D , E , 连接DE． 作,验证三角形的中位 角形的中位线定 １ ．借助量角器测量 ∠ ADE与 ∠ B的大小 , 并猜想DE与BC 线定理,通过证明三角 理,引导学生发 之间的位置关系． 形的中位线定理巩固前 现三角形的中位 答 :∠ ADE ＝∠ B , 由同位角相等 , 两直线平行 , 猜想DE ∥ BC． 面所学的平行四边形的 线与平行四边形 ２ ．用直尺分别测量DE与BC的长 , 它们之间存在怎样的数量关系 ? 判定定理和性质定理, 之间的紧密联系． 答 DE １BC． 加强知识之间的联系． : ＝ ２ 下面我们来证明上面的结论． 如图DE分别是 ABC的边ABAC的中点．求证DE BC且DE １BC． ,, △ , : ∥ , ＝ ２ 证法 如图 延长DE到点F 使EF DE 连接FC １: ①, , ＝ , , DCAF． , AE ECDE EF ∵ ＝ , ＝ , 四边形ADCF是平行四边形．CF DA． ∴ ∴ 􀰿 ６３教学步骤 师生活动 又D是AB的中点 CF BD． ,∴ 􀰿 四边形DBCF是平行四边形．DF BC． ∴ ∴ 􀰿 又DE １DF ＝ , ２ DE BC 且DE １BC． ∴ ∥ , ＝ ２ 证法 如图 延长DE到点F 使EF DE 连接FC． ２: ②, , ＝ , AE CE AED CEF ∵ ＝ ,∠ ＝∠ , ADE CFE ． ∴△ ≌△ (SAS) AD CF ADE F．AD CF． ∴ ＝ ,∠ ＝∠ ∴ ∥ 又AD BD BD CF． ＝ ,∴ 􀰿 四边形BCFD是平行四边形．DF BC． ∴ ∴ 􀰿 又DE １DF DE BC 且DE １BC． ＝ ,∴ ∥ , ＝ ２ ２ 归纳总结:三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并 且等于第三边的一半． 【对应训练】 ．如图 D E F 分别是 ABC 各边的中点 且AB １ , , , △ , ＝ BC AC 则DE DF １１cm, ＝８cm, ＝６cm, ＝ ３ cm, ＝ ４ cm, EF ． DEF的周长是 ． ． ＝ ５５ cm,△ １２５ cm ．教材 练习第 题． ２ P６５ １,３ ．解答活动一中提出的问题． ３ 解 沿三角形的三条中位线切割即可． : 如图 DEF分别是ABACBC的中点 根据三角形的中位线定理 易证 , , , , , , , ADE DBF EFC FED． △ ≌△ ≌△ ≌△ 例 (教材 例 )求证 顺次连接四边形各边的中点 所得的四边形是平行 【教学建议】 活动三:巩固新 P６４ ６ : , 四边形． 提醒学生:()遇 知,灵活运用 １ 已知 如图 在四边形ABCD中EFGH分别是边ABBCCDDA的中点． 到两边中点,可考虑 : , ,,,, , , , 求证 四边形EFGH是平行四边形． 三角形的中位线,若 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : 分析:题目中给出了四边形各边中点,可以连接四边形的 题中没有对应的三角 􀪋加􀪋强􀪋学􀪋生对􀪋三􀪋角􀪋 一条对角线,利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组 形,可考虑作辅助线, 形中位线定理的 对边平行且相等,从而证明它是平行四边形． 以构造合适的三角 理解与运用． 证明 连接AC． 形;()需注意的是, : ２ AH HDCG GD 当在多个三角形中运 ∵ ＝ , ＝ , 用中位线定理时,三 HG AC 且HG １AC． ∴ ∥ , ＝ 角形的公共边是一个 ２ 同理EE AC 且EF １AC． 关键的突破口,它能 ∥ , ＝ ２ 作为桥梁,建立不同 HG EF． ∴ 􀰿 中位线之间的关系． 四边形EFGH是平行四边形． ∴ 【对应训练】 ．教材 练习第 题． １ P６５ ２ ６４教学步骤 师生活动 ．如图 在 ABCD中 E是AD的中点 点F在BA的延长线上 且AF ２ , ▱ , , , ＝ １AB 连接EFBD． , , ２ 请用无刻度的直尺作出 ABD中与AB平行的中位线 (１) △ EG 不写作法 保留作图痕迹 ( , ); 在 的基础上 判断四边形AGEF的形状 并说明理由． (２) (１) , , 解 如图EG即为所求． :(１) , 四边形AGEF是平行四边形．理由如下 (２) : EG是 ABD的中位线 EG ABEG １AB． ∵ △ ,∴ ∥ , ＝ ２ 又AF １AB EG AF． ＝ ,∴ ＝ ２ 又EG AF 四边形AGEF是平行四边形． ∥ ,∴ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 什么是三角形的中位线 三角形的中位线定理是什么 怎么证明三角形的中位线定理 ? ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题 教材 习题 ．第 题． １ P６６ ２１２ ６ , P８１ ２１３ １７ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 三角形的中位线 ２１２３ ．三角形的中位线的概念． １ ．三角形的中位线定理． ２ 板书设计 本节课利用实际情境引入新课 为学生提供自主探索的空间 通过动手操作引导学生探究三角形的中 教学反思 , , 位线定理 增强了课堂的趣味性． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ６５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面的二维码下载获取． &２１．３ 特殊的平行四边形 ２１．３．１ 矩形 第 课时 矩形的性质 １ 教学目标 课题 ．． 第 课时 矩形的性质 授课人 ２１３１ １ ．理解矩形的概念 明确矩形与平行四边形的区别和联系 体会特殊与一般之间的关系． １ , , ．探究矩形的性质和识别条件 提高学生的推理能力． 素养目标 ２ , ．利用矩形的性质定理进行证明和计算． ３ ．掌握直角三角形斜边上的中线的性质 会用它求线段长或解决线段的倍分关系问题． ４ , 教学重点 矩形的性质定理和直角三角形斜边上的中线的性质的理解与运用． 教学难点 矩形的性质定理和直角三角形斜边上的中线的性质的探究与证明． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:动态演 【教学建议】 拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,使一个角是直角,这时它除 示,导入新课 学生根据生活经 了是平行四边形外,还是什么特殊的图形? (动画演示拉动过程如图) 验及图片思考矩形的 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 特征,教师总结矩形 􀪋动􀪋态􀪋演􀪋示平􀪋行􀪋四􀪋 的概念． 边形变成矩形的 过程,使学生了 概念引入:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形,矩形也就是长方形． 解矩形的概念． 如图,门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象． 与研究平行四边形一样,对于矩形,仍重点研究它的性质和判定． 探究点１ 矩形的性质 活动二:动手操 ．平行四边形的对角相等 邻角互补．如图 取一张矩形纸片 用直尺画出它的 作,探究新知 １ , , , 对角线． 矩形是特殊的平行四边形 它有一个角是直角 它的四个角之 , , 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 间还有没有其他的关系呢 ? 􀪋通􀪋过动􀪋手􀪋操􀪋作􀪋,让􀪋 答 : 矩形的四个角都相等 , 都是直角． 学生在活动中得 ２ ．测量两条对角线的长度 , 这两个长度有什么关系 ? 出矩形的性质,印 答 : 两条对角线的长度相等． 【教学建议】 下面我们一起来证明一下 象更加深刻． : 证明过程可让学 如图 在矩形ABCD中 A ． (１) , ,∠ ＝９０° 生自行完成,教师进 求证 A B C D ． :∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０° 行指引和纠正． 证明 矩形ABCD是平行四边形 :∵ , AB CD A C． ∴ ∥ ,∠ ＝∠ A C D A ． ∵∠ ＝９０°,∴∠ ＝９０°,∠ ＝１８０°－∠ ＝９０° B C ． A B C D ． ∴∠ ＝１８０°－∠ ＝９０°∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０° 如图 四边形ABCD是矩形．求证 AC BD． (２) , : ＝ 证明 四边形ABCD是矩形 :∵ , ABC DCB AB DC． ∴∠ ＝∠ ＝９０°, ＝ 又BC CB ABC DCB ．AC BD． ＝ ,∴△ ≌△ (SAS)∴ ＝ ６６教学步骤 师生活动 设计意图 归纳总结:矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等． 􀪋通􀪋过􀪋折􀪋纸􀪋,发􀪋现􀪋 ３ ． (１) 折叠一下你手中的矩形纸片．它是轴对称图形吗 ? 矩形的轴对称性． 答 : 它是轴对称图形． 它的对称轴在矩形纸片的什么位置 (２) ? 答 在每组对边中点的连线上． : 归纳总结:矩形是轴对称图形,它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴． 例１ (教材 例 )如图 矩形ABCD 的对角线ACBD 相交于点O P６９ １ , , , AOB AB 求矩形ABCD的对角线的长． 【教学建议】 ∠ ＝６０°, ＝４, 解 四边形ABCD是矩形 给学生说明,矩 :∵ , AC与BD相等且互相平分．OA OB． 形一般只有两条对称 ∴ ∴ ＝ 又 AOB OAB是等边三角形． 轴,要防止学生错将 ∠ ＝６０°,∴△ OA AB ． 对角线所在直线当成 ∴ ＝ ＝４ AC BD OA ． 矩形的对称轴(只有 ∴ ＝ ＝２ ＝８ 【对应训练】 当矩形同时是正方形 ．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 时,对角线所在直线 １ (D ) 对边平行 对边相等 对角相等 对角线相等 才是它的对称轴)． A􀆰 B􀆰 C􀆰 D􀆰 ．如图 在矩形ABCD 中 E是AB的中点 连接DECE．求证 ADE ２ , , , , :△ ≌ BCE． △ 证明 四边形ABCD是矩形 :∵ , AD BC A B ． ∴ ＝ ,∠ ＝∠ ＝９０° E是AB的中点 AE BE． ∵ ,∴ ＝ ADE BCE ． ∴△ ≌△ (SAS) ．教材 练习． ３ P７０ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 直角三角形斜边上的中线的性质 【教学建议】 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生发􀪋现􀪋直􀪋 如图BO是 ABC斜边AC上的中线． 提醒学生:若遇 , Rt△ 角三角形斜边上 测量一下BO与AC的长度有什么关系 到直角三角形斜边的 (１) , ? 的中线的性质． 中点,通常可作出中 答BO １AC． : ＝ 线解决问题．注意直角 ２ 你能证明上面的结论吗 三角形斜边上的中线 (２) ? 证明 类似于证明三角形中位线定理的过程 如图 延长BO到点D 使OD 把直角三角形分成了 : , , , ＝ OB , 连接AD , CD． 两个等腰三角形． OA OCOB OD 四边形ABCD是平行四边形． ∵ ＝ , ＝ ,∴ 又 ABC 四边形ABCD是矩形． ∠ ＝９０°,∴ 根据矩形的性质BD AC．BO １BD １AC． , ＝ ∴ ＝ ＝ ２ ２ 归纳总结:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【对应训练】 ．如图 在 ABC中 ACB AD BDCD 则AB的长为 １ , △ ,∠ ＝９０°, ＝ , ＝４, (A ) A􀆰８ B􀆰６ C􀆰４ D􀆰２ 第 题图 第 题图 １ ２ ．如图 在 ABC中 ACB CD AB于点D 若 ECD E ２ , Rt△ ,∠ ＝９０°, ⊥ , ∠ ＝５０°, 是斜边AB的中点 则 A , ∠ ＝(B ) A􀆰１０° B􀆰２０° C􀆰３０° D􀆰４０° ６７教学步骤 师生活动 例２ 如图 矩形ABCD的对角线ACBD相交于点OAE BD于点E 且 【教学建议】 活动三:综合运 , , , ⊥ , BEED AD ．求AE的长． 提醒学生:矩形 用,巩固新知 ∶ ＝１∶３, ＝６cm 解 四边形ABCD是矩形 的两条对角线将矩形 :∵ , 分成两对全等的等腰 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 BO OD １BD １AC OA BAD ． ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ,∠ ＝９０° ２ ２ 三角形,在解题时有 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生对􀪋矩􀪋形􀪋 BEED BE OE． ∵ ∶ ＝１∶３,∴ ＝ 时会用到等腰三角形 性质的认知,并 又AE BD AE垂直平分BO AB AO BO． ABO是等边三角形． ⊥ ,∴ ,∴ ＝ ＝ ∴△ 的性质． 加强与其他知识 ABO ． ADE ．AE １AD １ ． 综合运用的能力． ∴∠ ＝６０°∴∠ ＝９０°－６０°＝３０°∴ ＝ ＝ ×６＝３(cm) ２ ２ 【对应训练】 ．如图 矩形ABCD的对角线ACBD相交于点O 点E １ , , , , F分别是AOAD的中点 连接EF．若AB BC , , ＝６cm, ＝８cm, 则EF的长是 (D ) ． ． A􀆰２２cm B􀆰２３cm ． ． C􀆰２４cm D􀆰２５cm ．如图O是矩形ABCD的对角线AC的中点 M 是AD的中点．若AB ２ , , ＝５, AD 求四边形ABOM的周长． ＝１２, 解 四边形ABCD是矩形 :∵ , BC AD CD AB ABC ． ∴ ＝ ＝１２, ＝ ＝５,∠ ＝９０° AC AB２ BC２ ２ ２ ． ∴ ＝ ＋ ＝ ５＋１２ ＝１３ O是AC的中点 OB １AC ．． ∵ ,∴ ＝ ＝６５ ２ M是AD的中点 OM是 ACD的中位线 AM １AD ． ∵ ,∴ △ , ＝ ＝６ ２ OM １CD ．． ∴ ＝ ＝２５ ２ 四边形ABOM的周长为AB OB OM AM ． ． ． ∴ ＋ ＋ ＋ ＝５＋６５＋２５＋６＝２０ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 矩形作为特殊的平行四边形 它的概念是什么 矩形有哪些特殊的性质 直角三角形斜边上的中线的 , ? ? 性质是什么 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P７９~８０ ２１３ ３,８,９,１２(１),１３ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 矩形 ２１３１ 第 课时 矩形的性质 １ ．矩形的概念． １ ．矩形的性质 边 角 对角线 轴对称性． 板书设计 ２ :(１) ;(２) ;(３) ;(４) ．直角三角形斜边上的中线的性质． ３ 本节课的主要教学任务是矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质 教学中让学生充分经历从实 , 教学反思 际生活中抽象出数学图形到深入认识图形特征的过程 更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内 , 在联系 在适度的方法训练中加强知识的灵活运用 使学生对于常见的转化方法也能灵活应用． , , ６８􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ６９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 矩形性质的运用 矩形是特殊的平行四边形 它的特殊性主要表现为四个角都是直角和两条对角线相等 (１) , ; 矩形的性质是求线段的长度 角度的常用手段 它可以用来验证两条线段是否相等 两条直线是否平行 两个角是否相等 (２) 、 , , , ; 由于矩形的四个角都是直角 则常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决 (３) , ; 矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形 并且分成的四个等腰三角形的面积相等 因此在解决相关问 (４) , , 题时 常常用到等腰三角形的性质 , ; 矩形的两条对角线的交点到四个顶点的距离相等． (５) 例１ 如图 在矩形ABCD中 AB AD ．在边AD上取一点E 使BE BC 过点C作CF BE 垂足为F 则BF , , ＝４, ＝６ , ＝ , ⊥ , , 的长为 ． ２５ 解析: 四边形ABCD是矩形, BC AD , A ABC ．又BE BC, BE ．AE ∵ ∴ ＝ ＝６ ∠ ＝∠ ＝９０° ＝ ∴ ＝６∴ ＝ BE２ AB２ ２ ２ ． CF BE, ABC , BFC , ABE EBC － ＝ ６－４ ＝２５ ∵ ⊥ ∠ ＝９０° ∴∠ ＝９０° ∠ ＝９０°－∠ ＝ FCB． A BFC．又BE CB, ABE FCB( )．BF AE ．故答案为 ． ∠ ∴∠ ＝∠ ＝ ∴△ ≌△ AAS ∴ ＝ ＝２５ ２５ 例２ 如图 MON 矩形ABCD的顶点AB分别在边OMON上 当点B在边ON上运动时 点A随之在边 ,∠ ＝９０°, , , , , OM上运动 矩形ABCD的形状保持不变 其中AB BC 则运动过程中点D到点O的最大距离是 ． , , ＝６, ＝２, ３＋ １３ 解析:如图,取线段AB的中点E,连接OE,DE,OD．E是AB的中点, AOB ,OE AE ∵ ∠ ＝９０°∴ ＝ ＝ BE １AB ． 四边形ABCD 是矩形, AD BC , DAB ． DE AE２ AD２ ＝ ＝３∵ ∴ ＝ ＝２ ∠ ＝９０°∴ ＝ ＋ ＝ ２ ２ ２ ．OD OE DE, 当点D,E,O共线时,OD的长最大． 点D到点O的最大距离 ３＋２ ＝ １３∵ ≤ ＋ ∴ ∴ ＝ OE DE ．故答案为 ． ＋ ＝３＋ １３ ３＋ １３ 培优点一 利用矩形性质求线段长 例１ 如图 矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点OAB AD E为BC边上的一个动点EF ACEG , , ＝５, ＝１２, , ⊥ , ⊥ BD 垂足分别为FG 则EF EG ６０ ． , , , ＋ ＝ １３ 分析:连接OE,根据矩形的性质得到BC AD ,AO CO BO DO, ABC ,再根据 ＝ ＝１２ ＝ ＝ ＝ ∠ ＝９０° 勾股定理得到AC AB２ BC２ ,求得OB OC １３,再根据三角形的面积公式即可求解． ＝ ＋ ＝１３ ＝ ＝ ２ 解析:如图,连接OE． 四边形ABCD 是矩形, ABC ,BC AD ,AO CO BO DO． AC ∵ ∴∠ ＝９０° ＝ ＝１２ ＝ ＝ ＝ ∴ ＝ AB２ ＋ BC２ ＝ ５ ２ ＋１２ ２ ＝１３ ． ∴ OB ＝ OC ＝ １３． ∴ S △ BOC＝ S △ COE＋ S △ BOE＝ １OC􀅰EF ＋ １OB􀅰EG ＝ １S △ ABC＝ １ × ２ ２ ２ ２ ２ １AB􀅰BC． １ １３EF １ １３EG １ １ ．EF EG ６０．故答案为６０． ∴ × ＋ × ＝ × ×５×１２∴ ＋ ＝ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ １３ １３ 培优点二 利用直角三角形斜边上中线的性质解题 例２ 如图 在 ABC中BD AC于点DCE AB于点E 连接DEMN分别是BCDE的中点 连接MNEMDM． , △ , ⊥ , ⊥ , , , , , , , 求证 MN DE (１) : ⊥ ; 若 A 判断 EMD的形状 并说明理由． (２) ∠ ＝６０°, △ , 证明:CE ABBD AC BCE和 BCD都是直角三角形． (１) ∵ ⊥ , ⊥ ,∴△ △ 又M是BC的中点 EM １BCDM １BC．EM DM．又N是DE的中点 MN DE． ,∴ ＝ , ＝ ∴ ＝ ,∴ ⊥ ２ ２ 解:EMD是等边三角形．理由如下 (２) △ : A ABC ACB ．由 可知EM DM １BC． ∵∠ ＝６０°,∴∠ ＋∠ ＝１８０°－６０°＝１２０° (１) ＝ ＝ ２ 又M是BC的中点 EM BM DM CM． ,∴ ＝ ＝ ＝ ABC BEM ACB CDM． BEM CDM ABC ACB ． ∴∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ ∴∠ ＋∠ ＝∠ ＋∠ ＝１２０° BME CMD ABC ACB BEM CDM ． ∴∠ ＋∠ ＝３６０°－(∠ ＋∠ )－(∠ ＋∠ )＝１２０° EMD BME CMD ． ∴∠ ＝１８０°－(∠ ＋∠ )＝６０° 又EM DM EMD是等边三角形． ＝ ,∴△第 课时 矩形的判定 ２ 教学目标 课题 ．． 第 课时 矩形的判定 授课人 ２１３１ ２ ．理解并掌握矩形的判定方法． １ 素养目标 ．通过互逆命题提出猜想 验证矩形的判定定理 培养分析问题和解决问题的能力． ２ , , ．能应用矩形的判定方法进行证明和计算． ３ 教学重点 矩形判定定理的理解与应用． 教学难点 选择合适的方法判定四边形为矩形． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:创设情 同学们我们首先回忆一下: 境,导入新课 ．矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形． １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ．矩形的性质:矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等． ２ 􀪋通􀪋过􀪋生􀪋活情􀪋境􀪋引􀪋 矩形的概念可以用于判定矩形,我们来看一看下面这个例子: 出课题学习． 工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行: 【教学建议】 ()先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图 ,使AB CD,EF GH; 让学生根据生活 １ ① ＝ ＝ ()摆放成如图 所示的四边形,则这时窗框的形状是 平行四边形 ,根据 情境,清晰地了解到 ２ ② 的数学道理是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ; 矩形是由平行四边形 ()将直角尺靠在窗框的一个角上,如图 ,调整窗框的边框,当直角尺的两条 的一个角转变成直角 ３ ③ 直角边与窗框无缝隙时,如图 ,说明窗框合格,这时窗框是 矩形 ,根据的数学 演变而来的,这是矩 ④ 道理是 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 ． 形的判定,也是它的 概念． 概念可以判定矩形．除此之外,还有没有其他判定方法呢? 比照平行四边形的 判定,矩形性质定理的逆命题是不是也可以用于矩形的判定呢? 我们来看下． 探究点１ 对角线相等的平行四边形是矩形 活动二:动手验 如图 为了防蚊虫 数学老师为自家定制了一扇矩形的纱门．安装师傅上门安 证,探究新知 , , 装时 数学老师利用卷尺测量了两组对边 发现它们分别相等 又测量了两条对角 , , , 线 发现它们也相等 于是就知道了该纱门是矩形的．同学们知道这是为什么吗 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 , , ? 我们可以这么思考 : 【教学建议】 􀪋通􀪋过􀪋材􀪋料引􀪋发􀪋学􀪋 ．如果纱门的两组对边分别相等 说明纱门是什么形状 生的思考,先想 １ , ? 这里教师需提醒 答 说明纱门是平行四边形 因为两组对边分别相等的四边形是平 : , 学生:对角线相等的 到平行四边形, 行四边形． 四边形不一定是矩 再想到由对角线 ．数学老师又测量了两条对角线是否相等 并在此基础上判断纱门 相等得到矩形． 是不 ２ 是矩形 你猜测数学老师的判断标准是什么 , 形,对角线相等这一 , ? 条件必须建立在平行 答 对角线相等的平行四边形是矩形． : 四边形的基础上． 数学老师的这个判断标准对不对呢 我们尝试证明一下． ? 已知 如图 四边形ABCD是平行四边形 且AC BD． : , , ＝ 求证 四边形ABCD是矩形． : 证明 四边形ABCD是平行四边形 :∵ , AB DCAB DC．又AC DBBC CB ∴ ＝ , ∥ ＝ , ＝ , ７０教学步骤 师生活动 ABC DCB ABC DCB． ∴△ ≌△ (SSS),∴∠ ＝∠ AB DC ABC DCB ． ∵ ∥ ,∴∠ ＋∠ ＝１８０° ABC 四边形ABCD是矩形． ∴∠ ＝９０°,∴ 归纳总结:对角线相等的平行四边形是矩形． 几何语言: 四边形ABCD是平行四边形,且AC BD, 四边形ABCD是矩形． ∵ ＝ ∴ 【对应训练】 教材 练习第 题． P７１ ２ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋２􀪋􀪋有􀪋三􀪋个􀪋角􀪋是􀪋􀪋直􀪋角􀪋的􀪋四􀪋边􀪋形􀪋是􀪋􀪋矩􀪋形􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【教 􀪋 学 􀪋􀪋 建 􀪋 议 􀪋 】 􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋利􀪋用􀪋逆􀪋向思􀪋维􀪋思􀪋 我们知道 矩形是四个角都是直角的四边形 它的逆命题成立吗 即四个角都 , , ? 引导学生由三个 考性质,让同学 是直角的四边形是矩形吗 ? 进一步 , 至少有几个角是直角的四边形是矩形 ? 角是直角去判定四边 们在解决问题的 猜测有三个角是直角的四边形是矩形．我们一起来验证一下 : 形为矩形,因为如果 过程中总结判定 已知 : 如图 , 在四边形ABCD中 ,∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝９０° ． 三个角是直角,由四 定理． 求证 : 四边形ABCD是矩形． 边形内角和定理很容 证明 :∵∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝９０°, 易知道第四个角也是 ∴∠ A ＋∠ B ＝１８０°,∠ B ＋∠ C ＝１８０° ． 直角． ∴ AD ∥ BC , AB ∥ CD． 另外提醒学生: 四边形ABCD是平行四边形． “有三个角是直角的 ∴ 又 ∠ A ＝９０°,∴ 四边形ABCD是矩形． 四边形是矩形”这一 归纳总结:有三个角是直角的四边形是矩形． 判定定理是在四边形 几何语言 :∵∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝９０°,∴ 四边形ABCD是矩形． 的基础上进行的,另 【对应训练】 外两个判定方法均是 ．依据所标数据 下列不一定是矩形的是 在平行四边形的基础 １ , (B ) 上进行的． ．教材 练习第 题． ２ P７１ １ 例 (教材 例 )如图 ABCD的四个内角的平分线分别相交于点EF 活动三:运用新 P７１ ２ ,▱ , , 【教学建议】 GH．求证 四边形EFGH是矩形． 知,巩固提升 , : ()给学生总结 分析:根据已知条件,容易证明四边形EFGH 的一个 １ 判定矩形的三种类 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 内角 F为直角,同理可证 H, AEB也为直角,从而证 ∠ ∠ ∠ 型: 有一个角是直 明四边形EFGH是矩形． ① 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生对􀪋矩􀪋形􀪋 角的平行四边形; 证明 四边形ABCD是平行四边形 ② 判定定理的掌握． :∵ , 对角线相等的平行四 AB CD． ∴ ∥ 边形; 有三个角是 BAD ADC ． ③ ∴∠ ＋∠ ＝１８０° 直角的四边形． 又AFDF分别平分 BAD ADC , ∠ ,∠ , ()提醒学生注 ２ 意,判定矩形所需的 DAF ADF １ BAD １ ADC １ BAD ADC ． ∴∠ ＋∠ ＝ ∠ ＋ ∠ ＝ (∠ ＋∠ )＝９０° ２ ２ ２ 条件,题目往往不会 F ． ∴∠ ＝９０° 全部给出,有些条件 同理 H AEB ． ∠ ＝∠ ＝９０° 需要结合其他几何知 FEH AEB ． ∴∠ ＝∠ ＝９０° 识自己去证得,如证 四边形EFGH是矩形． 直角,证对角线相等, ∴ 【对应训练】 证平行四边形． ．教材 练习第 题． １ P７１ ３ ７１教学步骤 师生活动 ．如图 ABCD的对角线ACBD相交于点OAC AB AOB E ２ ,▱ , , ⊥ ,∠ ＝６０°, , F分别是OBOD的中点 连接AECECFAF． , , , , , 求证 四边形AECF为矩形 (１) : ; 若AB 求矩形AECF的面积． (２) ＝３, 证明 四边形ABCD是平行四边形 (１) :∵ , OA OCOB OD． ∴ ＝ , ＝ EF分别是OBOD的中点 OE １OBOF １OD． ∵ , , ,∴ ＝ , ＝ ２ ２ OE OF 四边形AECF是平行四边形． ∴ ＝ ,∴ AC AB AOB BAO ABO OA １OB OE． ∵ ⊥ ,∠ ＝６０°,∴∠ ＝９０°,∴∠ ＝３０°,∴ ＝ ＝ ２ AC EF AECF为矩形． ∴ ＝ ,∴▱ 解 由 得OA OE OC OF AOB ABO (２) : (１) ＝ ＝ ＝ ,∠ ＝６０°,∠ ＝３０°, OAE是等边三角形 OFA OAF １ AOB ABO． ∴△ ,∠ ＝∠ ＝ ∠ ＝３０°＝∠ ２ AE OAAF AB ． ∴ ＝ , ＝ ＝３ 在 OAB中 由勾股定理易得OA AE OA ． Rt△ , ＝ ３,∴ ＝ ＝ ３ 矩形AECF的面积 AF AE ． ∴ ＝ 􀅰 ＝３３ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 矩形的判定方法有哪几种 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P７８~７９ ２１３ １,２ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 矩形 ２１３１ 第 课时 矩形的判定 ２ ．矩形的概念． １ ．矩形的判定定理 ． 板书设计 ２ １ ．矩形的判定定理 ． ３ ２ 本节课的主要任务是探究矩形的三个判定方法 教学过程中应将矩形的判定与平行四边形的判定作比 , 较 让学生之间相互交流 说出矩形与平行四边形的区别与联系 进而更好地掌握知识． 教学反思 , , , 教师安排对应的判定方法训练题巩固新知 学生需要根据已知条件灵活选用判定方法 提升分析问题 , , 和解决问题的能力． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ７２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面的二维码下载获取． &２１．３．２ 菱形 第 课时 菱形的性质 １ 教学目标 课题 ．． 第 课时 菱形的性质 授课人 ２１３２ １ ．理解菱形的概念 了解菱形与平行四边形之间的关系． １ , 素养目标 ．经历菱形性质定理的探索过程 发展学生的推理能力． ２ , ．能运用菱形的性质定理进行计算或证明 提高学生分析问题 解决问题的能力． ３ , 、 教学重点 菱形性质定理的理解和应用． 教学难点 菱形性质定理的探究与证明． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:动态演 【情境导入】 示,导入新课 拿一个活动的平行四边形教具,移动它的一条边,使这条边与邻边的长度相 等,这时它是什么图形? (动画演示拉动过程如图) 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 􀪋动􀪋态􀪋演􀪋示平􀪋行􀪋四􀪋 边形变成菱形的 【教学建议】 过程,使学生了 概念引入:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 让学生根据生活 解菱形的概念． 仔细观察下列实际生活中的图片,你觉得哪些有菱形的形象? 经验及图片思考菱形 的概念,教师总结并 提示菱形的概念． 菱形是生活中很常见的图形,你还能列举出菱形在生活中应用的其他例子吗? 我们一起来探讨一下菱形的性质吧! 探究点１ 菱形的性质 【教学建议】 活动二:动手操 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折 然后打开． ()引导学生类 作,探究新知 , １ 比平行四边形和矩 观察图形 回答下列问题 , : 形,从边、角、对角线 菱形在对称性方面有什么特点 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (１) ? 和轴对称性等方面来 答 菱形是轴对称图形 它的每条对角线所在的直线就 􀪋通􀪋过􀪋动􀪋手操􀪋作􀪋让􀪋 : , 研究菱形的性质． 是它的对称轴． 学生了解菱形的 ()告诉学生以 菱形是特殊的平行四边形 它和平行四边形相比 有什么特殊之处 ２ 性质． (２) , , ? 下两点: 答 菱形在平行四边形的基础上多了邻边相等的条件． 菱形作为特殊 : ① 平行四边形的两组对边分别相等 那么菱形的四条边有怎样的关系呢 的平行四边形,除了 (３) , ? 答 由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形 由平行四边形对边相等的性质 具有平行四边形的性 : , 容易发现菱形的四条边都相等． 质外,还具有四条边 归纳总结:菱形的四条边都相等． 都相等,两条对角线 互相垂直,并且每一 我们通过刚刚的折纸 可以发现菱形的两条对角线有什么位置关系 (４) , ? 条对角线平分一组对 答 菱形的两条对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角． : , 角的特殊性质; 菱 下面我们来试着证明这条性质 ② : 形和矩形一样,都是 求证 菱形的两条对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角． : , 轴对称图形． ７３教学步骤 师生活动 已知 如图 菱形ABCD的对角线相交于点O． : , 求证 AC BD AC平分 BAD CA 平分 BCD : ⊥ , ∠ , ∠ , BD平分 ABCDB平分 ADC． ∠ , ∠ 证明 四边形ABCD是菱形 AB ADOB OD :∵ ,∴ ＝ , ＝ , AC BDAC平分 BAD 等腰三角形的三线合一 ． ∴ ⊥ , ∠ ( ) 同理CA平分 BCDBD平分 ABCDB平分 ADC． , ∠ , ∠ , ∠ 归纳总结:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角． 综合来看,这两条性质可用下面的几何语言来表示: 几何语言: 四边形ABCD是菱形, AB BC CD AD,AC BD,AC平 ∵ ∴ ＝ ＝ ＝ ⊥ 分 BAD,CA平分 BCD,BD平分 ABC,DB平分 ADC． ∠ ∠ ∠ ∠ 【对应训练】 ．菱形不具有的性质是 １ (B ) 四条边都相等 对角线相等 A􀆰 B􀆰 是轴对称图形 对角线互相垂直 C􀆰 D􀆰 ．如图 BD是菱形ABCD的一条对角线 点E在BC的 ２ , , 延长线上．若 ADB 则 DCE的度数为 ． ∠ ＝３２°, ∠ ６４° ．教材 练习第 题． ３ P７３ ２ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋 ２ 􀪋􀪋菱􀪋形􀪋的􀪋面􀪋积􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【教 􀪋 学 􀪋􀪋 建 􀪋 议 􀪋 】 􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋探􀪋究􀪋菱􀪋形面􀪋积􀪋计􀪋 如图 比较菱形的对角线和平行四边形的对角线 可以发现 菱形的两条对角 ()让学生尝试 , , , １ 算的多种方式,在 线把菱形分成四个全等的直角三角形 而平行四边形一般只被分成两对全等的三 利用两种不同的方法 , 巩固菱形的性质 角形． 解决有关菱形面积的 的同时解决有关 问题． 菱形的实际问题． ( )告 诉 学 生: ２ 除了常规的计算平 ① 行四边形面积的方 那么菱形的面积除了像平行四边形那样利用底 高来计算外 还可以怎样计算 × , ? 法,菱形的面积也可 答 菱形的面积还可以利用 个全等的直角三角形面积的和来计算． : ４ 以表示为对角线乘积 S菱形ABCD＝４ S △ ABO＝４× １AO 􀅰 BO ＝ １ ×２ AO ×２ BO ＝ １AC 􀅰 BD． 的一半; ② 由于菱形 ２ ２ ２ 的两条对角线互相垂 归纳总结:菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形,它们的底和高 直,所以在计算过程 分别是两条对角线的一半．所以利用三角形的面积公式可以得到,菱形的面积等于 它的两条对角线长的积的一半． 中常会用到勾股定理． 例１ (教材 例 )如图 菱形花坛ABCD的边长为 ABC 沿 P７３ ３ , ２０m,∠ ＝６０°, 着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长 结果保留小数点后 ( 两位 和花坛的面积 结果保留小数点后一位 ． ) ( ) 解 设ACBD相交于点O． : , 花坛ABCD的形状是菱形 ∵ , AC BD ABO １ ABC １ ． ∴ ⊥ ,∠ ＝ ∠ ＝ ×６０°＝３０° ２ ２ 在 ABO中 AO １AB １ Rt△ , ＝ ＝ ×２０＝１０, ２ ２ BO AB２ AO２ ２ ２ ． ＝ － ＝ ２０－１０ ＝１０３ 花坛的两条小路长AC AO BD BO ． ． ∴ ＝２ ＝２０(m), ＝２ ＝２０３≈３４６４(m) 花坛的面积S菱形ABCD＝４× S △ ABO＝４× １AO 􀅰 BO ＝２００３≈３４６ ． ４(m ２ ) ． ２ ７４教学步骤 师生活动 【对应训练】 ．教材 练习第 题． １ P７３ １ ．小雨在参观故宫博物院时 被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引 他从中提 ２ , , 取出一个含 角的菱形ABCD 如图 ．若AB的长为 求菱形ABCD的面积． ６０° ( ) ２, 解 如图 过点A作AH BC于点H． 四边形ABCD是菱形 BC AB ． : , ⊥ ∵ ,∴ ＝ ＝２ B BAH B ABC是等边三角形． ∵∠ ＝６０°,∴∠ ＝９０°－∠ ＝３０°,△ BH １AB ． ∴ ＝ ＝１ ２ 由勾股定理易得AH 菱形ABCD的面积为BC AH ． ＝ ３,∴ 􀅰 ＝２× ３＝２３ 例２ 如图 在菱形ABCD中 过点B分别作BM AD于点MBN CD于 , , ⊥ , ⊥ 【教学建议】 活动三:运用新 点NBMBN分别交AC于点EF．求证 AE CF． , , , : ＝ 提醒学生:()菱 知,巩固提升 证明 四边形ABCD为菱形 １ :∵ , 形的四条边相等,每 AB CB BAM BCN AC平分 BAM CA ∴ ＝ ,∠ ＝∠ , ∠ , 一条对角线平分一组 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 平分 BCN ∠ , 对角,根据这些性质 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生􀪋对菱􀪋形􀪋 BAE DAE DCF BCF． ∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ 可以得到等线段和等 的概念及性质的 BM ADBN CD AMB CNB ． ∵ ⊥ , ⊥ ,∴∠ ＝∠ ＝９０° 角,这为证明三角形 认知,提高对知识 BAM ABE BCN CBF ∴∠ ＋∠ ＝９０°,∠ ＋∠ ＝９０°, 全等提供了一些条 的综合运用能力． ABE CBF． ∴∠ ＝∠ 件;()如果菱形的一 ì ï ï∠ BAE ＝∠ BCF , 个内 ２ 角为 ,那么菱 在 ABE和 CBF中 íAB CB ６０° △ △ ,ïï ＝ , 形的两条边和较短的 î ABE CBF ∠ ＝∠ , 对角线构成的三角形 ABE CBF AE CF． ∴△ ≌△ (ASA),∴ ＝ 为等边三角形． 【对应训练】 ．如图 四边形ABCD是菱形F是AB上一点 DF交AC于点E 连接BE． １ , , , , 求证 AFD CBE． :∠ ＝∠ 证明 四边形ABCD是菱形 :∵ , AB CDCB CDCA平分 BCD． ∴ ∥ , ＝ , ∠ BCE DCE． ∴∠ ＝∠ 又CE CE BCE DCE ． ＝ ,∴△ ≌△ (SAS) CBE CDE． ∴∠ ＝∠ AB CD AFD CDE． AFD CBE． ∵ ∥ ,∴∠ ＝∠ ∴∠ ＝∠ ．教材 练习第 题． ２ P７４ ３ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 菱形的概念是什么 菱形有哪些不同于平行四边形的性质 菱形的面积都有哪些计算方法 ? ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P７９~８０ ２１３ ４,１１,１２(２) ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ７５教学步骤 师生活动 ．． 菱形 ２１３２ 第 课时 菱形的性质 １ ．菱形的概念． １ ．菱形的性质 边的性质 角的性质 对角线的性质 轴对称性． ２ :(１) ;(２) ;(３) ;(４) 板书设计 ．菱形的面积计算公式． ３ 设置菱形图片 体现数学来源于生活 通过平移平行四边形的一条边 使其一组邻边相等得到菱形 折 , ; , ; 纸活动让学生主动探索菱形的性质 让学生感知菱形与平行四边形之间的关系． 教学反思 , 通过运用菱形的性质解决简单的实际问题 让学生认识到数学在现实生活中有着广泛的应用 可以培 , , 养学生的应用意识． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ７６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 菱形的性质 菱形的对角线互相垂直 平分 并且每一条对角线平分一组对角 因此菱形的性质可用来证明线段相等 角相等 直 (１) 、 , , 、 、 线平行 垂直 也可以进行有关的计算 、 , ; 菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形 因此常用勾股定理进行菱形的有关计算． (２) , 注意:()菱形的两条对角线互相垂直平分,但不一定相等; １ ()对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于对角线的长的积的一半． ２ 例１ 如图 菱形ABCD的对角线ACBD相交于点O 过点D作DH BC于点H 连接OH． , , , ⊥ , 若OA ＝４, S菱形ABCD＝２４, 则OH的长为 (B ) ５ １２ A􀆰 ５ B􀆰３ C􀆰 D􀆰 ２ ５ 解析: 四边形ABCD是菱形, AC BD,DO BO,AO CO．AO , AC AO ． ∵ ∴ ⊥ ＝ ＝ ∵ ＝４∴ ＝２ ＝８ ∵ S菱形ABCD＝２４ , ∴ １ ×８× BD ＝２４ ,解得BD ＝６ ． ∵ DH ⊥ BC, ∴∠ DHB ＝９０° ． ２ DO BO,OH １BD １ ．故选 ． ∵ ＝ ∴ ＝ ＝ ×６＝３ B ２ ２ 例２ 如图 四边形ABCD是菱形 AE BC于点EAF CD于点F． , , ⊥ , ⊥ 求证 ABE ADF (１) :△ ≌△ ; 若AE CF 求菱形ABCD的边长． (２) ＝４, ＝２, 证明: 四边形ABCD是菱形 AB AD B D． (１) ∵ ,∴ ＝ ,∠ ＝∠ AE BCAF CD AEB AFD ． ∵ ⊥ , ⊥ ,∴∠ ＝∠ ＝９０° ì ï ï∠ AEB ＝∠ AFD , 在 ABE和 ADF中 í B D ABE ADF ． △ △ ,ïï∠ ＝∠ , ∴△ ≌△ (AAS) îAB AD ＝ , 解:设菱形ABCD的边长为x 则AB CD x． (２) , ＝ ＝ CF DF x ． ∵ ＝２,∴ ＝ －２ ABE ADF BE DF x ． ∵△ ≌△ ,∴ ＝ ＝ －２ 在 ABE中 根据勾股定理 得AE２ BE２ AB２ 即 ２ x ２ x２ 解得x 菱形ABCD的边长是 ． Rt△ , , ＋ ＝ , ４＋(－２)＝ , ＝５,∴ ５􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ７７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 例３ 将两个完全相同的含有 角的直角三角尺在同一平面内按如图所示的方式摆放 点AEBD依次在同一直 ３０° , , , , 线上 连接AFCD． , , 求证 四边形AFDC是平行四边形 (１) : ; 已知BC 当四边形AFDC是菱形时 AD的长为 ． (２) ＝６cm, , １８ cm 证明:由题意可知 ACB DFE AC DF CAB FDE ． (１) △ ≌△ ,∴ ＝ ,∠ ＝∠ ＝３０° AC DF 四边形AFDC是平行四边形． ∴ ∥ ,∴ 解析:在 ABC中, ACB ,CAB ,BC , AB BC , ABC ． 四边形AFDC (２) Rt△ ∠ ＝９０°∠ ＝３０° ＝６cm ∴ ＝２ ＝１２cm ∠ ＝６０°∵ 是菱形, DA平分 CDF, CDA FDA ． ABC CDA BCD, BCD ABC CDA ∴ ∠ ∴∠ ＝∠ ＝３０°∵∠ ＝∠ ＋∠ ∴∠ ＝∠ －∠ ＝６０°－ , CDA BCD．BD BC , AD AB BD ( )．故答案为 ． ３０°＝３０°∴∠ ＝∠ ∴ ＝ ＝６cm ∴ ＝ ＋ ＝１８cm １８ 培优点 利用菱形的性质判定、证明和计算 例１ 如图 菱形ABCD的对角线ACBD相交于点OE是AD的中点 连接OE 过点D作DF AC交OE的延长 , , , , , ∥ 线于点F 连接AF． , 求证 AOE DFE (１) :△ ≌△ ; 判断四边形AODF的形状 并说明理由． (２) , 证明:E是AD的中点 AE DE． (１) ∵ ,∴ ＝ DF AC OAE FDE．又 AEO DEF AOE DFE ． ∵ ∥ ,∴∠ ＝∠ ∠ ＝∠ ,∴△ ≌△ (ASA) 解:四边形AODF为矩形．理由 (２) : AOE DFE AO DF．AO DF 四边形AODF为平行四边形． ∵△ ≌△ ,∴ ＝ ∵ ∥ ,∴ 四边形ABCD为菱形 AC BD 即 AOD ． 四边形AODF为矩形． ∵ ,∴ ⊥ , ∠ ＝９０°∴ 例２ 如图 四边形ABCD是菱形E是AB的中点AC的垂线EF交AC于点G 交AD于点M 交CD的延长线于点F． , , , , , 求证 AM AE． (１) : ＝ 连接CMDF ． (２) , ＝２ 求菱形ABCD的周长 ① ; 若 ADC MCF 求ME的长． ② ∠ ＝２∠ , 证明: 四边形ABCD是菱形 AC是其对角线 MAG EAG． (１) ∵ , ,∴∠ ＝∠ EM AC AGM AGE ．又AG AG AGM AGE ．AM AE． ∵ ⊥ ,∴∠ ＝∠ ＝９０° ＝ ,∴△ ≌△ (ASA)∴ ＝ 解: E是AB的中点 AE １AB．AM AE AM １AB． (２) ①∵ ,∴ ＝ ∵ ＝ ,∴ ＝ ２ ２ 四边形ABCD是菱形 AB CDAD AB． ∵ ,∴ ∥ , ＝ AEM F EAM FDMAM １AD．AM DM． ∴∠ ＝∠ ,∠ ＝∠ , ＝ ∴ ＝ ２ MAE MDF AE DF ． ∴△ ≌△ (AAS),∴ ＝ ＝２ AB AE ． ∴ ＝２ ＝４ 菱形ABCD的周长为 AB ． ∴ ４ ＝４×４＝１６ MAE MDF ME MFAE DF． ②∵△ ≌△ ,∴ ＝ , ＝ 又AM AE MD DF DM． DMF F． ＝ ＝ ,∴ ＝ ∴∠ ＝∠ ADC F DMF F． ∴∠ ＝∠ ＋∠ ＝２∠ ADC MCF F MCF MF MC ME． ∵∠ ＝２∠ ,∴∠ ＝∠ ,∴ ＝ ＝ 如图 连接CE． , AGM AGE GM GE． ∵△ ≌△ ,∴ ＝ 又 CGM CGE CG CG CGM CGE ． ∠ ＝∠ ＝９０°, ＝ ,∴△ ≌△ (SAS) CM CE ME． CME为等边三角形． CME ． ∴ ＝ ＝ ∴△ ∴∠ ＝６０° 又 CME F MCF MCF MCF F ． ADC F ． DMC ． ∠ ＝∠ ＋∠ ＝２∠ ,∴∠ ＝∠ ＝３０°∴∠ ＝２∠ ＝６０°∴∠ ＝９０° DF DM CD CM CD２ DM２ ２ ２ ME ． ∵ ＝２,∴ ＝２,∴ ＝４,∴ ＝ － ＝ ４－２ ＝２３,∴ ＝２３第 课时 菱形的判定 ２ 教学目标 课题 ．． 第 课时 菱形的判定 授课人 ２１３２ ２ ．理解并掌握菱形的判定方法 体会类比数学思想方法的作用． １ , 素养目标 ．引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理 养成主动探索的学习习惯． ２ , ．运用菱形的判定方法进行证明或计算 发展学生的推理能力． ３ , 教学重点 菱形的判定方法的理解与应用． 教学难点 选择合适的方法判定四边形为菱形． 教学活动 教学步骤 师生活动 【类比导入】 活动一:类比推 理,导入新课 前面我们学习平行四边形和矩形时,都可以用性质得出相应的判定,那么我们 学习菱形的判定时是否也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 我们大家一起 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 来尝试一下吧! 􀪋通􀪋过􀪋类􀪋比􀪋学􀪋习􀪋, 图形 性质定理 判定定理 激发学生的好奇 对边平行 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 心和求知欲,引 【教学建议】 平 对边相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 入本节课要研究 行 引导学生进行类 四 对角相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 的内容． 边 比、思考、分析,由平 形 对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形 行四边形和矩形的判 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定推断菱形的判定, 四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形 并回忆上一课时菱形 矩 对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形 的概念． 形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 四条边都相等 菱 两条对角线互相垂直,并 ? 形 且每一条对角线平分一组 对角 探究点１ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 活动二:动手操 如图 用一长一短两根木条 在它们的中 , , 作,探究新知 点处固定一个小钉 在四周围上一根橡皮筋 【教学建议】 , , 做成一个四边形． 让学生动手实践 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 转动木条 这个四边形总有什么特征 它是什么四边形 得到菱形的判定方 (１) , ? ? 􀪋通􀪋过􀪋图􀪋形􀪋的􀪋变􀪋 答 这个四边形的对角线总是互相平分 它是平行四边形． 法,教师注意提醒学 : , 化,让学生感受 继续转动木条 观察橡皮筋围成的四边形什么时候变成菱形 生:这里对角线互相 (２) , ? 四边形是菱形时 答 当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形． 垂直的前提条件是在 : 对角线的特征, 猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 平行四边形内,如果 : 引导学生得出菱 下面我们来尝试证明 是一般的四边形,则 : 形的判定方法． 已知 如图 ABCD的对角线ACBD相交于点O 且 应满足对角线互相垂 : ,▱ , , BD AC．求证 ABCD是菱形． 直且平分． ⊥ :▱ 证明 四边形ABCD是平行四边形 AO CO．BD AC BD垂直平 :∵ ,∴ ＝ ∵ ⊥ ,∴ 分AC AB BC． ABCD是菱形． ,∴ ＝ ∴▱ ７８教学步骤 师生活动 归纳总结:对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 几何语言: 四边形ABCD是平行四边形,且AC BD, ABCD是菱形． ∵ ⊥ ∴▱ 例１ (教材 例 )如图 在 ABCD中 对角线 P７４ ４ , ▱ , AC的垂直平分线与边ADBC分别相交于点EF．求 , , 证 四边形AFCE是菱形． : 分析:已知AC EF,由“对角线互相垂直的平行四 ⊥ 边形是菱形”,只需证明四边形AFCE是平行四边形．由题意可知AO CO,还需 ＝ 证明EO FO． ＝ 证明 四边形ABCD是平行四边形 AE CF． ． :∵ ,∴ ∥ ∴∠１＝∠２ 又 AOE COFAO CO ∠ ＝∠ , ＝ , AOE COF．EO FO． ∴△ ≌△ ∴ ＝ 四边形AFCE是平行四边形． ∴ 又AC EF ⊥ , 四边形AFCE是菱形． ∴ 【对应训练】 ．如图 ABCD 的对角线AC与BD 交于点O 若添加一个条件 可推出 １ ,▱ , , ABCD是菱形 则该条件可以是 ▱ , (C ) AB AC AC BD A􀆰 ＝ B􀆰 ＝ AC BD AB AC C􀆰 ⊥ D􀆰 ⊥ ．教材 练习第 题． ２ P７５ １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 四条边相等的四边形是菱形 􀪋通􀪋过􀪋动􀪋手操􀪋作􀪋让􀪋 老师拿四根长度一样的新粉笔 首尾顺次相接拼成一个 , 学生感受菱形四 四边形 在黑板上画出相应的图形并标上字母 如图 得到的 , ( ), 条边都相等的特 四边形ABCD是菱形吗 是 ． ? 征,引导学生得 猜想 四条边相等的四边形是菱形． : 出菱形的判定 下面我们来尝试证明 : 方法． 如图 在四边形ABCD中 AB BC CD AD．求证 四 , , ＝ ＝ ＝ : 【教学建议】 边形ABCD是菱形． 提醒学生:若已知 证明 AB CDBC AD 四边形ABCD是平行四边形． :∵ ＝ , ＝ ,∴ 邻边相等,要证明这个 又AB BC 四边形ABCD是菱形． ＝ ,∴ 四边形是菱形,可用两 归纳总结:四条边相等的四边形是菱形． 种方法:()先证明这个 几何语言: AB BC CD AD, 四边形ABCD是菱形． １ ∵ ＝ ＝ ＝ ∴ 四边形是平行四边形, 【对应训练】 再利用邻边相等得到 ．如图 在矩形ABCD中EFGH分别是ABBCCDAD的中点．求证 １ , , , , , , , , : 菱形;()直接证明四条 四边形EFGH是菱形． ２ 边都相等． 证明 四边形ABCD是矩形 :∵ , A B C D AD BCAB CD． ∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０°, ＝ , ＝ EFGH分别是ABBCCDAD的中点 ∵ , , , , , , , AH DH BF CFAE BE CG DG． ∴ ＝ ＝ ＝ , ＝ ＝ ＝ AHE BFE CFG DHG ∴△ ≌△ ≌△ ≌△ (SAS), HE FE FG HG ∴ ＝ ＝ ＝ , 四边形EFGH是菱形． ∴ ．尝试利用 四条边相等的四边形是菱形 证明前面的例 ． ２ “ ” １ ．教材 练习第 题． ３ P７５ ２ ７９教学步骤 师生活动 例２ 如图 在 ABCD中BF平分 ABC交AD于点FAE BF于点O , ▱ , ∠ , ⊥ , 活动三:综合运 交BC于点E 连接EF． , 用,巩固提升 求证 四边形ABEF是菱形 (１) : ; 若AE BF CE 求 ABCD的面积． (２) ＝６, ＝８, ＝３, ▱ 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 证明 四边形ABCD是平行四边形 (１) :∵ , 学生独立思考并 AD BC EBF AFB． 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生对􀪋菱􀪋形􀪋 ∴ ∥ ,∴∠ ＝∠ 完成例题,教师点评． BF平分 ABC ABF EBF ABF AFB AB AF． 的判定的认识． ∵ ∠ ,∴∠ ＝∠ ,∴∠ ＝∠ ,∴ ＝ 提醒学生注意:()已 AE BF AOB EOB ． １ ∵ ⊥ ,∴∠ ＝∠ ＝９０° 知角方面的条件可考 又BO BO ABO EBO AB BE．BE AF． ＝ ,∴△ ≌△ (ASA),∴ ＝ ∴ ＝ 虑利用其得到边的相 又BE AF 四边形ABEF是平行四边形． ∥ ,∴ 等关系,为证明菱形 又AB AF 四边形ABEF是菱形． ＝ ,∴ 创造条件;()进行第 解 如图 过点F作FG BC于点G． ２ (２) : , ⊥ ( )问 计 算 时,求 ２ 四边形ABEF是菱形 AE BF OE １AE OB １BF ． ABCD 的面积,可 ∵ , ＝６, ＝８,∴ ＝ ＝３, ＝ ＝４ ▱ ２ ２ 利用第()问的结论, 在 Rt△ BOE中 , BE ＝ OB２ ＋ OE２ ＝ ４ ２ ＋３ ２ ＝５ ． 先由菱形 １ 的两种面积 ∵ S菱形ABEF＝ １AE 􀅰 BF ＝ BE 􀅰 FG ,∴ １ ×６×８＝５ FG ,∴ FG ＝ ２４． 计算方法求得关键的 ２ ２ ５ 线段长． BC BE CE S BC FG ２４ １９２． ∵ ＝ ＋ ＝５＋３＝８,∴ ▱ ABCD＝ 􀅰 ＝８× ＝ ５ ５ 【对应训练】 教材 练习第 题 P７５ ３ ． 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 菱形的判定方法有哪几种 ? 矩形和菱形小结 : 图形 概念 性质定理 判定定理 有一个角是直角的平行 四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形 四边形是矩形 对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形 四条边都相等 四条边相等的四边形是菱形 有一组邻边相等的平行 活动四:随堂训 菱形 两条对角线互相垂直,并且 对角线互相垂直的平行四边形 四边形是菱形 练,课堂总结 每一条对角线平分一组对角 是菱形 【知识结构】 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P７９~８０ ２１３ ５,１０ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 菱形 ２１３２ 第 课时 菱形的判定 ２ 板书设计 ．菱形的概念． １ ．菱形的判定定理 ． ２ １ ．菱形的判定定理 ． ３ ２ 新课导入时让学生动手制作菱形 感知菱形判定的条件 让学生在轻松愉快的氛围中水到渠成地得到 , , 菱形的判定定理． 教学反思 在运用判定时 要遵循先易后难的原则 让学生先会运用判定解决简单的证明题 再由浅入深 学会灵 , , , , 活运用． ８０􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ８１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 根据题设条件灵活选择菱形的判定方法 用边来判定 先说明四边形是平行四边形 再说明有一组邻边相等 说明四边形的四条边都相等． (１) :① , ;② 用对角线进行判定 先说明四边形是平行四边形 再说明四边形的对角线互相垂直 说明四边形的对角线互相 (２) :① , ;② 垂直平分． 注意:对角线垂直的四边形不一定是菱形,必须是对角线互相垂直的平行四边形才是菱形． 例１ 如图 在四边形ABCD中 AC为对角线BA ACE为BC的中点 连接AE 若 BAE CAD AE , , , ⊥ , , , ∠ ＋∠ ＝９０°, ∥ CD．求证 四边形AECD是菱形． : 证明:BA AC BAC BAE EAC ． ∵ ⊥ ,∴∠ ＝９０°,∴∠ ＋∠ ＝９０° BAE CAD CAE CAD． ∵∠ ＋∠ ＝９０°,∴∠ ＝∠ E为BC的中点 AE CE ∵ ,∴ ＝ , EAC ACE CAD ACE AD BC． ∴∠ ＝∠ ,∴∠ ＝∠ ,∴ ∥ 又AE CD 四边形AECD是平行四边形． ∥ ,∴ AE CE 四边形AECD是菱形． ∵ ＝ ,∴ 例２ 如图 四边形ABCD是平行四边形 DE BF 且分别交对角线AC于点EF 连接BEDF． , , ∥ , , , , 求证 AE CF (１) : ＝ ; 若BE DE 求证 四边形EBFD为菱形． (２) ＝ , : 证明: 四边形ABCD是平行四边形 AD CBAD CB DAE BCF． (１)∵ ,∴ ＝ , ∥ ,∴∠ ＝∠ DE BF DEF BFE AED CFB． ∵ ∥ ,∴∠ ＝∠ ,∴∠ ＝∠ ì ï ï∠ AED ＝∠ CFB , 在 ADE和 CBF中 í DAE BCF ADE CBF AE CF． △ △ ,ïï∠ ＝∠ ,∴△ ≌△ (AAS),∴ ＝ îAD CB ＝ , 由 知 ADE CBF DE BF． (２) (１) △ ≌△ ,∴ ＝ DE BF 四边形EBFD是平行四边形． ∵ ∥ ,∴ 又BE DE 四边形EBFD为菱形． ＝ ,∴ 培优点 菱形判定的综合 例１ 如图 两张等宽且对边平行的纸条交叉叠放在一起 若重合部分构成的四边形ABCD中 AB AC 则四边 , , , ＝３, ＝２, 形ABCD的面积为 (A ) A􀆰４２ B􀆰６２ C􀆰８２ D􀆰５ 解析:如图,过点A分别作AE CD于点E,AF BC于点F,连接BD交AC于点O． ⊥ ⊥ 两张纸条宽度相等, AE AF． ∵ ∴ ＝ AB CD,AD BC, 四边形ABCD是平行四边形． ∵ ∥ ∥ ∴ S BC􀅰AF CD􀅰AE,BC CD, ∵ ▱ ABCD＝ ＝ ∴ ＝ 四边形ABCD是菱形． ∴ AO CO １AC １ ,BO DO,AC BD． ∴ ＝ ＝ ＝ ×２＝１ ＝ ⊥ ２ ２ BO AB２ AO２ ２ ２ ,BD BO ． ∴ ＝ － ＝ ３－１ ＝２２ ∴ ＝２ ＝４２ 四边形ABCD的面积 １BD􀅰AC １ ．故选 ． ∴ ＝ ＝ ×４２×２＝４２ A ２ ２ 例２ 例题可扫描下面的二维码下载获取．２１．３．３ 正方形 第 课时 正方形的性质 １ 教学目标 课题 ．． 第 课时 正方形的性质 授课人 ２１３３ １ ．掌握正方形的性质以及正方形与平行四边形 矩形 菱形之间的关系． １ 、 、 素养目标 ．让学生感受从一般到特殊 化未知为已知的数学思想及转化的数学思想． ２ , ．能正确运用正方形的性质进行简单的计算 推理 论证． ３ 、 、 教学重点 正方形的性质． 教学难点 正方形的性质的灵活运用． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境导入】 【教学建议】 境,导入新课 仔细观察下列实际生活中的图片,你会发现里面都有正方形的形象． 让学生根据生活 经验及图片思考正方 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 形的特征． 􀪋通􀪋过􀪋图􀪋片􀪋展􀪋示􀪋, 引入课题,激发 正方形是我们熟悉的图形,你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗? 学生兴趣． 正方形有什么性质呢? 下面我们一起来探究一下吧! 探究点 正方形的性质 活动二:实践探 从正方形的边 角 对角线和它的轴对称性出发 写出正方形的性质 并证明其 、 、 , , 究,获取新知 中的一些结论． １．边、角、对角线的性质探究 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 我们回忆一下小学学过的正方形 它有什么性质 正方形可以定义 (１) , ? 􀪋通􀪋过􀪋类􀪋比的􀪋方􀪋式􀪋 答 正方形的四条边都相等 四个角都是直角． 为有一组邻边相等并 : , 让学生掌握正方 教师:由于正方形的四条边都相等 四个角都是直角 正方形既是特殊的平行 且有一个角是直角的 , , 形的性质． 四边形 也是特殊的矩形 菱形 如图 因此它具有平行四边形 矩形 菱形的 , 、 ( ①②), 、 、 平行四边形,这里实际 所有性质． 包含两层意思:()有 １ 一组邻边相等的平行 四边形(菱形);()有 ２ 一个角是直角的平行 四边形(矩形)． 矩形有什么性质呢 菱形有什么性质呢 学生自行作答 正方形不仅是特 (２) ? ? ( ) 活动:比一比 看谁填得又快又好 教师将事先准备好的表格在上课之前发 殊的平行四边形,也 , ! ( 给学生 让学生填完表格的前三列 教师检查 表扬填得好的同学 是特殊的矩形,又是 , , , ) 平行四边形 矩形 菱形 正方形 特殊的菱形．教学时, 要结合图形具体说明 边 正方形与矩形、菱形 角 的关系．这些是教学的 对角线 重点,也是难点． 教师:现在你能概括正方形的性质吗 把上面表格的第四列也补充完整 ? ! ２．正方形的轴对称性 我们再想一想 正方形是轴对称图形吗 它的对称轴是什么 : ? ? ８２教学步骤 师生活动 如图 取一张正方形纸片 将它沿过对边中点的直线或对角线 【教学建议】 , , 折叠 折叠后的两部分均能重合． ()教学时注意 , １ 归纳总结:正方形是轴对称图形,它的对称轴有四条,分别是 让学生结合对正方形 对边中点的连线以及两条对角线所在的直线． 对角线性质证明的示 平行四边形 矩形 菱形 正方形 例来证明其他性质． ()给学生说明, 对边平行 对边平行 对边平行且 对边平行且 ２ 边 且相等 且相等 四条边都相等 四条边都相等 正方形中含有丰富的 四个角都 四个角都 条件(等线段、等角、 角 对角相等 对角相等 是直角 是直角 平行关系、垂直关系 互相平分 互相垂直 互相垂直、 等),解题时注意根据 对角线 互相平分 且相等 且平分 平分且相等 题目要求,从边、角、 轴对称图形 不是 是 是 是 对角线等各个方面挖 对称轴条数 掘所需的条件,与其 ０ ２ ２ ４ 表中有正方形的一些性质 我们以 正方形的对角线相等且互相垂直平分 为 他几何知识结合求解． , “ ” 例进行证明．其他一些性质的证明 同学们可以试一试． , 例１ 求证 正方形的对角线相等且互相垂直平分． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : 已知 如图 四边形ABCD是正方形． : , 􀪋通􀪋过􀪋练􀪋习加􀪋深􀪋对􀪋 求证 AC BDAC BDOA OCOB OD． 正方形性质的 : ＝ , ⊥ , ＝ , ＝ 证明 正方形ABCD是特殊的菱形 OB ODOA OC 认识． :∵ ,∴ ＝ , ＝ , AC BD． 正方形ABCD是特殊的矩形 AC BD． ⊥ ∵ ,∴ ＝ 例２ (教材 例 )求证 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等 P７６ ５ : 的等腰直角三角形． 已知 如图 正方形ABCD的对角线ACBD相交于点O． : , , 求证 ABO BCO CDO DAO是全等的等腰直角三角形． :△ ,△ ,△ ,△ 证明 四边形ABCD 是正方形 AC BD AC BD． :∵ ,∴ ＝ , ⊥ AOB BOC COD AOD AO BO CO DO． ∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０°, ＝ ＝ ＝ ABO BCO CDO DAO都是等腰直角三角形 并且 ABO BCO ∴△ ,△ ,△ ,△ , △ ≌△ ≌ CDO DAO． △ ≌△ 思考:正方形 菱形 矩形 平行四边形之间有什么关系 与同学讨论一下 并 、 、 、 ? , 列表或画框图表示这些关系． 答 : 【对应训练】 ．正方形的边长是 则它的对角线的长是 ． １ ３, ３２ ．如图 在正方形ABCD中 点E在BD上 且BE CD 则 ２ , , , ＝ , BEC的度数为 ． ． ∠ ６７５° ．教材 练习． ３ P７６~７７ ８３教学步骤 师生活动 例３ 如图 在正方形ABCD中 点EF分别在边BCCD上 连接AEAF 活动三:灵活运 , , , , , , , EF 且 EAF 延长CB到点G 使BG DF 连接AG．求证EF BE DF． 用,巩固提升 , ∠ ＝４５°, , ＝ , : ＝ ＋ 证明 四边形ABCD为正方形 :∵ , 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ∴ AD ＝ AB ,∠ BAD ＝∠ ABC ＝∠ D ＝９０° ． ABG ABC ． 􀪋加􀪋深􀪋对􀪋正方􀪋形􀪋性􀪋 ∴∠ ＝１８０°－∠ ＝９０° ABG D． 质的掌握,培养 ∴∠ ＝∠ DF BG ADF ABG 发散思维和灵活 ∵ ＝ ,∴△ ≌△ (SAS), AF AG DAF BAG． 运用的能力． ∴ ＝ ,∠ ＝∠ EAF BAE DAF BAD EAF ∵∠ ＝４５°,∴∠ ＋∠ ＝∠ －∠ ＝４５°, EAG BAG BAE DAF BAE EAG EAF． ∴∠ ＝∠ ＋∠ ＝∠ ＋∠ ＝４５°,∴∠ ＝∠ ì ï ï AG ＝ AF , 【教学建议】 在 AGE和 AFE中 í EAG EAF △ △ ,ïï∠ ＝∠ , 给学 生 适 当 指 îAE AE ＝ , 引,说明与正方形有 AGE AFE EG EF． ∴△ ≌△ (SAS),∴ ＝ 关的综合题经常与全 EG BE BG BE DF EF BE DF． ∵ ＝ ＋ ＝ ＋ ,∴ ＝ ＋ 等三角形结合,要善 【对应训练】 于根据正方形的性质 如图 在边长为 的正方形ABCD中P是对角线AC上的点 过点P作PE , ２ , , ⊥ 找出等角、等线段,为 PBPE交线段DC于点E．求证 PB PE． , : ＝ 三角形全等创造条 证明 如图 过点P分别作PG BC于点GPH DC于 : , ⊥ , ⊥ 件,必要时还需作辅 点H , 助线找到解题突破口． PGB PHE ． ∴∠ ＝∠ ＝９０° 四边形ABCD是正方形 ∵ , CA平分 BCD BCD ． ∴ ∠ ,∠ ＝９０° PG PH PHC BCD ．PH CG． ∴ ＝ ,∠ ＋∠ ＝１８０°∴ ∥ HPG PGB ． ∴∠ ＝∠ ＝９０° 又PE PB BPE ． BPE GPE HPG GPE ⊥ ,∴∠ ＝９０°∴∠ －∠ ＝∠ －∠ , 即 BPG EPH． ∠ ＝∠ ì ï ï∠ PGB ＝∠ PHE , 在 PGB和 PHE中 íPG PH △ △ ,ïï ＝ , î BPG EPH ∠ ＝∠ , PGB PHE PB PE． ∴△ ≌△ (ASA),∴ ＝ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 正方形有哪些性质 正方形与平行四边形 矩形 菱形有怎样的关系 ? 、 、 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P７９~８１ ２１３ ６,１２(３),１５,１６ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ８４教学步骤 师生活动 ．． 正方形 ２１３３ 第 课时 正方形的性质 板书设计 １ ．正方形的概念． １ ．正方形的性质 边 角 对角线 轴对称性． ２ :(１) ;(２) ;(３) ;(４) 正方形性质的探究内容依旧集中在边 角 对角线及轴对称等方面 教学中注意引导学生思索平行四边 、 、 , 形 矩形 菱形和正方形的区别与联系 使其形成完整的四边形知识网络． 教学反思 、 、 , 从本节课的授课过程来看 灵活运用了多种教学方法 注重与现实生活的联系 调动了学生学习的积极 , , , 性 充分发挥了学生的主体作用． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ８５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 利用正方形的性质进行计算或证明 正方形具有平行四边形 矩形 菱形的所有性质．总结如下 、 、 : 元素 性质 符号表示 图示 对边平行 AB CD,AD BC 边 ∥ ∥ 四条边都相等 AB BC CD DA ＝ ＝ ＝ 角 四个角都是直角 ABC BCD CDA DAB ∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０° 对角线相等且互相 AC BD,AC BD,OA OB OC OD 垂直平分 ＝ ⊥ ＝ ＝ ＝ 对角线 每一条对角线平分 BAC DAC DCA BCA ∠ ＝ ∠ ＝ ∠ ＝ ∠ ＝ 一组对角 ABD CBD CDB ADB ∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝４５° 是轴对称图形,有四条对称轴 对称性 提示:()正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形;每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角 １ 三角形．解决问题时,通常归结到这些等腰直角三角形中求解．()正方形的对角线互相垂直,因此正方形的面积也可以用对 ２ 角线的长的积的一半来计算． 例１ 如图 在正方形ABCD中 BEC是等边三角形 求 EAD和 EDA的度数． , ,△ , ∠ ∠ 解: BEC是等边三角形 BE CE BC EBC ECB ． 四边形ABCD是正方形 ∵△ ,∴ ＝ ＝ ,∠ ＝∠ ＝６０°∵ , AB BC CD ABC DCB BAD ADC AB BE CE CD ABE DCE ∴ ＝ ＝ ,∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０°,∴ ＝ ＝ ＝ ,∠ ＝∠ ＝ ABE DCE是等腰三角形 BAE BEA CDE CED EAD EDA ． ３０°,∴△ ,△ ,∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝７５°,∴∠ ＝∠ ＝９０°－７５°＝１５° 例２ 如图 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形 求证 AE CG． , , : ＝ 证明: 四边形ABCD是正方形 AD CD ADC ． 四边形DEFG是正方形 DE ∵ ,∴ ＝ ,∠ ＝９０°∵ ,∴ ＝ DG EDG ． ADE EDC CDG EDC ADE CDG． AED CGD ,∠ ＝９０°∴∠ ＋∠ ＝∠ ＋∠ ＝９０°,∴∠ ＝∠ ∴△ ≌△ ．AE CG． (SAS)∴ ＝ 例３ 如图 在正方形ABCD中 点E在边BC上 点F在CD的延长线上 且BE DF． , , , , ＝ 求证 AE AFAE AF (１) : ＝ , ⊥ ; 若BD与EF相交于点M 连接AM 试判断AM与EF的数量关系和位置关系 并说明理由． (２) , , , 证明: 四边形ABCD为正方形 ABE BAD ADC ADF AB AD． (１) ∵ ,∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０°, ＝ 又BE DF ABE ADF ＝ ,∴△ ≌△ (SAS),􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ８６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 AE AF BAE DAF． DAF EAD BAE EAD 即 EAF BAD AE AF． ∴ ＝ ,∠ ＝∠ ∴∠ ＋∠ ＝∠ ＋∠ , ∠ ＝∠ ＝９０°,∴ ⊥ 解:AM １EFAM EF．理由如下 如图 过点E作EN CD 交BD于点N MNE MDF MEN (２) ＝ , ⊥ : , ∥ , ,∴∠ ＝∠ ,∠ ＝ ２ MFD NEB C ． 四边形ABCD为正方形 易得 NBE BNE NBE NBE ∠ ,∠ ＝∠ ＝９０°∵ ,∴ ∠ ＝４５°,∴∠ ＝９０°－∠ ＝４５°,∴∠ ＝ BNE BE NE．又BE DF NE DF MNE MDF EM FM．AE AF EAF ∠ ,∴ ＝ ＝ ,∴ ＝ ,∴△ ≌△ (ASA),∴ ＝ ∵ ＝ ,∠ ＝９０°, AM １EFAM EF． ∴ ＝ , ⊥ ２ 培优点一 与正方形有关的最值问题 例１ 如图 正方形ABCD的边长为 EF分别是BCCD上的动点 且BE CF 连接AEBF交于点P 连接CP , ４, , , , ＝ , , , , 则CP的最小值是 (A ) A􀆰２５－２ B􀆰３２－２ C􀆰２２ D􀆰 ２＋２ 解析:在 正 方 形 ABCD 中,AB BC, ABC BCD ．在 ABE 和 BCF 中, ＝ ∠ ＝ ∠ ＝９０° △ △ ì ïAB BC, ï ＝ í ABE BCF, ABE BCF( ), BAE CBF． CBF ABF , BAE ïï∠ ＝∠ ∴△ ≌△ SAS ∴∠ ＝∠ ∵∠ ＋∠ ＝９０°∴∠ ＋ îBE CF, ＝ ABF , APB ．如图,设AB的中点为G,连接GP,GC,则GP BG １AB １ ． ∠ ＝９０°∴∠ ＝９０° ＝ ＝ ＝ ×４＝２ ２ ２ GP CP GC, 当点C,P,G在同一条直线上时,CP有最小值GC GP．BC ,BG , GC BC２ BG２ ∵ ＋ ≥ ∴ － ∵ ＝４ ＝２ ∴ ＝ ＋ ＝ ２ ２ ．CP的最小值是 ．故选 ． ４＋２ ＝２５∴ ２５－２ A 培优点二 与正方形有关的探究问题 例２ 如图 在正方形ABCD中 M 是AB的中点 E是AB的延长线 ①, , , 上一点 MN DM 且交 CBE的平分线于点N． , ⊥ , ∠ 求证 DM MN． (１) : ＝ 若将 M 是AB的中点 改为 M 是AB上的任意一点 其他条件不 (２) “ ” “ ”, 变 如图 则结论 DM MN 是否仍成立 若成立 请给出证明 若不成立 , ②, “ ＝ ” ? , ; , 请说明理由． 分析:()要证DM MN,只需取AD的中点F,连接FM,依据正方形的性质可证 DFM MBN,进而得DM １ ＝ △ ≌△ ＝ MN; ()只需在AD上截取AG AM,连接GM,同()可证 DGM MBN,进而得DM MN． ２ ＝ １ △ ≌△ ＝ 证明:如图 取AD的中点F 连接FM． (１) ①, , 四边形ABCD为正方形 AB AD A ABC CBE ． ∵ ,∴ ＝ ,∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０° FDM AMD ． ∴∠ ＋∠ ＝９０° MN DM BMN AMD ． FDM BMN． ∵ ⊥ ,∴∠ ＋∠ ＝９０°∴∠ ＝∠ BN平分 CBE CBN １ CBE ． ∵ ∠ ,∴∠ ＝ ∠ ＝４５° ２ MBN ABC CBN ． ∴∠ ＝∠ ＋∠ ＝１３５° M是AB的中点F是AD的中点 AF DF １AD １AB AM MB． ∵ , ,∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ２ ２ AFM １ A DFM AFM MBN． ∴∠ ＝ (１８０°－∠ )＝４５°,∴∠ ＝１８０°－∠ ＝１３５°＝∠ ２ DFM MBN ．DM MN． ∴△ ≌△ (ASA)∴ ＝ 解:结论 DM MN 仍成立．证明如下 (２) “ ＝ ” : 如图 在AD上截取AG AM 连接GM． ②, ＝ , 同 可得 AB AD A GDM BMN MBN ． (１) , ＝ ,∠ ＝９０°,∠ ＝∠ ,∠ ＝１３５° AG AM AGM １ A AD AG AB AM 即DG MB． ∵ ＝ ,∴∠ ＝ (１８０°－∠ )＝４５°, － ＝ － , ＝ ２ DGM AGM MBN． ∴∠ ＝１８０°－∠ ＝１３５°＝∠ DGM MBN ．DM MN． ∴△ ≌△ (ASA)∴ ＝第 课时 正方形的判定 ２ 教学目标 课题 ．． 第 课时 正方形的判定 授课人 ２１３３ ２ ．掌握正方形的判定方法． 素养目标 １ ．巩固对各种特殊平行四边形性质与判定的掌握 培养对知识的综合运用能力． ２ , 教学重点 正方形的判定． 教学难点 选择合适的方法判定四边形为正方形． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境引入】 境,引入新知 (教材 练习第 题)王芳在商场看中一条丝巾 她不确定其是不是正方形 P７８ ３ , 样式 于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折 如图所示 让王芳看丝巾是 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 , ( ), 否完全重合 见她还有些犹豫 售货员又拉起另一组对角把丝巾对折 让她看丝巾 【教学建议】 , , , 􀪋通􀪋过􀪋生􀪋活场􀪋景􀪋引􀪋 是否也完全重合．王芳发现这两次都重合 就买下了这条丝巾．你认为王芳买的这 让学生先结合生 , 出课题,激发学 条丝巾是正方形样式吗 为什么 活经验尝试回答,然后 ? ? 生的学习兴趣． 从数学角度认真思考． 让我们带着这个问题开始今天的学习吧． 探究点 正方形的判定 活动二:问题引 要判定一个四边形是正方形 可以先判定它是矩形 再判定这个矩形也是菱 , , 入,探究新知 形 或者先判定它是菱形 再判定这个菱形也是矩形． ; , (教材 探究) 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 P７７ 分别从矩形 菱形 平行四边形 四边形出发 写出正方形的判定方法 并与同 、 、 、 , , 􀪋总􀪋结􀪋正􀪋方形􀪋的􀪋判􀪋 学交流你的结论． 定方法,培养全 ()有一组邻边相等的矩形是正方形; 面归纳的能力． 从矩形出发 １ ()对角线互相垂直的矩形是正方形 ２ ()有一个角是直角的菱形是正方形; 从菱形出发 １ 【教学建议】 ()对角线相等的菱形是正方形 ２ 让学生自行归纳, ()有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正 从平行四边形出发 １ 汇集学生意见后,教师 方形;()对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 ２ 再进行系统性总结． ()四条边都相等且一个角是直角的四边形是正方形; １ 从四边形出发 ()对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; ２ ()有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形 ３ 方法不唯一 只要能判定四边形既是矩形又是菱形即可． , 例１ (教材 例 )如图EFGH分别是正方形ABCD四条边上的点 P７７ ６ , , , , , 且AE BF CG DH．求证 四边形EFGH是正方形． ＝ ＝ ＝ : 分析:要证明四边形EFGH是正方形,需证明它既是菱形,也是矩形,也就是 要先证明它的四条边相等,再证明它的一个角是直角,而这可以由 AEH, △ BFE,CGF, DHG全等得出． △ △ △ ８７教学步骤 师生活动 证明 四边形ABCD是正方形 :∵ , AB BC CD DA． ∴ ＝ ＝ ＝ 又AE BF CG DH ＝ ＝ ＝ , EB FC GD HA． ∴ ＝ ＝ ＝ A B C D ∵∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０°, AEH BFE CGF DHG． ∴△ ≌△ ≌△ ≌△ HE EF FG GH． 四边形EFGH是菱形． ∴ ＝ ＝ ＝ ∴ AEH BFE ． ∵△ ≌△ ,∴∠２＝∠３ 又 ． ∠１＋∠２＝９０°,∴∠１＋∠３＝９０° HFE ． ∴∠ ＝１８０°－(∠１＋∠３)＝９０° 四边形EFGH是正方形． ∴ 【对应训练】 教材 练习第 题． P７８ １,２ 例２ 如图EGFH经过正方形ABCD的对角线的交点O 且EG FH．求 活动三:典例精 , , , ⊥ 证 四边形EFGH为正方形． 讲,升华提高 : 证明 四边形ABCD 为正方形 易得OC OB :∵ ,∴ ＝ , BCO ABO BOC COH BOH． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ∠ ＝∠ ＝４５°,∠ ＝９０°＝∠ ＋∠ EG FH EOH BOE BOH 􀪋巩􀪋固􀪋正􀪋方形􀪋的􀪋性􀪋 ∵ ⊥ ,∴∠ ＝９０°＝∠ ＋∠ , COH BOE CHO BEO OH OE． 质和判定方法, ∴∠ ＝∠ ,∴△ ≌△ (ASA),∴ ＝ 同理可证OE OF OG 培养解决问题的 ＝ ＝ , OE OF OG OH． 四边形EFGH为平行四边形． 能力． ∴ ＝ ＝ ＝ ∴ 又EG FH 四边形EFGH为菱形． ⊥ ,∴ OE OG OF OH 即EG FH ∵ ＋ ＝ ＋ , ＝ , 四边形EFGH为正方形． ∴ 【教学建议】 【对应训练】 给学生说明,正 如图 点E在正方形ABCD的边BC上 AEF 且AE EF 过点F作 , ,∠ ＝９０° ＝ , 方形的性质和判定结 FM BC 垂足为M． ⊥ , 合考查时,往往先由 求证BE CM (１) : ＝ ; 正方形的性质得到等 延长CD至点N 使得DN BE 连接ANFN．求证 四边形AEFN是正 (２) , ＝ , , : 线段、等角等条件,再 方形． 将这些条件通过全等 证明 四边形ABCD是正方形 :(１)∵ , 三角形、等腰三角形等 B AB BC BAE BEA ． ∴∠ ＝９０°, ＝ ,∴∠ ＋∠ ＝９０° 几何知识进行转化,进 AEF BEA FEM AEF B ∵∠ ＝９０°,∴∠ ＋∠ ＝９０°,∠ ＝∠ , 而得到判定正方形的 BAE FEM． ∴∠ ＝∠ 条件． AE EF ABE EMF AB EM． ∵ ＝ ,∴△ ≌△ (AAS),∴ ＝ BC EM BC EC EM EC 即BE CM． ∴ ＝ ,∴ － ＝ － , ＝ 四边形ABCD是正方形 (２)∵ , B BAD ADC ADN AB AD． ∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０°, ＝ DN BE ABE ADN AE AN BAE DAN． ∵ ＝ ,∴△ ≌△ (SAS),∴ ＝ ,∠ ＝∠ AE EF EF AN． ∵ ＝ ,∴ ＝ EAN DAN EAD BAE EAD BAD ∵∠ ＝∠ ＋∠ ＝∠ ＋∠ ＝∠ ＝９０°, EAN AEF AN EF ∴∠ ＋∠ ＝１８０°,∴ ∥ , 四边形AEFN是平行四边形． ∴ AE EF 四边形AEFN是菱形． ∵ ＝ ,∴ AEF 四边形AEFN是正方形． ∵∠ ＝９０°,∴ ８８教学步骤 师生活动 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 判定四边形是正方形的两种基本思路是什么 你能分别说说 从矩形 菱形 平行四边形 四边形出发 ? , 、 、 、 , 怎样判定正方形吗 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P７９ ２１３ ７ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 正方形 ２１３３ 第 课时 正方形的判定 板书设计 ２ ．判定正方形的基本思路． １ ．从不同的四边形出发判定正方形． ２ 本节课借助生活情境引出课题 学习正方形的判定．课题内容涉及以前学过的各种几何知识 对学生的 , , 综合能力要求较高．部分学生在学习时不能熟练运用以前学过的知识 或掌握不牢 或不能灵活运用．对此应 教学反思 , , 采取循序渐进的方式 从易到难 从简单到复杂 逐步培养学生的信心．总的来说本课时内容较难 今后还应 , , , , 通过适当的训练加强学生解决问题的能力． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ８９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 正方形的判定 注意:由于正方形的判定方法一般都是在平行四边形、矩形、菱形的基础上判定的,所以在判定正方形时,一定要仔细考 虑题目中的条件,灵活选择适当的判定方法来分析问题和解决问题． 例１ 如图 在矩形ABCD中 ABC的平分线交对角线AC于点EEF ABEG BC 垂足分别是FG．判断四边 , ,∠ , ⊥ , ⊥ , , 形EFBG的形状 并证明你的结论． , 解:四边形EFBG是正方形． 证明 四边形ABCD是矩形 ABC ． :∵ ,∴∠ ＝９０° 又EF ABEG BC BFE BGE 四边形EFBG是矩形． ⊥ , ⊥ ,∴∠ ＝∠ ＝９０°,∴ BE为 ABC的平分线 EF EG 四边形EFBG是正方形． ∵ ∠ ,∴ ＝ ,∴ 例２ 如图 菱形AECF的对角线ACEF交于点O 点DB是对角线EF所在直线上两点 且DE BF 连接AD , , , , , ＝ , , ABCDCB ADO ．求证 四边形ABCD是正方形． , , ,∠ ＝４５° : 证明: 四边形AECF是菱形 AC EFOA OCOE OF． ∵ ,∴ ⊥ , ＝ , ＝ DE BF OE DE OF BF 即DO BO 四边形ABCD是平行四边形． ∵ ＝ ,∴ ＋ ＝ ＋ , ＝ ,∴ 又AC BD 四边形ABCD是菱形． ⊥ ,∴ ADO 易得 DAO ADO ．AO DO AC BD． ∵∠ ＝４５°,∴ ∠ ＝∠ ＝４５°∴ ＝ ,∴ ＝ 四边形ABCD是正方形． ∴ 培优计划 培优计划可扫描下面的二维码下载获取．第二十二章 函数 ２２．１ 函数的概念 第 课时 常量和变量 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 常量和变量 授课人 ２２１ １ ．了解常量 变量的概念 体会在一个变化过程中常量和变量相对存在． １ 、 , 素养目标 ．能根据具体情境分清实例中的常量和变量． ２ ．通过探索具体问题中的数量关系和变化规律 体会 变化与对应 的思想． ３ , “ ” 教学重点 常量和变量概念的理解和识别． 教学难点 用含一个变量的代数式表示另一个变量． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【教学建议】 【情境导入】 境,新课导入 学生自主发言, “万物皆变”———行星在宇宙中的位置随时间的变化而变 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 教师提示总结:我们 化,我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间 处在一个不断变化的 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生围􀪋绕􀪋日􀪋 的变化而变化,气温随海拔的变化而变化,树高随树龄的变化而 环境中,为了更好地 常生活实际举 变化􀆺􀆺．在现实世界中,这种一个量随另一个量的变化而变化 例,激发学生兴 认识世界,我们要对 趣,为引入新概 的现象大量存在． 这些变化情况进行研 念做准备． 为了探究这些变化过程,我们首先要找出其中变化的量和不变的量． 究和探索． 探究点 常量和变量 活动二:问题引 阅读教材 思考 中的 个问题． 入,自主探究 P９０“ ” ４ 补充表格 (１) : 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 t/ h １ ２ ３ ４ ５ 教师引导学生思 􀪋利􀪋用􀪋某􀪋几􀪋项生􀪋活􀪋 s/ km ６０ １２０ １８０ ２４０ ３００ 考,将表格补充完整 实例来探究事物 问题 反映了汽车行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化的过程．在这个 并填空,找出问题中 (１) 相应的变化过程, 过程中s的值随t的值的变化而变化 汽车行驶速度的值 是始终不变的 行 不变的量和变化的 从中引导学生发 , , , 驶时间t和行驶路程s的值 是变化的． 量,进而引出常量和 现常量和变量． (２) 三场电影的票房收入依次为 ３２００ 元 、 ４２００ 元和 ７２００ 元． 变量的概念．教学中应 问题 反映了电影票房收入y随售出票数x的变化而变化的过程．在这个过 注意强调: 圆周率 (２) ① π 程中y的值随x的值的变化而变化 电影票的售价 是始终不变的 售出票 表示的是一个常数,是 , , , 数x和票房收入y的值 是变化的． 常量; 常量、变量与字 ② 由圆的面积公式S r２ 可知 当r 时S ２ 当r 母的指数没有关系; (３) ＝π , ＝１０cm , ＝ １００π cm ; ＝ 时S ２ 当r 时S ２．在这个过程中S的 在一个变化过程中, ２０cm ,＝ ４００π cm ; ＝３０cm ,＝ ９００π cm , ③ 值随r的值的变化而变化 圆周率 是始终不变的 圆的半径r和面积S的 常量或变量的个数都有 , π , 值 是变化的． 可能有多个,如对应训 由长方体的体积公式V Sh可知 因为V ３ 所以当S ２ 练 中,变量有 个． (４) ＝ , ＝１０００cm , ＝５０cm T２ ３ 时h 当S ２ 时h 当S ２ 时h ． ,＝ ２０ cm; ＝１００cm ,＝ １０ cm; ＝１２５cm ,＝ ８ cm 在这个过程中h的值随S的值的变化而变化 长方体的体积 是始终不变的 , , , 长方体的底面积S和高h的值 是变化的． ９０教学步骤 师生活动 概念引入:一般地,在一个变化过程中,我们称数值始终不变的量为常量,数值 发生变化的量为变量．例如,在问题()和()中,汽车行驶的速度、电影票的售价是 １ ２ 常量;汽车行驶的时间t、路程s,售出的电影票数x、票房收入y是变量． 追问:问题 和问题 反映了什么变化过程 其中的常量和变量分别是 (３) (４) ? 什么 ? 答 问题 反映了圆的面积S随圆的半径r的变化而变化的过程 其中常量 : (３) , 是圆周率 变量是圆的半径r圆的面积S 问题 反映了长方体的高h随底面 π, 、 ; (４) 积S的变化而变化的过程 其中常量是长方体的体积 变量是长方体的底面积S , , 、 长方体的高h． 例１ (教材 例 )指出下列问题中的常量和变量 P９１ １ : 某市居民生活用水的价格为 元 ．记某户的月用水量为x 月应缴水费 (１) ５ /t t, 为y元． 在某地乘坐公交车 刷公交卡每次收费 元．李明在公交卡中存入 元 (２) , １ ３０ , 记此后他乘坐公交车n次 公交卡中的余额为w元． , 用 长的绳子围一个矩形 记矩形的一边长为x 矩形的面积为S ２． (３) ２０m , m, m 解 生活用水的价格是常量 某户的月用水量x和月应缴水费y是变量． :(１) , 刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量 乘坐公交车的次数n和公交卡中 (２) , 的余额w是变量． 绳的长度是常量 矩形的一边长x和面积S是变量． (３) , 【对应训练】 ．教材 练习． １ P９１ ．已知签字笔的价格是 元 支 笔记本的价格是 元 本 状状购买了a支签 ２ ５ / , ２ / , 字笔和b本笔记本花了m元 在这个问题中 变量是 abm 常量是 ． , , ,, , ５,２ 例２ 如图 在矩形ABCD中 点M 在边BC上 点N在边CD上．设BM 活动三:重点突 , , , ＝ 破,提升探究 aCN b则 BMN的面积S １ab． 【教学建议】 , ＝ , △ ＝ ２ 教师适时引导学 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 生发现: 常量可以 ① 􀪋巩􀪋固􀪋对􀪋常量􀪋和􀪋变􀪋 是常数,也可以是数 量以及变量间关 值不变的字母; 常 ② 系的认识． 量和变量是相对的, 若保持点M不动 点N在CD上运动 请指出S １ab中的常量和变量 前提是“在一个变化 (１) , , ＝ ; ２ 过程中”,一个量在某 若保持点N不动 点M在BC上运动 请指出S １ab中的常量和变量． 一个变化过程中是常 (２) , , ＝ ２ 量,而在另一个变化 解 :(１) １和a是常量 , S和b是变量． 过程中可能是变量． ２ １和b是常量S和a是变量． (２) , ２ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 活动四:随堂训 常量和变量的概念是什么 如何判别一个量是常量还是变量 ? ? 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P９５ ２２１ １ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ９１教学步骤 师生活动 ． 函数的概念 ２２１ 第 课时 常量和变量 板书设计 １ 常量 数值始终不变的量} : 在一个变化过程中 前提 ． 变量 数值发生变化的量 ( ) : 本节课属于概念教学 在教学过程中 通过列举生活中的实例能够让学生更加积极地参与课堂教学互 , , 动 融入课堂．让学生通过 举例 类比 思考 的模式 将具体的实例转化为抽象的概念 便于学生理 , “ ——— ——— ” , , 教学反思 解和接受 亦为后续函数的学习做准备． , 本节课的重难点在于教会学生如何识别常量和变量 其辨析的依据是在一个变化过程中 量的数值是 , , 否发生变化． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ９２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 识别常量和变量 判断一个量是不是变量 关键是看其数值是否发生变化． , 注意: ()常量和变量是相对的; １ ()常量、变量与字母的指数没有关系; ２ () 是常量,不是变量． ３π 例１ 已知路程s速度v和时间t之间的关系为s vt则下列说法中正确的是 、 ＝ , (C ) 当s一定时v是常量t是变量 A􀆰 , , 当v一定时t是常量s是变量 B􀆰 , , 当t一定时t是常量sv是变量 C􀆰 , ,, 当t一定时s是常量v是变量 D􀆰 , , 解析:当s一定时,s是常量,v,t是变量,故 选项说法错误; A 当v一定时,v是常量,t,s是变量,故 选项说法错误; B 当t一定时,t是常量,s,v是变量,故 选项说法正确, 选项说法错误． C D 故选 ． C 例２ 若球的体积为V 半径为R 则V ４ R３．其中 VR 是变量 ４ 是常量． , , ＝ π , , ,π ３ ３ 例３ 指出下列问题中的常量和变量． 每本练习本 ．元 购买n本练习本所需的钱数为m 单位 元 (１) ０６ , ( : ); 某种饮水机盛满 水 打开阀门每分钟可流出 ． 水 放水x 后饮水机中剩余水量为y ． (２) ２０L , ０２L , min L 解: ．是常量 mn是变量． (１)０６ , , ．是常量xy是变量． (２)２０,０２ ,, 培优点 实际应用中的常量和变量 例 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 函数 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 函数 授课人 ２２１ ２ ．理解函数 自变量 函数值的概念． 素养目标 １ 、 、 ．能从文字描述或图表信息中找出函数关系 发展学生的逻辑思维能力与几何直观感知能力． ２ , 教学重点 函数的相关概念 函数关系的识别． , 教学难点 识别图表问题中的函数关系． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:知识回 【教学建议】 顾,导入新课 【回顾导入】 教师带领学生回 上一节课,从教材 “思考”的 个问题中,我们发现都存在数值始终不变的 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 P９０ ４ 顾上一课时所学内 量和数值发生变化的量,于是归纳出常量和变量的概念．现在我们对这几个问题作 容,紧扣“从具体到抽 􀪋回􀪋顾􀪋上􀪋一课􀪋时􀪋的􀪋 进一步探究,不难发现每个问题中的变量都是两个,那么这两个变量之间是否存在 象”的认识路程,并通 内容,为引入新 什么关系呢? 又该如何表示这种关系呢? 这就是我们今天将要学习的内容． 过设问铺垫新课． 概念做准备． 探究点１ 函数的概念 活动二:问题引 阅读教材 思考 中的 个问题． 入,自主探究 P９０“ ” ４ 在问题 中 两个变量是t和s s 随 t 的变化而变化．每当 t 取 【教学建议】 (１) (１) , , 定一个值时 s 就有唯一确定的值与其对应．其中 当t 时s 当t 在教学中,可进 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 , , ＝１ ,＝ ６０ ; ＝ 时s 当t 时s ．它们之间的关系可以用 s t 一步解释自变量和函 􀪋通􀪋过􀪋对􀪋教材􀪋相􀪋关􀪋 ２ ,＝ １２０ ; ＝５ ,＝ ３００ 􀆺􀆺 ＝６０ 表示． 数:在一个变化过程 内容的探索思考 在问题 中 两个变量是x和y y 随 x 的变化而变化．每当 x 中,居于主动地位的 引出函数的概 (２) (２) , , 取定一个值时 y 就有唯一确定的值与其对应．其中 当x 时y 变量叫作自变量,随 念,并设问让学 , , ＝８０ ,＝ ３２００ ; 当x 时y 当x 时y ．它们之间的关系可以用 之变化且对应值有唯 生回答,突出函 ＝１０５ ,＝ ４２００ ; ＝１８０ ,＝ ７２００ y x 表示． 一确定性的另一个变 数的本质属性, ＝４０ 类似地 请你分别指出问题 中两个变量之间的关系 并写出关系式． 量叫作自变量的函数． 加深理解． (３) , (３)(４) , 答 在问题 中 两个变量是r和SS随r的变化而变化．每当r取定一个值 此外,学生对于 : (３) , , 时S就有唯一确定的值与其对应．它们之间的关系可以用S r２ 表示． 函数和函数值可能混 , ＝π 在问题 中 两个变量是S和hh随S的变化而变化．每当S取定一个值 淆,教师可提问让学 (４) , , 生回答,并进行点评 时h就有唯一确定的值与其对应．它们之间的关系可以用h １０００表示． , ＝ S 纠正． 归纳:上面问题中的两个变量,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就 有唯一确定的值与其对应． 概念引入:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的 每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是 x的函数．如果当x a时y b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值． ＝ ＝ 教师进一步提问 给出自变量x的一个值 函数y可以有两个或两个以上 :(１) , 的值吗 会不会存在自变量x的多个值对应的函数y的值都相等呢 ? ? 答y对x是单值对应 故给出自变量x的一个值 函数y不可能有两个或两 : , , 个以上的值x对y不一定是单值对应 故可能会存在自变量x的多个值对应的函 ; , 数y的值相等． ９３教学步骤 师生活动 你认为函数与函数值有何区别 举例说一说． (２) ? 答 函数是变量 函数值是某个具体的数值 一个函数可能有许多不同的函数 : , , 值．以教材 思考 中的问题 为例y是x的函数 是一个变量． 是y的 P９０“ ” (２) , , ３２００ 一个函数值． 【对应训练】 ．教材 思考 的四个问题中 哪些量是自变量 哪些量是自变量的函数 １ P９０“ ” , ? ? 解 t是自变量s是t的函数 x是自变量y是x的函数 :(１) , ;(２) , ; r是自变量S是r的函数 S是自变量h是S的函数． (３) , ;(４) , ．已知矩形的周长为 设它的一条边的长为x 面积为y 判断y与x之间 ２ １６, , , 是不是函数关系．若是 请写出关系式 若不是 请说明理由． , ; , 解 这个问题中的两个变量是x和y 且y随x的变化而变化．每当x取定一 : , 个值时y就有唯一确定的值与其对应 所以y与x之间是函数关系．它们之间的 , , 关系可以用y x x 来表示． ＝ (８－ ) 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋２􀪋􀪋图􀪋表􀪋问􀪋题􀪋中􀪋􀪋的􀪋函􀪋数􀪋关􀪋系􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋列􀪋出􀪋图􀪋表􀪋问题􀪋的􀪋 一些用图或表格表达的问题中 也能看到两个变量之间存在函数关系． , 【教学建议】 相关实例,通过对 思考: 教师引导学生进 其中函数关系的 潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象．我国某港 (１) 行探索,对比上一探 探索,使学生明确 口潮水的高度 简称潮高 在某时段的变化如图所示 时间与潮高分别记作变量t ( ) , 究点学习的用关系式 函数关系的呈现 与h．这两个变量之间有什么关系 ? 呈现函数关系,让学 形式是多样的． 生说说图和表格中呈 现的函数关系有何不 同,答案不限,比如图 形反映趋势,表格数 据更直接等等．注意和 学生强调,不是所有 图表中的变量之间的 答 由图可知 潮高h随时间t的变化而变化 每当t取定一个值时h就有唯 : , , , 关系都满足函数关 一确定的值与其对应 比如当t 时h 所以h与t之间是函数关系 其中 , ＝６ ,＝２００, , , 系,依然需要用之前 t是自变量h是t的函数． , 学到的函数的概念去 某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示 存款期限与年 (２) , 进行判断．有些学习能 利率分别记作变量x和y．这两个变量之间有什么关系 ? 力强的学生可能发现 存款期限x/月 某些图表数据可以转 ３ ６ １２ ２４ ３６ ６０ 年利率y/％ ． ． ． ． ． ． 换成关系式来表示, １１５ １３５ １４５ １６５ １９５ ２００ 初学时不需要深入挖 答 由表可知 年利率y随存款期限x的变化而变化 每当x取定一个值时y : , , , 掘,对他们进行认可 就有唯一确定的值与其对应 比如当x 时y ． ％ 所以y与x之间是函 , ＝１２ ,＝１４５ , 并告知不是所有图表 数关系 其中x是自变量y是x的函数． , , , 信息都能用关系式来 教师总结:从这节课探究的内容可知,函数是刻画变量之间对应关系的数学模 表达即可,后面还会 型,许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示． 进一步学习． 【对应训练】 教材 练习． P９３~９４ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 活动三:随堂训 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 练,课堂总结 ．什么是函数 并用语言描述函数中的自变量与函数值． １ ? ．你能从某段文字叙述或图表信息中找出函数关系吗 举例说明． ２ ? ９４教学步骤 师生活动 【知识结构】 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P９５~９６ ２２１ ２,５,６,８ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 函数的概念 ２２１ 第 课时 函数 板书设计 ２ ．函数及相关概念． １ ．函数关系的呈现方式 关系式 图形 表格． ２ : 、 、 本节课的重点是让学生理解函数的概念．教学中先让学生体会实际问题中不同变量间的联系 再通过 , 教学反思 这些联系的共同点指出具有这种特点的关系叫作函数 突出函数的本质属性 并由此对函数概念进行辨析 , , , 达到深刻理解概念的目的． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ９５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 判断函数关系 解决此类题目先要明确函数关系是针对两个变量而言的 满足这个前提条件之后 再来分辨出哪个变量是自变量 而另 , , , 一个变量与自变量是单值对应关系 即当自变量取定一个值时 另一个变量都有唯一确定的值与之对应．需要注意的是 取 , , , 定一个函数值时 有可能有多个自变量的值与之对应 这个时候单值对应的逻辑就不适用了． , , 例１ 下列关系式中y不是x的函数的是 , (B ) y x y x y x y x２ A􀆰 ＋ ＝０ B􀆰||＝２ C􀆰 ＝|２| D􀆰 ＝２ ＋４ 例２ 下列变量之间的关系中 不是函数关系的是 , (B ) 圆的面积与直径 等腰三角形的底边长与面积 A􀆰 B􀆰 正方形的周长与边长 长方形的宽一定 其长与面积 C􀆰 D􀆰 , 解题大招二 识别函数关系中的自变量,以及列出关系式 判断自变量时 要看清 先动 与 后动 即先发生变化 先动 的量是自变量 随自变量的变化而变化 后动 的另一个量 , “ ” “ ”, ( ) , ( ) 具有唯一确定性 叫作自变量的函数．列关系式即是找寻两个变量之间的相等关系 往往可以依据公式 如面积公式 路程 ( ) , , 、 与速度之间的公式等来列式． 例３ 回顾多边形的相关知识 设多边形的边数为nn 内角和为α 外角和为 β 那么n与αn与 β 之间存在函数 , (≥３), , , , 关系吗 若存在 找出自变量 并据此列出函数关系式． ? , , α 解:n与α存在函数关系 当n是自变量时α n 当α是自变量时n n与 β 存在函数关系 但只 , ,＝(－２)􀅰１８０°; ,＝ ＋２; , １８０° 能n为自变量 因为无论n取何值 β 都有唯一确定的值与其对应 即 所以函数关系式为 β ．但对于 β n的 , , , ３６０°, ＝３６０° ＝３６０°, 取值不唯一 所以 β 不能为自变量． , 培优计划 培优计划可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 用函数解析式表示函数关系 ３ 教学目标 课题 ． 第 课时 用函数解析式表示函数关系 授课人 ２２１ ３ ．能根据实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围 以及实际背景对自变量取值的限制 增强数学建 １ , , 素养目标 模意识． ．联系求代数式的值的知识 探索求函数值的方法． ２ , 教学重点 列函数解析式 确定自变量的取值范围． , 教学难点 较复杂问题中函数解析式的确定及代值求解． 教学活动 教学步骤 师生活动 【问题引入】 【教学建议】 活动一:设问引 导,新课导入 已知一个正方形,其边长为 ５cm ,若边长增加x cm ,设相应的周长增加y cm , 学生自主作答, 则y是x的函数吗? 如果是,它们之间的函数关系应该怎么表示呢? 在潜移默化中完成列 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 答:y是x的函数．理由:y随x的变化而变化,每当x取定一个值时,y都有 函数解析式这一过 唯一确定的值与其对应,所以y是x的函数． 程,教师进行总结,顺 􀪋设􀪋问􀪋引􀪋导􀪋学生􀪋列􀪋 正方形边长增加前,其周长为 ( );边长增加后,其周长为 ( x) 势完成铺垫新课这一 函数关系式表示 ５×４＝２０cm ４５＋ ＝ ( x) ,所以y ( x) x,即它们之间的关系可以用等式y x表示． 教学目的． 变量之间的关系, ２０＋４ cm ＝２０＋４ －２０＝４ ＝４ 根据题意,我们不难得到y x这一相等关系,用到的则是上一节课求函数 从而引入新课． ＝４ 关系式的方法．可以发现,变量x与y集中在一个用等号连接的式子中,且对于每 一个x的值,都有唯一确定的y值与之对应,这样就用函数把变量之间的关系表 示出来了．这节课我们将进一步学习用这种方法表示函数关系． 【教学建议】 探究点 用函数表示数量之间的关系 活动二:问题引 学生独立思考完 例１ (教材 例 )汽车油箱中有汽油 ．如果不再加油 那么油箱中剩 入,自主探究 P９４ ２ ５０L , 成,教师统一点评并提 余的油量y 单位 随行驶路程x 单位 的增加而减少．已知该汽车平均每千 ( :L) ( :km) 醒学生注意以下几点: 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 米耗油 ． ． ０１L/km 对于函数解析 􀪋由􀪋已􀪋知􀪋条􀪋件􀪋,结􀪋 (１) 写出表示y与x的函数关系的式子 ; 式,可 ① 列出实际问题 合等量关系列出 (２) 指出自变量x的取值范围 ; 中的等量关系或结合 函数的解析式, 汽车行驶 时 油箱中还有多少汽油 相关公式,将各个量 (３) ２００km , ? 根据实际意义确 解 行驶路程x是自变量 油箱中剩余的油量y是x的函数．它们的关系为 用常数或含变量的式 :(１) , 定自变量的取值 y ．x． 子表示,经过适当变 ＝５０－０１ 范围,并进一步 仅从式子y ．x看x可以取任意实数．但是考虑到x代表的实际 形即可得到函数的解 (２) ＝５０－０１ , 考查通过解析式 意义为行驶路程 因此x不能取负数．行驶中的耗油量为 ．x 它不能超过油箱 析式(注意不要用错 , ０１ L, 公式); 求函数值． 中现有汽油量 即 ．x ． ５０L, ０１ ≤５０ 对于自变量的 因此 自变量x的取值范围是 x ． ② , ０≤ ≤５００ 取值范围,不仅要考 (３) 汽车行驶 ２００km 时 , 油箱中剩余的汽油量是函数y ＝５０－０ ． １ x在x ＝２００ 虑使函数关系式有意 时的函数值．将x 代入y ．x 得y ． ． 义,而且还要注意问 ＝２００ ＝５０－０１ , ＝５０－０１×２００＝３０ 因此 汽车行驶 时 油箱中还有 汽油． 题的实际意义; , ２００km , ３０L 概念引入:像y ．x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量 求函数值时,要 ＝５０－０１ ③ 之间的关系是表示函数的常用方法,这种式子叫作函数的解析式． 确认自变量的取值是 否在它的取值范围内． ９６教学步骤 师生活动 例２ 写出下列函数中自变量x的取值范围． y x y x y １ ． (１)＝２ －３; (２)＝ －１; (３)＝x ２ ＋１ 解 x为任意实数 x x ．． :(１) ;(２)≥１;(３)≠－０５ 【对应训练】 ．写出下列函数中自变量x的取值范围． １ y x２ y x ０ ． (１)＝２ ; (２)＝(－２)＋３ 解 x为任意实数 x ． :(１) ;(２)≠２ ．教材 练习． ２ P９５ 例３ 如图 在一个长为 宽为 的矩形纸板的四个角上 都剪去大小 活动三:重点突 , １５cm、 １０cm , 相同的小正方形 剩余部分为一个十字形纸板 图中阴影部分 ．当小正方形的边长x 破,提升探究 , ( ) 单位 由小到大变化时 剩余部分的面积S 单位 ２ 也随之发生变化． ( :cm) , ( :cm) 哪些量是自变量 哪些量是自变量的函数 试写出题中存在的函数解析 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (１) ? ? 式及自变量的取值范围． 学生独立思考完 􀪋结􀪋合􀪋常􀪋用公􀪋式􀪋解􀪋 当小正方形的边长为 时 求阴影部分的面积． 成,教师公布答案．并 决几何图形中的 (２) ３cm , 解 x是自变量 S是自变量的函数．由剩余部分 提醒学生注意: 不 函数问题． :(１) , ① 的面积 矩形的面积 个小正方形的面积 得S 要将常用公式混淆, ＝ －４ , ＝１５× x２ 即y x２． 导 致 解 析 式 错 误; １０－４ , ＝１５０－４ 因为剩余部分为十字形纸板 在求自变量的取值 , ② 所以小正方形的边长x应满足x 且 x ． 范围时,应结合剩余 ＞０ １０－２ ＞０ 因此 自变量x的取值范围是 x ． 部分为十字形考虑． , ０＜ ＜５ 所以S关于x的函数解析式为S x２ x ． ＝１５０－４ (０＜ ＜５) 将x 代入S x２ 得S ２ ． (２) ＝３ ＝１５０－４ , ＝１５０－４×３＝１５０－３６＝１１４ 所以当小正方形的边长为 时 阴影部分的面积为 ２． ３cm , １１４cm 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : ．你能根据实际问题列函数解析式吗 举例说明． １ ? ．确定函数中自变量的取值范围时应注意哪些问题 你会求函数的值吗 ２ ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P９６ ２２１ ３,４,７ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 函数的概念 ２２１ 第 课时 用函数解析式表示函数关系 ３ 板书设计 ．函数解析式． １ ．函数自变量的取值范围 使函数关系式有意义 满足问题的实际意义． ２ :① ;② ．求函数值． ３ 列函数解析式是函数学习的基础 初学时不应过度拔高 应以理解为主 辅以简单的实际背景可使学生 , , , 教学反思 感受数学来源于生活．实际教学时应从符号抽象度 建模准确度 实际应用度这三个维度进行展开 使学生 、 、 , 理解解析式作为函数关系 压缩包 的高效性 从而增强主动学习的意愿． “ ” , ９７􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ９８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 求函数自变量的取值范围 要使函数的解析式有意义 ① : 函数的解析式是整式时 自变量可取任意实数 a． , ; 函数的解析式中含有分式时 自变量的取值应使分式的分母不为 b． , ０; 函数的解析式中含有二次根式时 自变量的取值应使被开方数大于等于 c． , ０; 函数的解析式中含有零次幂时 自变量的取值应使零次幂的底数不为 d． , ０; 函数的解析式中含有负整数指数幂时 自变量的取值应使负整数指数幂的底数不为 ． e． , ０ 对于反映实际问题的函数关系 应使实际问题有意义． ② , 注意:()函数的概念中包含三个要素: １ 自变量的取值范围; ① 两个变量之间的对应关系; ② 后一个变量被唯一确定． ③ ()自变量与函数用什么字母表示无关紧要． ２ ()已知函数解析式,当自变量确定时,函数值也唯一确定;当函数值确定时,自变量不一定唯一确定． ３ 例１ 下列函数中 自变量的取值范围错误的是 , (D ) y １x２ 中x为任意实数 y １ 中x A􀆰 ＝ , B􀆰 ＝x ,≠－１ ２ ＋１ y x 中x y １ 中x C􀆰 ＝ －２ ,≥２ D􀆰 ＝ x ,≥－３ ＋３ 解析: 选项中自变量的取值范围应是x ,故此选项错误．故选 ． D ＞－３ D 解题大招二 利用函数解析式求值 例２ 按如图所示的程序计算函数y的值 若输入x的值为 则输出y的值为 ． , －３, １８ 分析:根据 确定出应代入y x２ 中,再计算出y的值． －３＜－１ ＝２ 解析:因为 ,所以将x 代入y x２ ,得y ( ) ２ ．故答案为 ． －３＜－１ ＝－３ ＝２ ＝２× －３ ＝１８ １８ 培优点 列函数解析式解决规律探究题 例 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放． 第 个图形有多少枚黑色棋子 (１) ５ ? 记第n个图形的黑色棋子枚数为y 试写出y关于n的函数解析式． (２) , 第几个图形有 枚黑色棋子 (３) ２０２５ ? 解: 因为第 个图形有 枚黑色棋子 第 个图形有 枚黑色棋子 第 个图形有 枚黑色棋子 第 个图形有 (１) １ ６ , ２ ９ , ３ １２ , ４ １５ 枚黑色棋子 所以第 个图形有 枚黑色棋子． , ５ １８ y n ． (２)＝３ ＋３ 将y 代入y n 得 n 解得n ． (３) ＝２０２５ ＝３ ＋３, ３ ＋３＝２０２５, ＝６７４ 所以第 个图形有 枚黑色棋子． ６７４ ２０２５２２．２ 函数的表示 第 课时 函数的图象 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 函数的图象 授课人 ２２２ １ ．联系实际 理解函数图象的意义 以及函数图象的作用． 素养目标 １ , , ．掌握用列表 描点 连线的方法画出简单函数的图象． ２ 、 、 教学重点 函数图象的意义的理解和简单函数图象的画法． 教学难点 画稍复杂函数的图象． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:创新情 你坐过摩天轮吗? 你坐在摩天轮上时,随着时间的变化,你离地面的高度是如 境,导入新课 何变化的? 如图反映了摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间的对应关系． 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 结合图例,引导 􀪋以􀪋生􀪋活􀪋中􀪋的实􀪋际􀪋 学生分析为什么需要 场景为例,引入对 画图来表示函数关 函数图象的探究． 系,找出图象表示函 数关系的优点． 有些问题中的函数关系很难用解析式表示,但是可以用图来直观地反映．对于 能用解析式表示的函数关系,如果也能画图表示,那么会使函数关系更直观． 我们这节课就来学习函数的图象以及如何画函数的图象． 探究点１ 函数的图象 【教学建议】 活动二:问题引 入,自主探究 １ ．写出正方形的面积S关于边长x的函数解析式 , 并确定自变量x的取值范围． 教师引导学生共 答 : 根据正方形的面积公式可知S ＝ x２．根据问题的实际意义 , 可知自变量x 同完成图象的绘制．在 的取值范围是x ． 绘制图象的过程中, 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ＞０ 根据函数对自变量单值对应 , 自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的 适时提醒学生注意: 􀪋利􀪋用􀪋现􀪋实生􀪋活􀪋中􀪋 函数值S , 就确定了一个点 ( x , S ), 通过这些点 , 我们可以利用在平面直角坐标系 如果函数在描 与函数图象有关 中画图的方法来表示S与x的关系． 出的两 ① 点之间是连续 的背景,让学生 ．请用表格的形式列举S与x之间的对应值． 的,那么已描出的点之 ２ 在观察中认识、 x 􀆺 ． ． ． ． 􀆺 间的连线要平滑(不出 理解函数的图象． ０５ １ １５ ２ ２５ ３ ３５ ４ S 􀆺 ． ． ． ． 􀆺 现明显的拐弯点); ０２５ １ ２２５ ４ ６２５ ９ １２２５ １６ 对于不在函数 把x的值作为横坐标 对应的S的值作为纵坐 , ② 标 在平面直角坐标系中将上面表格中各对数值所 图象上的点,要用空心 , 对应的点画出来 即描点 按照横坐标从小到大的 圆圈表示; ( ), 组成函数图象 顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来 即连 ( ③ 的所有点的横坐标的 线 这样就得到了函数S x２ 的图象 如图 ． ), ＝ ( ) 集合恰好是自变量的 ．表示x与S的对应关系的点有多少个 能全 ３ ? 部画出来吗 取值范围． ? 答 表示x与S的对应关系的点有无数个 但是 : , 实际上我们只能描出其中有限个点 同时想象出其 , 他点的位置． ９９教学步骤 师生活动 概念引入:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作 为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象． 通过图象可以数形结合地研究函数． 【对应训练】 下列曲线中 不能表示y是x的函数的是 , (A ) A B C D 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋２􀪋􀪋画􀪋函􀪋数􀪋的􀪋图􀪋􀪋象􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋示􀪋范􀪋函􀪋数图􀪋象􀪋的􀪋 例１ (教材 例 )在下列式子中y是x的函数．画出这些函数的图象 P１０１ １ , , 画法,让学生充 通过图象观察函数与自变量的关系． 分体会画函数图 y x ． y ３x ． (１)＝ ＋０５; (２)＝x(＞０) 象的方法和步骤． 解 从式子y x ．可以看出x取任意实数时这个式子都有意义 所以 :(１) ＝ ＋０５ , , x的取值范围是全体实数． 从x的取值范围中选取一些数值 算出y的对应值 列表． , , x 􀆺 􀆺 －２ －１ ０ １ ２ y 􀆺 ． ． ． ． ． 􀆺 －１５ －０５ ０５ １５ ２５ 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点xy 并用平滑曲线连接这些点 【教学建议】 (,), , 如图． 学生独立画出各 函数的图象,教师引 导学生总结画函数图 象的一般步骤．并提醒 学生在画图时需要注 意: 点的选取要有 ① 代表性; 用平滑的 ② 曲线连接各点． 从函数y x ．的图象可以看出 直线从左向右上升 即当x由小变大时 ＝ ＋０５ , , , y随之增大． y ３x 中x的取值范围是全体正实数 从x的取值范围中选取一 (２)＝x(＞０) , 些数值 算出y的对应值 列表． , , x 􀆺 ． 􀆺 ０５ １ ２ ３ ４ ５ ６ y 􀆺 ． ． ． ． 􀆺 ６ ３ １５ １ ０７５ ０６ ０５ 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点xy 并用平滑曲线连接这些点 (,), , 如图． 从函数y ３x 的图象可以看出 曲线从左向右下降 即当x由小变大 ＝x(＞０) , , 时y随之减小． , １００教学步骤 师生活动 归纳总结:用描点法画函数图象的一般步骤如下: 第一步,列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值; 第二步,描点———在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数 值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点; 第三步,连线———按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连 接起来． 【对应训练】 教材 练习． P１０２ 活动三:重点突 例２ 画出函数y ＝－２ x ＋３ 和y ＝－x ８ ( x ＜０) 的图象 , 并回答问题． 破,提升探究 这两个函数的图象分别是什么图形 当x由小变大时 函数值有何变化 (１) ? , ? 对于函数y ８x 自变量x的取值能否为 为什么 这一点在 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (２) ＝－x(＜０), ０? ? 函数图象上是如何表现的 􀪋延􀪋续􀪋画􀪋函数􀪋图􀪋象􀪋 ? 点A ． B ． ．是否在函数y x 的图象上 点C ． 的学习,进一步 (３) (０５,２),(－２５,３２) ＝－２ ＋３ ? (－３２, 巩固锻炼学生的 ． D 是否在函数y ８x 的图象上 ２５), (－３,３) ＝－x(＜０) ? 作图能力,并适 解 对于函数y x 由函数解析式可知x的取值范围是全体实数． 当探讨函数图象 : ＝－２ ＋３, 列表 的一些性质,为 : 【教学建议】 后面的深入学习 x 􀆺 􀆺 －１ ０ １ ２ ３ 学生自主作图, 做准备． y 􀆺 􀆺 ５ ３ １ －１ －３ 待作图完毕后选取学 根据表中数值描点xy 并用平滑曲线连接这些点 如图 ． 生代表对其提问,学 (,), ( ①) 生结合函数图象进行 回答,能提高学生的 数形结合观察能力以 及几何直观感知能力． 回答问题时注意 引导他们总结判断一 个点是否在函数图象 上的两种方法: 描 ① 点,由点在平面直角 坐标系中是否与函数 图 象 重 合 来 判 断; 对于函数y ８x 列表 ＝－x(＜０), : 代入,由点的坐标 ② x 􀆺 ． 􀆺 是否满足函数的解析 －８ －５ －４ －２ －１６ －１ y 􀆺 ． 􀆺 式来判断． １ １６ ２ ４ ５ ８ 根据表中数值描点xy 并用平滑曲线连接这些点 如图 ． (,), ( ②) 函数y x 的图象是一条直线 直线从左向右下降 即当x由小变 (１) ＝－２ ＋３ , , 大时 函数值y随之减小． , 函数y ８x 的图象是一条曲线 曲线从左向右上升 即当x由小变 ＝－x(＜０) , , 大时 函数值y随之增大． , 对于函数y ８x 自变量x的取值不能为 因为若自变量x为 (２) ＝－x(＜０), ０, 则分母为 函数没有意义 所以自变量x不能为 ．在函数图象上表现为当x ０, ０, , ０ ＜ 时 曲线在y轴的左边但不与y轴相交 随着x的增大无限接近y轴． ０ , , １０１教学步骤 师生活动 点A ． 在函数y x 的图象上 点B ． ． 不在函数y (３) (０５,２) ＝－２ ＋３ , (－２５,３２) ＝ x 的图象上 点C ． ． 在函数y ８ x 的图象上 点D －２ ＋３ , (－３２,２５) ＝－x(＜０) , (－３, 不在函数y ８x 的图象上． ３) ＝－x(＜０) 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 活动四:随堂训 用图象表示函数关系有哪些优势 如何画出一个函数的图象 ? ? 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１０７ ２２２ １,２ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 函数的表示 ２２２ 第 课时 函数的图象 １ ．函数的图象． １ ì ì自变量的取值范围 ï ï ï 板书设计 ï列表í从小到大或自中间向两边选取 ï ïï ï î取值要有代表性 ．画函数图象í 图象要反映函数全貌 ２ ï描点 ï {平滑的曲线 ï ï连线 î 顺次连接 本节课由生活实例入手 让学生发现用图象表示函数关系更加直观的优势 结合正方形的面积公式画 教学反思 , ; 出对应的函数图象 让学生经历将代数关系转化为图形的过程 在引导学生画函数图象时 也可通过几何画 , ; , 板进行动态演示画图过程 直观呈现 列表 描点 连线 三步骤 并培养学生的数形结合思想． , “ — — ” , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １０２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 判断函数图象 解决此类题目的依据是函数的概念 函数值对于自变量应是单值对应关系 据此进行判断找出不符合函数概念的图形 , , , 常见的有圆形等． 例１ 下列曲线中不能表示y是x的函数的是 (C ) A B C D 解题大招二 画函数的图象 对于能列出解析式的函数 先列出解析式 再根据解析式代值求出各点坐标 然后描点 连线 对于难以列出解析式的函 , , , 、 ; 数 一般情况下点的坐标会给定或容易找出 描点 连线即可． , , 、 例２ 通过对函数的学习 我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值 请你借鉴以 , , 往学习函数的经验 探究下列问题 , : x 􀆺 􀆺 ０ １ ２ ３ ４ ５ y 􀆺 ． ． 􀆺 ６ ３ ２ １５ １２ １􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １０３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 当x 时y ． (１) ＝ ３ ,＝１５; 根据表中数值在平面直角坐标系中描点xy 并画出函数图象 (２) (,), ; 观察画出的图象 写出这个函数的一条性质 当x由小变大时y随之减小 答案不唯一 ． (３) , : , ( ) 解: 如图所示． (２) 培优点 动点问题中的函数图象 例 如图 正方形ABCD的边长为 点P从点D出发以每秒 的速度沿D C B路径匀速运动 设点P的 , ４cm, １cm → → , 运动时间为x APC的面积为y ２． s,△ cm 分别写出点P在DC和CB上运动时y关于x的函数解析式 (１) , ; 画出点P在整个运动过程中y关于x的函数图象． (２) 解: 由题意 当点P在DC上运动时 (１) , , x DP x ≤４, ＝ cm, 则CP CD DP x ＝ － ＝(４－ )cm, 所以y １ x ＝ ×(４－ )×４, ２ 即y x x ＝－２ ＋８(０≤ ≤４); 当点P在BC上运动时 , x CP x ４＜ ≤８, ＝(－４)cm, 所以y １ x ＝ ×(－４)×４, ２ 即y x x ． ＝２ －８(４＜ ≤８) 列表 (２) : x ０ １ ２ ４ ６ ７ ８ y x ＝－２ ＋８ ８ ６ ４ ０ y x ＝２ －８ ４ ６ ８ 描点 连线 画出函数图象如图 、 , :第 课时 利用函数图象解决实际问题 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 利用函数图象解决实际问题 授课人 ２２２ ２ 素养目标 能从函数图象中提取信息 从而解决实际问题 进一步理解函数图象的意义 感悟数形结合思想的应用． , , , 教学重点 利用函数图象解决实际问题． 教学难点 函数图象与几何问题的综合． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境导入】 【教学建议】 境,新课导入 思考 (教材 思考)如图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季 如有条件,可以 P１０３ 某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息? 用带有温度探头的信 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 息技术工具测量、记 􀪋联􀪋系􀪋实􀪋际背􀪋景􀪋引􀪋 录温度,并绘制温度 入函数图象,鼓 随时间变化的图象． 励学生从中获取 信息． (学生自主作答,答案不限．) 探究点 利用函数图象解决实际问题 活动二:问题引 问题１ 观察 活动一 中的图象 回答下列问题 入,自主探究 “ ” , : 气温T是时间t的函数吗 (１) ? 这一天什么时刻气温最低 什么时刻气温最高 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (２) ? ? 哪个时间段气温呈下降状态 哪个时间段气温呈上升状态 (３) ? ? 􀪋利􀪋用􀪋现􀪋实生􀪋活􀪋中􀪋 你能看出这一天中任一时刻的气温大约是多少吗 (４) ? 与函数图象有关 解 由图可以看出 气温T随时间t的变化而变化 对于时间t的每一个确 :(１) , , 的背景,让学生 定的值 气温T都有唯一确定的值与其对应．因此 气温T是时间t的函数 活动一 【教学建议】 , , , 在观察中进一步 中的图是这个函数的图象． 学生分组讨论．教 理解函数的图 这一天中凌晨 时气温最低 为 时气温最高 为 ． 学中应指导学生通过 (２) ４ , －３℃;１４ , ８℃ 象,以及函数图 从 时至 时和从 时至 时气温呈下降状态 从 时至 时气温呈 观察图象分析气温的 (３) ０ ４ １４ ２４ , ４ １４ 象所表示的实际 上升状态． 变化情况,得出函数 意义,强化学生 从图象中可以直观地看出这一天中任一时刻的气温大约是多少． 的增减状况及最大值 (４) 从图形中获取信 例１ (教材 例 )如图 李明家 食堂 图书馆在同一条直线上．李明从家 和最小值． P１０３ ２ , 、 、 息的能力． 去食堂吃早餐 接着去图书馆查资料 然后回家．如图反映了这个过程中 李明离家 , , , 的距离y与时间x之间的对应关系． 根据图象回答下列问题 : 食堂离李明家多远 李明从家到食堂用了多长时间 (１) ? ? 李明吃早餐用了多长时间 (２) ? 食堂离图书馆多远 李明从食堂到图书馆用了多长时间 (３) ? ? １０４教学步骤 师生活动 设计意图 李明查资料用了多长时间 【教学建议】 (４) ? 􀪋给􀪋函􀪋数􀪋图象􀪋赋􀪋予􀪋 图书馆离李明家多远 李明从图书馆回家的平均速度是多少 教学中提醒学生 (５) ? ? 实际背景,发展 分析:()图象上点的纵坐标表示 李明离家的距离 ;横坐标表示 李明离 从函数图象中获取信 １ 学生的逆向推理 家的时间 ; 息时要做到以下几 能力和创造力, ()该图象是由 条线段组成的,它对应 个时间段内的活动,则李明的活动 点: 看清横、纵坐标 ２ ５ ５ ① 以及发散学生的 可以分为: 从家到食堂,吃早餐,从食堂到图书馆,在图书馆查资料,从图书馆回 各表示哪个量; 从 ② 思维,强化实践 家 ; 左向右,分析每段图 应用能力． ()图中的每条线段左右端点横坐标之差的绝对值,对应相应活动所用的 象上,函数值随自变 ３ 时间 ;纵坐标之差的绝对值,对应相应活动行走的 路程 ; 量的增大是如何变化 ()图中两段平行于x轴的线段表示李明离家后这两段时间先后 停留在食 的; 知道平行于横轴 ４ ③ 堂与图书馆 ; 的线段,函数值不变． ()函数的图象可以分为 段,从中可以知道李明的 个活动的时间段和离家 ５ ５ ５ 状况分别是: :离家越来越远; :离家距离不变,为 ． ; ０~８min ８~２５min ０６km :离家距离由 ． 增加到 ． ; :离家距离不变,为 ２５~２８min ０６km ０８km２８~５８min ． ; :离家越来越近,直至到家 ． ０８km５８~６８min 解 由纵坐标看出 食堂离李明家 ． 由横坐标看出 李明从家到食堂 :(１) , ０６km; , 用了 ． ８min 由横坐标看出 李明吃早餐用了 ． (２) ,２５－８＝１７, １７min 由纵坐标看出 ． ． ． 食堂离图书馆 ． 由横坐标看出 (３) ,０８－０６＝０２, ０２km; ,２８－ 李明从食堂到图书馆用了 ． ２５＝３, ３min 由横坐标看出 李明查资料用了 ． (４) ,５８－２８＝３０, ３０min 由纵坐标看出 图书馆离李明家 ． 由横坐标看出 李明从 (５) , ０８km; ,６８－５８＝１０, 图书馆回家用了 由此算出李明从图书馆回家的平均速度是 ． ． １０min, ００８km/min 问题２ (教材 探究)构建合适的问题情境 使其中的变量之间的函数关 【教学建议】 P１０４ , 系可以分别用图 和图 中的图象来表示． 学生如果没有思 ① ② 路,教师可以适当引导 启示．本题的大致框架 其实是有所限定的,纵 坐标s的单位是 ,横 m 坐标t的单位是 , min 所以只能在路程 时 － 间这个范畴内构建情 答 答案不唯一 言之有理即可 :( , ) 境．答案不限,学生可 图 的情境可以是 某天小明吃完晚饭从家出发往距家 的公园散步 他 ① : ９００m , 自由发挥想象力,尤 走了 到达公园 然后开始往回走 用了相同的时间回到家． ２０min , , 其要提醒学生注意图 图 的情境可以是 某天小明从家出发计划到距家 的书店买书 他走了 ② : ９００m , 象中的“拐点”所表示 到达书店 选书和买书共用时 然后以比来时更快的速度往回走 用 ２０min , １０min, , 的实际含义． 时 回到家． １５min 【对应训练】 教材 练习． P１０５ 例２ 星期天小红从家出发 骑自行车去舅舅家做客 当她骑了一段路时 想 【教学建议】 , , , 活动三:重点突 起要买个礼物送给表弟 于是折回到刚经过的一家商店 买好礼物后又继续骑车去 学生独立思考完 , , 破,提升探究 舅舅家 小红家 商店 舅舅家在同一直线上 ．如图反映了这个过程中 小红离家的 成,教师统一答案．教 ( 、 、 ) , 距离y与时间x之间的对应关系． 学中应注意强调: １０５教学步骤 师生活动 设计意图 根据图象回答下列问题 本题重点考查 : ① 􀪋进􀪋一􀪋步􀪋强化􀪋从􀪋函􀪋 小红家到舅舅家的路程是 了对纵坐标之差的绝 数图象中提取有 小红 ( 在 １) 商店停留了 ． ２５００ m, 对值的理解,其对应 １０ min 相应活动时间内距离 效信息的能力, 在去舅舅家的过程中 哪个时间段小 (２) , 的变化; 以解决实际问题．红骑行的速度最快 最快是多少 ? ? 对于最快骑行 ② 本次行程中小红一共骑行了多少米 速度,可通过组成图 (３) ? 用时多少分钟 象的线段的缓陡确认 ? 解 观察图象可知 在 对应的线段最陡 则这一时间段的骑行 (线段越陡,速度越 :(２) , ３０~３５min, , 快),也可比较各阶段 速度最快 为 ． , (２５００－１０００)÷(３５－３０)＝３００(m/min) 的速度得出; 骑行了 骑行了 (３)０~１０min ２０００m;１０~２０min ２０００－１０００＝１０００(m); 骑行总路程不 骑行了 骑行了 ． 等于 ③ 小红家到舅舅家 ２０~３０min ０m;３０~３５min ２５００－１０００＝１５００(m) 则本次行程中小红一共骑行了 用时 ． 的路程． ２０００＋１０００＋１５００＝４５００(m), ３５min 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 你能从函数图象中获取信息 从而解决实际问题吗 举例说明． , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１０８~１０９ ２２２ ３,４,９ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 函数的表示 ２２２ 第 课时 利用函数图象解决实际问题 板书设计 ２ ．利用函数图象解决实际问题． １ ．写出符合函数图象的实际背景． ２ 本节课是上节课的延续 在融入实际背景之后 侧重于实践应用方面的探讨 使对于函数图象的学习从 , , , 技能训练 转型到 思维培养 是数学建模思想的高度体现．本节课学习难度较前一课时有较大提升 除了 教学反思 “ ” “ ”, , 添加背景之外 还由于其中渗透逆向思维 由函数图象反推过程 所以在学生含糊不清的时候需要为他 , ——— , 们疏清脉络 更全面地发展数形结合思维． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １０６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 正确理解函数图象与实际问题间的内在联系 (１) : 读懂横 纵坐标分别所代表的实际意义 ① 、 ; 读懂两个量在变化过程中的相互关系及变化规律． ② 判断一个点是否在函数图象上的方法 (２) : 将这个点的坐标代入函数解析式 若满足 则这个点在函数的图象上 若不满足 则这个点不在函数的图象上． , , ; , 注意:()列表时要根据自变量的取值范围从小到大或自中间向两边选取,取值要有代表性,尽量使画出的函数图象能 １ 反映出函数的全貌; ()描点时要以表中每对对应值为坐标,点取得越多,图象就越准确; ２ ()连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来． ３􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １０７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 根据描述选择正确的函数图象 例１ 已知吴老师家 公园 学校依次在同一直线上 吴老师家到公园 公园到学校的距离分别为 ．吴老师从 、 、 , 、 ４００m,６００m 家出发匀速步行 到公园后 停留 然后匀速步行 到学校．设吴老师离公园的距离为y 单位 时间为x ８min , ４min, ６min ( :m), 单位 则下列表示y与x之间函数关系的图象中 正确的是 ( :min), , (C ) 解析:吴老师从家出发匀速步行 到公园,则y的值由 变为 ;吴老师在公园停留 ,则y的值仍然为 ;吴 ８min ４００ ０ ４min ０ 老师从公园匀速步行 到学校,则在 时,y的值为 ．故选 ． ６min １８min ６００ C 解题大招二 根据图象中的规律解题 例２ 实验证实 放射性物质在放出射线后 质量将减少 减少的速度开始较快 后来较慢．实际上 物质所剩的质量与时 , , , , , 间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象 据此可计算 镭缩减为 所用的时间约是 , ３２mg １mg (C ) 年 年 年 年 A􀆰４８６０ B􀆰６４８０ C􀆰８１００ D􀆰９７２０ 解析:由图象可知,镭的质量由m 缩减到１m 需 年,由m 缩减到１m 需 ０ ０ １６２０ ０ ０ ２ ４ (年),由m 缩减到１m 需 (年),依次可得,由m 缩 １６２０×２＝３２４０ ０ ０ １６２０×３＝４８６０ ０ ８ 减到１m 需 (年)．当m 时,１m １ ( )．因此, ０ １６２０×５＝８１００ ０＝３２mg ０＝ ×３２＝１ mg ３２ ３２ ３２ 镭缩减为 所用的时间约是 年．故选 ． ３２mg １mg ８１００ C 培优点一 从图象中获取信息 例１ 如图是甲步行与乙骑自行车 ( 在同一条路上 ) 的路程s甲, s乙 随时间t变化的图象 , 观察图象并回答下列问题 : 乙出发时 乙与甲相距 (１) , １０ km; 走了一段路程后 乙的自行车发生故障 停下来修车所用的时间为 (２) , , １ h; 乙从出发起 经过 与甲相遇 (３) , ３ h ; 乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗 为什么 (４) ? ? 解: 解析:由图象可知,乙停下来修车所用的时间为 ． ． ()．故答案为 ． (２) １５－０５＝１h １ 解析:由图象可知,乙从出发起,经过 与甲相遇．故答案为 ． (３) ３h ３ 乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．理由如下 (４) : 乙骑自行车出故障前的速度为 ． ． 修车后的速度为 ． ． ． ． ７５÷０５＝１５(km/h), (２２５－７５)÷(３－１５)＝１０(km/h) 因为 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样． １５≠１０, 培优点二 动点问题中的函数图象 例２ 如图 在正方形ABCD中E是AB的中点 P是对角线AC上一动点 设PC xPE PB y 图 是y关 ①, , , , ＝ , ＋ ＝ , ② 于x的函数图象 且图象上最低点Q的坐标为 m 求正方形的边长． , ( ,２５), 解:如图．由题可知 BAD 点D是点B关于直线AC的对称点 ,∠ ＝９０°, , 连接DE交AC于点P 连接BP． , 根据对称性 可知PB PD 则PE PB PE PD DE为y的最 , ＝ , ＋ ＝ ＋ ＝ 小值．由图象上最低点Q的坐标为 m 可知y的最小值为 即 ( ,２５), ２５, ED ． ＝２５ 设正方形的边长为a 则AE １a． , ＝ ２ ( ) 在 ADE中 由勾股定理 得DE２ AD２ AE２ 即 ２ a２ １a ２ 解得a 负值已舍去 所以正方形的 Rt△ , , ＝ ＋ , (２５)＝ ＋ , ＝４( ), ２ 边长为 ． ４第 课时 函数的三种表示方法 ３ 教学目标 课题 ． 第 课时 函数的三种表示方法 授课人 ２２２ ３ ．运用丰富的实例帮助学生理解函数的三种表示方法． １ ．通过观察 作图 交流等活动 加深对函数的三种表示方法的优缺点的理解 提高把实际问题转化为数学 素养目标 ２ 、 、 , , 问题的能力．理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换． ．通过数形结合利用函数图象预测实际问题变化趋势． ３ 教学重点 函数的三种表示方法的理解及应用． 教学难点 根据实际问题灵活选择适当的方法来表示函数． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:设置情 问题１:在标准大气压下,声音在空气中传播的速度(简称音速)y与气温x之 境,导入新课 间的关系如下表所示: 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 x/ ℃ ０ ５ １０ １５ ２０ 􀪋以􀪋实􀪋际􀪋例子􀪋展􀪋示􀪋 y/(/) ms ３３１ ３３４ ３３７ ３４０ ３４３ 函数表示方法的 y是x的函数吗? 【教学建议】 多样性,引发学 答:y是x的函数． 教学时,可以先 生的思考． 问题２:已知某市出租车的收费标准为: 内的起步价为 元,超过 让学生列举有关函数 ３km ８ ３km 后,每超出 收费 元．有一位乘客乘坐出租车去x (x ,且x为整数)外 的例子,让学生叙述 １km ２ km ＞３ 的某地,付费y元．能否用含x的式子表示y? 如果能,y是x的函数吗? 这些函数是用什么方 答:y (x ),y是x的函数． 法表示的,为什么可 ＝８＋２ －３ 问题３:如图是用弹簧做实验时,在弹性限度内,弹 以这样表示,这样表 簧长度y(单位: )与所挂物体质量x(单位:)的关系 cm g 示有什么好处． 图象,y是x的函数吗? 答:y是x的函数． 上面的几个问题,分别用列表格、写出函数解析式、 画函数图象的方法表示了具体的函数．这些方法各有什 么优缺点? 在遇到具体问题时,该如何选择适当的方法表示函数? 本节课,我们将要探究这些问题． 探究点 函数的三种表示方法 活动二:问题引 【教学建议】 结合活动一中的几个问题 我们总结如下 用函数解析式表示函数的方法叫作 入,自主探究 , :① ()教师对函数的 解析法 用表格表示函数的方法叫作列表法 用图象表示函数的方法叫作图象法． １ ;② ;③ 三种表示方法进行总 例１ 阅读教材 例 回答给出的问题． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 P１０６ ３, 结,引导学生解决例 解 如图 描出表中数据对应的点．可以看出 这 个点在一条直线上．再 １ :(１) ①, , ６ 中的问题,在解决问题 􀪋以􀪋实􀪋际􀪋问􀪋题􀪋为􀪋 结合表中的数据 可以发现每小时水位上升 ． ．由此猜想 如果画出这 内其 , ０３m , ５h 的过程中将函数关系 例,将函数关系 他时刻 如t ． 等 及其水位高度所对应的点 它们可能也在这条直线上 即在 ( ＝２５h ) , , 在三种表示方法之间 在不同表示方法 这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的． 进行转化,让学生从中 之间转化,分析 领会三种表示方法的 各方法的优缺点． 优缺点,进而能根据实 际情况和具体要求选 择适当的表示方法来 解决相关问题． １０８教学步骤 师生活动 由于水位在最近 内持续上涨 对于时间t的每一个确定的值 水位高度 ()在教学中应 (２) ５h , , ２ y都有唯一的值与其对应 所以y是t的函数．开始时水位高度为 以后每小时 注重培养学生根据表 , ３m, 水位上升 ． ．函数y ．t t 是符合表中数据的一个函数 它表示经 格中变量间的对应规 ０３m ＝０３＋３(０≤ ≤５) , 过t 水位高度y为 ．t ．其图象是图 中点A 和点B ． 之间的线 律写出函数解析式的 h (０３＋３)m ② (０,３) (５,４５) 段AB． 能力,引导学生利用 如果在这 内 水位一直匀速上升 即升速为 ． 那么函数y ．t 所学函数知识探寻事 ５h , , ０３m/h, ＝０３＋３ t 就精确地表示了这种变化规律．即使在这 内 水位的升速有些变化 物的变化规律,推测 (０≤ ≤５) ５h , , 而由于每小时水位上升 ． 是确定的 所以这个函数也可以近似地表示水位的 未来事物的变化趋势． ０３m , 变化规律． 如果水位的变化规律不变 则可利用上述函数预测 再过 即t (３) , , ２h, ＝５＋２＝ 时 水位高度y ． ． ．把图 中的函数图象 线段AB 向右延 ７(h) , ＝０３×７＋３＝５１(m) ① ( ) 伸到t 所对应的位置 得图 从它也能看出这时的水位高度约为 ． ． ＝７ , ②, ５１m 思考: 在例 中 自变量t的取值范围 t 是如何确定的 ① １ , ０≤ ≤５ ? 为什么t 时 仍可以应用 中的函数解析式求函数值 ② ＝７ , (２) ? 后的水位高度用 中的哪种方法更好 ③２h (３) ? 答 根据问题的已知数据得到 t ． :① ０≤ ≤５ 在问题 中 估计这种上涨规律还会持续 由此t的取值范围扩大为 ② (３) , ２h, t ．故t 时 仍可以应用 中的函数解析式求函数值． ０≤ ≤７ ＝７ , (２) 通过函数解析式求函数值相对更准确 通过图象估算更直观． ③ ; 追问:结合例 函数的不同表示法之间能否转化 函数的三种表示方法各有 １, ? 什么优缺点 ? 答 在例 中 题目中只给出了列表法 而我们通过分析求出解析式并画出了 : １ , , 图象 所以它们之间可以转化． , 函数三种表示方法的优缺点总结如下 : 表示方法 优点 缺点 变量间关系简洁明了,便于分析 解析法 需通过计算,才能得到所需结果 计算 列表法 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况 直观形象地表示了变量间的变化 图象法 函数值一般是近似值 过程与趋势 总结:解析式是基础,是重点,列表是画图象的关键,图象是在解析式和列表的 基础上对函数的总体概括和形象化地表达 函数的三种表示法各有优缺点 有时为全面地认识问题 需要同时使用多种表 , , 示法． 【对应训练】 ．根据下面的描述 选择合适的函数表示法． １ , 对于每一个大于 的自变量的值 想准确确定对应的函数值 (１) ０ , ; 对于自变量x的取值分别为 时 想直接知道其对应的函数值 (２) １,２,３,４,５ , ; 想知道当x的值增大时 函数值y的变化情况． (３) , 解 解析法 列表法 图象法． :(１) ;(２) ;(３) ．教材 练习． ２ P１０７ 例２ 用一根长为 的细绳围成一个等腰三角形． 活动三:重点突 ２０ 写出底边长y关于腰长x的函数解析式x为自变量 破,提升探究 (１) ( ); 写出自变量x的取值范围 (２) ; 在平面直角坐标系中画出函数图象． (３) １０９教学步骤 师生活动 设计意图 解 根据三角形周长与边长的关系可得 x x y 所以y x． 【教学建议】 :(１) ２０＝ ＋ ＋ , ＝２０－２ 􀪋进􀪋一步􀪋列􀪋举􀪋实􀪋例􀪋, 即底边长y关于腰长x的函数解析式是y x． 教师在教学中引 ＝２０－２ 加深学生对函数 根据问题的实际意义 得xy均为正 导学生思考:当无法 (２) , , 的三种表示方法 数 所以 x ． 直接得到某一变化过 , ０＜ ＜１０ 的理解． 结合三角形的三边关系 得x x y 即 程的函数解析式时, , ＋ ＞ , x x 所以x ． 通过哪些步骤的探 ２ ＞２０－２ , ＞５ 结合上述两方面的限制 可确定自变量x 究,可以得到函数解 , 的取值范围是 x ． 析式,发现变化规律, ５＜ ＜１０ 函数图象如图所示． 预测变化趋势． (３) 【对应训练】 一根水管以固定的速度向容积为 ３ 的水池中注水 注水时间t与水池中 １００m , 的水量Q存在如表所示的关系 : t/ 􀆺 min ０ ２ ４ ６ ８ Q/ ３ 􀆺 m ２０ ２４ ２８ ３２ ３６ 请从表中找出t与Q之间的函数关系式 (１) ; 确定自变量t的取值范围 并画出函数的图象 (２) , ; 当水池中的水量Q为 ３ 时 求注水时间t的值． (３) ５０m , 解 由表中观察到开始时水池中已有 :(１) 水量 以后每隔 水量增加 即 ３ ３ ２０m , ２min, ４m , 每分钟水量增加 这样的变化规律可以表 ３ ２m , 示为Q t ．故t与Q之间的函数关系式 ＝２＋２０ 为Q t ． ＝２＋２０ 因为t表示注水时间 所以t ．因为 (２) , ≥０ 水池的容积为 ３ 所以t 解得 １００m , ２＋２０≤１００, t ．所以自变量t的取值范围为 t ． ≤４０ ０≤ ≤４０ 函数图象如图所示． 求水量为 ３ 时的注水时间 就是求Q 时 函数Q t 中自变 (３) ５０m , ＝５０ , ＝２＋２０ 量t的值．由Q 得 t 解得t ．从函数图象中也能估出这个值 如 ＝５０, ２＋２０＝５０, ＝１５( , 图中点A的横坐标 所以当水池中的水量Q为 ３ 时 注水时间t的值为 ． ) ５０m , １５min 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 函数有哪些表示方法 对于不同类型的函数 应如何选择合适的表示方法 ? , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１０８~１０９ ２２２ ５,６,７,８ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 函数的表示 ２２２ 第 课时 函数的三种表示方法 板书设计 ３ 函数的三种表示方法 : ．解析法 ．列表法 ．图象法． １ ; ２ ; ３ １１０教学步骤 师生活动 本节课承接上节课的内容 确认了常见的三种表示函数的方法．本节课的难点在于针对不同的问题如 , 教学反思 何选择这三种方法进行表示．通过举例引导学生进行对比探究 并结合实际问题进一步强化训练 就能让学 , , 生较好地区分三种方法的特点 并能选择合适的方法． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １１１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 函数的三种表示方法 函数的三种基本表示方法各有优缺点 因此 要根据不同问题与需要 灵活地采用不同的方法．在数学或其他科学 (１) , , , 研究与应用上 有时把这三种方法结合起来使用 即由已知的函数解析式 列出自变量与对应的函数值的表格 再画出它 , , , , 的图象． 函数的三种表示方法的优缺点 (２) : 用解析法表示函数关系 ① 优点 简单明了 能从解析式清楚地看到两个变量之间的全部相依关系 并且适合进行理论分析和推导计算． : , , 缺点 在求对应值时 有时要做较复杂的计算． : , 用列表法表示函数关系 ② 优点 对于表中自变量的每一个值 可以不通过计算 直接把函数值找到 查询时很方便． : , , , 缺点 不能把所有的自变量与对应的函数值全部列出 而且从表中不能明显地看出变量间的对应规律． : , 用图象法表示函数关系 ③ 优点 形象直观 可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 把抽象的函数概念形象化． : , , 缺点 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值． : 注意:函数的不同表示方法之间可以转化． 例１ 下列是三种化合物的结构式及分子式． H H H H H H 结构式 H C H H C C H H C C C H H H H H H H 分子式 CH４ C２H６ C３H８ 请按其规律 写出后一种化合物的分子式 ． (１) , : C４H１０ 每一种化合物的分子式中 的个数m是否为 的个数n的函数 如果是 请写出函数解析式． (２) H C ? , 解:每一种化合物的分子式中 的个数m是 的个数n的函数 解析式为m n ． H C , ＝２ ＋２ 例２ 今年 五一 期间 小明外出爬山 他从山脚爬到山顶的过程中 中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间 “ ” , , , 为t单位 所走路程为s单位 s与t之间的函数关系如图所示 则下列说法中 错 ( :min), ( :m), , , 误的是 (C ) 小明中途休息用了 A􀆰 ２０min 小明休息前爬山的速度为 B􀆰 ６０m/min 小明在上述过程中所走路程为 C􀆰 ７２００m 小明休息前后爬山的平均速度相等 D􀆰 解析:小明中途休息的时间是 ( ),故 选项正确;小明休息前爬山的速度为２４００ (/ ),故 选 ６０－４０＝２０min A ＝６０m min B ４０ 项正确;小明在上述过程中所走路程为 ,故 选项错误;因为小明休息后爬山的速度是４８００－２４００ (/ ), ４８００m C ＝６０m min １００－６０ 所以小明休息前后爬山的平均速度相等,故 选项正确．故选 ． D C􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １１２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 例３ 某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验．在试验过程中 汽车一直匀速行驶 该汽车油箱中的剩余 , , 油量y 单位 与汽车的行驶时间t单位 之间的关系如表 ( :L) ( :h) : t/ h ０ １ ２ ３ y/ L １２０ １１２ １０４ ９６ 则用解析法表示y 单位 与自变量t单位 之间的关系为 y t ． ( :L) ( :h) ＝１２０－８ 培优点一 用解析法表示函数关系 例１ 十一 期间 小丽和父母一起开车到距家 的景点旅游 出发前 汽车油箱内储油 当行驶 时 “ ” , ２００km , , ４５L, １５０km , 发现油箱中的剩余油量为 假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的 ． ３０L( ) 求该汽车平均每千米的耗油量 并写出剩余油量Q 单位 随行驶路程x 单位 变化的函数解析式 (１) , ( :L) ( :km) ; 当x 时 求剩余油量Q的值 (２) ＝２８０ , ; 当油箱中剩余油量低于 时 汽车将自动报警 如果往返途中不加油 他们能否在汽车报警前回到家 请说明理由． (３) ３L , , , ? 解: 该汽车平均每千米的耗油量为 ． (１) (４５－３０)÷１５０＝０１(L/km), 则剩余油量Q随行驶路程x变化的函数解析式为Q ．x． ＝４５－０１ 当x 时Q ． ． (２) ＝２８０ , ＝４５－０１×２８０＝１７(L) 能．理由如下 (３) : 当Q 时 ．x 解得x ． ＝３ ,４５－０１ ＝３, ＝４２０ 因为 ２００×２＝４００(km),４２０＞４００, 所以他们能在汽车报警前回到家． 培优点二 用图象法表示函数关系 例２ 王强在电脑上进行打高尔夫球的模拟练习 在某处按y １x２ ８x的路径击球 球正好进洞．其中y 单位 , ＝－ ＋ , ,( : ５ ５ 是球的飞行高度x 单位 是球飞出的水平距离． m) ,( :m) 试画出高尔夫球飞行的路线 (１) ; 从图象上看 高尔夫球的最大飞行高度是多少 球的起点与洞之间的距离是多少 (２) , ? ? 分析:()高尔夫球飞行的路线,也就是函数y １x２ ８x的图象,用描点法画出图象．在列表时要注意自变量x的 １ ＝－ ＋ ５ ５ 取值范围,因为x是球飞出的水平距离,所以x不能取负数．在建立平面直角坐标系时,横轴(x轴)表示球飞出的水平距离, 纵轴(y轴)表示球的飞行高度; ()高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y取最大值的点,即图中的点P,则点P的纵坐标就是高尔夫球的最 ２ 大飞行高度;球的起点与球的进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,即图中的点O和点A,则点O和点A 的横坐标之差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离． 解: 列表 (１) : x ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ y ． ． ． ． ． ０ １４ ２４ ３ ３２ ３ ２４ １４ ０ 在平面直角坐标系中 描点 连线 便可得到这个函数的大致图象 如图 ． , 、 , ( ) 由图象可得 高尔夫球的最大飞行高度是 ． 球的起点与洞之间的距离是 ． (２) , ３２m, ８m第二十三章 一次函数 ２３．１ 一次函数的概念 教学目标 课题 ． 一次函数的概念 授课人 ２３１ ．结合具体情境理解一次函数的意义 能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式． １ , 素养目标 ．能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系 感悟一般与特殊之间的关系． ２ , ．会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题． ３ 教学重点 一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式． 教学难点 从实际生活问题中建立一次函数模型． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:设置情 【情境导入】 境,导入新课 (教材 问题)某登山队大本营所在地的气温为 ,海拔每升高 气 P１１４ ５℃ １km 温下降 ．登山队员由大本营向上登高x 时,他们所在位置的气温是y ．用 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ６℃ km ℃ 函数解析式表示y与x的关系,并求当登山队员向上登高 时,他们所在位置 教师带领学生共 ２km 􀪋结􀪋合􀪋实􀪋例􀪋,吸􀪋引􀪋 的气温． 同探讨得到的实际问 学生注意力,为 分析:y随x变化的规律是:从大本营向上,当海 题的函数解析式,并 学习新知识做好 拔增加x 时,气温从 减少 x ． 对比通过正比例关系 km ５℃ ６ ℃ 铺垫． 因此,y关于x的函数解析式为y x．这个 得到的y kx有什么 ＝５－６ ＝ 函数也可以写为y x ．当登山队员由大本营向 形式上的不同(不含 ＝－６ ＋５ 上登高 时,他们所在位置的气温就是当x 时函数y x 的值,即y 常数),引起学生求知 ２km ＝２ ＝－６ ＋５ ( )． 兴趣,为进入正课打 ＝－６×２＋５＝－７℃ 在之前的学习中,我们已经知道正比例关系．若变量y与x成正比例,则y 好理论基础． ＝ kx(k )．观察我们刚刚得到的函数y x ,它与y kx有什么不同? 这样 ≠０ ＝－６ ＋５ ＝ 的函数又有什么特定的称谓吗? 这就是我们将要学习的内容． 探究点 一次函数的概念 【教学建议】 活动二:问题引 阅读教材 思考 回答问题． 学生分组讨论写 入,自主探究 P１１４ , 答 个问题中 变量之间对应的关系都是函数关系． 出函数解析式,找出 :４ , 表示变量之间关系的函数解析式分别为 此类函数解析式的共 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : m ．V h ．n m h y x ． 同特征,由教师总结 􀪋从􀪋大􀪋量􀪋生动􀪋有􀪋趣􀪋 (１) ＝７９ ;(２)＝０５ ;(３) ＝ －１０５;(４)＝－５ ＋５０ 正如活动一中的函数y x 一样 上面这些函数解析式都是常数k与 出一次函数的概念．要 的实际问题情境 ＝－６ ＋５ , 自变量的积与常数b的和的形式． 特别强调: 自变量 出发,通过对一 ① 概念引入:一般地,形如y kx b(k,b是常数,k )的函数,叫作一次函数 系数不为 (k ); 般规律的探索, ＝ ＋ ≠０ , ０ ≠０ 其中x是自变量．特别地 当b 时y kx b即y kx．形如y kxk是常数 变量y与x的次数 从实际问题中抽 , ＝０ ,＝ ＋ ＝ ＝ ( , ② k 的函数 叫作正比例函数 其中k叫作比例系数． 均为 ． 象出一次函数的 ≠０) , , １ 归纳总结:正比例函数与一次函数的区别与联系可用图表表示如下: 活动一中举出的 概念． 正比例函数y kx 一次函数y kx b 正比例关系式y ＝ kx ＝ ＝ ＋ 在这里给出了明确的 x 指数为 指数为 １ １ 定义———正比例函数, k 不为 不为 知识在这里形成闭 ０ ０ b 为 为任意实数 环,强化了学生的记忆 ０ １１３教学步骤 师生活动 例１ (教材 例题)一个弹簧不挂物体时长 在弹簧的弹性限度内 与理解．教师注意引导 P１１５ １２cm, , 每挂 的物体 弹簧伸长 ． 学生总结正比例函数 １kg , ２cm 求弹簧的长度y 单位 关于所挂物体质量x 单位 的函数解析式 与一次函数的区别与 (１) ( :cm) ( :kg) ; 当挂 的物体时 弹簧的长度是多少 联系,明确两者之间的 (２) ５kg , ? 解 由每挂 的物体 弹簧伸长 可知 挂x 的物体时 弹簧伸长 关系———正比例函数 :(１) １kg , ２cm , kg , x ．因此y关于x的函数解析式为y x ． 是特殊的一次函数． ２ cm , ＝２ ＋１２ 把x 代入y x 得y ． (２) ＝５ ＝２ ＋１２, ＝２×５＋１２＝２２ 因此 当挂 的物体时 弹簧的长度是 ． , ５kg , ２２cm 【对应训练】 教材 练习． P１１５ 例２ (教材 习题 ．第 题)若y与x成正比例关系 且x 时y 活动三:重点突 P１１６ ２３１ ３ , ＝２ ,＝ 写出y关于x的函数解析式 并求x为何值时y ． 破,提升探究 ８, , ＝－４ 解 因为y与x成正比例关系 所以可设y kxk ． : , ＝ (≠０) 因为x 时y 所以 k 解得y 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ＝２ ,＝８, ２ ＝８, ＝４, 所以y关于x的函数解析式为y x． 学生独立思考完 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生利􀪋用􀪋正􀪋 ＝４ 对于y x 当y 时 x 解得x 所以x为 时y ． 成,教师统一答案,告 ＝４ , ＝－４ ,４ ＝－４, ＝－１, －１ ＝－４ 比例关系的一组 例３ 根据相关部门的要求 游泳池必须定期换水后才能对外开放 在换水时 诉学生以下两点: , , 对应值或结合实 需要经历 排水 清洗 注水 的过程．某个蓄水 ３ 的游泳池在打开排水阀 ()利用正比例 际问题中的相等 “ － － ” ２５００m １ 后 以 ３ 的速度排水． 关系的一组对应值求 关系,求出一次 , ２０m/min 写出该游泳池中剩余水量y 单位 ３ 关于排水时间x 单位 的函数 函数解析式的过程, 函数的解析式． 解析 ( 式 １) 这个函数是一次函数吗 不 ( 要求 : 写 m 出 ) 自变量的取值范 ( 围 :min) 其实质就是列方程求 , ? ( ) 排水 时 游泳池中剩余水量是多少 解的过程,是待定系数 (２) １h , ? 游泳池完全排空需要多久 法的体现(这里不需强 (３) ? 解 根据题意 得y x ．这个函数是一次函数． 调,后面会学习); :(１) , ＝－２０ ＋２５００ 当x 时y ． ()对于实际问 (２)１h＝６０min, ＝６０ ,＝－２０×６０＋２５００＝１３００ ２ 故排水 时 游泳池中剩余水量是 ３． 题,要先理解题意,找 １h , １３００m 令y 得 x 解得x ． 出两个变量之间的关 (３) ＝０, －２０ ＋２５００＝０, ＝１２５ 故游泳池完全排空需要 ． 系,然后根据题中等 １２５min 【对应训练】 量关系列出等式,再 ．已知y m x n ． 用含自变量的式子表 １ ＝( ＋１)＋ ＋４ 当mn取何值时y是x的一次函数 示函数． (１) , , ? 当mn取何值时y是x的正比例函数 (２) , , ? 解 m n为任意实数． m n ． :(１) ≠－１, (２) ≠－１,＝－４ ．教材 习题 ．第 题． ２ P１１６ ２３１ ４ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 什么是一次函数 一次函数与正比例函数之间有什么区别和联系 ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１１６ ２３１ １,２,５ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » １１４教学步骤 师生活动 ． 一次函数的概念 ２３１ 板书设计 ．一次函数． １ ．一次函数的解析式． ２ 本节课是一次函数学习的第一节课 整节课以 问题情境 分析探究 总结升华 为主线 使学生亲身 , “ — — ” , 体验一次函数特征的探索 并深化了对一次函数与正比例函数的关系的理解．同时 设置了利用已知值求正 教学反思 , , 比例函数解析式的习题 影射了待定系数法 学生容易理解 为后续深入探讨利用这种方法求一次函数解析 , , , 式埋下伏笔． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １１５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 要正确理解一次函数成立的条件 (１) : 自变量的次数是 ① １; 一次项系数k ． ② ≠０ 根据这两个条件列方程或不等式进行解题． 明确一次函数与正比例函数的关系 (２) : 正比例函数一定是一次函数 但一次函数不一定是正比例函数． , 一次函数的自变量的取值范围是任意实数 但在实际问题中需根据实际意义确定． (３) , 解题大招一 利用一次函数的概念求字母的值 例１ 如果y m xm２－３ 是关于x的一次函数 那么常数m的值是 ＝( －２) ＋２ , (B ) A􀆰２ B􀆰－２ C􀆰±２ D􀆰±１ 解析:由题意得m ,m２ , －２≠０ －３＝１ 所以m ． ＝－２ 故选 ． B 解题大招二 一次函数的应用 例２ 某校九年级学生制作毕业相册 某设计公司收设计费 元 另外收取每册材料费 元． , ９５０ , ５ 求制作相册总费用y 单位 元 与册数x的函数解析式．它是一次函数吗 试写出自变量x的取值范围． (１) ( : ) ? 当制作相册 册时 需要付费多少元 (２) ４００ , ? 解: y x 它是一次函数 自变量x的取值范围为x 且x为整数． (１)＝５ ＋９５０, , ≥０ 当x 时y ． (２) ＝４００ ,＝５×４００＋９５０＝２９５０ 故当制作相册 册时 需要付费 元． ４００ , ２９５０ 培优点 一次函数与动点问题 例 如图 在矩形ABCD中 AB AD 点P从点A出发 以 的速度向点B运动 同时点Q从点C , , ＝８cm, ＝４cm, , ２cm/s , 出发 以 的速度向点D运动 当其中一点到达终点 另一点也随之停止运动．设四边形APQD的面积为y ２ 运动 , １cm/s , , cm , 时间为x 求y关于x的函数解析式 并写出自变量x的取值范围． s, , 解:由题意 得AP x CQ x CD AB , ＝２ cm, ＝ cm, ＝ ＝８cm, 所以DQ CD CQ x ． ＝ － ＝(８－ )cm 所以y １ AP DQ AD １ x x ＝ ( ＋ )􀅰 ＝ (２ ＋８－ )×４, ２ ２ 即y x x ． ＝２ ＋１６(０＜ ≤４)２３．２ 一次函数的图象和性质 第 课时 正比例函数的图象和性质 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 正比例函数的图象和性质 授课人 ２３２ １ ．能够画出正比例函数的图象 体会数形结合思想的应用． １ , 素养目标 ．根据正比例函数的解析式y kxk是常数k 和图象探索并理解正比例函数的性质． ２ ＝ ( ,≠０) ．会用正比例函数的性质解决简单问题． ３ 教学重点 正比例函数图象的画法和性质的理解． 教学难点 利用正比例函数的图象和性质灵活解题． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:知识回 【复习引入】 顾,导入新课 ()什么是正比例函数? １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ()在下列函数中,哪些是正比例函数? 并指出比例系数分别是多少? 【教学建议】 ２ 􀪋温􀪋故知􀪋新􀪋,􀪋为􀪋抓住􀪋 x 教师带领学生回 y x;y ４;y x２ ;y ;y ２x ． ① ＝－５ ② ＝x ③ ＝３ ＋５④ ＝ ⑤ ＝－ －１ 本节重点、突破难 ２ ３ 顾以前学过的正比例 ()画函数图象需要经历哪些步骤? 点做知识储备． ３ 函数的相关知识,为 答:()形如y kx(k是常数,k )的函数,叫作正比例函数． １ ＝ ≠０ 本课时进一步学习正 ()y x是正比例函数,比例系数是 ; ２① ＝－５ －５ 比例函数的图象和性 x y 是正比例函数,比例系数是１． 质做准备． ④ ＝ ２ ２ ()列表、描点、连线． ３ 这节课我们将要学习正比例函数的图象和性质． 探究点１ 正比例函数的图象 【教学建议】 活动二:问题引 入,自主探究 例１ (教材 P１１７ 例 １ )分别画出下列正比例函数的图象 : 学生回顾之前学 习过的函数图象的画 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (１) y ＝２ x , y ＝ １x ;(２) y ＝－１ ． ５ x , y ＝－４ x． 法,将所求函数的图 ３ 象在平面直角坐标系 􀪋以􀪋画􀪋出􀪋多个􀪋不􀪋同􀪋 解 :(１) 函数y ＝２ x中的自变量x可为任意实数． 中表示出来． 的正比例函数的 ① 列表 : 下表是y与x的几组对应值． 教师注意引导学 图象为例,总结 x 􀆺 􀆺 生通过单个函数图象 －２ －１ ０ １ ２ 出正比例函数图 y 􀆺 􀆺 的特点总结出正比例 －４ －２ ０ ２ ４ 象的共性,并探 描点 在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点． 函数图象的共性,并 ② : 寻正比例函数图 连线 将这些点连接起来 得到一条经过原点和第三 第一象限的直线 它就 结合教材中的思考, ③ : , 、 , 总结出正比例函数的 象的简单画法． 是函数y x的图象 如图 ． ＝２ ( ①) 简单画法．教师巡视指 用同样的方法 在图 中画出函数y １x的图象 它也是一条经过原点和 导学生严格按三步骤 ④ , ① ＝ , ３ 画图．并适时提醒学生: 第三 第一象限的直线． 、 １１６教学步骤 师生活动 一般地,在没有特殊 要求的情况下,正比 例函数中的自变量可 以是任意实数． 函数y ．x中的自变量x可为任意实数． (２) ＝－１５ 列表 如表是y与x的几组对应值． ① : x 􀆺 􀆺 －２ －１ ０ １ ２ y 􀆺 ． ． 􀆺 ３ １５ ０ －１５ －３ 描点 在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点． ② : 连线 将这些点连接起来 得到一条经过原点和第二 第四象限的直线 它 ③ : , 、 , 就是函数y ．x的图象 如图 ． ＝－１５ ( ②) 用同样的方法 在图 中画出函数y x的图象 它也是一条经过原点 ④ , ② ＝－４ , 和第二 第四象限的直线． 、 通过以上作图发现正比例函数图象的共性 都是直线 且都经过原点． : , 归纳总结:正比例函数的图象是一条 经过原点 的 直线 ． 思考:由正比例函数的图象是一条直线 你能想到画正比例函数图象的简单方 , 法吗 ? 答 因为两点确定一条直线 而正比例函数y kxk 的图象又是经过原点 : , ＝ (≠０) 的直线 所以只要确定正比例函数图象上另外一点 就可以画出正比例函数的图 , , 象．一般地 这一点可以取点 k 这个特殊点． , (１,) 【对应训练】 ．正比例函数y x的大致图象是 １ ＝－３ (C ) ．教材 练习第 题． ２ P１１９ １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 正比例函数的性质 【教学建议】 􀪋让􀪋学􀪋生􀪋观􀪋察􀪋、分􀪋 思考:比较例 中的 个正比例函数的图象 它们有什么共同点和不同点 学生结合图象分 １ ４ , ? 析、讨论、对比图 答 如下表所示 组讨论,最终由教师 : : 象的异同,从而 总结出正比例函数的 共同点 这 个正比例函数的图象都是经过原点的直线 发现正比例函数 ４ 性质,并提醒学生注 的性质． 正比例函数y x和y １x的比例系数是正数,它们的 意在正比例函数中y ＝２ ＝ ３ 可能随x的增大而增 不同点 图象经过第三、第一象限,从左向右上升; 大,也可能随x的增 正比例函数y ．x和y x的比例系数是负数,它 ＝－１５ ＝－４ 大而减小,正比例函 们的图象经过第二、第四象限,从左向右下降 数的增减性是由比例 系数k的正负决定的． １１７教学步骤 师生活动 归纳总结:一般地,正比例函数y kx(k是常数,k )的图象是一条经过原 ＝ ≠０ 点的直线,我们称它为直线y kx．当k ０时,直线y kx经过第三、第一象限,从 ＝ ＞ ＝ 左向右上升,即y随x的增大而增大;当k ０时,直线y kx经过第二、第四象 ＜ ＝ 限,从左向右下降,即y随x的增大而减小． k的正负 k k ＞０ ＜０ 图象 经过的象限 第三、第一象限 第二、第四象限 问题 由正比例函数的解析式 你能说明它的函数值y随自变量x的增大而 , 增大 或减小 的道理吗 ( ) ? 答 当k 时 对于同一个k值k与x的积随x的增大而增大 故y随x的 : ＞０ , , , 增大而增大．同理 当k 时y随x的增大而减小． , ＜０ , 【对应训练】 ．教材 练习第 题． １ P１１９ ２ ．若正比例函数y kx的图象上有点Ax y 和点Bx y 当 ２ ＝(１－ ) (１,１) (２,２), x x 时y y 则k的取值范围是 k ． １＜ ２ ,１＞ ２, ＞１ 例２ 已知正比例函数y m x． 活动三:重点突 ＝(２ ＋４) m取何值时 函数图象经过第三 第一象限 破,提升探究 (１) , 、 ? m取何值时y随x的增大而减小 (２) , ? m取何值时 点 在该函数的图象上 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (３) , (１,３) ? 解 因为函数图象经过第三 第一象限 所以 m 解得m ． :(１) 、 , ２ ＋４＞０, ＞－２ 􀪋进􀪋一􀪋步􀪋促进􀪋学􀪋生􀪋 因为y随x的增大而减小 所以 m 解得m ． (２) , ２ ＋４＜０, ＜－２ 【教学建议】 巩固正比例函数 因为点 在该函数的图象上 所以 m 解得m １． 学生在独立思考 的图象和性质知 (３) (１,３) , ２ ＋４＝３, ＝－ ２ 的基础上讨论解答．教 识,并体验数形 【对应训练】 师注意强调正比例函 结合思想的运用 已知y 与 x 成正比例 且当x 时y ． －２ ３ －４ , ＝２ ,＝３ 数的增减性、图象经 过程． 写出y关于x的函数解析式 (１) ; 过的象限和比例系数 y关于x的函数的图象是一条经过 第三 第一 象限的 直 线 从左 (２) 、 , 的正负性三者之间的 向右 上升 填 上升 或 下降 ( “ ” “ ”); 关系,知一推二． 当a为何值时 点Pa 在这个函数的图象上 (３) , (,－３) ? 解 设y k x ． :(１) －２＝ (３ －４) 将x y 代入 得 k 解得k ．． ＝２,＝３ , (３×２－４)＝３－２, ＝０５ 所以y ． x 即y ．x．所以y关于x的函数解析式为y ．x． －２＝０５(３ －４), ＝１５ ＝１５ 将点P的坐标代入函数解析式 得 ．a 解得a ． (３) , １５ ＝－３, ＝－２ 所以当a 时 点Pa 在这个函数的图象上． ＝－２ , (,－３) 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : ．如何画一个正比例函数的图象 其图象是什么图形 有比较简便的画法吗 １ ? ? ? 活动四:随堂训 ．正比例函数有哪些性质 ２ ? 练,课堂总结 【知识结构】 １１８教学步骤 师生活动 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１２４ ２３２ １,２ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 一次函数的图象和性质 ２３２ 第 课时 正比例函数的图象和性质 板书设计 １ ．正比例函数的图象． １ ．正比例函数的性质． ２ 本节课通过实例使学生了解了正比例函数的图象的特征 掌握了图象特征与比例系数的联系 经过思 , , 教学反思 考 尝试 使学生知道了正比例函数图象的简单画法 为后面的学习奠定了基础．由学生亲自动手实践画正 、 , , 比例函数的图象 有利于学生加深对正比例函数的图象和性质的理解． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １１９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 正比例函数的图象 在画正比例函数y kxk是常数k 的图象时 通常取点 k 过这两点作直线即可． (１) ＝ ( ,≠０) , (０,０),(１,), k 的大小决定直线的倾斜程度 (２)|| : k 越大 直线与x轴相交所成的锐角度数越大 || , ; k 越小 直线与x轴相交所成的锐角度数越小． || , 例１ 已知正比例函数y kxk 当x 时y 则它的图象大致是 ＝ (≠０), ＝－１ ,＝－２, (C ) A B C D 解题大招二 根据正比例函数的性质求字母的取值范围 例２ 正比例函数y k x的图象经过第三 第一象限 那么k的取值范围是 ＝(－３) 、 , (B ) k k k k A􀆰 ＞０ B􀆰 ＞３ C􀆰 ＜０ D􀆰 ＜３ 例３ 已知直线y mx经过点Ax y Bx y 当x x 时y y 则m的取值范围是 m ２ ． ＝(２－３ ) (１,１), (２,２), １＜ ２ ,１＞ ２, ＞ ３ 解析:因为直线y ( m)x经过点A(x,y),B(x,y),当x x 时,y y, ＝ ２－３ １ １ ２ ２ １＜ ２ １＞ ２ 所以随着x的增大y反而减小, 所以 m , ２－３ ＜０ 解得m ２． ＞ ３ 故答案为m ２． ＞ ３ 培优点 正比例函数性质的探究 例１、例２ 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 一次函数的图象和性质 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 一次函数的图象和性质 授课人 ２３２ ２ ．学会用描点法或两点法画一次函数的图象 体会数形结合思想的应用． １ , 素养目标 ．通过观察具体一次函数的图象特征 抽象到一般一次函数的图象特征 用类比的方法归纳出一次函数的性质． ２ , , ．利用一次函数的性质解决数学问题． ３ 教学重点 理解和应用一次函数的图象和性质． 教学难点 灵活利用一次函数的性质解决数学问题． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:类比分 【类比导入】 析,导入新课 ．正比例函数是特殊的一次函数,正比例函数的图象是一条直线,那么一次函 １ 数的图象也会是一条直线吗? 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ．从解析式上看,一次函数y kx b(k,b为常数,k )与正比例函数y ２ ＝ ＋ ≠０ ＝ 􀪋引􀪋导􀪋学􀪋生回􀪋顾􀪋正􀪋 kx(k为常数,k )只相差一个常数b,体现在图象上,又会有怎样的关系? ≠０ 比例函数的图象 ．类比之前对正比例函数图象和性质的研究,我们应该怎样研究一次函数? ３ 和性质,为突破 【教学建议】 本课时的难点做 准备． 让学 生 思 考 讨 论,类比分析,可挑选 学生回答． 请带着以上问题,我们进入本课时的学习． 探究点１ 一次函数的图象及其平移规律 【教学建议】 活动二:问题引 例１ (教材 例 )画出函数y x与y ()引导学生先 入,自主探究 x 的图象． P１１９ ２ ＝－３ ＝ 用描点 １ 法画出函数y －３ ＋１ x的图象,再用 解 函数y x与y x 中的自变量x可 ＝－３ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : ＝－３ ＝－３ ＋１ 描点法画出函数y 为任意实数． x 的图象,最后 ＝ 􀪋通􀪋过􀪋画􀪋出具􀪋体􀪋的􀪋 列表表示几组对应值． 两 －３ 者 ＋ 进 １ 行对比,比较 两个函数的图 两个函数图象之间的 x 􀆺 ． ． 􀆺 象,引出正比例 －１ －０５ ０ ０５ １ 关系． 函数图象与一次 y x 􀆺 ． ． 􀆺 ()告诉学生:确 ＝－３ ３ １５ ０ －１５ －３ ２ 定一次函数的图象也 函数图象之间的 y x 􀆺 ． ． 􀆺 ＝－３ ＋１ ４ ２５ １ －０５ －２ 是直线后,在画对应 关系． 描点 连线 画出函数y x与y x 的图象如图所示． 的图象时,可以用两 、 , ＝－３ ＝－３ ＋１ 思考:比较上面两个函数的图象的相同点与不同点 填写你的观察结果 点法画出,也可以先 , : 画对应的正比例函数 这两个函数的图象形状都是 直线 并且倾斜程度 相同 ．函数y x , ＝－３ 图象,再通过平移得 的图象经过原点 函数y x 的图象与y轴交于点 即它可以看 , ＝－３ ＋１ (０,１) , 到,它们的解析式仅 作由直线y ＝－３ x向 上 平移 １ 个单位长度而得到． 在常数项上有区别． １２０教学步骤 师生活动 问题１ 比较两个函数解析式 你能说出两个函数的图象有上述关系的道 , 理吗 ? 答 因为函数解析式y x 相较于y x 等号右边一次项完全相 : ＝－３ ＋１ ＝－３ , 同 但多个常数 的符号为正 所以直线y x 相当于直线y x向 , １(１ ), ＝－３ ＋１ ＝－３ 上平移 个单位长度． １ 问题２ 联系上面结果 一次函数y kx bk 的图象是什么形状 它与 , ＝ ＋ (≠０) ? 直线y kxk 有什么关系 ＝ (≠０) ? 答 一次函数y kx bk 的图象是一条直线 它是由直线y kxk : ＝ ＋ (≠０) , ＝ (≠０) 经过平移得到的． 归纳总结:一次函数y kx b(k )的图象可以由直线y kx平移b 个单 ＝ ＋ ≠０ ＝ || 位长度得到(当b 时,向上平移;当b 时,向下平移)．一次函数y kx b(k ＞０ ＜０ ＝ ＋ )的图象也是一条直线,我们称它为直线y kx b． ≠０ ＝ ＋ 例２ (教材 例 )画出函数y x 与y ．x 的图象． 【教学建议】 P１２０ ３ ＝２ －１ ＝－０５ ＋１ 教师提示:对于 一次函数,为计算简 便,可以选择点(,b) ０ 和点(,k b)来画直 １ ＋ 线y kx b．教师应 ＝ ＋ 向学生讲明,用两点 法画一次函数图象 分析:由于一次函数的图象是直线,所以只要确定两个点就能画出它． 时,应结合它的解析 解 列表表示当x x 时两个函数的对应值． 式选点． : ＝０,＝１ x ０ １ y x ＝２ －１ －１ １ y ．x ． ＝－０５ ＋１ １ ０５ 过点 与 画出直线y x 过 与点 ． 画出直线y (０,－１) (１,１) ＝２ －１; (０,１) (１,０５) ＝ ．x 如图 ． －０５ ＋１( ) 或先画直线y x与y ．x 再分别平移它们 也能得到直线y ＝２ ＝－０５ , , ＝ x 与y ．x 如图 ． ２ －１ ＝－０５ ＋１( ) 【对应训练】 ．一次函数y ．x 的图象是由正比例函数 y ．x 的图象向 １ ＝－０５ ＋４ ＝－０５ 上 平移 个单位长度得到的一条直线． ４ ．教材 练习第 题． ２ P１２１ ２ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 一次函数的性质 【教学建议】 􀪋类􀪋比􀪋探􀪋究正􀪋比􀪋例􀪋 例３ 画出函数y x y x y x y x 的图象 总结 学生独立画图并 ＝ ＋１,＝－ ＋１,＝２ ＋１,＝－２ ＋１ , 函数的性质时所 它们的特性 填写表格． 观察图象,总结出一 , 用方法,探究一 解 图象如图所示． 般性结论,教师对遗 : 次函数的性质． 漏地方进行补充．再通 过画函数图象的过程 及观察比较,引出k 对函数增减性影响的 归纳． １２１教学步骤 师生活动 填表 : k值 b值 图象经过 图象变 一次函数 图象类型 正负性 正负性 的象限 化规律 从左向右 y x k 一、二、三 ＝ ＋１ ＞０ 上升 从左向右 y x k 经过点 一、二、四 ＝－ ＋１ ＜０ 下降 b (,) ＞０ ０１ 从左向右 y x k 的直线 一、二、三 ＝２ ＋１ ＞０ 上升 从左向右 y x k 一、二、四 ＝－２ ＋１ ＜０ 下降 由此联想 一次函数解析式y kx bkb是常数k 中k的正负对函数 : ＝ ＋ (, ,≠０) , 图象有什么影响 你能进而归纳一次函数的性质吗 ? ? 总结规律:当k 时,直线y kx b从左向右上升;当k 时,直线y ＞０ ＝ ＋ ＜０ ＝ 【教学建议】 kx b从左向右下降．一般地,一次函数y kx b(k,b是常数,k )具有如下性 ＋ ＝ ＋ ≠０ 教师跟学生明确 质:当k 时,y随x的增大而增大;当k 时,y随x的增大而减小． ＞０ ＜０ 这种先通过观察发现 其他性质(了解):．当k 时,k的值越大,直线与x轴所夹的锐角越大;当 １ ＞０ 图象(形)的规律,再 k 时,k的值越小,直线与x轴所夹的锐角越大． ＜０ 根据这些规律得出关 ．同一平面内,两条不重合的直线l:y kx b(k )与l:y kx b ２ １ １＝ １ ＋ １ １≠０ ２ ２＝ ２ ＋ ２ 于变量数值大小的性 (k )．当k k 时,l l;当k k 时,l 与l 相交． ２≠０ １＝ ２ １∥ ２ １≠ ２ １ ２ 质,这种数形结合的 归纳总结: 研究方法在数学学习 系数k,b k ,b k ,b k ,b k ,b 中很重要． 的符号 ＞０ ＞０ ＞０ ＜０ ＜０ ＞０ ＜０ ＜０ 图象的大致 位置 图象经过 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 的象限 y随x的增大y随x的增大y随x的增大y随x的增大 性质 而增大 而增大 而减小 而减小 与y轴正半轴 与y轴负半轴 与y轴正半轴 与y轴负半轴 图象特征 相交 相交 相交 相交 直线从左向右上升 直线从左向右下降 【对应训练】 教材 练习第 题． P１２１ １,３ 例４ 已知一次函数y a x b． 活动三:重点突 ＝(２ ＋４)－(３－ ) 【教学建议】 当ab取何值时y随x的增大而增大 破,提升探究 (１) , , ? ()学生在独立 当ab取何值时 其图象经过第二 三 四象限 １ (２) , , 、 、 ? 思考的基础上讨论解 当ab取何值时 其图象与y轴的交点在x轴上方 (３) , , ? 答,教师适时引导学 当ab取何值时 其图象经过原点 (４) , , ? 生结合之前总结出的 解 由题意 得 a b为任意实数 所以a b为任意实数． :(１) , ２ ＋４＞０,－(３－ ) , ＞－２, 图形规律做题． 由题意 得 a b 所以a b ． (２) , ２ ＋４＜０,－(３－ )＜０, ＜－２,＜３ １２２教学步骤 师生活动 设计意图 由题意 得 a b 所以a b ． ()告诉学生:对 (３) , ２ ＋４≠０,－(３－ )＞０, ≠－２,＞３ ２ 􀪋强􀪋化􀪋学􀪋生对􀪋一􀪋次􀪋 由题意 得 a b 所以a b ． 于一次函数y kx (４) , ２ ＋４≠０,－(３－ )＝０, ≠－２,＝３ ＝ ＋ 函数y kx b 【对应训练】 b,图象与y轴的交点 ＝ ＋ 的图象在平面直 已知一次函数y m x m ． 为(,b),故当b ＝(２ －２)＋ ＋１ ０ ＞０ 角坐标系中的位 当m为何值时 图象经过原点 时,图象与y轴的交 (１) , ? 置与k,b取值关 若y随x的增大而增大 求m的取值范围 点在x轴上方;当b (２) , ; ＝ 系的认知． 若函数图象与y轴的交点在x轴下方 求m的取值范围 时,即为正比例函 (３) , ; ０ 若函数图象经过第一 二 四象限 求m的取值范围． 数,图象经过原点;当 (４) 、 、 , 解 由题意 得 m m 所以m ． b 时,图象与y轴 :(１) , ２ －２≠０, ＋１＝０, ＝－１ ＜０ 由题意 得 m 解得m ． 的交点在x轴下方． (２) , ２ －２＞０, ＞１ 由题意 得 m m 所以m ． (３) , ２ －２≠０, ＋１＜０, ＜－１ {m 由题意 得 ２ －２＜０,解得 m ． (４) , m －１＜ ＜１ ＋１＞０, 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : ．一次函数与正比例函数有什么关系 怎么画一次函数的图象 １ ? ? ．一次函数y kx b的图象和性质与kb的取值有什么关系 ２ ＝ ＋ , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１２４ ２３２ ３,６,７,８ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 一次函数的图象和性质 ２３２ 第 课时 一次函数的图象和性质 ２ 板书设计 ．一次函数的图象． １ ．一次函数图象的平移规律． ２ ．一次函数的性质． ３ 本节课类比正比例函数图象的研究方法 采用改变变量k的值观察图象的变化的方法 让学生经历观察 教学反思 , , 、 比较 归纳的过程 再总结出一次函数y kx bk 的一般特点 符合学生的认知规律和教学规律． 、 , ＝ ＋ (≠０) , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １２３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 一次函数图象和性质的应用 １．性质拓展: 直线y kx b k 与直线y kx b k 的位置关系 (１) １＝ １ ＋ １(１≠０) ２＝ ２ ＋ ２(２≠０) : {k k k k y 与y 相交 １≠ ２, y 与y 相交于y轴上同一点 b ① １≠ ２⇔ １ ２ ;②b b ⇔ １ ２ (０,１); １＝ ２ {k k {k k １＝ ２, y 与y 平行 １＝ ２, y 与y 重合． ③b b ⇔ １ ２ ;④b b ⇔ １ ２ １≠ ２ １＝ ２􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １２４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 k 的大小决定直线的倾斜程度 (２)|| : k 越大 直线与x轴相交成的锐角度数越大 k 越小 直线与x轴相交成的锐角度数越小． || , ;|| , b决定直线与y轴交点的位置 : b 时 直线与y轴的交点在y轴的正半轴上b 时 直线与y轴的交点在y轴的负半轴上． ＞０ , ;＜０ , 当直线平行于x轴且与y轴交点的纵坐标为b时 这条直线对应的函数解析式为y b (３) , ＝ ; 当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为a时 这条直线对应的函数解析式为x a． , ＝ ２．解题方法: ( b ) 一次函数的图象是一条直线 要画出图象只需确定图象上的两点 这两点一般选与x轴的交点 和与y轴 (１) , , －k,０ 的交点 b 过这两点画直线即可． (０,), 由kb的符号可以确定直线y kx b的位置 反过来 由直线y kx b的位置也可以确定kb的符号． (２) , ＝ ＋ ; , ＝ ＋ , k的符号决定直线的倾斜方向b的符号决定直线与y轴交点的位置． , 例１ 对于一次函数y x 当x 时 函数值y的取值范围是 y ． ＝－３ ＋５, ＜－２ , ＞１１ 解析:因为 , －３＜０ 所以y随x的增大而减小． 当x 时,y ( ) ． ＝－２ ＝－３× －２＋５＝１１ 又x , ＜－２ 所以函数值y的取值范围是y ． ＞１１ 例２ 如图 表示一次函数y mx n与正比例函数y mnxmn是常数 mn 的大致图象的是 , ＝ ＋ ＝ ( , , ≠０) (C ) 解析: 选项 判断理由 结论 由一次函数的图象可知m ,n ,故mn ;由正比例函数的图象可知mn ,两结论不同 错误 A ＞０ ＞０ ＞０ ＜０ 由一次函数的图象可知m ,n ,故mn ;由正比例函数的图象可知mn ,两结论不同 错误 B ＞０ ＜０ ＜０ ＞０ 由一次函数的图象可知m ,n ,故mn ;由正比例函数的图象可知mn ,两结论一致 正确 C ＜０ ＞０ ＜０ ＜０ 由一次函数的图象可知m ,n ,故mn ;由正比例函数的图象可知mn ,两结论不同 错误 D ＜０ ＞０ ＜０ ＞０ 例３ 若一次函数y m x m 的图象不经过第二象限 则m的取值范围是 ＝(２ ＋１)＋ －３ , (D ) m １ m １ m １ m A􀆰 ＞－ B􀆰 ＜３ C􀆰－ ＜ ＜３ D􀆰－ ＜ ≤３ ２ ２ ２ 例４ 若点Ax Bx Cx 在一次函数y k２ x 的图象上 则x x x 的大小关系是 (１,－３), (２,－４), (３,１) ＝－( ＋１) ＋４ , １,２,３ (B ) x x x x x x x x x x x x A􀆰 １＜ ２＜ ３ B􀆰 ３＜ １＜ ２ C􀆰 ２＜ １＜ ３ D􀆰 ３＜ ２＜ １ 解析:因为 (k２ ) ,所以y随x的增大而减小． － ＋１＜０ 因为 ,所以x x x． －４＜－３＜１ ３＜ １＜ ２ 故选 ． B 培优点 一次函数图象和性质的探究 例 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 用待定系数法求一次函数的解析式 ３ 教学目标 课题 ． 第 课时 用待定系数法求一次函数的解析式 授课人 ２３２ ３ ．学会用待定系数法确定一次函数的解析式． 素养目标 １ ．利用一次函数的解析式 图象和性质综合解决实际问题 体会数学建模的一般思想． ２ 、 , 教学重点 运用待定系数法求一次函数的解析式． 教学难点 灵活运用一次函数的知识解决实际问题． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:知识回 【问题引入】 顾,导入新课 问题１ 我们之前在画一次函数图象的时候,用“两点法”这种简易的方法就 可以快速确定图象,请说说这样做的数学道理． 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 答:因为一次函数的图象是一条直线,而“两点确定一条直线”,所以可用“两点 教师带领学生回 􀪋以􀪋“两􀪋点􀪋法􀪋”画􀪋一􀪋 法”作图． 顾“两点法”作一次函 次函数图象的过 问题２ 在平面直角坐标系中有如图所示的用“两点法”画出的两条直线,尝 数图象,并以此为依 程提出问题,引 试求它们对 应的函数解析式． 托进行设问,求简单 入本课重难点． 答:图 是正比例函数图象,它经过原点和 的一次函数的解析 ① 点(,)．根据之前所学的“两点法”作图原理, 式,进而顺其自然地 １２ 若设函数解析式为y kx,则此图是过(,)和 引入对待定系数法的 ＝ ００ (,k)两点的直线,所以k ,于是函数解析式 探究．学生在回答问题 １ ＝２ 为y x． 时,可能会说求正比 ＝２ ３ 图 是一次函数图象,它经过点(, )和点(, )．根据之前所学的“两点 例函数解析式只需一 ② ０ －３ １ －２ 法”作图原理,若设函数解析式为y kx b,则此图是过(,b)和(,k b)两点的 个条件即可,这样的回 ＝ ＋ ０ １ ＋ 直线,所以b ,k b ,所以k ,于是函数解析式为y x ． 答也是符合要求的,但 ＝－３ ＋ ＝－２ ＝１ ＝ －３ 问题３ 结合上面的问题,求一次函数解析式需要几个条件? 你得到了什么启示? 需补充说明这一个条 答:需要两个条件．启示:可以通过两个点的坐标来求得一次函数的解析式． 件必须是除原点外的 通过上面的问题,对于求一次函数解析式的方法你应该有大致轮廓了．但如果 其他点． 给定的点的坐标不是(,m),(,n)这样的形式,又该如何求解呢? 快让我们进入 ０ １ 今天的学习吧． 探究点１ 用待定系数法求一次函数的解析式 【教学建议】 活动二:问题引 入,自主探究 例１ (教材 P１２１ 例 ４ )已知一次函数的图象过点 (２,－４) 与 (－３,１１), 求这个 教师带领学生共 一次函数的解析式． 同探讨作答．通过活动 分析:因为一次函数的图象过(, )与( , )两点,所以这两点的坐标必 一和活动二的探究, 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ２－４ －３１１ 满足解析式．设一次函数的解析式为y kx b(k ),求这个解析式,关键是求出 教师注意引导学生发 ＝ ＋ ≠０ 􀪋让􀪋学􀪋生􀪋了解􀪋待􀪋定􀪋 k,b的值．从已知条件可以列出关于k,b的二元一次方程组,进而求出k,b． 现以下两点: 系数法,体会数 解:设这个一次函数的解析式为y kx b(k )． 设 ()以点的坐标 与形的转化． ＝ ＋ ≠０ ① １ 作为转化工具,可以 {k b , 因为y kx b的图象过点(, )与( , ),所以 ２ ＋ ＝－４ 列 实现函数解析式与函 ＝ ＋ ２－４ －３１１ k b ． ② －３ ＋ ＝１１ 数图象间的相互转 {k , 解这个方程组,得 ＝－３ 解 化,它是连接数与形 b ． ③ ＝２ 两种对象的纽带． 因此,这个一次函数的解析式为y x ． 代 ＝－３ ＋２ ④ １２５教学步骤 师生活动 概念引入:像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数, ()用待定系数 ２ 从而得出函数解析式的方法,叫作待定系数法． 法求一次函数的解析 由于一次函数y kx b中有k和b两个待定系数 所以用待定系数法时需 式的关键就是找出函 ＝ ＋ , 要根据两个条件列二元一次方程组 以k和b为未知数 ．解方程组后就能具体写 数图象上两个点的坐 ( ) 出一次函数的解析式． 标或两组自变量与函 用待定系数法确定一次函数解析式一般要经过设 列 解 代这四个步骤． 数的对应值． 、 、 、 实际上函数解析式与函数图象是可以相互转化的 实现这种转化的工具就是 , 点的坐标 它是连接数与形两种对象的纽带 我们可以形象地用下面的图表示 , , : 【对应训练】 教材 练习第 题． P１２３ １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 用待定系数法求一次函数解析式的实际应用 􀪋设􀪋置􀪋应􀪋用􀪋背􀪋景􀪋, 例２ (教材 例 )一位记者乘坐汽车赴 外的乡村采访 全程的前 P１２２ ５ ３６０km , 在实践中用待 一部分为高速公路 后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某 , 定系数法求一 一速度匀速行驶 汽车行驶的路程y 单位 与时间x 单位 之间的关系如 , ( :km) ( :h) 【教学建议】 次函数解析式, 图所示． 学生分组讨论作 巩固所学,并结 求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解 (１) 答,教师注意提醒学 合解析式解决 析式 ; 生注意审题,分段求 实际问题． 记者出发后多长时间到达采访地 (２) ? 解．这里可联系实际, 分析:问题中汽车行驶的速度不是固定不变的, 由汽车在高速公路和 它与行驶的时间范围有关．当 x 时,汽车行驶 ０≤ ≤２ 普通公路上的速度不 的速度较快;当x 时,汽车行驶的速度较慢．因此,求函数解析式时应对 x ＞２ ０≤ ≤ 同,或结合图象发现 和x 两个时段分别讨论． ２ ＞２ 直线倾斜程度不一得 解 当 x 时 函数图象是经过原点和点A的直线的一部分 设函数 :(１) ０≤ ≤２ , , 到题中隐含的需分段 的解析式为y kx．因为它的图象过点A 所以 k 解得k ． ＝ １ (２,１８０), １８０＝２１, １＝９０ 讨论的关键信息．分段 因此 当 x 时 函数的解析式为y x． , ０≤ ≤２ , ＝９０ 时需注意确定自变量 当x 时 函数图象是经过AB两点的直线的一部分．我们求出直线AB所 ＞２ , , 的取值范围,每段图 对应的一次函数的解析式．设这个一次函数的解析式为y kx b 把点AB的 ＝ ２ ＋ ２, , 象确定首尾两点即可 {k b 坐标分别代入y kx b 得 ２２＋ ２＝１８０, 确定解析式．解题难度 ＝ ２ ＋ ２, ．k b ． ３５２＋ ２＝２７０ 不大,重点在于强化 {k 解这个方程组 得 ２＝６０, 学生的理解能力和从 , b ． 题目中挖掘关键信息 ２＝６０ 因此 , 当x ＞２ 时 , 函数的解析式为y ＝６０ x ＋６０ ． 的能力,使学生感受 综上 , 当 ０≤ x ≤２ 时 , y ＝９０ x ; 当x ＞２ 时 , y ＝６０ x ＋６０ ． 从实际问题中建立一 (２) 由图象可知 , 当y ＝３６０ 时 , x ＞２ ． 次函数模型这一过 由 ３６０＝６０ x ＋６０, 解得x ＝５ ． 程,为后面的学习筑 因此 , 记者在出发 ５h 后到达采访地． 牢根基． 追问:由 的解答 你能进一步确定 中函数的自变量的取值范围吗 (２) , (１) ? 答 由 的解答 能进一步确定 中函数的自变量的取值范围是 x ． : (２) , (１) ０≤ ≤５ 【对应训练】 教材 练习第 题． P１２３ ３ １２６教学步骤 师生活动 例３ 如图 直线AB经过点A 和点B ． 活动三:重点突 , (１,１) (－１,－３) 求直线AB对应的函数解析式 破,巩固练习 (１) ; 连接OAOB 求 AOB的面积． (２) , , △ 解 设直线AB对应的函数解析式为y kx b． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 :(１) ＝ ＋ {k b 􀪋加􀪋深􀪋对􀪋所学􀪋知􀪋识􀪋 把A (１,１) 和B (－１,－３) 代入 , 得 ＋ k ＝ b １, － ＋ ＝－３, 的理解和运用, {k 通过各种条件来 解方程组得 ＝２, 【教学建议】 b ． 求一次函数的解 ＝－１ 学生独立思考完 所以直线AB对应的函数解析式为y x ． 析式． 如图 设直线y x 与y轴相 ＝ 交 ２ 于点 －１ C． 成,教师统一答案．教 (２) , ＝２ －１ 师可提示学生: 当x 时y 所以点C的坐标为 ． ＝０ ,＝－１, (０,－１) ()可以画出函 １ 所以S △ AOB＝ S △ OBC＋ S △ AOC＝ １ ×１×１＋ １ ×１×１＝１ ． 数图象的草图来辅助 ２ ２ 【对应训练】 理解． １ ．将直线y ＝ x －１ 平移 , 使得平移后的直线经过点 (－２,０), 则平移后直线的 ( ２ )一次函数图 解析式为 y x ． 象平移前后(或两个 ＝ ＋２ ．如图 点A位于x轴负半轴上 点P m 在第一象限内 直线AP交y轴 一次函数图象平行), ２ , , (２, ) , 解析式中的比例系数 于点C S ． (０,２),△ AOP＝１２ 求点A的坐标及m的值 k不变;两个一次函数 (１) ; 求直线AP对应的函数解析式． 图象经过y轴上同一 (２) 点,解析式中的常数 解 因为S S S 所以S :(１) △ AOP＝ △ AOC＋ △ COP, △ AOP＝ 项b不变． １OA OC １OC x 所以 １OA 􀅰 ＋ 􀅰| P|, １２＝ ×２＋ ()可借助面积 ２ ２ ２ ３ 的不同表示方法来求 １ 所以OA ． ×２×２, ＝１０ 点的坐标． ２ 因为S △ AOP＝ １OA 􀅰| yP|, 所以 １２＝ １ ×１０× m , 所以m ＝２ ． ４ ． ２ ２ 故点A的坐标为 m的值为 ．． (－１０,０), ２４ 设直线AP对应的函数解析式为y kx b．因为直线经过点A (２) ＝ ＋ (－１０,０) { k b {k ． 与点C 所以 －１０ ＋ ＝０,解方程组得 ＝０２, (０,２), b ． b ． ＝２ ＝２ 故直线AP对应的函数解析式为y ．x ． ＝０２ ＋２ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : ．用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是什么 １ ? ．你能用待定系数法求出实际问题中的一次函数解析式 进而解决简单的实际问题吗 ２ , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１２４~１２５ ２３２ ４,５,９,１０ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » １２７教学步骤 师生活动 ． 一次函数的图象和性质 ２３２ 第 课时 用待定系数法求一次函数的解析式 板书设计 ３ ．用待定系数法求一次函数的解析式． １ ．用待定系数法求一次函数的解析式的实际应用． ２ 本节课藉由 两点法 引入 递进逐层设问引出由两点的坐标确定一次函数解析式的方法 让学生由此 “ ” , , 教学反思 进一步感悟数形结合的思想．同时在引入待定系数法的过程中 向学生渗透转化思想及数学建模思想 联系 , , 实际 培养学生分析问题 解决问题的能力． , 、 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １２８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 用待定系数法确定一次函数解析式 待定系数法是确定函数解析式的基本方法． (１) 确定一个正比例函数 需要确定正比例函数解析式y kxk 中的常数k , ＝ (≠０) ; 确定一个一次函数 需要确定一次函数解析式y kx bk 中的常数k和b． , ＝ ＋ (≠０) 运用待定系数法确定正比例函数解析式 只要知道除 外的一对对应值即可 (２) , (０,０) ; 确定一次函数解析式 则通常需要两对对应值． , 用待定系数法确定一次函数解析式的步骤 设函数解析式的一般形式为y kx bk 把x与y的对应值 (３) :① ＝ ＋ (≠０);② 代入函数解析式中 得到关于待定系数的方程或方程组 求出待定系数 写出函数解析式． , ;③ ;④ 例１ 若点Mx y 在函数y kx bk 的图象上 当 x 时 y 则该函数的解析式为 y (１,１) ＝ ＋ (≠０) , －１≤ １≤２ ,－２≤ １≤１, ＝ x 或y x ． －１ ＝－ 解析:因为点M(x,y)在函数y kx b(k )的图象上,当 x 时, y ,所以分两种情况讨论: １ １ ＝ ＋ ≠０ －１≤ １≤２ －２≤ １≤１ { k b , 当k 时,点( , ),(,)在函数图象上,则有 － ＋ ＝－２ ① ＞０ －１－２ ２１ k b , ２ ＋ ＝１ {k , 解这个方程组,得 ＝１ 此时y x ; b , ＝ －１ ＝－１ { k b , 当k 时,点( ,),(, )在函数图象上,则有 － ＋ ＝１ ② ＜０ －１１ ２－２ k b , ２ ＋ ＝－２ {k , 解这个方程组,得 ＝－１此时y x． b ． ＝－ ＝０ 综上,该函数的解析式为y x 或y x． ＝ －１ ＝－ 例２ 已知一次函数的图象经过点A B ． (２,１), (－１,－３) 求此一次函数的解析式 (１) ; 求此一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标 (２) 、 ; 求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． (３) {k b 解: 设此一次函数的解析式为y kx b．把A B 代入 得 ２ ＋ ＝１, (１) ＝ ＋ (２,１), (－１,－３) , k b － ＋ ＝－３, ì ï k ４ ï ＝ , 解这个方程组 得í ３ , ï ïb ５ î ＝－ , ３ 所以此一次函数的解析式为y ４x ５． ＝ － ３ ３ 在y ４x ５中 令x 得y ５ 令y 得x ５． (２) ＝ － , ＝０, ＝－ ; ＝０, ＝ ３ ３ ３ ４ ( ) ( ) 所以此一次函数与x轴的交点坐标为 ５ 与y轴的交点坐标为 ５ ． ,０ , ０,－ ４ ３􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １２９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 由 可知 此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是１ ５ ５ ２５． (３) (２) , × × － ＝ ２ ４ ３ ２４ 解题大招二 用待定系数法求一次函数解析式的简单应用 例３ 在 测定水的沸点 实验中 水的温度会随着加热时间的变化而变化．在加热过程中 元元每隔 会对水温进行一 “ ” , , ２min 次测量并将相关数据记录在如下表格中． 加热时间t/ 􀆺 min ２ ４ ６ ８ １０ １２ 水温T/ ． ． ． 􀆺 ℃ ２６５ ３７ ４７５ ５８ ６８５ ７９ 根据数据可知 在加热至沸腾前 水温T与加热时间t之间是一次函数关系．已知标准大气压下水的沸点是 , , ( １００℃) 求T关于t的函数解析式 并画出它的图象 (１) , ; 加热前 水的温度是多少 加热 时 水的温度是多少 (２) , ? ５min , ? 将水加热至沸腾需要多久 (３) ? 分析:此类日常生活中的简单应用可培养学生的数学建模思想．本题首先可通过表格中的数据找两组自变量与函数的 对应值(理论上任意找两组即可,但实际最优找能使计算过程简单的数据),再用待定系数法求出函数解析式,然后根据题意 代入相应的t值或T值,解决剩下的问题． 解: 设T关于t的函数解析式为T kt b． (１) ＝ ＋ {k b 将 与 代入 得 ４ ＋ ＝３７, (４,３７) (８,５８) , k b ． ８ ＋ ＝５８ {k ． 解方程组得 ＝５２５, b ． ＝１６ 则T关于t的函数解析式为T ．t ． ＝５２５＋１６ 函数图象如图所示． 在T ．t 中 当t 时T 当t 时T ． ． (２) ＝５２５＋１６ , ＝０ , ＝１６; ＝５ , ＝４２２５ 故加热前 水的温度是 加热 时 水的温度是 ． ． , １６℃; ５min , ４２２５℃ 当T 时 ．t 解得t ． (３) ＝１００ ,５２５＋１６＝１００, ＝１６ 故将水加热至沸腾需要 ． １６min 培优点 一次函数的综合题 例 如图 在平面直角坐标系中 点A m 在直线y x ５上 过点A的直线交y轴于点B ． , , (２, ) ＝２ － , (０,３) ２ 求m的值和直线AB对应的函数解析式 (１) ; 若点Pty 在线段AB上 点Qt y 在直线y x ５上 求y y 的最大值． (２) (,１) , (－１,２) ＝２ － , １－ ２ ２ 分析:()把点A的坐标代入解析式可求解m,然后设直线AB对应的函数解析式为y kx b,进 １ ＝ ＋ 而根据待定系数法可进行求解; ()将P(t,y)代入()中求得的解析式,将Q(t ,y)代入y x ５,用含t的式子表示出y,y,y y,然后根 ２ １ １ －１ ２ ＝２ － １ ２ １－ ２ ２ 据一次函数的性质和t的取值范围进行求解． 解: 把A m 代入y x ５ 得m ３． (１) (２, ) ＝２ － , ＝ ２ ２ 设直线AB对应的函数解析式为y kx b． ＝ ＋ { { ( ) k b ３ k ３ 把A ３ B 代入 得 ２ ＋ ＝ ,解方程组得 ＝－ , ２, , (０,３) , ２ ４ ２ b ． b ． ＝３ ＝３ 所以直线AB对应的函数解析式为y ３x ． ＝－ ＋３ ４ 因为点Pty 在线段AB上 点Qt y 在直线y x ５上 (２) (,１) , (－１,２) ＝２ － , ２ 所以y ３t t y t ５ 即y t ９ １＝－ ＋３(０≤ ≤２),２＝２(－１)－ , ２＝２－ , ４ ２ ２ ( ) 所以y y ３t t ９ 即y y １１t １５ t ． １－ ２＝－ ＋３－ ２－ , １－ ２＝－ ＋ (０≤ ≤２) ４ ２ ４ ２ 因为 １１ 所以y y 随t的增大而减小．又 t 所以当t 时y y 取得最大值 为１５． － ＜０, １－ ２ ０≤ ≤２, ＝０ ,１－ ２ , ４ ２２３．３ 一次函数与方程（组）、不等式 第 １ 课时 一次函数与一元一次方程、不等式 教学目标 课题 ． 第 课时 一次函数与一元一次方程 不等式 授课人 ２３３ １ 、 ．使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程 一元一次不等式的转化关系及其本质联系． １ 、 ．使学生能初步运用函数的图象解释一元一次方程的解 一元一次不等式的解集 并能通过函数图象求一 素养目标 ２ 、 , 元一次方程的解 一元一次不等式的解集． 、 ．掌握用图象求解方程 不等式的方法 进一步体会数形结合思想的应用． ３ 、 , 教学重点 用函数观点解决一元一次方程和一元一次不等式的问题． 教学难点 一次 关系的理解及相互转化． “ ” 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:设置疑 【问题导入】 问,导入新课 ()观察下面的一元一次方程与一元一次不等式,它们有什么共同之处? １ 【教学建议】 x ,x ,x ． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ２ －２＞０２ －２＝０２ －２＜０ 让学生自由发言 ()上面的一元一次方程的解与一元一次不等式的解集,和一次函数y x ２ ＝２ － 即可,教师适时引导 􀪋提􀪋出􀪋问􀪋题􀪋,引􀪋发􀪋 的图象有关系吗? ２ 学生关注式子结构方 学生对函数与方 上述一元一次方程或不等式左边的式子与一次函数右边的式子相同,很明显,一 面的共同点,为导入 程、不等式之间 元一次方程、不等式与一次函数之间存在着某种联系,但这种联系还需要我们进一步去 新课做准备． 联系的思考． 探寻． 今天,我们将以函数的角度来观察和解读一元一次方程及不等式的解(集)． 探究点１ 一次函数与一元一次方程 活动二:问题引 阅读教材 上方的思考 将下面的表格补充完整． 入,自主探究 P１２７ , ．从 数 的角度看 １ “ ” : 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 一元一次方程问题 一次函数问题 􀪋用􀪋数􀪋形􀪋结合􀪋的􀪋方􀪋 当一次函数y x 的函数值为 x 解方程 x ＝２ －１ ０ 【教学建议】 法,建立一次函 ２ －１＝０ ２ －１＝０ 时,x取何值 让学生结合函数 数与一元一次方 ．从 形 的角度看 ２ “ ” : 图象分组讨论,从函 程的联系． 一次函数问题 图象 数的角度解释给出的 方程,再由教师引导 在直线y x 上取纵 学生得出一般性结论． ＝２ －１ x 坐标为 的点,求其横 教学中注意引导 ２ －１＝０ ０ 坐标 学生对方程进行变 形,总结出函数观点 一次函数y x 的图象与x轴交点的横坐标是 ． 纵坐标为 所以当 下解一元一次方程 ＝２ －１ ０５ , ０, 自变量x的值为 ． 时 函数值为 ．由此可以得出一元一次方程 x 的解 ax b 的意义． ０５ , ０ ２ －１＝０ ＋ ＝０ 是 x ． ． ＝０５ 问题 我们知道 任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax : , ＋ b a 的形式 那么在函数观点下 应如何看待解方程ax b 呢 ＝０(≠０) , , ＋ ＝０ ? 答 解一元一次方程ax b a 从函数值考虑 相当于在某个一次函数 : ＋ ＝０(≠０), , y ax b的函数值为 时 求自变量x的值 从函数图象考虑 相当于已知直线y ＝ ＋ ０ , ; , ax b求它与x轴的交点的横坐标． ＝ ＋ , １３０教学步骤 师生活动 归纳总结: 拓展:解一元一次方程ax b c(a ),相当于在某个一次函数y ax b ＋ ＝ ≠０ ＝ ＋ 的函数值为c时,求自变量x的值;或相当于已知直线y ax b,求它与直线y ＝ ＋ ＝ c的交点的横坐标． 【对应训练】 已知一次函数y x 的图象如图所示．根据图 ＝－２ ＋２ 象回答 : 求方程 x 的解 (１) －２ ＋２＝０ ; 求方程 x 的解． (２) －２ ＋２＝２ 解 一次函数y x 的图象与x轴的交点为 :(１) ＝－２ ＋２ 所以方程 x 的解为x ． (１,０), －２ ＋２＝０ ＝１ 一次函数y x 的图象过点 所以方 (２) ＝－２ ＋２ (０,２), 程 x 的解为x ． －２ ＋２＝２ ＝０ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋２􀪋􀪋一􀪋次􀪋函􀪋数􀪋与􀪋􀪋一􀪋元􀪋一􀪋次􀪋不􀪋等􀪋式􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【教学建议】 􀪋类􀪋比􀪋研􀪋究一􀪋次􀪋函􀪋 阅读教材 P１２７ 下方的思考 , 将下面的表格补充完整． 学生类比探究点 数和一元一次方 １ ．从 “ 数 ” 的角度看 : 的探究过程,从函数 １ 程的联系的方 一元一次不等式问题 一次函数问题 的角度对一元一次不 法,建立一次函 等式进行探究．教师应 当一次函数y x 的函数值 数与一元一次不 x 解不等式 x ＝２ －１ 引导学生从“数”与 ２ －１＞０ ２ －１＞０ 大于 时,x应在什么范围内 等式的联系． ０ “形”两个方面进行分 当一次函数y x 的函数值 析,增强学生的直观 x 解不等式 x ＝２ －１ ２ －１＜０ ２ －１＜０ 小于 时,x应在什么范围内 感受度． ０ 应提醒学生,在 ．从 形 的角度看 ２ “ ” : 平面直角坐标系中, 一次函数问题 图象 自变量由小到大对应 横轴从左到右,函数 在直线y x 上取纵 ＝２ －１ 值由小到大对应纵轴 x 坐标 大于 的范围, ２ －１＞０ 求其横 坐标的 ０ 范 围 从下到上． 在直线y x 上取纵 ＝２ －１ x 坐标 小于 的范围, ２ －２＜０ ０ 求其横坐标的范围 当图象上点的纵坐标大于 时 点在x轴 上方 其横坐标 大于 ． 即 ０ , , ０５ , 函数值大于 时x的取值范围是 x ． 当图象上点的纵坐标小于 时 点在x ０ ＞０５ ; ０ , 轴 下方 其横坐标 小于 ． 即函数值小于 时x的取值范围是 x ． ． , ０５ , ０ ＜０５ 由此得出不等式 x 的解集是 x ． x 的解集是 x ． ． ２ －１＞０ ＞０５ ,２ －１＜０ ＜０５ 问题 对于可化为ax b 或ax b a 的一元一次不等式 在函数 : ＋ ＞０ ＋ ＜０(≠０) , 观点下 应如何看待解不等式ax b 或ax b , ＋ ＞０ ＋ ＜０? 答 解一元一次不等式ax b 或ax b a 从函数值考虑 相当于 : ＋ ＞０ ＋ ＜０(≠０), , 在某个一次函数y ax b的值大于 或小于 时 求自变量x的取值范围 从函 ＝ ＋ ０ ０ , ; 数的图象考虑 相当于已知直线y ax b 确定这条直线上的点的纵坐标大于 , ＝ ＋ , ０ 或小于 时横坐标的取值范围． ０ １３１教学步骤 师生活动 归纳总结: 拓展:解一元一次不等式ax b c或ax b c(a ),相当于在某个一次函 ＋ ＞ ＋ ＜ ≠０ 数y ax b的值大于c或小于c时,求自变量x的取值范围;或相当于已知直线 ＝ ＋ y ax b与y c,确定它们的交点上方部分或下方部分点的横坐标的取值范围． ＝ ＋ ＝ (该方法可推广至结合图象比较两个函数之间的大小关系) 【对应训练】 教材 练习第 题． P１３０ １ 例 函数y x 的图象如图所示． 活动三:重点突 ＝２ ＋６ 求方程 x 的解 破,提升探究 (１) ２ ＋６＝０ ; 求不等式 x 的解集 (２) ２ ＋６＞０ ; 求不等式组 x 的解集． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (３) －１≤２ ＋６≤３ 解 因为图象过点 :(１) (－３,０), 􀪋让􀪋学􀪋生􀪋进一􀪋步􀪋体􀪋 所以方程 x 的解为x ． ２ ＋６＝０ ＝－３ 【教学建议】 会用函数图象可 因为当函数y x 的图象在x轴上方时 (２) ＝２ ＋６ , 让学生独立思考 以直观地求方 x 所以不等式 x 的解集为x ． ＞－３, ２ ＋６＞０ ＞－３ 完成．解决此类问题, 程、不等式的解 因为函数图象过F ． G ． 两点 当函数y x 的函 (３) (－１５,３), (－３５,－１) , ＝２ ＋６ 通常是找出直线与坐 或解集． 数值满足 y 时 ． x ．所以不等式组的解集是 ． x ．． －１≤ ≤３ ,－３５≤ ≤－１５, －３５≤ ≤－１５ 标轴的交点或者根据 【对应训练】 题目给出的函数值求 已知一次函数y kx b的图象如图所示 其与x轴的交点坐标是 ． ＝ ＋ , (－０５, 得对应自变量的值, 利用函数图象回答 ０), : 然后结合图象的增减 当x取何值时kx b (１) , ＋ ＝０? 性来判断对应的自变 当x取何值时kx b ． (２) , ＋ ＞１５? 量的取值范围． 当x取何值时 ． kx b ． (３) ,０５＜ ＋ ＜２５? 解 因为一次函数y kx b的图象与x轴的交点坐 :(１) ＝ ＋ 标是 ． 所以当x ．时kx b ． (－０５,０), ＝－０５ , ＋ ＝０ 当x 时kx b ．． (２) ＞１ , ＋ ＞１５ 因为 ． kx b ． 所以 ． y ．． (３) ０５＜ ＋ ＜２５, ０５＜ ＜２５ 由函数图象 得当 x 时 ． kx b ．． , ０＜ ＜２ ,０５＜ ＋ ＜２５ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : ．如何利用函数解一元一次方程 １ ? ．如何利用函数解一元一次不等式 ２ ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１３０ ２３３ １,２ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » １３２教学步骤 师生活动 ． 一次函数与方程 组 不等式 ２３３ ( )、 第 课时 一次函数与一元一次方程 不等式 板书设计 １ 、 ．一次函数与一元一次方程的关系． １ ．一次函数与一元一次不等式的关系． ２ 本节课是在一次函数的基础上进行的一次综合与扩展教学．从简单的一元一次方程和一次函数的函数 教学反思 值为 的例子入手 让学生初步感知两者之间的联系 再从更多的例子中寻找一元一次方程和一次函数的 ０ , , 联系 最后得出一般规律．以此作为基础 继而类比探究出一元一次不等式与一次函数的关系． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １３３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 一次函数与一元一次方程、不等式 由于任何一元一次方程都可以转化为ax b ab为常数a 的形式 所以解一元一次方程可以转化为 当某个 (１) ＋ ＝０(, ,≠０) , : 一次函数的值为 时 求相应的自变量的值 从图象上看 这相当于已知直线y ax b确定它与x轴交点的横坐标的值． ０ , , , ＝ ＋ , b b 可令y 得到方程ax b 解方程得x 就是直线y ax b与x轴的交点的横坐标 即直线y ax ＝０, ＋ ＝０, ＝－a,－a ＝ ＋ , ＝ ＋ ( b ) b与x轴的交点为 ． －a,０ 由于任何一元一次不等式都可以转化为ax b 或ax b ab为常数a 的形式 所以解一元一次不等式 (２) ＋ ＞０ ＋ ＜０(, ,≠０) , 可以转化为 当一次函数值大于 或小于 时 求自变量相应的取值范围． : ０ ０ , 用图象法解一元一次方程的步骤 (３) : 把一元一次方程变形为ax b 的形式 ① ＋ ＝０ ; 画出一次函数y ax b的图象 ② ＝ ＋ ; 找到一次函数y ax b的图象与x轴的交点 交点的横坐标即为所求． ③ ＝ ＋ , 直线y kx b 与直线y kx b 的交点的横坐标即为方程kx b kx b 的解 不等式kx b (４) １＝ １ ＋ １ ２＝ ２ ＋ ２ １ ＋ １＝ ２ ＋ ２ ; １ ＋ １＞ kx b 或kx b kx b 的解集就是直线y kx b 在直线y kx b 上 或下 方部分对应的自变量x的取 ２ ＋ ２( １ ＋ １＜ ２ ＋ ２) １＝ １ ＋ １ ２＝ ２ ＋ ２ ( ) 值范围． 例 如图 直线y kx b 与y kx b 交于点Pab 则有以下结论 : , １＝ １ ＋ １ ２＝ ２ ＋ ２ (,), : 方程kx b kx b 的解为x a ① １ ＋ １＝ ２ ＋ ２ ＝ ; 不等式kx b kx b 的解集为x a ② １ ＋ １＞ ２ ＋ ２ ＞ ; 不等式kx b kx b 的解集为x a． ③ １ ＋ １＜ ２ ＋ ２ ＜ 例１ 一次函数y kx bk 中x与y的部分对应值如下表 那么一元一次方程kx b 的解为 x ． ＝ ＋ (≠０) , , ＋ ＝０ ＝１ x －２ －１ ０ １ ２ y ９ ６ ３ ０ －３ 例２ 如图 直线ly kx b 与直线ly kx b 相交于点P 那么不等式kx b kx b 的解集为 , １:＝ １ ＋ １ ２:＝ ２ ＋ ２ (－３,２), １ ＋ １＜ ２ ＋ ２ x ． ＜－３ 例３ 在平面直角坐标系中 一次函数y kx和y mx n的图象如图所示 则关于x的一元一次 , ＝ ＝ ＋ , 不等式k mx n 的解集是 x ． (－ )－ ＞０ ＞１ 解析:由(k m)x n ,得kx mx n． － － ＞０ ＞ ＋ 由图可知当x 时,直线y kx在直线y mx n的上方, ＞１ ＝ ＝ ＋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １３４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 所以关于x的一元一次不等式kx mx n的解集是x , ＞ ＋ ＞１ 即关于x的一元一次不等式(k m)x n 的解集是x ． － － ＞０ ＞１ 例４ 如图 根据图中信息解答下列问题 , : 关于x的不等式ax b 的解集是 x (１) ＋ ＞０ ＜４ ; 关于x的不等式mx n 的解集是 x (２) ＋ ＜１ ＜０ ; 当x为何值时y y (３) ,１≤ ２? 当x 时 比较y 与y 的大小关系． (４) ＜０ , ２ １ 解: 由图可知 两条直线的交点坐标是 ． ． (３) , (２,１８) 当函数y 的图象在y 的下方时x １ ２ ,＜２, 所以当x 时y y． ≤２ ,１≤ ２ 由图可知 当x 时y y． (４) , ＜０ ,２＞ １ 培优点 一次函数与方程、不等式的综合题 例 如图 直线y １x b与x轴y轴分别交于点AB 与直线y kx交于点M ． , ＝－ ＋ 、 ,, ＝ (１,２) ２ 求kb的值及关于x的不等式组 １x b kx的解集 (１) , ０≤－ ＋ ≤ ; ２ 在x轴上有一点P 过点P作x轴的垂线 分别交直线y １x b和直线y kx于点 (２) , , ＝－ ＋ ＝ ２ CD 若 CD OB 求点P的坐标． , , ２ ＝ , 解: 把M 代入y kx 得k ． (１) (１,２) ＝ , ＝２ 把M 代入y １x b得 １ b 解得b ５． (１,２) ＝－ ＋ , － ＋ ＝２, ＝ ２ ２ ２ 在y １x ５中 当y 时 １x ５ ＝－ ＋ , ＝０ ,－ ＋ ＝０, ２ ２ ２ ２ 解得x 则A ． ＝５, (５,０) 由图可知 关于x的不等式组 １x b kx的解集为 x ． , ０≤－ ＋ ≤ １≤ ≤５ ２ ( ) 在y １x ５中 当x 时y ５ 则B ５ (２) ＝－ ＋ , ＝０ ,＝ , ０, , ２ ２ ２ ２ 所以OB ５． ＝ ２ ( ) 设Pm 则Cm １m ５ Dm m ． ( ,０), ,－ ＋ , ( ,２ ) ２ ２ ( ) 所以CD m １m ５ ５m ５ ． ＝ ２ － － ＋ ＝ － ２ ２ ２ ２ 因为 CD OB ２ ＝ , 所以 ５m ５ ５． ２ － ＝ ２ ２ ２ ( ) 当m 时 ５m ５ ５ 解得m ３ ＞１ ,２ － ＝ , ＝ ; ２ ２ ２ ２ ( ) 当m 时 ５ ５m ５ 解得m １． ＜１ ,２ － ＝ , ＝ ２ ２ ２ ２ ( ) ( ) 所以点P的坐标为 ３ 或 １ ． ,０ ,０ ２ ２第 ２ 课时 一次函数与二元一次方程(组) 教学目标 课题 ． 第 课时 一次函数与二元一次方程 组 授课人 ２３３ ２ ( ) ．使学生理解二元一次方程与一次函数的关系． １ 素养目标 ．能用 形 一次函数图象 的方法处理 数 二元一次方程 组 的问题 培养学生数形结合的意识与能力． ２ “ ”( ) “ ”[ ( )] , ．会应用一次函数的图象求二元一次方程 组 的解． ３ ( ) 教学重点 二元一次方程与一次函数关系的探索及二元一次方程组的图象解法． 教学难点 应用方程与函数的联系观点解决问题． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:知识回 【回顾导入】 顾,导入新课 ．二元一次方程x y 和一次函数y x 之间有什么联系? １ ＋ ＝５ ＝－ ＋５ 【教学建议】 {x y , 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ．()解二元一次方程组 ＋ ＝５ 引导学生注意到 ２ １ x y ; ２ － ＝１ 二元一次方程与一次 􀪋通􀪋过􀪋问􀪋题􀪋,引􀪋入􀪋 ()求直线y x 和直线y x 交点的坐标． ２ ＝－ ＋５ ＝２ －１ 函数之间的关联性,可 本课时所要探究 对比()中方程组的解与()中交点的坐标,你有什么发现? １ ２ 画出草图来辅助理解． 的内容． 通过上节课,我们发现一次函数与一元一次方程、不等式之间有着密切的联 系．这节课我们将从函数的角度来看二元一次方程和解二元一次方程组． 探究点１ 一次函数与二元一次方程 活动二:问题引 问题 我们知道 方程 x y 可以转化为y 入,自主探究 , ２ － ＝１ x 它们有相同的解．y x 对应一次函数 ＝２ －１, ＝２ －１ y x ．类似地 对于二元一次方程 x y 可 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ＝２ －１ , ２ － ＝３, 以将其写成一次函数 y x 的形式． ＝２ －３ 􀪋通􀪋过􀪋数􀪋形􀪋结􀪋合􀪋, 画出一次函数y x 的图象 (１) ＝２ －３ ; 探究二元一次方 找出方程 x y 的几组解 【教学建议】 (２) ２ － ＝３ ; 程与一次函数之 将 中找出的几组解在平面直角坐标系中 让学生先分组自 (３) (２) 间的关系． 描出 你发现了什么 由探讨,分别从“数” , ? 在一次函数y x 的图象上的点的坐标 和“形”两个角度分析 (４) ＝２ －３ 都是二元一次方程 x y 的解吗 一次函数与二元一次 ２ － ＝３ ? 解 如图． 方程之间的关系,再 :(１) 方程 x y 的解如下表 由教师总结并进行 (２) ２ － ＝３ : x 􀆺 􀆺 补充． －１ ０ １ ２ ３ ４ y 􀆺 􀆺 教师在学生探讨 －５ －３ －１ １ ３ ５ 的过程中,可适时提 找出的几组解在平面直角坐标系中描出后 均在直线y x 上． (３) , ＝２ －３ 醒学生将方程的未知 是的． (４) 数与函数中的变量分 归纳总结:由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y kx b ＝ ＋ (k,b是常数,k )的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对 别对应． ≠０ 应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解,以这个 二元一次方程的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上． １３５教学步骤 师生活动 【对应训练】 直线上每个点的坐标都是二元一次方程x y 的解的是 －２ ＝２ (C ) 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 一次函数与二元一次方程组 【教学建议】 􀪋结􀪋合􀪋二􀪋元一􀪋次􀪋方􀪋 告诉学生:可以通 程与一次函数之 问题 (１) 求一次函数y ＝２ x －１ 与y ＝－ ３x ＋ ８的图象的交点坐标 , 你有 过画图象的方法得到 ５ ５ 间的关系,通过 哪些方法 方程组的解,同时可针 ? 实例层层设问, 解 从函数值考虑 两条直线相交时 交点处 对图象有无交点来确 : , , 引入一次函数与 自变量相等 , 函数值也相等 ( 交点的横 、 纵坐标均 认方程组是否有解． 二元一次方程组 (若两直线平行,则方 相等 所以 x ３x ８ 解得x 代 之间的关系． ), ２ －１＝－ ＋ , ＝１, ５ ５ 程组无解;若两直线相 入y x 得y 所以交点坐标为 ＝２ －１, ＝１, (１,１); 交,则方程组有唯一 从函数的图象考虑 可以画出两条直线如图所 , 解;若两直线重合,则 示 这两条直线的交点坐标为 ． , (１,１) 方程组有无数解) {x y 解方程组 ２ － ＝１,并结合 中的交点坐标 谈一谈你的发现． (２) x y (１) , ３ ＋５ ＝８, {x y {x 解 解方程组 ２ － ＝１,得 ＝１, : x y y ． ３ ＋５ ＝８, ＝１ 发现 中两条直线交点的坐标xy 的值即为方程组的解． :(１) (,) {x y 对于二元一次方程组 ２ － ＝１,你能从函数的角度对解这个方程组进 (３) x y ３ ＋５ ＝８, 行解释吗 ? 解 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y x 与y ３x : ＝２ －１ ＝－ ＋ ５ ８ 解这个方程组 可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标． , , ５ 由 知这两条直线的交点坐标为 (１) (１,１), {x y {x 由此得出方程组 ２ － ＝１,的解是 ＝１, x y y ． ３ ＋５ ＝８ ＝１ 归纳总结:一般地,由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二 元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线．从“数”的角度看,解这 样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值 是何值;从“形”的角度看,解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此, 我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解． 例１ (教材 例题)同时释放两个探测气球 号气球从距离地面 高 P１２９ ,１ ５m 处出发 以 的速度上升 号气球从距离地面 高处出发 以 ． 的 , １m/s ;２ １５m , ０５m/s 速度上升．两个气球都上升了 ． １min 分别写出表示两个气球所在位置的高度y 单位 关于上升时间x 单 (１) ( :m) ( 位 的函数解析式 :s) ; １３６教学步骤 师生活动 两个气球在某时刻能否位于同一高度 如果能 这时气球上升了多长时 (２) ? , 间 位于什么高度 ? ? 解 气球上升时间x满足 x ． :(１) ０≤ ≤６０ 对于 号气球y关于x的函数解析式为y １ , ＝ x ． ＋５ 对于 号气球y关于x的函数解析式为y ２ , ＝ ．x ． ０５ ＋１５ 两个气球在某时刻位于同一高度 就是对 (２) , 于x的某个值 x 函数y x 和y (０≤ ≤６０), ＝ ＋５ ＝ ．x 有相同的值y． ０５ ＋１５ {y x {x 由此可以列二元一次方程组 ＝ ＋５, 解这个方程组 得 ＝２０, y ．x ． , y ． ＝０５ ＋１５ ＝２５ 这就是说 当气球上升 时 两个气球都距离地面 ． , ２０s , ２５m 也可以画一次函数的图象解答此问题．如图 在同一平面直角坐标系中 画出 , , 一次函数y x 与y ．x 的图象．这两条直线的交点坐标为 这 ＝ ＋５ ＝０５ ＋１５ (２０,２５), 说明当气球上升 时 两个气球都距离地面 ． ２０s , ２５m 【对应训练】 教材 练习第 题． P１３０ ２,３ 例２ 某销售公司推销一种产品 设每月推销产品的数量为x 单位 件 付给 , ( : ), 活动三:重点突 推销员的月报酬为y 单位 元 ．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示 【教学建议】 ( : ) , 破,提升探究 推销员可以任选一种与公司签订合同 看图解答下列问题 让学生独立思考 , : 求每种付酬方案中y关于x的函数解析式 作答,体会一次函数 (１) ; 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 当推销产品多少件时 选择方案一与选择方案二所得报酬相同 报酬是多少 与二元一次方程组在 (２) , ? ? 􀪋通􀪋过􀪋实􀪋际􀪋问􀪋题􀪋, 若推销员某月推销产品 件 则他选择哪种方案所得报酬更高 日常生活中的实际应 (３) ３５ , ? 加深对一次函数 解 观察函数图象可得 方案一的图象对应正 用,教师统一答案．教 :(１) , 与二元一次方程 比例函数 方案二的图象对应一次函数． 师关注如下: , 组关系的理解． 由 易求得方案一中y关于x的函数 ()对于部分问 (４０,１６００) １ 解析式为y x 题,可直接通过函数 ＝４０ ; 设方案二中y关于x的函数解析式为y kx 图象中的特殊点以及 ＝ ＋ bk ．把 和 代入 得 图象间的位置关系得 (≠０) (４０,１４００) (０,６００) , { k b {k 出答案． ４０ ＋ ＝１４００,解得 ＝２０, b ． b ． ()学生应理解 ＝６００ ＝６００ ２ 所以方案二中y关于x的函数解析式为y x ． 图象中特殊点的实际 ＝２０ ＋６００ {y x {x 意义、直线交点的坐 根据题意列方程组 得 ＝４０ , 解得 ＝３０, (２) , y x ． y ． 标与方程组的解的对 ＝２０ ＋６００ ＝１２００ 答 当推销产品 件时 选择方案一与选择方案二所得报酬相同 报酬是 元． 应关系,避免多余的 : ３０ , , １２００ 结合 中的答案和函数图象可得 当月推销产品 件时 选择方案一所 计算． (３) (２) , ３５ , 得报酬更高． 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 二元一次方程 组 与一次函数有什么关系 如何用函数的方式解二元一次方程组 ( ) ? ? 活动四:随堂训 【知识结构】 练,课堂总结 １３７教学步骤 师生活动 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１３０ ２３３ ３,４,５ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 一次函数与方程 组 不等式 ２３３ ( )、 第 课时 一次函数与二元一次方程 组 板书设计 ２ ( ) ．一次函数与二元一次方程的关系． １ ．一次函数与二元一次方程组的关系 用图象法解二元一次方程组 ． ２ ( ) 本节课以上节课为基础 探究一次函数与二元一次方程 组 的关系 通过对应训练逐步加深对它们之 教学反思 , ( ) , 间关系的认识．在循序渐进的梯度设计中 掌握解题的一般思路与方法 体会数学思想方法的重要意义． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １３８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 一次函数与二元一次方程(组) 二元一次方程kx y b k 的解与一次函数y kx bk 的图象上的点的坐标是一一对应的． (１) － ＋ ＝０(≠０) ＝ ＋ (≠０) 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式 y (２) :① : ＝ kx b 和y kx b 建立平面直角坐标系 画出这两个一次函数的图象 写出这两条直线的交点坐标 横坐标x和 １ ＋ １ ＝ ２ ＋ ２;② , ;③ , 纵坐标y这两个数值就是二元一次方程组的解． {x a 例１ 若直线y x 与y x 交点的坐标为ab 则下列方程组中 解是 ＝ ,的是 ＝３ ＋６ ＝２ －４ (,), , y b (D ) ＝ {x y {x y {x y {x y －３ ＝６, －３ ＝６, ３ － ＝６, ３ － ＝－６, A􀆰 y x B􀆰 y x C􀆰 x y D􀆰 x y ２ ＋ ＝－４ ２ － ＝４ ２ － ＝４ ２ － ＝４ {y x 例２ 利用图象解方程组 ＝２ －５, y x ． ＝－ ＋１ 解:在平面直角坐标系中画出两条直线 如图所示． , {x 两条直线的交点坐标是 所以方程组的解为 ＝２, (２,－１), y ． ＝－１ 培优点 根据一次函数与二元一次方程的关系求字母的值 例 当k为何值时 直线 k x y与直线k x y的交点在第四象限 , ２ ＋１＝５ ＋４ ＝２ ＋３ ? ì ï k x ２ ＋３ {x y k ï ＝ , 解:联立 ５ ＋４ ＝２ ＋１,解得í ７ x y k． ï k ２ ＋３ ＝ ïy －２． î ＝ ７ 因为它们的交点在第四象限 , ì ïk ２ ＋３ ï ＞０, 所以x y 即í ７ 解得 ３ k ． ＞０,＜０, ïk － ＜ ＜２ ï －２ ． ２ î ＜０ ７ 所以当 ３ k 时 两直线的交点在第四象限． － ＜ ＜２ , ２２３．４ 实际问题与一次函数 第 课时 建立一次函数模型 １ 教学目标 课题 ． 第 课时 建立一次函数模型 授课人 ２３４ １ ．通过实际问题经历一次函数模型的建模过程 在情境中感受数学来源于生活 发展和培养数学建模思想 １ , , 以及分析 解决问题的能力． 素养目标 、 ．了解分段函数的特点 学会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象 感知数形结合思想在一次 ２ , , 函数中的应用． 教学重点 领会数学建模过程中数形结合思想 分类讨论思想在解题中的运用． 、 教学难点 多段一次函数在实际问题中的灵活运用． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境引入】 活动一:创设情 境,新课导入 在日常生活中,很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画．在运 【教学建议】 用一次函数解决实际问题时,一般先将实际问题抽象为一次函数问题,然后根据条 学生代表回顾旧 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 件求得一次函数的解析式,再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题． 知,教师引导学生分 􀪋为􀪋用􀪋函􀪋数解􀪋决􀪋实􀪋 在进入本节课的学习之前,让我们先看看下面这个 析函数图象,学生求 际问题做铺垫． 问题,试着解决它吧． 出解析式并完成后面 在弹性限度内,弹簧的长度y(单位: )与所挂物体 的填空,从解决简单 cm 的质量x(单位: )之间是一次函数关系,其图象如图所 实际问题着手逐步引 kg 示,则y关于x的函数解析式为 y ．x ,弹簧 申至正课的学习． ＝０５ ＋１０ 不挂物体时的长度为 ． １０ cm 探究点 建立一次函数模型解决实际问题 活动二:问题引 【教学建议】 入,自主探究 例１ (教材 P１３１ 例题)某玉米种子的价格为 ４０ 元 /kg ．若一次购买不超过 学习待定系数法 的种子 其价格不变 若一次购买超过 的种子 超过部分的种子价格打 时已初步涉及分段函 ２kg , ; ２kg , 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 六折． 数,这里学生理解此类 问题没有太多障碍,教 写出付款金额关于购买量的函数解析式 并画出函数图象 􀪋利􀪋用􀪋实􀪋际问􀪋题􀪋使􀪋 (１) , ; 师可以适时总结此类 一次购买 玉米种子 需付款多少元 学生经历一次函 (２) ４kg , ? 模型:自变量在不同区 分析: 说一说,付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系? 数模型的建模过 ① 间对应不同的函数,称 程,体会分段函 答:付款金额 ＝ 种子价格 × 购买量． 为分段函数． 通过题意我们可知,种子价格不是固定不变的,它与 购买量 有关,设购 数在日常生活中 􀪍􀪍􀪍􀪍 ② 的简单应用． 买x kg 种子,付款金额为y元．则有: 【教学建议】 ()教师先让学 购买量/ 种子价格/(元/ ) 付款金额/元 １ kg kg 生自行填表,初步认 x y x 识分段函数的实际意 ０≤ ≤２ ４０ ＝ ４０ 义,然后引导学生发 种子价格 超过 部分的种子价格 ２kg ＋ ２kg 现自变量在不同取值 x y x ＞２ ⇓ ⇓ ＝ ２４ ＋３２ 范围内对应不同的一 ． (x ) ４０×２ ＋ ４０×０６× －２ 次函数,最后由学生 因此,写函数解析式与画函数图象时,应分 x 和 x 讨论． 独立思考作答． ０≤ ≤２ ＞２ １３９教学步骤 师生活动 解 设购买量为x 付款金额为y元． :(１) kg, 当 x 时 种子价格为 元 函数解析式为y x ０≤ ≤２ , ４０ /kg, ＝４０ ; 当x 时 购买的种子中有 按 元 计 ＞２ , ２kg ４０ /kg 价 其余的 x 即超出 部分 按 元 , ( －２)kg( ２kg ) ２４ /kg 即六折 计价 函数解析式为y x ( ) , ＝４０×２＋２４(－２)＝ x ． ２４ ＋３２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １４０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ()告诉学生:确 ２ 定分段函数解析式的 关键是先找到临界 点,进而通过临界点 确定各分段函数自变 量的取值范围,再结 函数解析式也可以合起来表示为 合题意求对应范围内 { x, x , 的函数解析式． y ４０ ０≤ ≤２ ＝ x ,x ． ２４ ＋３２ ＞２ 函数图象如图所示． 因为 所以y ． (２) ４＞２, ＝２４×４＋３２＝１２８ 因此 一次购买 种子 需付款 元． , ４kg , １２８ 【对应训练】 教材 练习． P１３１~１３２ 例２ 某市为了鼓励全民节约用水 制定了新的两级收费制度．按照新标准 用户 活动三:强化巩 , , 固,提升探究 每月缴纳的水费y ( 单位 : 元 ) 与每月用水量x ( 单位 :m ３ ) 存在如图所示的函数关系． 【教学建议】 求y关于x的函数解析式 (１) ; 学生独立思考作 若某用户某月缴纳水费 元 则该用户当 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (２) ６３ , 答,教师告诉学生: 月的用水量是多少立方米 􀪋加􀪋强􀪋对􀪋一􀪋次􀪋函􀪋 ? ()对于分段函 解 当 x 时 设y关于x的函数解析 １ 数、分段函数的 :(１) ０≤ ≤１５ , 数,如果是根据图象 式为y mxm ． 认识,强化从函 ＝ ( ≠０) 求解析式,则找出每 由题意 得 m 解得m ．所以y ．x． 数图象中提取信 , １５ ＝２７, ＝１８, ＝１８ 段图象上两个点的坐 当x 时 设y关于x的函数解析式为y kx bk ． 息的能力． ＞１５ , ＝ ＋ (≠０) 标(包括端点),用待 { k b {k ． 由题意 得 １５ ＋ ＝２７,解方程组 得 ＝２４,所以y ．x ． 定系数法求出函数解 , k b , b ＝２４ －９ ２０ ＋ ＝３９, ＝－９, 析式,并分别写出自 { ．x x 综上y关于x的函数解析式为y １８ ,０≤ ≤１５, 变量的相应取值范围 , ＝ ．x x ． ２４ －９,＞１５ 即可． 因为 所以将y 代入y ．x 得 ．x 解得x (２) ６３＞２７, ＝６３ ＝２４ －９, ２４ －９＝６３, ＝ ()如果是求函 则该用户当月的用水量是 ３． ２ ３０, ３０m 数值,则根据给出的 【对应训练】 自变量取值代入相应 某日 王爷爷准备了 苹果在市场上销售 在销售过程中 顾客均通过电 , ８０kg , , 区间所对应的函数解 子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出 苹果后 为早点收摊 ５０kg , 析式求值即可． 回家 他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y , ()如果是已知函 单位 元 含原有零钱 与售出水果的千克数x的关系如图所示 请结合图象回 ３ ( : )( ) , 数值求自变量,则比较 答问题 : 给出的函数值和对应 王爷爷的电子钱包中原有零钱 元 (１) ８０ ; 分界点函数值的大小 苹果降价前每千克 元 降价后每千克 元 (２) １２ , １０ ; 判断自变量所属区间, 请求出y关于x的函数解析式． (３) 然后代入对应的函数 解 由图象和 可得 当 x 时y : (１)(２) , ０≤ ≤５０ ,＝ 解析式求值即可,求出 x １２ ＋８０; 的自变量应检查是否 当 x 时y x 即y x ． ５０＜ ≤８０ ,＝１０(－５０)＋６８０, ＝１０ ＋１８０ 在对应区间内． { x x 综上y关于x的函数解析式为y １２ ＋８０,０≤ ≤５０, , ＝ x x ． １０ ＋１８０,５０＜ ≤８０教学步骤 师生活动 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : ．你能从实际问题中构建一次函数模型 并解决相应问题吗 １ , ? ．分段函数模型中 如何求各段的函数解析式并确定自变量的取值范围 ２ , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１３５~１３６ ２３４ １,２,３,４,５,８ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 实际问题与一次函数 ２３４ 第 课时 建立一次函数模型 板书设计 １ ．一次函数的简单应用． １ ．分段函数的应用． ２ 从本节课开始学习从实际问题中建立一次函数模型 进而解决问题 是对之前学过的有关一次函数的 , , 教学反思 概念 图象 性质及求函数解析式的知识整合 通过在具体实例中的运用 强化学生从材料中获取信息及借 、 、 , , 助这些信息分析 解决问题的能力 进一步培养学生的建模思维． 、 , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １４１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 一次函数的应用 一次函数常与实际问题结合起来 考查学生的数学建模能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．一次函数应用题 , 常与几何知识 分段函数等内容联系起来 实现数与形的有机结合 体现分类讨论等数学思想． 、 , , 确定一次函数解析式的常见方法 根据实际意义直接写出一次函数解析式 然后解决相应问题 已经明确函数 (１) :① , ;② 类型 利用待定系数法构建函数解析式 利用问题中各个量之间的关系 变形推导所求两个变量之间的函数关系式． , ;③ , 分段函数问题的一般解题策略 分段函数的特征 不同的自变量区间所对应的函数解析式不同 其函数图象是一 (２) :① : , 个折线 解决分段函数问题 关键是要考虑与它所对应的区间 分段函数中 拐点 既是两段函数的分界点 同时又分别在 , , ;② “ ” , 两段函数上 在求解析式时 要用好 拐点 坐标 同时 在分析图象时还要注意 拐点 表示的实际意义 分段函数应用广 , , “ ” , , “ ” ;③ 泛 在收费问题 行程问题 几何问题中都有应用． , 、 、 注意:分析问题和解题时要注意: 函数图象变化的意义; 图象上拐点的意义; 函数图象的交点． ① ② ③ 例１ 已知 两地之间有一条长为 的公路 甲 乙两车同时出发 甲车以 的速度沿此公路从 地匀 A,B ２７０km , 、 , ６０km/h A 速开往 地 乙车从 地沿此公路匀速开往 地 两车分别到达目的地后停止．甲 乙两车相距的路程y 单位 与甲车 B , B A , 、 ( :km) 的行驶时间x 单位 之间的函数关系如图所示． ( :h) 乙车的速度为 a ． b ． (１) ７５ km/h,＝ ３６ ,＝ ４５ ; 求甲 乙两车相遇后y与x之间的函数关系式 (２) 、 ; 当甲车到达距 地 处时 求甲 乙两车相距的路程． (３) B ７０km , 、 分析:()根据图象可得出甲、乙两车在甲车行驶 时相遇,可设乙车的速度为v /,通 １ ２h kmh 过方程 v 即可得出乙车的速度,再根据甲、乙两车的速度即可求出a和b的值; ２×６０＋２ ＝２７０ ()根据()可得出点M,N,P的坐标,根据待定系数法即可求出当 x ．时和当 ２ １ ２＜ ≤３６ ． x ．时的函数关系式; ３６＜ ≤４５􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １４２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ()根据甲车的速度可得甲车到达距 地 处时行驶的时间,进而得出甲、乙两车相距的路程． ３ B ７０km 解: 解析:设乙车的速度为v / ,根据图象可得甲、乙两车在甲车行驶 时相遇,可得 (１) kmh ２h v ,解得v ,所以乙车的速度为 / , ２×６０＋２ ＝２７０ ＝７５ ７５kmh 所以a ２７０ ．,b ２７０ ．． ＝ ＝３６ ＝ ＝４５ ７５ ６０ 故答案为 ,．,．． ７５３６４５ 如图 根据 可得M N ． P ． ． (２) , (１) (２,０), (３６,２１６), (４５,２７０) {k b {k 设当 x ．时的函数关系式为y kx b 则 ２１＋ １＝０, 解方程组 得 １＝１３５, ２＜ ≤３６ ＝ １ ＋ １, ．k b , b ３６１＋ １＝２１６, １＝－２７０, 所以当 x ．时y x ２＜ ≤３６ ,＝１３５ －２７０; { ．k b {k 设当 ． x ．时的函数关系式为y kx b 则 ３６２＋ ２＝２１６,解方程组 得 ２＝６０, ３６＜ ≤４５ ＝ ２ ＋ ２, ．k b , b ４５２＋ ２＝２７０, ２＝０, 所以当 ． x ．时y x． ３６＜ ≤４５ ,＝６０ { x x ． 综上 甲 乙两车相遇后y与x之间的函数关系式为y １３５ －２７０,２＜ ≤３６, , 、 ＝ x ． x ．． ６０ ,３６＜ ≤４５ 因为甲车的速度为 所以当甲车到达距 地 处时行驶的时间为２７０－７０ １０ (３) ６０km/h, B ７０km ＝ (h), ６０ ３ ( ) 所以此时甲 乙两车相距的路程为 １０ ． 、 (６０＋７５)× －２ ＝１８０(km) ３ 例２ 某商店销售一种产品 该产品成本价为 元 件 售价为 元 件 销售人员将该产品一个月 天 销售情况绘成 , ６ / , ８ / , (３０ ) 如图图象 图中的折线ODE表示日销量y 单位 件 与销售时间x 单位 天 之间的函数关系 若线段DE表示的函数关系 , ( : ) ( : ) , 中 时间每增加 天 日销量减少 件． , １ , ５ 第 天的日销量是 件 这天的销售利润是 元 (１) ２５ ３２５ , ６５０ ; 求y关于x的函数解析式 并写出x的取值范围 (２) , ; 日销售利润不低于 元的共有多少天 销售期间日销售利润最大是多少元 (３) ６４０ ? ? 解: 解析: ( ) (件),( ) (元), (１) ３４０－ ２５－２２×５＝３２５ ８－６×３２５＝６５０ 故答案为 , ． ３２５６５０ 设直线OD的解析式为y kx． (２) ＝ 将 代入y kx 得 k 解得k ． (１７,３４０) ＝ , １７ ＝３４０, ＝２０ 所以直线OD的解析式为y x． ＝２０ 设直线DE的解析式为y mx n． ＝ ＋ { m n {m 将 代入y mx n 得 ２２ ＋ ＝３４０,解得 ＝－５, (２２,３４０),(２５,３２５) ＝ ＋ , m n n ． ２５ ＋ ＝３２５, ＝４５０ 所以直线DE的解析式为y x ． ＝－５ ＋４５０ {y x {x 联立 ＝２０ , 解得 ＝１８, y x y ． ＝－５ ＋４５０, ＝３６０ 所以点D的坐标为 ． (１８,３６０) { x x 所以y关于x的函数解析式为y ２０ ,０≤ ≤１８, ＝ x x ． －５ ＋４５０,１８＜ ≤３０ 件 当y 时 由 x 或 x (３)６４０÷(８－６)＝３２０( ), ＝３２０ , ２０ ＝３２０ －５ ＋４５０＝３２０, 解得x 或x 所以 天 所以日销售利润不低于 元的共有 天． ＝１６ ＝２６, ２６－１６＋１＝１１( ), ６４０ １１ 因为折线ODE的最高点D的坐标为 元 (１８,３６０),３６０×２＝７２０( ), 所以当x 时 日销售利润最大 最大为 元． ＝１８ , , ７２０ 培优点 运用一次函数解决行程问题 例 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 选择方案 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 选择方案 授课人 ２３４ ２ ．根据实际问题背景建立分段函数模型 体会分类讨论思想在解决实际问题中的应用． １ , 素养目标 ．灵活运用变量关系建立一次函数模型并选择最佳方案解决相关实际问题． ２ ．体会 问题情境 建立模型 解释应用 回顾拓展 这一数学建模的基本思想 感受函数知识的应用价值． ３ “ — — — ” , 教学重点 建立一次函数模型解决方案选择问题． 教学难点 建立一次函数模型解决方案选择问题． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境导入】 境,导入新课 做一件事情,有时有不同的实施方案,从中选择最佳方案是十分必要的．在选 择方案时,往往需要从数学角度进行分析,涉及变量的问题常用到函数． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 问题 如表给出了 ,, 三种上宽带网的收费方式． 【教学建议】 ABC 􀪋通􀪋过􀪋实􀪋际􀪋问􀪋题􀪋 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/ 超时费用/(元/ ) 引导学生讨论, 引出方案决策的 h min 这里不用得出明确的 ． 主题． A ３０ ２５ ００５ 结论,学生能察觉需 ． B ５０ ５０ ００５ 分段讨论即可,后面 不限时 C １２０ 会进一步探讨． 选取哪种方式能节省上网费? 当我们面对不同的方案,怎样运用函数知识进行比较并作出合理的选择? 这 就是我们今天将要学习的内容． 探究点 方案选择问题 活动二:问题引 问题 (教材 探究 )如表给出了某游泳馆 三种年卡套餐的收费 入,自主探究 P１３２ １ A,B,C 标准． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 教师引导学生发 􀪋借􀪋助􀪋函􀪋数图􀪋象􀪋引􀪋 A ６００ ２０ ４０ 现三种年卡套餐的游 导学生解决方案 B １２００ ５０ ４０ 泳费用都是关于游泳 选择问题． 不限次 C １８００ 次数的函数(套餐 , A 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用 ? 是包括一次函数的 B 分析:()在 ,, 三种年卡套餐中,游泳费用与年游泳次数有关的是套餐 分段函数,套餐 对 １ ABC C A , B ,无关的是套餐 C ． 应常值函数)．教师进 ()对于 , 两种套餐,游泳费用由哪些部分组成? 一步引导学生比较这 ２ AB 游泳费用 年卡费用 套餐外游泳收费 ． 三个函数,又可以发 ＝ ＋ ()影响套餐外游泳收费的变量是什么? 游泳次数 ． 现对于游泳次数有不 ３ ()设年游泳x次,则套餐 ,, 的游泳费用y,y,y 都是x的函数．在套餐 同需求的人可以选择 ４ ABC １ ２ ３ 中,无论年游泳次数是多少,游泳费用都是 元,因此,y (x )．若能 不同的套餐,以达到 C １８００ ３＝１８００ ≥０ 得到y,y 关于x的函数解析式,则利用函数解析式,通过方程、不等式或函数图象 省钱的目的． １ ２ 就能比较y,y,y 的大小,从而对年卡套餐作出选择． １ ２ ３ 解 设年游泳x次．在套餐 中 考虑游泳费用y 时 要把年游泳次数分为不 : A , １ , 超过 次和超过 次两种情况 得到刻画套餐 的游泳费用的函数解析式 ２０ ２０ , A １４３教学步骤 师生活动 { x y ６００,０≤ ≤２０, １＝ x x ． ６００＋４０(－２０),＞２０ { x 化简 得y ６００,０≤ ≤２０, , １＝ x x ． ４０ －２００,＞２０ 这个函数的图象如图所示． 【教学建议】 类似地 可以得到刻画套餐 的游泳费用y 关 , B ２ 教师让学生体会 于年游泳次数x的函数解析式 通过分析变量间的关 { x y １２００,０≤ ≤５０, 系,列出函数解析式, ２＝ x x ． ４０ －８００,＞５０ 然后比较三个函数解 画出y y 的图象如图所示 结合函数图象与 ２,３ , 析式或相应的图象,找 解析式 可知 , : 出不同的年游泳次数 当年游泳次数不足 时 选择套餐 能节省游泳费用 ３５ , A ; 范围内游泳费用最低 当年游泳次数超过 但不足 时 选择套餐 能节省游泳费用 ３５ ６５ , B ; 的方案,这本身是利用 当年游泳次数超过 时 选择套餐 能节省游泳费用． ６５ , C 一次函数模型分析和 追问:这三种年卡套餐中有一定最节省游泳费用的套餐吗 说说你的理由． ? 解决实际问题的过程． 答 没有一定最节省游泳费用的套餐．理由 游泳费用是与游泳次数相关联的 : : , 根据游泳次数的不同 对于某个区间段而言有较节省游泳费用的套餐 但没有一定 , , 最节省游泳费用的套餐． 【对应训练】 教材 练习． P１３３ 例 请解答活动一中的问题． 【教学建议】 活动三:灵活运 解 设月上网时间为x 三种收费方式的月上网费用分别为y 元y 学生独立思考作 用,训练巩固 : h,A,B,C １ 、２ 元y 元 则y y y 关于x的函数解析式如下 答,教师统一答案,应 、３ , １,２,３ : { x 关注: 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 y ３０,０≤ ≤２５, １＝ ． x x ()对于部分问 􀪋设􀪋置􀪋方􀪋案选􀪋择􀪋问􀪋 ３０＋００５ { ×６０( x －２５),＞２５, 题,可 １ 直接通过函数 化简 得y ３０,０≤ ≤２５, 题锻炼学生解题 , １＝ x x ． 图象中的特殊点以及 ３ －４５,＞２５ 能力,让学生在 { x 图象间的位置关系得 方式 y ５０,０≤ ≤５０, 练习中巩固本课 B:２＝ ５０＋０ ． ０５×６０( x －５０), x ＞５０, 出答案． 所学． { x ()也可根据图 化简 得y ５０,０≤ ≤５０, ２ , ２＝ x x ． 象,列方程求出交点 ３ －１００,＞５０ 方式 y x ． 的横坐标,进而得出 C:３＝１２０,≥０ 画出函数图象如图所示． 结果或直接列不等式 结合解析式及函数图象可知 : 求出解集． ()学生应理解 当月上网时间不足９５ h 时 , 选择方式 A 最省钱 ; 图象中 ３ 特殊点的实际 ３ 当月上网时间超过９５ 而不足２２０ 时 选择方式 最省钱 意义及直线与直线交 h h , B ; ３ ３ 点的实际意义,避免 当月上网时间超过２２０ 时 选择方式 最省钱． 多余的计算． h , C ３ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 选择最佳方案 往往可以用函数有关知识解决问题 你能说说建立相关函数模型的步骤和方法吗 , , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１３５~１３６ ２３４ ６,７ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » １４４教学步骤 师生活动 ． 实际问题与一次函数 ２３４ 板书设计 第 课时 选择方案 ２ 多个 分段 函数类方案选择问题． ( ) 本节课以生活中的实际问题为载体 以一次函数的知识作为解题工具 把复杂问题通过分解转化为简 , , 教学反思 单问题 思路清晰而简练 突出重点 训练到位 体现了学生自主 合作 探究 交流的学习方式 激发学生学 , , , , 、 、 、 , 习数学的兴趣 培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １４５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 方案选择问题 方案选择型问题的解题策略 : ．若给定自变量的取值 则将自变量的值代入解析式 得到因变量的值 再进行选取 １ , , , ; ．若给定因变量的取值 则将因变量的值代入解析式 得到自变量的值 再进行选取 ２ , , , ; ．若自变量 因变量均未给定取值 ３ 、 : 方法一 可分别求出y y y y y y 的解或解集 再根据结果进行选取 (１) : １＜ ２,１＝ ２,１＞ ２ , ; 方法二 画出函数图象 求出交点坐标 再利用图象的上 下位置关系进行判断． (２) : , , 、 例 茶文化是中华文化教育的重要组成部分 其历史悠久 内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒 经了解 有下 , , , , 列两种获得这种包装盒的方案可供选择 : 方案一 从包装盒加工厂直接购买 每个包装盒 元 无需其他费用 : , ６ , ; 方案二 购买机器自己加工包装盒 购买机器的费用为 元 每个包装盒还需额外的加工成本 ．元． : , ９０００ , １５ 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为x个 按照方案一获得包装盒所需的总费用为y 元 按照方案二获得包装盒所需 , １ , 的总费用为y 元． ２ 分别求出y y 关于x的函数解析式． (１) １,２ 假如你是该茶具加工厂的负责人 该如何选择才能更省钱 (２) , ? 解: y xy ．x ． (１)１＝６ ,２＝１５ ＋９０００ 当y y 时 x ．x (２) １＜ ２ ,６ ＜１５ ＋９０００, 解得x ＜２０００; 当y y 时 x ．x １＝ ２ ,６ ＝１５ ＋９０００, 解得x ＝２０００; 当y y 时 x ．x １＞ ２ ,６ ＞１５ ＋９０００, 解得x ． ＞２０００ 所以当 x 时 选择方案一更省钱 当x 时 两种方案所需的费用相同 任选一种即可 当x 时 ０≤ ＜２０００ , ; ＝２０００ , , ; ＞２０００ , 选择方案二更省钱． 培优点 销售问题中的方案选择 例 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 设计方案 ３ 教学目标 课题 ． 第 课时 设计方案 授课人 ２３４ ３ 灵活运用变量关系建立一次函数模型 并设计最佳方案解决相关实际问题 强化实际运用能力与从问题中 素养目标 , , 获取关键信息 从而抽象出一次函数模型的能力． , 教学重点 建立一次函数模型解决方案设计问题． 教学难点 建立一次函数模型解决方案设计问题． 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一:创设情 【情境引入】 境,新课导入 上节课我们学习了如何运用函数知识比较方案并作出选择,但如果方案不是 指定的,需要自己制定,又该怎么做呢? 先看下面这个问题． 【教学建议】 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 问题 (教材 探究 )某学校计划在总费用不超过 元的情况下,租 学生分组进行讨 􀪋设􀪋置􀪋方􀪋案设􀪋计􀪋相􀪋 P１３３ ２ ２３００ 用客车送 名学生和 名教师集体外出活动,每辆客车上至少要有 名教师．现 论,这里不需给出具 关实际问题,为 ２３４ ６ １ 有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示． 体答案,有上节课的 引入新课做铺垫． 学习经验,学生不难 客车种类 载客量/人 租金/元 想到需根据限制条件 甲 ４５ ４００ 列出方案,再进行比 乙 ３０ ２８０ 较和选择．具体的解答 ()共需租多少辆客车? 将在下个活动中完成． １ ()给出最节省费用的租车方案． ２ 同学们,对于解决这个问题你们有头绪了吗? 快让我们进入新课的学习吧! 【教学建议】 探究点 方案设计问题 活动二:问题引 教师引导学生按 入,自主探究 阅读活动一中的问题 , 并进行如下分析 : 顺序逐步探究作答, ()影响租车费用的因素有哪些? １ 对于提出选取乙种客 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 答:甲、乙两种车所租辆数． 车的辆数作为自变量 􀪋自􀪋行􀪋选􀪋择自􀪋变􀪋量􀪋 ()客车总数又与哪些因素有关? 的同学,应给予肯定, ２ 构建一次函数模 答:与乘车人数有关． 可让部分学生用该方 型解决方案设计 ()如何由乘车人数确定客车总数呢? 法解题,对比最终结 ３ 问题． 果是否相同． 答: 名学生和 名教师共 人, １, ． ２３４ ６ ２４０ ２４０÷４５＝５ ２４０÷３０＝８ 告诉学生:解决 ３ 因为客车总数为正整数, 含有多个变量的问题 所以要保证 名师生都有车坐,客车总数不能小于 ． 时,可以分析这些变 ２４０ ６ 同时要使每辆客车上至少要有 名教师,客车总数不能大于 ． 量之间的关系,从中 １ ６ 选取一个取值能影响 综合起来可知客车总数为 辆． ６ 其他变量的值的变量 ()在客车总数确定后,租车费用与租车的种类有关．如果租用甲种客车x辆, ４ 作为自变量．然后根据 你能求出租车费用吗? 问题的条件寻求可以 答:设租车费用为y元． 反映实际问题的函 因为租用甲种客车x辆,所以租用乙种客车( x)辆． 数,以此作为解决问 ６－ 根据表格可知,y x ( x),化简,得y x ． 题的数学模型． ＝４００ ＋２８０６－ ＝１２０ ＋１６８０ １４６教学步骤 师生活动 ()如何确定x的取值? ５ 答:为使 名师生乘车都有座位,则 x ( x) ,于是x ;为使 ２４０ ４５ ＋３０６－ ≥２４０ ≥４ 租车费用不超过 元,则 x ,于是x １．综合起来可知x ２３００ １２０ ＋１６８０≤２３００ ≤５ ６ 的取值为 或 ． ４ ５ ()在考虑上述问题的基础上,你能得出几种不同的租车方案? 为节省费用应 ６ 选择其中哪种方案? 试说明理由． 答:能得出两种不同的租车方案,具体如下: 方案一:租用甲种客车 辆,乙种客车 辆; ４ ２ 方案二:租用甲种客车 辆,乙种客车 辆． ５ １ 对于y x ,因为 ,所以y随x的增大而增大,反映到实际即 ＝１２０ ＋１６８０ １２０＞０ 为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 所以为节省费用应选择方案一,即租用甲种客车 辆,乙种客车 辆,此时的 ４ ２ 租车费用为 (元)． ４００×４＋２８０×２＝２１６０ 由此 我们可以得出活动一问题的答案 , : 共需租 辆客车． (１) ６ 最节省费用的租车方案为租用甲种客车 辆 乙种客车 辆． (２) ４ , ２ 【对应训练】 教材 练习． P１３４ 例 一文具店购进甲 乙两种品牌的书包共 个 其进价与售价情况如表所示 活动三:强化巩 、 ８０ , : 固,提升探究 甲品牌 乙品牌 进价/(元/件) ６０ ５６ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 售价/(元/件) ８０ ７２ 􀪋设􀪋置􀪋与􀪋最大􀪋利􀪋润􀪋 设购进甲品牌书包x个 销售完这 个书包所获得的总利润是y元． 相关的方案设计 , ８０ 求y与x之间的函数关系式． 问题,巩固本课 (１) 该文具店能否获得 元的利润 说明理由． 所学,强化学生 (２) １４０６ ? 若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半 如何设 的实际运用能力． (３) , 【教学建议】 计进货方案才能获得最大利润 最大利润是多少 ? ? 解 y x x 即y x ． 学生自主探究,教 :(１)＝(８０－６０)＋(７２－５６)(８０－ ), ＝４ ＋１２８０ 师再根据学生完成情 该文具店不能获得 元的利润．理由如下 (２) １４０６ : 当y 时 得 x 解得x ．． 况进行集中讲评,注意 ＝１４０６ , ４ ＋１２８０＝１４０６, ＝３１５ 提醒学生要根据题目 因为x为整数 所以该文具店不能获得 元的利润． , １４０６ 条件确定自变量的取 由条件可得x １ x 所以x ８０． (３) ≤ (８０－ ), ≤ 值范围,再结合函数的 ２ ３ 在y x 中y随x的增大而增大． 增减性求得最值,从而 ＝４ ＋１２８０ , 因为x为整数 所以当x 时y取得最大值 为 ． 确定最佳方案． , ＝２６ , , ４×２６＋１２８０＝１３８４ 此时 x ． ８０－ ＝５４ 因此 购进甲品牌书包 个 乙品牌书包 个时 该文具店获得最大利润 最 , ２６ , ５４ , , 大利润为 元． １３８４ 【对应训练】 某超市销售甲 乙两种品牌的酸奶 甲品牌酸奶的进价为 元 罐 乙品牌酸奶 、 , ８ / ; 的进货总金额y 单位 元 与进货量x 单位 罐 之间的关系如图所示 经过试销 ( : ) ( : ) , , 甲 乙两种品牌酸奶的销售价分别为 元 罐和 元 罐．某日 该超市销售甲 乙两 、 １２ / １５ / , 、 种品牌的酸奶共 罐 其中乙品牌酸奶的销售量不低于 罐 且不高于 罐． ８００ , １５０ , ４００ 根据图象求出y与x之间的函数关系式 (１) ; １４７教学步骤 师生活动 若购进的两种酸奶全部售完 设销售完甲 乙两种品牌的酸奶所获得的总 (２) , 、 利润为w元 求出w 单位 元 与乙品牌酸奶的进货量x之间的函数关系式 并为 , ( : ) , 该超市设计出获得最大利润的销售方案． 解 设y与x之间的函数关系式为y kxk :(１) ＝ (≠ 把 代入y kxk 得k 所以y ０), (５０,５００) ＝ (≠０), ＝１０, ＝ x． １０ 设乙品牌酸奶的进货量为x罐．由题意 可得 (２) , x ． １５０≤ ≤４００ 由 得乙品牌酸奶的进价为 元 罐 则w (１) １０ / , ＝ x x 即w x ． (１２－８)(８００－ )＋(１５－１０), ＝ ＋３２００ 因为k 所以w随x的增大而增大 ＝１＞０, , 因为 x 所以当x 时 w最大 最大值为 １５０≤ ≤４００, ＝４００ , , ４００＋３２００＝３６００, 罐 ８００－４００＝４００( ), 即当甲品牌酸奶的进货量为 罐 乙品牌酸奶的进货量为 罐时 该超市 ４００ , ４００ , 获得最大利润． 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 设计最佳方案 通常会用到函数的相关知识 你能说说建立相关函数模型的步骤和方法吗 , , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１３７ ２３４ ９ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 实际问题与一次函数 ２３４ 板书设计 第 课时 设计方案 ３ 结合函数增减性求最值类方案设计问题． 本节课是在上节课的基础上进一步探讨与方案有关的实际问题 是上节课的延续和升华 区别在于需 , , 要根据一次函数的性质自己找出最佳方案 作出决策 同样是以一次函数作为载体 从实际背景中抽象出函 教学反思 , , , 数模型从而解决问题 往往体现于租车问题 最大利润问题 调配问题等．解题时注意把握自变量的取值范 , 、 、 围 且绝大多数实际情况下需要取正整数值． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １４８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 方案设计问题 一、方案设计型问题的解题策略: 方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题 一般步骤如下 , : ．根据题意求出函数解析式 １ ; ．由图象 题设信息列不等式 组 求得自变量的取值范围 ２ 、 ( ) ; ．利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值 从而设计出符合要求的方案． ３ , 二、物资调运方案问题的解题策略: ．用表格或图示的方法 厘清数量关系 １ , ;􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １４９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ．根据表格或图示中的数量关系列出函数解析式 ２ ; ．根据题意确定自变量的取值范围 ３ ; ．根据函数解析式及自变量的取值范围 结合一次函数的增减性 按题设要求确定调运方案． ４ , , 例 某主题公园周边的酒店于暑期旅游旺季 月 日 月 日 推行优惠举措．酒店的标准三人间日常标价为 (７ １ －８ ３１ ) ５００ 元 天 标准双人间日常标价为 元 天．当团体入住人数达 及以上时 可尊享七折优惠．一个 人的旅游团计划于 月 / , ４００ / ３０ , ３６ ７ 日入住该酒店．且要求所租赁的客房需满员入住．鉴于酒店客房资源统筹调配的实际需求 规定需同时租赁两种不同类型 １５ , 的客房． 若该旅游团中 人住三人间 其余人住双人间 则一天的住宿费是 元． (１) ２４ , , ４４８０ 设三人间共住了x人 该旅游团一天的住宿费为y元 请求出y关于x的函数解析式． (２) , , 第 小题中一天的住宿费是否为最低费用 若是 请说明理由 若不是 请设计一种能使住宿费用最低的方案 并 (３) (１) ? , ; , , 求出最低费用． 分析:()()根据折扣 (需要三人间的数量 标准三人间日常标价 需要双人间的数量 标准双人间日常标价)计算 １ ２ × × ＋ × 即可; ()求出所有满足条件的x的值,根据一次函数的增减性确定当x取何值时y值最小,求出其最小值即可． ３ 解: 解析: 人住三人间,需要 个房间, 人住双人间,需要 个房间,住宿费为 ． (１) ２４ ２４÷３＝８ ３６－２４＝１２ １２÷２＝６ ０７× ． (元)．故答案为 ． ５００×８＋０７×４００×６＝４４８０ ４４８０ (x x ) y ． ３６－ (２)＝０７ ×５００＋ ×４００ , ３ ２ 即y ７０x ＝－ ＋５０４０, ３ 所以y关于x的函数解析式为y ７０x ． ＝－ ＋５０４０ ３ 因为x须是 的非负整数倍 x须是 的非负整数倍 (３) ３ ,３６－ ２ , 又因为 是 的整数倍 ３６ ２ , 所以x须是 的非负整数倍 ２ , 所以x须是 的非负整数倍． ６ 当x 时 人 ＝０ ,３６－０＝３６( ); 当x 时 人 ＝６ ,３６－６＝３０( ); 当x 时 人 ＝１２ ,３６－１２＝２４( ); 当x 时 人 ＝１８ ,３６－１８＝１８( ); 当x 时 人 ＝２４ ,３６－２４＝１２( ); 当x 时 人 ＝３０ ,３６－３０＝６( ); 当x 时 人 ． ＝３６ ,３６－３６＝０( ) 因为规定需同时租赁两种不同类型的客房 , 所以x ． ＝６,１２,１８,２４,３０ 因为 ７０ － ＜０, ３ 所以y随x的增大而减小 , 所以当x 时y值最小 ＝３０ , y最小 ＝－ ７０ ×３０＋５０４０＝４３４０, ３ 所以第 小题中一天的住宿费不是最低费用 人住三人间 人住双人间能使住宿费用最低 最低费用为 元． (１) ,３０ 、６ , ４３４０ 培优点 运用一次函数解决方案设计问题 例１、例２ 例题可扫描下面的二维码下载获取．综合与实践 音乐与数学 教学目标 课题 综合与实践 音乐与数学 授课人 ．培养获取信息和资料的能力 加强自主学习和合作探究的能力． １ , 素养目标 ．根据信息和资料设计数学问题或方案 强化数学思维和实际应用能力． ２ , ．提升撰写研究报告的能力和语言表达能力． ３ ．认识音乐与数学的关系 数学在音乐律制发展中的作用． 活动目标 １ : ．从函数角度分析五线谱 分析乐器结构中蕴含的数学知识等． ２ , 活动重点 了解数学在音乐律制发展中的作用 从函数角度分析五线谱． , 活动难点 从函数角度分析五线谱 乐器中蕴含的数学知识． 、 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境引入】 活动一:创设情 境,新课导入 我们常说,丝竹之声,天籁之音,是指音乐能给人听觉上的享受．唐代诗人白居 【教学建议】 易在千古名篇«琵琶行»中,对琵琶女弹奏琵琶有过精彩的描述: 教师可利用多媒 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 大弦嘈嘈如急雨,小弦切切如私语． 体教具播放琵琶弹奏 􀪋通􀪋过􀪋引􀪋入白􀪋居􀪋易􀪋 嘈嘈切切错杂弹,大珠小珠落玉盘． 的古典乐曲,让学生 的«琵琶行»调动 间关莺语花底滑,幽咽泉流冰下难． 亲身感受音乐的动听 学生探索热情, 冰泉冷涩弦凝绝,凝绝不通声暂歇． 与和谐,适时抛出音 为进入正课进行 别有幽愁暗恨生,此时无声胜有声． 乐与数学能否有所关 铺垫． 银瓶乍破水浆迸,铁骑突出刀枪鸣． 联这样的提问,使学 曲终收拨当心画,四弦一声如裂帛． 生对接下来的探究活 人们经过漫长的研究,制定了多种音律规则,即音乐律制,如三分损益法、五度 动充满期待． 相生律以及目前普遍采用的十二平均律．这些音乐律制的原理是什么? 背后有哪些 数学知识? 让我们从这些问题开始,探究音乐与数学的关系,用数学描述音乐吧． 探究点１ 探究音乐律制中蕴含的数学原理 【教学建议】 活动二:问题引 任务１ 我们知道 有些声音混合在一起 听上去十分悦耳 也有些声音混合 入,自主探究 , , , 学生相互交流分 在一起听着非常刺耳．查阅资料回答什么样的声音合奏起来比较和谐 你能从数学 , 享查阅到的信息和资 角度解释吗 ? 料,信息收集越多,了 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 答 小提琴的协奏 钢琴的和弦等合奏起来比较和谐．和谐的声音组合通常具 : 、 解越深刻,越有利于 􀪋以􀪋和􀪋谐􀪋与嘈􀪋杂􀪋的􀪋 有简单的整数频率比 如纯八度 纯五度 例如小提琴协奏中 当两根琴弦 ( ２∶１、 ３∶２), , 开展后面的实践学习． 声音作为切入点 长度比为简单整数时 如 纯八度 纯五度 其振动频率形成的谐波叠加会 展开讨论,提出 产生协和音程 这样简 ( 单比 ２∶１ 例的音程 、 组 ３∶ 合 ２ 具有 悦 ) 耳 , 效果． 在开展本活动的 问题引导学生查 , “ ” 探究之前,要求学生 任务２ 古代音律学家很早就知道声音悦耳的秘密．由此 音乐家发明了各种 阅资料,并从数 , 制定音乐律制的方法 著名的有中国古代的三分损益法 利用这种方法可以生成 查阅资料,或请教音 学角度解答问 , , 题,将数学与音 宫 商 角 徵 羽 五声音阶．而西方的五度相生律可以生成被命名为 毕达哥拉斯 乐老师了解相关音乐 “ 、 、 、 、 ” “ 乐进行融合．学 音阶 的七声音阶．查阅资料了解这两种音乐律制的制谱方法 它们有什么共通之 知识,包括但不限于: ” , 生在收集资料和 处吗 了解乐音的四个基 汇总的过程中, ? ① 答 数学比例生律 两者均以数学比例为基础确定音高关系．三分损益法通 本要素———音强、音 不仅学习了乐理 :① : 知识,还认识到 过弦长的 三分损一 ( 乘以２ ) 或 三分益一 ( 乘以３ ) 生成新律 五度相生律则 高、音值、音色; ② 乐 数学在音乐律制 “ ” “ ” ; 音的音高与声波的振 ３ ４ 发展中的作用． 以频率比 ３∶２( 纯五度 ) 为核心 , 向上或向下生律．两种方法均依赖简单整数比 ( 如 动频率有关,并了解两 等 构建音阶 体现了对音高数学规律的早期探索． ２∶３,３∶４ ) , １５０教学步骤 师生活动 五度循环逻辑 两者均以纯五度 和纯四度 为核心和谐音程 认为 ② : (３∶２) (４∶３) , 者之间的关系(频率 这些简单比例的音程组合具有 “ 悦耳 ” 效果．例如 , 三分损益法生成的五声音阶 ( 宫 － 越高音调越高); 了 商 角 徵 羽 与五度相生律的七声音阶 均以纯五度为间隔连续生律 这种循 ③ － － － ) , , 解弦的振动频率与弦 环生律方式是中西方古代律学的共同特征 , 符合人类对音高和谐性的早期认知． 长的关系(反比例关 八度不完美性 两种方法均存在 八度不精确 问题 生律循环一周后 无法 ③ : “ ” : , 系,弦长越短,弦的振 精确回归基音的高八度 ( 频率比 ２∶１), 导致 “ 黄钟不能还原 ” ．例如 , 三分损益法生成 动频率越高)． 的十二律中 高八度音的频率比约为 ． 而非精确的 五度相生律同样存在 , ２００３, ２; 毕达哥拉斯音差 需通过调整律数 如增加律数或平均律修正 解决． “ ”, ( ) 任务３ 三分损益法 五度相生律这一类制谱方法 有个共同的问题 它们所 、 , : 生成的音阶都不能回归本律 即所得到的音和最初的音不能形成八度关系．这给音 , 乐作品的转调带来了困难．以三分损益法为例 你能从数学角度解释为什么存在上 , 述不足吗 ? ( ) ( ) 答 三分损益法通过 三分损一 弦长乘２ 和 三分益一 弦长乘４ 生律． : “ ” “ ” ３ ３ ( ) ( ) 生成十二律时 经 次损益后 弦长比为 ２ ６ ４ ６ ． 与八度所需的 , １２ , × ≈０４９３, ３ ３ １ ． 存在差值 无法精确回归基准音的八度 故不能回归本律． (０５) , , ２ 任务４ 为了弥补上述不足 中国历代音律学家不断探索 直到 , , 明代律学家朱载堉 创立了十二平均律 上述问题才得以 (１５３６－１６１１) , 彻底 完整的解决． 、 查阅资料 了解十二平均律的制谱方法． (１) , 由前面的研究可知 十二平均律中相邻两个音的频率之比相 (２) , 等 朱载堉称之为 密率 见 律吕精义 ．事实上 密率 是一个无理数．朱载堉通过 , “ ”( « ») ,“ ” 他自制的一个 档双排位大算盘 如图 成功地算出了 密率 的估计值 将其精确 ８１ ( ) “ ” , 到了 位有效数字 这在当时条件下是难以想象的．他是世界历史上将数学与音乐 ２５ , 完美结合的杰出律学家．试列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值． 答 十二平均律的制谱方法主要基于将一个 :(１) 八度音程均分为 个半音的音律体系 即自然音阶 １２ , 与变化音共同构成 个半音级 简 (CDEFGAB) １２ , 谱用数字 表示自然音阶 采用升降号 表 １~７ , (＃,b) 示变化音 如 相邻两半音的频率比相同 且 ( ＃５,b３), , １ 全音 半音 如图所示 ＝２ , : 将一个八度 频率比 均分为 个半音 设相邻半音频率比为r 连续 (２) ( ２∶１) １２ , , 次乘以r应达到 倍频率 所以r１２ 所以r １２ ． 即十二平均律中 １２ ２ , ＝２, ＝ ２≈１０５９４６, 相邻两个音的频率之比的值约为 ． ． １０５９４６ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 从函数角度分析乐谱 【教学建议】 􀪋探􀪋究􀪋从􀪋函数􀪋的􀪋角􀪋 音乐律制建立之后 人们发明了多种记录乐谱的方式 目前最常用的方法是简 在开展本活动探 , , 度分析乐谱,用 谱和五线谱两种． 究之前,学生需通过 函数图象刻画音 简谱中音符 节拍的记法都采用了数学元素 而五线谱则是一种接近于数学图 查阅资料事先掌握一 、 ; 符的音高与音 形的语言 这是因为在五线谱中 我们能清楚地看到音的高低位置．以歌曲 保卫黄 定五线谱相关乐理知 , , « 值,将音乐知识 河 光未然词 冼星海曲 的片段为例 如图 如果将音符的符头顺次连接 就能得 识,或请教音乐老师, »( , ) ( ), , 与数学知识相融 到一条反映乐曲的音高及音值 时长 变化的旋律线．这条旋律线与刚刚学过的函数 然后对乐谱进行两个 ( ) 合．提升学生的抽 图象是不是有异曲同工之妙 能不能用函数的眼光分析五线谱呢 尝试一下吧 维度(音高、音值)的 ? ? ! 象能力与实践操 拆解．提示学生可通过 作能力,并感受 下面几步完成任务: 数学建模思想在 结合乐音的记谱方 ① 音乐中的应用． 法,在平面直角坐标系 １５１教学步骤 师生活动 任务１ 图象由点组成 在画函数图象时 需要在平面直角坐标系中描出点的 中刻画乐曲的旋律 , , 位置 这就需要先确定点的横 纵坐标．类似地 人们在记谱时 也是通过记录乐音 时,确定横轴和纵轴 , 、 , , 的音高和音值这两个基本要素来记录乐音．查阅资料 分析五线谱是如何记录乐音 各自表示的意义(横 , 的上述两个要素的 五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系中刻画点的位置有 轴表示时间,纵轴表 ? 什么相似性 示音高); 根据五线 ? ② 答 五线谱通过音符在五条平行线 五线谱 及线与线之间的空隙 间 中的垂 谱中记录的音符的位 : ( ) ( ) 直位置来记录音高 位置越高 音高越高 位置越低 音高越低．音值通过音符的形 置和时长,在平面直 , , ; , 状来记录 不同的音符形状 如全音符 二分音符 四分音符等 对应不同的持续时 角坐标系中找到音符 , ( 、 、 ) 间 例如全音符为四拍 二分音符为两拍 四分音符为一拍 以此类推 音符的符头 对应点的位置(每个 , , , , , 、 符干 符尾等组成部分共同决定了音值的长短． 音符首尾对应两个 、 五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系中刻画点的位置的相似性 二者均 点); 用实线表示每 : ③ 通过两个维度的信息来精确定位元素 点或音符 本质上是 二维坐标 思想的应 一个音符的时长,用 ( ), “ ” 用 在平面直角坐标系中 点的位置由横坐标和纵坐标来确定 是通过两个独立的 虚线连接相邻的两个 : , , 坐标参数来定位一个点 在五线谱中 音符的垂直位置 对应坐标系的 纵坐标 决 不同音高的点． 答：图中曲谱下 ; , ( “ ”) 定音高 水平顺序及音符形状 间接对应坐标系的 横坐标 表示时间先后顺序 决 面的 表示以四 , ( “ ”, ) ４ 定音值的时长和演奏顺序 通过 垂直位置 水平 形状信息 两个维度 共同确定一 分音符为 拍， , “ ＋ / ” , １ 设时间的单位长 个音符的完整属性 与平面直角坐标系中用横 纵坐标确定点的位置的逻辑一致． , 、 度为 拍，曲谱 任务２ 能否用函数刻画乐曲的旋律 以图中的乐曲片段为例 思考上述五 【教学建议】 １ ? , 的谱号为G，代 线谱中 在乐谱刻画的时间段内 音符的音高和时长有什么关系 你能在平面直角 注意横轴和纵轴 , , ? 表 基 准 音 为 坐标系中将图中的乐曲片段刻画出来吗 和你的同伴一起尝试一下吧 虽然表示时间和音 ? ! g，对应五线谱 音符的音高随时间的变化而变化．在平面直角坐标系中将图中的乐曲片段刻 高,但它们的单位和 １ 中的第二线，不 画出来如图所示 答案不唯一 ． 单位长度可以根据情 ( ) 妨设其音高为 况自由选择．如左栏任 ，每提高 次 ０ １ 务 中画出的平面直 音阶记为音高多 ２ 角坐标系的纵轴是以 个单位．曲谱中 １ 第一个音符是四 第二线对应的g 音 １ 为基准音,但也可以 分音符，音值为 拍，位于第 高音谱号上的“do”为 １ ３ 间，比第二线音 基准音,其位置为下 高多 ，所以它 加一线,或者以其他 ３ 的首尾两点的坐 线(间)为基准音均 标分别为（ ， 本任务注意 内容见左侧 可,所以学生画出来 ０ ( : ) ），（ ， ）；第 任务３ 通过上述步骤 可以在平面直角坐标系中作出刻画音乐旋律的图象． 的图象会有所区别, ３ １ ３ , 二个音符是八分 和你的同伴交流以下问题 这是由纵轴上原点位 : 音符，音值为 看看画出的曲线是否一致 如果不一致 分析其中的原因． 置的选取不一造成 ０ 间 ５ ． ， 拍 比 ， 第 位 二 于 线 第 音 ３ ( ( １ ２ ) ) 任务 ２ 中在平面直角坐标 ? 系中刻画的音 , 乐旋律是否可以视为函数图象 ? 的,只要符合题意的 高多 ，所以它 为什么 ? 答案均可． 的首尾 ３ 两点的坐 答 :(１) 学生根据自己的作图 , 交流作答． 【教学建议】 可以视为一条函数曲线 理由 由图可以看出 音高随时间的变化而变化 标分别为（ ， (２) , : , , 图中曲谱下面的 １ 对于每一个时刻 都有唯一确定的音高与之对应 所以在平面直角坐标系中刻画的 ），（ ．， ）； , , 表示以四分音符为 ３ 以此类 １ 推 ５ … ３ … 音乐旋律可以视为一条函数曲线． ４ 拍,设时间的单位长 １ 任务４ 把五线谱看作平面直角坐标系 , 为我们用数学的眼光欣赏音乐旋律 度为 拍,曲谱为高音 １ 提供了工具．自选一首歌 ( 乐 ) 曲 , 把其中一段旋律的五线谱表现在你建立的平面直 谱号,“do”的位置在 角坐标系中 , 分析所画的曲线是否可以视为函数图象． 下加一线,不妨设其 答 学生自主作答 以下是举例 : , : 音高为 ,每提高 次 ０ １ 音阶记为音高多 个 １ 单位．曲谱中第一个音 １５２教学步骤 师生活动 如图是歌曲 大鱼 的部分曲谱 将音乐旋律刻画在平面直角坐标系中如图所 符是八分音符,音值为 “ ” , 示．由图可以看出 音高随时间的变化而变化 对于每一个时刻 都有唯一确定的音 ．拍,位于第 间,比 , , , ０５ ４ 下加一线音高多 ,所 高与之对应 , 所以所画曲线可以视为函数图象． ９ 以它的首尾两点的坐 标分别为(,),(．, ０９ ０５ );第二个音符是八分 ９ 音符,音值为 ．拍,位 ０５ 于第 线,比下加一线 ４ 音高多 ,所以它的首 ８ 尾两点的坐标分别为 (．,),(,);以此类 ０５８ １８ 推􀆺􀆺 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点３ 乐器的分析与制作(选做) 􀪋将􀪋音􀪋乐􀪋知􀪋识与􀪋数􀪋 各种乐器的制作离不开数学知识 例如 笛子等管乐器的开孔位置 三角钢琴 , , 、 学知识相融合,以 的外形轮廓线等都有数学依据作支撑 体现了数学与音乐的密切联系． , 及锻炼学生动手 任务１ 选择一种乐器 借助活动一中学过的音乐律制的知识 分析乐器结构 , , 操作方面的能力． 中蕴含的数学知识． 【教学建议】 学生自主作答 以下是举例 , : 这部分属于选做 答 以古筝为例 其结构中蕴含的数学元素主要体现在以下几个方面 : , : 内容,学生根据自己 古筝的弦长与音高严格遵循反比例关系 通过精确计算弦长比例实现不同 ① , 的实际经验,或查阅 音高的划分．例如 , 相邻弦长比约为 １ ． ０５９４( 十二平均律的 ２ 的 １２ 次方根 ), 确保半 搜集资料后作答,或 音阶的均匀分布． 动手操作制作乐器, ② 共鸣箱内的音梁采用黄金分割比例 ( 约 ０ ． ６１８) 排列 , 以增强低频共振．例如 , 主 完成后可邀请音乐老 音梁与侧板距离通常设置为箱体长度的 ６１ ． ８ ％ , 这种设计能最大化声音的丰满度． 师参与点评． 古琴面板上的 个徽位暗合斐波那契数列 的组合 其中第 ③ １３ (５,８,１３ ), ５,８,１３ ( ) 徽位分别对应泛音列的关键节点 这些位置通过弦长分数比 如１ １ 精确确定． , , ３ ５ 任务２ 尝试自制一个小乐器 和同学比较一下看谁制作的乐器音准更好． , 答 学生自主动手操作 交流作答． : , 【课堂总结】师生一起回顾本节综合与实践课的主要内容 请学生回答问题 , : ．音乐律制中蕴含了哪些数学原理 以三分损益法为例进行说明． １ ? 活动三:课堂总 ．你能从函数角度分析某段乐谱 并将其用函数图象刻画出来吗 举例说明． ２ , ? 结,作业布置 ．乐器中蕴含哪些数学知识 你能制作简易乐器吗 选做 ３ ? ? ( ) 【作业布置】 根据活动中各种提问及解答 分组制作一份完整的研究报告． , 综合与实践 音乐与数学 板书设计 ．探究音乐律制中蕴含的数学原理． １ ．从函数角度分析乐谱． ２ 本节活动实践课以经典古诗描绘的情境作为切入点 首先探讨了和谐的声音与数学的关系 以此为基 , , 础进一步探究音乐律制中蕴含的数学原理 然后以五线谱为例 引导学生将其中蕴含的元素用函数图象来 , , 教学反思 刻画 进而实现了音乐与数学的深度融合 最后探索乐器中包含的数学元素及制作简易乐器 为本节课的探 , , , 究画上完美句点．本节课综合性强 操作性强 实践意义重大 学生动手操作 亲身实践 既能培养优秀的学 , , , , , 习习惯 也培养了综合实践能力与应用能力． , １５３第二十四章 数据的分析 ２４．１ 数据的集中趋势 ２４．１．１ 平均数 第 课时 平均数 １ 教学目标 课题 ．． 第 课时 平均数 授课人 ２４１１ １ ．理解数据的权和加权平均数的概念 理解加权平均数在数据统计中的意义和作用． １ , ．会根据简单的算术平均数和加权平均数的计算公式进行有关计算 发展初步的统计意识和数据处理能力． 素养目标 ２ , ．明确加权平均数与算术平均数的区别和联系 感受加权平均数在现实生活中的广泛应用． ３ , ．理解把算术平均数的简便算法看成加权平均数的道理 进一步加深对加权平均数的认识． ４ , 教学重点 加权平均数概念的理解以及运用加权平均数解决实际问题． ．理解权的差异对平均数的影响． 教学难点 １ ．对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解． ２ 教学活动 教学步骤 师生活动 【问题导入】 活动一:提出问 (教材 问题 )甲 乙两组同学的跳绳成绩 单位 次 如下 题,导入新课 P１４９ １ 、 ( : /min) : 甲组 １８２ １９４ １４３ １８５ １５６ 乙组 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １９９ １４８ ２４２ １７０ １４１ 现在要比较甲 乙两组的跳绳成绩 我们要用到哪一个统计量 请求出这 (１) 、 , ? 【教学建议】 􀪋通􀪋过􀪋简􀪋单的􀪋对􀪋算􀪋 个统计量． 引导学生回顾平 术平均数的复 答 需要用到平均数． : 均数的计算公式,由 习,为新知识的 学习奠定基础, 甲组跳绳成绩的平均数为１８２＋１９４＋１４３＋１８５＋１５６ ＝１７２; 学生自行求值,并指 ５ 定学生代表回答,同 并进行比较． 乙组跳绳成绩的平均数为１９９＋１４８＋２４２＋１７０＋１４１ ． ＝１８０ 时引导学生思考能否 ５ 你认为哪组的跳绳成绩更好 用跳绳成绩的总数比 (２) ? 答 由于乙组的跳绳成绩的平均数大于甲组的 所以乙组的跳绳成绩更好． 较两组跳绳成绩． : , x x 􀆺 x 概念引入:一般地,有n个数据x,x,􀆺,x,我们把 １＋ ２＋ ＋ n叫作这 １ ２ n n n个数据的平均数,记作“x”． 平均数反映了一组数据的平均水平,是刻画数据集中趋势最常用的统计量．本 节课我们将对平均数进行进一步的探究． 探究点 加权平均数 【教学建议】 活动二:问题探 １．权表示数据的重要程度(权以比例的形式出现) 教师通过问题串 究,引出新知 问题１ [教材 问题 ()]一家公司打算招聘一名英文翻译．对甲 乙两 的形式引导学生得出 P１５０ ２１ 、 名应试者进行了听 说 读 写的英语水平测试 他们的各项成绩 百分制 如表所 权及加权平均数的基 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 、 、 、 , ( ) 示．如果这家公司想招一名综合能力较强的英文翻译 计算两名应试者的平均成 本概念．教学过程中要 , 􀪋通􀪋过􀪋计􀪋算平􀪋均􀪋数􀪋 绩．从他们的成绩看 应该录取谁 注意告知学生:权能 的不同方式以及 , ? 够反映数据的相对重 学生可能的常见 应试者 听 说 读 写 要程度,权的改变会 错误,强化对权 甲 的认识,理解权 ８５ ７８ ８５ ７３ 影响这组数据的平均 乙 的重要性． ７３ ８０ ８２ ８３ 水平． １５４教学步骤 师生活动 解 甲的平均成绩为８５＋７８＋８５＋７３ ． : ＝８０２５, ４ 乙的平均成绩为７３＋８０＋８２＋８３ ．． ＝７９５ ４ 因为甲的平均成绩比乙的高 所以应该录取甲． , 如果计算平均成绩的话 显然甲的平均成绩较高 但是在现实生活中 公司往 , , , 往更看重翻译的笔译能力 那么应该怎样设计成绩评比的方案呢 我们一起来看 , ? 下面的问题 : 问题２ [教材 问题 ()]如果这家公司想招一名笔译能力较强的英文 P１５０ ２２ 翻译 用简单的算术平均数来衡量他们的成绩合理吗 如果听 说 读 写成绩按照 , ? 、 、 、 的比确定 应该录取谁 ２∶１∶３∶４ , ? 解 不合理．如果听 说 读 写成绩按照 的比确定 那么甲的平均成绩为 : 、 、 、 ２∶１∶３∶４ , ８５×２＋７８×１＋８５×３＋７３×４ ．乙的平均成绩为７３×２＋８０×１＋８２×３＋８３×４ ＝７９５, ＝ ２＋１＋３＋４ ２＋１＋３＋４ ．．因为乙的平均成绩比甲的高 所以应该录取乙． ８０４ , 问题３ 比较问题 和问题 中的数据 他们在重要程度上有什么不同 １ ２ , ? 答 问题 中的数据被认为是同等重要 问题 是根据实际需要对不同的数据 : １ , ２ 赋予与其重要程度相应的权重． 即 问题 中的 分别称为听 说 读 写四项成绩的权． : ２ ２,１,３,４ 、 、 、 问题４ 说一说问题 中听 说 读 写四项成绩的权是多少 问题 这四项中 １ 、 、 、 ? ２ 哪一项最重要 ? 答 问题 中听 说 读 写四项成绩的权都是 问题 这四项中 写 最重要． : １ 、 、 、 １, ２ “ ” 问题５ 能把问题 中这种平均数的计算方法推广到一般吗 能 ． ２ ? 概念引入:一般地,若n个数x,x,􀆺,x 的权分别为w ,w ,􀆺,w ,则 n n １ ２ １ ２ xw xw 􀆺 xw １ １＋ ２ ２＋ ＋ n n叫作这n个数的加权平均数． w w 􀆺 w １＋ ２＋ ＋ n 问题６ 利用上面提到的权和加权平均数的有关知识 我们再来看一个问题 , : (教材 思考)如果这家公司想招一名口语能力较强的英文翻译 听 说 P１５１ , 、 、 读 写成绩按照 的比确定 那么甲 乙两人谁将被录取 、 ３∶３∶２∶２ , 、 ? 解 甲的平均成绩为８５×３＋７８×３＋８５×２＋７３×２ ． : ＝８０５, ３＋３＋２＋２ 乙的平均成绩为７３×３＋８０×３＋８２×２＋８３×２ ．． ＝７８９ ３＋３＋２＋２ 因为甲的平均成绩比乙的高 所以甲将被录取． , 问题７ 综合以上问题的分析 你认为权在加权平均数的计算中对结果有何 , 【教学建议】 影响 ? 启发学生思考例 答 通过上述问题的分析 我们可以发现权能够反映数据的相对重要程度 权 : , , 中的权的含义,及它 的改变一般会影响这组数据的平均水平 它对最后的结果也会产生很重要的影响．１ , 与问题 中的权的含 某一项的权越大 说明此项越重要 那么此项的成绩越高 被录取的可能性也越大． ２ , , , 义是否相同．这里它是 ２．权表示数据的重要程度(权以百分比的形式出现) 以百分比的形式出现 例１ (教材 例 )一次演讲比赛中 评委将从演讲内容 语言表达 形象 P１５１ １ , 、 、 的,这一点要让学生 风度三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计 然后再按演讲内容占 ％ 语 , ５０ 、 进行体会,以加深对 言表达占 ％ 形象风度占 ％ 计算选手的综合成绩．进入决赛的前两名选手的 ４０ 、 １０ , 加权平均数的认识． 单项成绩如表所示 请确定两人的名次． , 选手 演讲内容 语言表达 形象风度 A ８５ ９５ ９５ B ９５ ８５ ９５ １５５教学步骤 师生活动 解答前提问 这里 演讲内容 语言表达 形象风度 成绩的权是以什么形式出 : “ 、 、 ” 现的 各是多少 哪一项最重要 ? ? ? 答 演讲内容 语言表达 形象风度 成绩的权是以百分比的形式出现的 分别 :“ 、 、 ” , 是 ％ ％ ％ 演讲内容 最重要． ５０ ,４０ ,１０ ,“ ” 写出例 的解答过程． １ ％ ％ ％ 解 选手 的综合成绩是８５×５０ ＋９５×４０ ＋９５×１０ ． : A ％ ％ ％ ＝９０ ５０ ＋４０ ＋１０ ％ ％ ％ 选手 的综合成绩是９５×５０ ＋８５×４０ ＋９５×１０ ． B ％ ％ ％ ＝９１ ５０ ＋４０ ＋１０ 因为 所以选手 获得第一名 选手 获得第二名． ９０＜９１, B , A 解答后提问 两名选手的单项成绩都是两个 分和一个 分 为什么他们的 : ９５ ８５ , 综合成绩不同呢 ? 答 因为每一项的权不同 也就是重要程度不同 计算时不只看单项成绩 还要 : , , , 看权的大小． 归纳总结:在加权平均数中,百分比越大,也就是权越大,代表此项内容越重要． 【对应训练】 教材 练习． P１５２ 例２ 某班要从甲 乙 丙三名候选人中选出一名参加英语竞赛 对三人进行 活动三:知识运 、 、 , 了笔试和口试 测试成绩如表 用,巩固提升 , : 测试 测试成绩/分 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 项目 甲 乙 丙 【教学建议】 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生对􀪋加􀪋权􀪋 笔试 注意提醒学生: ７０ ８０ ８５ 平均数的认知, ()加权平均数 口试 １ 能运用加权平均 ９０ ７０ ６５ 不仅与每个数据有 班上 名学生又对这三名候选人进行了民主投票 三人的得票率 没有弃权 数解决实际问题． ５０ , ( 关,还受每个数据权 票 每名学生只能投一票 如图所示 每得一票记 分． , ) , １ 的影响,权越大,对平 甲的得票分为 分 乙的得票分为 分 丙的得票分为 分 (１) １５ , １５ , ２０ ; 均数的影响越大,反 如果三项得分的平均成绩最高者去参赛 那么 甲 将去参赛 (２) , ; 之越小． 如果笔试 口试 投票三项成绩按照 的比确定 平均成绩最高者去参 (３) 、 、 ５∶３∶２ , ()权的表现形 赛 那么谁将去参赛 ２ , ? 式有比例、百分比、数 解 : x甲 ＝ ７０×５＋９０×３＋１５×２ ＝６５, 据出现的次数等几种 ５＋３＋２ 情况． x乙 ＝ ８０×５＋７０×３＋１５×２ ＝６４, ５＋３＋２ x丙 ８５×５＋６５×３＋２０×２ ． ＝ ＝６６ ５＋３＋２ 因为 所以丙将去参赛． ６６＞６５＞６４, 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 加权平均数中 权的作用是什么 加权平均数的计算公式是什么 当一组数据中有多个数据重复出现 , ? ? 时 如何简便地计算这组数据的平均数 , ? 活动四:随堂训 【知识结构】 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１６４~１６５ ２４１ ５,６,８ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » １５６教学步骤 师生活动 ．． 平均数 ２４１１ 第 课时 平均数 １ ．平均数． １ 板书设计 ．加权平均数的概念 ２ : xw xw xw 一般地 若n个数x x x 的权分别是w w w 则 １ １＋ ２ ２＋􀆺＋ n n叫作这n个数 , １,２,􀆺,n １,２,􀆺,n, w １＋ w ２＋􀆺＋ w n 的加权平均数． 本课时先探究平均数 再通过探究不同的求解方式发现加权平均数 在学习过程中体会权的重要性 掌 , , , 教学反思 握加权平均数的概念与计算公式 学会分析数据并利用数据指导我们的学习和生活． , 本节课培养了学生的数学思维能力 让学生从生活中学习数学 体现了数学来源于生活并应用于生活． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １５７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 平均数与加权平均数 (１) 若x ＝n １ ( x １＋ x ２＋ x ３＋􀆺＋ x n), y ＝n １ ( y １＋ y ２＋ y ３＋􀆺＋ yn), 则有下列结论 : ① x １± y １, x ２± y ２, x ３± y ３,􀆺, x n± yn 的平均数为x ± y ; ② x １, y １, x ２, y ２, x ３, y ３,􀆺, x n, yn 的平均数为１ ( x ＋ y ); ２ ax bax bax b ax b的平均数为ax b． ③ １＋ , ２＋ , ３＋ ,􀆺, n＋ ＋ 平均数与一组数据中的每个数据都有关系 当一个数据发生变化时 会影响整组数据的平均数． (２) , , 算术平均数是加权平均数的特例．加权平均数的实质就是考虑不同权重的平均数 当加权平均数的各项的权相等 (３) , 时 就变成了简单的算术平均数． , 例 小军八年级下学期的数学成绩如表所示 : 平时 测验类别 期中考试 期末考试 测验 测验 测验 测验 １ ２ ３ ４ 成绩/分 ９０ ９５ ８５ ９０ ８８ ９２ 计算小军下学期平时的平均成绩 (１) ; 如果学期总评成绩按扇形图所示的权重计算 那么小军下学期的总评成绩是多少分 (２) , ? 解: ． (１)(９０＋９５＋８５＋９０)÷４＝９０ 答 小军下学期平时的平均成绩是 分． : ９０ ％ ％ ％ ．． (２)９０×１０ ＋８８×４０ ＋９２×５０ ＝９０２ 答 小军下学期的总评成绩是 ．分． : ９０２ 培优点 加权平均数的综合应用 例１、例２ 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 计算分组数据的平均数或百分数 ２ 教学目标 课题 ．． 第 课时 计算分组数据的平均数或百分数 授课人 ２４１１ ２ ．能够计算分组数据的平均数或百分数． １ ．能够用分布式计算的方法求平均数． 素养目标 ２ ．能够用取组中值的方法求平均数． ３ ．了解利用计算器的统计功能求平均数的操作步骤． ４ 教学重点 能根据频数分布表利用组中值应用公式计算加权平均数． 教学难点 能根据频数分布表利用组中值应用公式计算加权平均数． 教学活动 教学步骤 师生活动 【置疑导入】 活动一:设置疑 在上一课时我们都知道了在已知确切的原始数据情况下如何求平均数,但有时 问,导入新课 【教学建议】 我们不知道确切的原始数据,只知道原始数据在一个范围内,比如下面这个问题: 让学生发表自己 某校调查了 名学生,得到他们在一周内做家务所用时间的情况如表所示: 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ５０ 的见解,思考如何选 时间/ t t t t t 取数据,并用对应数 􀪋通􀪋过􀪋置􀪋疑的􀪋方􀪋式􀪋 h ０≤ ＜１ １≤ ＜２ ２≤ ＜３ ３≤ ＜４ ４≤ ＜５ 人数 据计算平均数,为本 吸引学生注意 ８ １４ ２０ ６ ２ 节课的学习做好铺垫． 力,激发对新知 这里给定的时间是一个范围,不知道原始数据,如何求该校 名学生平均每 ５０ 识的渴望． 人在一周内做家务所用时间呢? 这一课时我们就一起探讨解决这类问题． 探究点１ 计算分组数据的平均数或百分数 活动二:问题引 例１ (教材 例 )某天访问 两个新闻类网站的用户数分别为 ７ 入,自主探究 P１５２ ２ A,B ３×１０ 和 ７ 如表是用户在每个网站的停留时间和关于军事话题调查的统计结果． １×１０, 网站 停留时间的平均数/ 对军事话题感兴趣的百分比/％ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 h ． 􀪋通􀪋过􀪋计􀪋算多􀪋组􀪋数􀪋 A ０５ ２４ 据中的平均数或 ． B ０７ ３２ 百分数,强化学 (１) 这天两个网站所有用户停留时间的平均数是 ０ ． ５ 和 ０ ． ７ 的平均数吗 ? 若不 【教学建议】 生对权和加权平 是 , 请求出正确的平均数． 教师注意引导学 均数的认识． 解 : 不是．因为访问两个网站的用户数不同 , 所以需要通过加权平均数来进行 生:例 中问题的本意 计算．根据平均数和总数的关系 , 可以计算出两个网站所有用户停留时间的平均数 为将两 １ 个网站的数据 为０ ． ５×３×１０ ７ ＋０ ． ７×１×１０ ７ ． ． 合并到一起后,求所 ３×１０ ７ ＋１×１０ ７ ＝０５５ 有数据的平均数．计算 这天两个网站所有用户对军事话题感兴趣的百分比是 ％与 ％的平均 (２) ２４ ３２ 过程可类比加权平均 数吗 若不是 请求出正确的百分比． ? , 数的计算公式,方便 解 不是．同 可求得两个网站所有用户对军事话题感兴趣的百分比为 : (１) 学生理解． ％ ７ ％ ７ ２４ ×３×１０＋３２ ×１×１０ ％ ３ ％ １ ％． ７ ７ ＝２４ × ＋３２ × ＝２６ ３×１０＋１×１０ ４ ４ 归纳总结:计算分组(两组或更多组)数据的平均数或百分数,只需知道两类信 息:一是每组数据的平均数或百分数,二是每组数据的个数(频数),或每组数据个 数所占的比值(频率)．根据这两类信息,以频数或频率为权,通过计算加权平均数 就可以得到结果． 【对应训练】 教材 练习第 题． P１５４ ２ １５８教学步骤 师生活动 设计意图 探究点２ 利用组中值求加权平均数 􀪋通􀪋过􀪋提􀪋问􀪋的方􀪋式􀪋 (教材 探究)为了解 路公共汽车的运营情况 公交部门统计了某天 路 P１５３ ５ , ５ 引发学生思考,在 公共汽车每个运行班次的载客量 得到下表． , 计算过程中巩固 载客量x/人 班次(频数) 载客量x/人 班次(频数) 利用组中值求加 权平均数的方法． １≤ x ＜２１ ３ ６１≤ x ＜８１ ２２ x x ２１≤ ＜４１ ５ ８１≤ ＜１０１ １７ x x ４１≤ ＜６１ ２０ １０１≤ ＜１２１ １５ 这天 路公共汽车平均每班的载客量是多少 结果取整数 ５ ( )? 说明:我们解决这类问题需要引入组中值的概念．即:数据分组后,一个小组的 组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如,小组 x 的组中值为 １≤ ＜２１ １＋２１ ． ＝１１ 【教学建议】 ２ 解答前提问 上述问题中每组的 数据 是什么 每组数据的权是什么 学生独立思考问 : “ ” ? ? 答 每组的 数据 是各组的组中值 每组数据的权是频数． 题,这一部分可看作是 : “ ” , 写出该问题的解答过程． 对加权平均数的计算 解 : 经计算 , 得到各组的组中值分别为 １１,３１,５１,７１,９１,１１１, 方法的巩固练习．教师 所以这天 路公共汽车平均每班的载客量约是 注意引导学生认识到: ５ 由于原始数据未知,求 x １１×３＋３１×５＋５１×２０＋７１×２２＋９１×１７＋１１１×１５ 人 ． ＝ ３＋５＋２０＋２２＋１７＋１５ ≈７３( ) 出的加权平均数是一 解答后提问 你认为上面得到的 平均数 是精确值吗 为什么 :(１) “ ” ? ? 个近似的估计值． 答 上面得到的 平均数 不是精确值．因为我们不知道原始数据 组中值只能 : “ ” , 近似地代表本小组数据的一般水平 所以利用组中值以及频数求得的加权平均数 , 是一个近似的估计值． 用组中值求加权平均数类似于哪种表现形式 (２) ? 答 类似于多个数据重复出现时求平均数． : 归纳总结:根据频数分布表或频数分布直方图求加权平均数时,统计中常用各 组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权． 试一试:解答活动一中的问题．求该校 名学生平均每人在一周内做家务所 ( ５０ 用时间 ) 【对应训练】 ．若一组数据的范围是 则这组数据的组中值为 １ ３５~６５, (C ) A􀆰３５ B􀆰４５ C􀆰５０ D􀆰６５ ．教材 练习第 题． ２ P１５５ ３ 例２ 九年级某班体育委员小刚在全班学生进行体检后 统计了本班男生的 活动三:重点突 , 身高情况 绘制了如下频数分布直方图 试求本班男生的平均身高． 破,提升探究 , , 解 图中数据共分为 组 组中值分 : ４ , 【教学建议】 别为 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １５０,１６０,１７０,１８０, 在求与统计图有 则图中这组数据的平均数为 􀪋加􀪋深􀪋学􀪋生对􀪋加􀪋权􀪋 关的加权平均数时, 平均数的理解, １５０×３＋１６０×５＋１７０×１０＋１８０×２ 要先读懂统计图,从 锻炼学生从统计 ３＋５＋１０＋２ 统计图中获取信息, ．． 图中获取信息并 ＝１６５ 所 ５ 以本班男生的平均身高为 ． ． 再结合加权平均数进 进行计算的能力．【对应训练】 １６５５cm 行计算． 在例 中 若该班共有 名学生 且女生的平均身高为 ． 则全班学生 ２ , ４２ , １６２５cm, 的平均身高为 ． ．结果保留小数点后一位 １６３９ cm( ) １５９教学步骤 师生活动 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 如何计算分组数据的平均数或百分数 如何利用组中值求加权平均数 统计图中数据的加权平均数 ? ? 应如何计算 ? 活动四:随堂训 【知识结构】 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１６３~１６５ ２４１ ２,７,９ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 平均数 ２４１１ 第 课时 计算分组数据的平均数或百分数 板书设计 ２ ．计算分组数据的平均数或百分数． １ ．利用组中值求加权平均数． ２ 本节课通过探究在分组数据中 直接应用加权平均数的计算公式求平均数或百分数 或在频数分布表 , , 教学反思 中 利用组中值及加权平均数的计算公式估算平均数 强化了学生对加权平均数计算公式的认识及应用 培 , , , 养了学生的数学思维能力 进一步强化学生通过统计图表获取信息及分析数据的能力． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １６０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 统计图中加权平均数的计算 例 某学校为了了解八年级学生每周体育锻炼时间的情况 随机抽查了该年级的部分学生 对其每周锻炼时间t单位 , , ( : 进行统计 根据统计数据绘制成图 和图 两个不完整的统计图． h) , ① ② 请你根据统计图提供的信息 回答下列问题 , : 本次共抽取学生 人 并将图 补充完整 (１) ６０ , ① ; 求出这组数据的平均数 (２) ; 若该校八年级共有学生 人 估计该校八年级每周体育锻炼时间为 的学生有多少人 (３) １８００ , ３h ? 解: 解析:由扇形图知, 所对应的人数所占的百分比为９０° (１) ２h × ３６０° ％ ％,所以本次共抽取的学生人数为 ％ ．故答案为 ． １００ ＝２５ １５÷２５ ＝６０ ６０ 所对应的人数为 补全条形图如图 ３h ６０－(１０＋１５＋１０＋５)＝２０, ① 所示． 平均数为１×１０＋２×１５＋３×２０＋４×１０＋５×５ ． ． (２) ＝２７５ ６０ 估计该校八年级每周体育锻炼时间为 的学生有 ２０ 人 ． (３) ３h １８００× ＝６００( ) ６０ 培优点 统计图表中加权平均数的应用 例 例题可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 用样本的平均数估计总体的平均数 ３ 教学目标 课题 ．． 第 课时 用样本的平均数估计总体的平均数 授课人 ２４１１ ３ 素养目标 体会用样本的平均数估计总体的平均数的思想与方法 形成良好的数学思维习惯和应用意识． , 教学重点 用样本的平均数估计总体的平均数． 教学难点 结合图表计算加权平均数并由此估计总体的平均数． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:创设情 某中学举行“读书节”活动,对八年级()班 名学生所阅读书籍数量情况进 境,导入新课 １ ４８ 行统计,统计结果如表所示: 【教学建议】 阅读书籍数量/本 教师可引导学生 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １ ２ ３ ４ 回顾七年级学习的抽 人数/人 􀪋以􀪋实􀪋际􀪋情境􀪋抽􀪋象􀪋 １５ １８ １０ ５ 样调查和用样本估计 出数学问题,激 你能求出这组数据的平均数吗? 发学生的好奇心 总体相关内容,为本 和求知欲,引入 解:x １×１５＋２×１８＋３×１０＋４×５ ．．这组数据的平均数约为 ．． 课时的探究作铺垫． ＝ ≈２１ ２１ 本节课要探究的 ４８ 能由这 名学生平均阅读书籍的数量估计八年级全体学生平均阅读书籍的 内容． ４８ 数量吗? 本节课我们将讨论解决这类问题． 探究点 用样本的平均数估计总体的平均数 活动二:问题探 例１ (教材 例 )从校医务室的体检数据中 随机抽查了 名八年级学 究,引出新知 P１５５ ３ , ２０ 生 他们的身高 单位 如下 , ( :cm) : 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １６２ １５２ １６６ １８５ １６７ １７５ １６９ １６３ １６８ １８４ 􀪋通􀪋过􀪋对􀪋具􀪋体问􀪋题􀪋 １７７ １６２ １５７ １５４ １７１ １６９ １７１ １６９ １７５ １６４ 求这 名八年级学生的平均身高． 的分析得到用样 (１) ２０ 本的平均数估计 解 这 名八年级学生的身高的平均数为x １６２＋１５２＋􀆺＋１６４ ． : ２０ ＝ ＝１６８ ２０ 【教学建议】 总体的平均数的 这 名八年级学生的平均身高为 ． ２０ １６８cm 教师提醒学生:一 一般解题思路,感 在七年级第 章 我们学习了抽样调查 你认为这组数据能够代表全校八 (２) １２ , , 般可以由样本的统计 受用样本估计总 年级学生的身高水平吗 ? 量特征估计总体具有 体的合理性和必 答 因为这 个数据是通过随机抽样得到的 具有代表性 所以这组数据能够 要性． 代表全校 : 八年级 ２０ 学生的身高水平． , , 相同的统计量特征．就 平均数而言,先计算样 估计这所学校八年级学生的平均身高． (３) 本数据的平均数,由此 答 由 可知 这 名八年级学生的平均身高为 由此可以估计这所 : (１) , ２０ １６８cm, 可估计总体数据的平 学校八年级学生的平均身高大约为 ． １６８cm 均数与之相同． 例２ (教材 例 )为测量一批节能灯的使用寿命 从中随机抽查了 盏 P１５５ ４ , ５０ 节能灯 它们的使用寿命如表所示．这批节能灯的平均使用寿命是多少 , ? 使用寿命x/ 灯泡数/盏 使用寿命x/ 灯泡数/盏 h h x x ７０００≤ ＜８０００ ４ １００００≤ ＜１１０００ １８ x x ８０００≤ ＜９０００ ９ １１０００≤ ＜１２０００ ７ x ９０００≤ ＜１００００ １２ １６１教学步骤 师生活动 解 根据表格 可以得出各组的组中值 于是样本使用寿命的平均数为 : , , x ７５００×４＋８５００×９＋９５００×１２＋１０５００×１８＋１１５００×７ ． ＝ ＝９８００ ５０ 可以估计这批节能灯的平均使用寿命大约是 ． ９８００h 解答后提问 这批节能灯的平均使用寿命可以用全面调查的方法考察吗 :(１) ? 为什么 ? 答 不可以． : 因为该调查带有破坏性 只能通过抽样调查 利用部分灯泡的平均使用寿命估 , , 计这批灯泡的平均使用寿命 即用样本的平均数估计总体的平均数． , 为什么这 只节能灯的使用寿命可以代表这一批灯泡的使用寿命 (２) ５０ ? 答 因为抽样调查是随机的 具有代表性． : , 【对应训练】 ．教材 练习． １ P１５６~１５７ ．某部队为测量一批新制造的炮弹的杀伤半径 从中随机抽查了 枚炮弹 ２ , ５０ , 它们的杀伤半径 单位 如表 ( :m) : 杀伤半径/ x x x x m ２０≤ ＜４０ ４０≤ ＜６０ ６０≤ ＜８０ ８０≤ ＜１００ 数量/枚 ８ １２ ２５ ５ 这批炮弹的平均杀伤半径是多少米 ? 解 由表可得出各组数据的组中值分别是 : ３０,５０,７０,９０, 则这 枚炮弹的平均杀伤半径为３０×８＋５０×１２＋７０×２５＋９０×５ ．． ５０ ＝６０８ ５０ 故估计这批炮弹的平均杀伤半径大约是 ． ． ６０８m 例３ 教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示我国八年级学生平均每 活动三:知识运 天的睡眠时间在 的比例为 ．％．某校数学社团成员采用简单随机抽样的 用,巩固提升 ９~１０h １９４ 方法 抽取了本校八年级 名学生 对他们一周内平均每天的睡眠时间 单位 , ５０ , ( :h) 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 进行了调查 , 将数据整理后绘制如表．该样本中学生平均每天的睡眠时间在 ９~ 的比例高于全国的这项数据 达到了 ％． 􀪋加􀪋深􀪋学􀪋生对􀪋求􀪋解􀪋 １０h , ２２ 平均每天的 组中值与用样本 t t t t t 平均数估计总体 睡眠时间/ ５≤ ＜６ ６≤ ＜７ ７≤ ＜８ ８≤ ＜９ ９≤ ＜１０ h 【教学建议】 平均数的理解与 频数 m n 学生独立思考并 １ ５ ２４ 运用． 求表格中n的值 解答问题,教师应提 (１) ; 若该校八年级共有 名学生 试估计该校八年级学生平均每天的睡眠 醒学生注意在求频数 (２) ４００ , 时间． 分布表或频数分布直 解 n ％ ． 方图中的平均数时组 :(１)＝５０×２２ ＝１１ m ． 中值的求法,这里未 (２) ＝５０－１－５－２４－１１＝９ 各组的组中值分别为 ． ． ． ． ． 直接给出． ５５,６５,７５,８５,９５, 则抽取的 名学生平均每天的睡眠时间是１ ． ． ． ５０ ×(５５×１＋６５×５＋７５×９＋ ５０ ． ． ． ． ８５×２４＋９５×１１)＝８２８ 故估计该校八年级学生平均每天的睡眠时间大约为 ． ． ８２８h 【对应训练】 某中学为加强学生的劳动教育 需要制定学生每周劳动时间 单位 的合格 , ( :h) 标准 为此随机调查了 名学生目前每周劳动时间 获得数据并整理如表． , １００ , １６２教学步骤 师生活动 每周劳动 ． x ． ． x ． ． x ． ． x ． ． x ． 时间/ ０５≤ ＜１５ １５≤ ＜２５ ２５≤ ＜３５ ３５≤ ＜４５ ４５≤ ＜５５ h 人数 a ３０ １９ １８ １２ a (１)＝ ２１ ; 估计该校学生目前每周劳动时间的平均数 (２) ; 请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准 时间取整数小时 并 (３) ( ), 用学过的统计学知识说明其合理性． 解 解析:由题意,得a ．故答案为 ． :(１) ＝１００－３０－１９－１８－１２＝２１ ２１ １×２１＋２×３０＋３×１９＋４×１８＋５×１２ ． (２) ＝２７, １００ 所以估计该校学生目前每周劳动时间的平均数大约为 ． ． ２７h 答案不唯一 言之有理即可 制定标准的原则 既要让学生有努力的方向 (３)( , ) : , 又要有利于学生建立达标的信心．从平均数看 标准可以定为 ．理由 平均数为 , ３h : ． 说明该校学生目前每周劳动时间的平均水平为 ． 把合格标准定为 ２７h, ２７h, ３h, 至少有 ％的学生目前每周劳动时间能达标 同时至少还有 ％的学生未达标 ３０ , ５１ , 这样使多数学生有更高的努力目标． 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 在频数分布表和频数分布直方图中怎样求组中值 在抽样调查得到样本数据后 你如何处理样本数据 ? , 并估计总体数据的集中趋势 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１６４ ２４１ ３ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 平均数 ２４１１ 板书设计 第 课时 用样本的平均数估计总体的平均数 ３ 用样本的平均数估计总体的平均数． 本节课通过创设情境和复习抽样调查导入 引发学生对于实际问题数学化的思考 并通过大量生活实 , , 教学反思 例的研究加深了学生对于用样本的平均数估计总体的平均数的理解 让学生体会用样本估计总体的思想 , , 感受样本代表性的意义 从而形成良好的数学思维习惯和应用意识． , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １６３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面的二维码下载获取． &２４．１．２ 中位数和众数 第 课时 中位数和众数 １ 教学目标 课题 ．． 第 课时 中位数和众数 授课人 ２４１２ １ ．掌握中位数和众数的概念 理解中位数和众数的意义和作用． １ , 素养目标 ．会求一组数据的中位数和众数． ２ ．会利用中位数 众数分析数据信息做出决策 培养数学应用意识和创新意识． ３ 、 , 教学重点 会求一组数据的中位数和众数． 教学难点 会利用中位数 众数分析数据信息并做出决策． 、 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:创设情 在某次射击训练中,甲、乙两位运动员 次射击的成绩如下表(单位:环): 境,导入新课 ９ 【教学建议】 第 次 第 次 第 次 第 次 第 次 第 次 第 次 第 次 第 次 让学生理解实际 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 甲 生活中只凭借平均数 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ８ ９ ８ １０ ９ ９ １０ ９ ０ 很难反映问题真实的 􀪋通􀪋过􀪋给􀪋学生􀪋提􀪋供􀪋 乙 ７ ８ ９ ８ １０ ８ ８ ９ ８ 一面．教师提醒学生平 现实背景,吸引 由表中的数据可以看出,当第 次射击后,甲以 环的优势领先于乙．但由于 ８ ５ 均数并不是唯一能刻 学生的注意力, 第 次射击意外脱靶,最终乙以总环数第一获胜． １０ 画数据特征的量． 激发他们的好奇 你认为用 次射击的平均数来表示甲的射击水平合适吗? 是否还有其他统计 ９ 心和求知欲． 量可以用来表示甲的射击水平? 下面我们来进入本课时的学习． 探究点１ 中位数 活动二:实践探 活动一中 甲 乙射击成绩的平均数是多少 究,引出新知 (１) , 、 ? 解 : x甲 ＝ ８＋９＋８＋１０＋９＋９＋１０＋９＋０ ＝８; ９ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 x乙 ７＋８＋９＋８＋１０＋８＋８＋９＋８ ．． ＝ ≈８３ 􀪋通􀪋过􀪋提􀪋问的􀪋方􀪋式􀪋 ９ 活动一中 甲 乙射击成绩中 处于中间位置的数是多少 引发学生思考, (２) , 、 , ? 解 将甲运动员的射击成绩按从小到大的顺序排列 从而引出中位数 : :０,８,８,９,９,９,９,１０,１０, 则射击成绩中 处于中间位置的是第 个数 环． 的概念． , ５ ,９ 【教学建议】 将乙运动员的射击成绩按从小到大的顺序排列 :７,８,８,８,８,８,９,９,１０, 老师引导学生得 则射击成绩中 处于中间位置的是第 个数 环． , ５ ,８ 到中位数的概念,注 比较 中甲的两个数据 试说明数据产生差异的原因． (３) (１)(２) , 意提醒学生数据个数 答 平均数受到了极端值 的影响． : ０ 是奇数个还是偶数个 你认为哪个数据更能代表甲的射击水平 对于乙呢 (４) ? ? 答 因为 次射击成绩中 低于 环的只有 次 等于或高于 环的有 次 明 对中位数是有影响的． : ９ , ８ １ , ８ ８ , 显 环不能代表甲的射击水平．若去掉脱靶的 环 甲射击成绩的平均数为 故处 ８ ０ , ９, 于中间位置的 环更能代表甲的射击水平． ９ 对于乙来说 平均数和中位数比较接近 均能表示其射击水平． , , 概念引入:一般地,一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处于中间 位置的数叫作这组数据的中位数．当数据的个数为奇数时,处于中间位置的数就是 中位数;当数据的个数为偶数时,居中的数据有两个,取这两个数据的平均数为这 组数据的中位数．一组数据按大小排序后,位于中位数左、右两侧的数据个数相同, 因此中位数反映了一组数据取值的中间水平． １６４教学步骤 师生活动 注意: 中位数在一组数据中是唯一的,可能是这组数据中的数,也可能不是 ① 这组数据中的数; 中位数是一个位置数,要先排序再确定; 中位数不受极端值 ② ③ 影响． 【对应训练】 ．某班有 个学习小组 每组的人数分别为 则这组数据的中位数 １ ５ , ６,１０,４,５,４, 是 (B ) A􀆰４ B􀆰５ C􀆰６ D􀆰１０ ．教材 练习第 题． ２ P１６０ １ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋２􀪋􀪋众􀪋数􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【教学建议】 􀪋延􀪋伸􀪋问􀪋题􀪋,引􀪋出􀪋 (１) 活动一中 , 甲 、 乙射击成绩中出现次数最多的分别是几环 ? 引导学生得出众 众数的概念． 答 : 甲的射击成绩中 ,９ 环出现次数最多 , 为 ４ 次 ; 乙的射击成绩中 ,８ 环出现的 数的概念,注意提醒 次数最多 , 为 ５ 次． 学生众数与数据出现 如果让甲 乙两人继续射击 你认为第 次射击 两人最可能的成绩是多 (２) 、 , １０ , 的次数有关． 少环 ? 答 第 次射击 甲最可能的成绩是 环 乙最可能的成绩是 环． : １０ , ９ ; ８ 你认为 中得到的数据 能够反映出甲 乙的射击水平吗 (３) (１) , 、 ? 答 能． : 概念引入:一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数． 如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多,那么把这几 个数据都作为这组数据的众数． 当一组数据有较多的重复数据时,众数往往能较好地反映其集中趋势． 注意: 众数是指一组数据中出现次数最多的数据,而不是数据出现的次数; ① 众数可能是一个、多个,也可能没有; 众数不受极端值影响． ② ③ 【对应训练】 ．下表是某校乒乓球队队员的年龄分布 １ : 年龄/岁 １３ １４ １５ １６ １７ 频数 ２ ６ ８ ３ １ 则这些队员年龄的众数是 (D ) 岁 岁 岁 岁 A􀆰６ B􀆰８ C􀆰１４ D􀆰１５ ．有一组数据 若加上数据a后 这组数据的众数不 ２ :５５,５７,５９,５７,５８,５８,５７, , 止一个 则a的值为 ． , ５８ ．教材 练习第 题． ３ P１６０ ２ 例１ (教材 例 )在一次男子马拉松长跑比赛中 随机抽取 名选手所 【教学建议】 P１５８ ５ , １２ 活动三:知识运 用的时间 单位 如下 提醒学生在解决 ( :min) : 用,巩固提升 实际问题时,对中位数 １３６ １４０ １２９ １８０ １２４ １５４ 和众数的选取要具体 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １４６ １４５ １５８ １７５ １６５ １４８ 问题具体分析: 这组样本数据的中位数是多少 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生在􀪋解􀪋决􀪋 (１) 一名选手所用的时间是 ? 推测他的成绩是否超过这次比赛中一半 ()中位数能够表 实际问题时,对 以上 ( 选 ２) 手的成绩 １４２min, 明一组 １ 数据排序最中 ? 中位数与众数选 解 先将样本数据按照从小到大的顺序排列 间的统计量,可以明确 取的理解与运用． :(１) : ． 这组数据中有一半的 １２４,１２９,１３６,１４０,１４５,１４６,１４８,１５４,１５８,１６５,１７５,１８０ 数据大于(或小于)中 这组数据的中位数为处于居中两个数据 １４６,１４８ 的平均数 , 即中位数为１４６＋１４８ 位数; ２ ()众数是一组数 ． ＝１４７ ２ 因此样本数据的中位数是 ． 据出现次数最多的统 １４７ 根据 中得到的样本数据的中位数 可以估计 在这次马拉松比赛中 大约 计量,当一组数据有较 (２) (１) , , , 有一半选手的所用时间小于 有一半选手的所用时间大于 ．这名选手 多的重复数据时,众数 １４７min, １４７min 的所用时间是 小于中位数 可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好． 往往是人们所关心的 １４２min, , １６５教学步骤 师生活动 提问 根据样本数据 你还有其他方法评价 中这名选手在这次比赛中的 : , (２) 一个统计量,它明确 表现吗 ? 了哪个(或哪些)数据 答 : 有．这 １２ 名选手的平均成绩为 出现的次数最多． １３６＋１４０＋１２９＋１８０＋１２４＋１５４＋１４６＋１４５＋１５８＋１７５＋１６５＋１４８ ． ＝１５０ １２ 这名选手的所用时间是 小于平均数 可以推测他的成绩比较好． １４２min, , 例２ (教材 例 )一家鞋店在一段时间内销售某种女鞋 双 各种尺码 P１５９ ６ ３０ , 鞋的销售量如表所示．你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗 ? 尺码/ ． ． ． cm ２２ ２２５ ２３ ２３５ ２４ ２４５ ２５ 销售量/双 １ ２ ５ １１ ７ ３ １ 解 由表可以看出 在不同的尺码中 尺码为 ． 的鞋销售量最大 即众数 : , , ２３５cm , 为 ． 因此可以建议鞋店多进 ． 的鞋． ２３５, ２３５cm 提问 分析表中的数据 你还能为鞋店进货提出哪些建议 : , ? 答 由上表可以看出 在鞋的尺码组成的数据中 越靠近中间尺码 ． 销 : , , ２３５cm, 售量越大 越远离中间尺码 ． 销售量越小 所以可以建议鞋店多进靠近尺码 ; ２３５cm, , ． 的鞋．答案不唯一 合理即可 ２３５cm ( , ) 【对应训练】 某体育馆组织一次青少年羽毛球比赛 各年龄的参赛人数如表所示 , : 年龄/岁 １３ １５ １６ 参赛人数 ５ １２ １４ 则全体参赛选手的年龄的中位数是 岁． １５ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 如何求中位数 中位数的作用是什么 如何求众数 众数的作用是什么 ? ? ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１６４~１６５ ２４１ ４,１０ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 中位数和众数 ２４１２ 第 课时 中位数和众数 板书设计 １ ．中位数． １ ．众数． ２ 本课时通过设计实际生活情境 引起学生的认知冲突 发现以前学习的内容不能满足现在的需求 认识 , , , 教学反思 到学习中位数和众数的必要性 并学会求一组数据的中位数和众数． , 在整个教学活动中 采用引导启发的方法 充分发挥学生的主动性 体现了学生的主体作用． , , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １６６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面的二维码下载获取． &第 ２ 课时 用平均数、中位数和众数刻画数据的集中趋势 教学目标 课题 ．． 第 课时 用平均数 中位数和众数刻画数据的集中趋势 授课人 ２４１２ ２ 、 ．进一步认识平均数 中位数 众数都是数据的代表 能根据所给信息求出相应的数据代表． １ 、 、 , ．结合具体情境体会平均数 中位数 众数在描述数据时的差异 能根据具体问题选择适当的统计量作为代 素养目标 ２ 、 、 , 表 并做出自己的评判． , ．经历整理 描述 分析数据的过程 发展统计意识 提高分析问题和解决问题的能力． ３ 、 、 , , 教学重点 根据具体问题选择适当的统计量来分析数据． 教学难点 能灵活运用这三个统计量解决实际问题． 教学活动 教学步骤 师生活动 【例题导入】 活动一:引用例 (教材 例 )如表是某公司员工月收入的资料． 题,导入新课 P１６０ ７ 月收入/元 ４５０００１８０００１００００５０００ ３６００ ３０００ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 人数 １ １ １ ７ ６ ４ 􀪋通􀪋过􀪋教􀪋材例􀪋题􀪋引􀪋 分别计算这家公司员工月收入的平均数 中位数和众数． (１) 、 【教学建议】 发学生思考,为 解 这家公司员工月收入的平均数x ． : ＝７０８０ 学生在实际生活 导入新课作准备． 将公司 名员工的月收入按从小到大的顺序排列 可以得到第 个和第 ２０ , １０ １１ 情境中回顾平均数、 个数据分别为 和 则中位数为 ． ３６００ ５０００, ４３００ 中位数和众数的求 该公司员工的月收入共有 个类别 其中出现次数最多的类别是 共 ６ , ５０００, ７ 法,教师引导学生思 次 则众数为 ． , ５０００ 考对平均数、中位数 比较这家公司员工月收入的平均数 中位数和众数 这三个统计量是否存 (２) 、 , 和众数三种统计量意 在差异 产生差异的原因是什么 , ? 义的认识． 答 这三个统计量存在较大的差异．产生差异的原因是三个统计量的计算原理 : 不一样 其中平均数受极端值影响 中位数受数据的中间量影响 众数受数据出现 , , , 的频次影响． 平均数 中位数和众数都能反映数据的集中趋势 那么在日常生活中 为了描 、 , , 述一组数据的特征 我们应当选择其中的哪一个统计量呢 让我们一起进入本课 , ? 时的学习． 探究点 平均数、中位数和众数的应用 活动二:实践探 在活动一中 若要反映这家公司员工月收入水平 应当选择哪一个统计量 为 , , ? 究,引出新知 什么 ? 【教学建议】 答 在 名员工中 仅有 名员工的月收入在 元以上 而另外 名员工 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 : ２０ , ３ ７０８０ , １７ 引导学生由例题 的月收入都在 元以下．因此 用月收入的平均数代表所有员工的月收入水平 ７０８０ , 理解平均数、中位数 􀪋通􀪋过􀪋提􀪋问的􀪋方􀪋式􀪋 不太合适．而中位数 说明一半员工的月收入高于 元 另一半员工的月收 ４３００ ４３００ , 和众数各自的特点, 引发学生思考, 入低于 元．众数 说明员工的月收入出现频次最高的是 元．相对于 ４３００ ５０００ ５０００ 在实际应用中要根据 结合具体问题深 平均数而言 中位数和众数更能代表这家公司所有员工的月收入水平． , 具体情况选择适当的 化对平均数、中 例１ 阅读教材 例 回答下列问题 P１６１ ８, : 统计量反映数据的集 位数和众数三种 教材 例 第 问分别问的是什么统计量 统计量意义的 ( 答 １) 分别是 P１ 众 ６１ 数 中 ８ 位数 (１ 和 ) 平均数． ? 中趋势． : 、 认识． 例题中为了让大家容易找到数据的中位数和众数 分别用统计表和条形图 (２) , 描述了样本数据 你认为较高的销售目标应该根据哪个统计量来确定 , ? １６７教学步骤 师生活动 答 结合统计图表知这组样本数据的众数是 中位数是 平均数约是 : １５, １８, ２０, 三个统计量中平均数最大 为 ．可以估计 销售目标定为每月 万元时大约有１ , ２０ , ２０ ３ 的营业员可以完成 所以较高的销售目标应该根据平均数来确定． , 看到题目中出现一半左右我们首先想到什么统计量 这里的销售目标应 (３) ? 该根据哪个统计量来确定 ? 答 首先想到中位数 这里的销售目标应该根据中位数来确定． : , 归纳总结:平均数、中位数、众数都可以刻画一组数据的集中趋势,但它们各有 特点．这三种统计量的意义(优势)与不足,如表所示: 统计量 意义 不足 【教学建议】 针对这个表,教 平均数是刻画数据集中趋势最常用 师可向学生口头强 平均数 的统计量,它能够充分利用数据提供 受极端值的影响较大 调:若想要知道一组 的信息,在现实生活中较为常用 数据的平均水平,则 中位数是一组数据按大小排序后处 往往利用平均数反 中位数 于中间位置的数,计算简单,不易受 不能充分利用数据提供的信息 映;若个别数据偏差 极端值影响 较大,则常利用中位 众数是一组数据中出现次数最多的 当各个数据的重复次数差别不 数反映数据的集中趋 众数 数据,不易受极端值影响 大时,众数往往不具有代表性 势;众数反映的是一 组数据的多数水平, 【对应训练】 若某些数据重复出 ．随机抽取某小吃店一周的营业额 单位 元 如表 １ ( : ) : 现,则众数往往是人 星期 一 二 三 四 五 六 日 们关心的统计量． 营业额/元 ５４０ ６８０ ６４０ ６４０ ７８０ １１１０ １０７０ 这组数据的平均数是 中位数是 众数是 ． (１) ７８０ , ６８０ , ６４０ 估计一个月的营业额 按 天计算 (２) ( ３０ ): 星期一到星期五营业额相差不大 用这 天的平均数估计合适吗 不合适 ． ① , ５ ? 选择一个你认为最合适的数据估计该小吃店一个月的营业额． ② 解 用该小吃店这一周的营业额的平均数估计一个月的营业额 则估计一个月 : , 的营业额为 元 ． ３０×７８０＝２３４００( ) ．教材 练习． ２ P１６３ 例２ 在学校组织的科学知识竞赛中 每班参加比赛的人数相同 成绩分为 , , 【教学建议】 活动三:知识运 四个等级 其中相应等级的得分依次记为 分 分 分 分 学 A,B,C,D , ９０ 、８０ 、７０ 、６０ , 学生独立解答, 用,巩固提升 校将八年级 班和 班的成绩整理并绘制成如图的统计图 (１) (２) : 教师进行指导并提醒 八年级(１)班竞赛成绩条形图 八年级(２)班竞赛成绩扇形图 学生:要解答例 ,主 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ２ 要是要将统计图中的 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生对􀪋平􀪋均􀪋 信息进行有效提取．注 数、中位数和众 意例题中有个关键信 息是每班参加比赛的 数三者之间区别 人数相同,这样可推 与联系的认知． 知八年级()班的人 求此次竞赛中八年级 班成绩不低于 分的人数 ２ (１) (２) ７０ ; 数,这个是算出题中 补全下表 八年级()班各等级 (２) : ２ 平均数 中位数 众数 人数的基础．另外,第 ()问要注意看学生 八年级()班 ． ３ １ ７７６ ８０ ８０ 是否注意到平均数相 八年级()班 ． 同这一细节． ２ ７７６ ７０ ９０ １６８教学步骤 师生活动 请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析 并写出两个结论． (３) , 解 八年级 班的参赛人数为 ． :(１) (１) ６＋１２＋２＋５＝２５ 因为两班参赛人数相同 所以此次竞赛中八年级 班成绩不低于 分的人 , (２) ７０ 数为 ％ ％ ％ ． ２５×(４４ ＋４ ＋３６ )＝２１ 平均数相同的情况下 从众数来看 八年级 班的成绩更好一些 平 (３)① , , (２) ;② 均数相同的情况下 从中位数来看 八年级 班的成绩更好一些．答案不唯一 , , (１) ( ) 【对应训练】 某校举行了垃圾分类知识测试 并从该校七年级和八年级中各随机抽取 名 , ４０ 学生的测试成绩 整理如下 , : 抽取的七年级学生的测试成绩统计表 分值 ５ ６ ７ ８ ９ １０ 人数 ６ ６ １０ ５ ６ ７ 抽取的八年级学生的测试成绩条形图 小明将抽取的学生的测试成绩进行了分析 如表为其中的一部分 , : 年级 平均数 众数 中位数 七年级 ． a ７５ ７ 八年级 b c ８ 根据图表 解答问题 , : 填空 表中的a b ． c ． ． (１) : ＝ ７ ,＝ ７５ ,＝ ７５ 若规定 分及 分以上为合格 该校七年级和八年级共 名学生参加 (２) ６ ６ , １２００ 了此次测试 则估计本次测试成绩合格的学生人数是 ． , １０５０ 本次测试哪个年级学生的成绩较好 说明理由． (３) ? 解 本次测试八年级学生的成绩较好．理由 因为七 八年级学生的平均成绩相 : : 、 等 而八年级学生的成绩的众数 中位数均大于七年级学生的成绩的众数 中位数 , 、 、 , 所以八年级学生的成绩较好． 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 平均数 中位数和众数都是反映数据哪方面特征的统计量 这三个统计量的意义 优势 和不足分别是 、 ? ( ) 什么 ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１６５~１６６ ２４１ １１,１２,１３ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ．． 中位数和众数 ２４１２ 板书设计 第 课时 用平均数 中位数和众数刻画数据的集中趋势 ２ 、 平均数 中位数和众数的区别与联系． 、 １６９教学步骤 师生活动 本节课首先从平均数 中位数和众数的计算导入 再通过比较三种统计量的大小 结合其实际意义 从 、 , , , 不同角度分析数据 加深对统计量优势与不足的理解 最后通过实际问题的解答让学生学会选择合适的统 教学反思 , , 计量进行决策或评价． 通过本节课的学习 引导学生客观全面地看待问题 培养了学生的科学态度． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １７０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 平均数、中位数和众数的综合 平均数 中位数和众数都可以作为一组数据的代表 它们有各自的特点和求法 而且能从不同的角度提供信息 帮助人 、 , , , 们去分析 决策 提出意见或建议 因此在实际应用中要根据具体问题选择适当的统计量来代表数据．为了较全面 科学地分 、 , , 、 析一组数据 要避免只从一个方面考虑 在具体题目中灵活地选择恰当的统计量对数据做出正确的评判． , , 例１ 已知一组数据x 的中位数与平均数相等 则x的值是 或 或 ． :,１０,１２,６ , ４ ８ １６ 分析:x的值未知,需要分情况讨论,再列方程求解． x x 解析:这组数据的平均数为 ＋１０＋１２＋６ ＋２８,中位数按不同顺序可以分四种情况讨论,即 x,, , ; ,x, ＝ ① ６１０１２ ②６ ４ ４ , ; , ,x, ; , , ,x．可得符合题意的x的值为 或 或 ． １０１２③６１０ １２④６１０１２ ４ ８ １６ 例２ 某校八年级全体同学参加了某项捐款活动 随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示． , 本次共抽查学生 人 并将条形图补充完整． (１) ５０ , 捐款金额的众数是 中位数是 ． ． (２) １０ , １２５ 估计八年级 名学生共捐款多少元 (３) ６００ ? 解: 解析:本次共抽查学生 ％ (人)．故答案为 ． (１) １４÷２８ ＝５０ ５０ 捐款 元的学生有 人 补全条形图如图所示． １０ ５０－９－１４－７－４＝１６( ), 解析:由条形图可得,捐款金额的众数是 ,中位数是( ) ．．故答案为 , ．． (２) １０ １０＋１５÷２＝１２５ １０１２５ １ １ 元 (３) ×(５×９＋１０×１６＋１５×１４＋２０×７＋２５×４)×６００＝ ×６５５×６００＝７８６０( ), ５０ ５０ 因此 估计八年级 名学生共捐款 元． , ６００ ７８６０ 培优点 利用数据的集中趋势分析、做决策 例 例题可扫描下面的二维码下载获取．２４．２ 数据的离散程度 第 １ 课时 离差平方和、方差 教学目标 课题 ． 第 课时 离差平方和 方差 授课人 ２４２ １ 、 ．体会刻画数据离散程度的意义 发展数据观念． １ , 素养目标 ．理解离差平方和 方差的概念 能够计算一组数据的离差平方和 方差． ２ 、 , 、 ．理解方差的意义 能通过方差比较两组数据的离散程度． ３ , 教学重点 离差平方和 方差概念的理解及计算． 、 教学难点 对方差概念和意义的理解及应用． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境导入】 活动一:创设情 现要从甲、乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛．若你是教练,你认 境,导入新课 为挑选哪一位比较合适? 甲、乙两名射击选手的测试成绩统计如下: 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 􀪋通􀪋过􀪋情􀪋境吸􀪋引􀪋学􀪋 生的注意力,引 甲命中环数 ７ ８ ８ ８ ９ 【教学建议】 发学生对新知识 乙命中环数 学生独立计算,得 １０ ６ １０ ６ ８ 的学习欲望． 出两名射击选手的平 均成绩相同,无法做出 判断,教师从而引出方 差的概念与计算． 我们先来看他们的平均成绩: x甲 ７＋８＋８＋８＋９ ,x乙 １０＋６＋１０＋６＋８ ． ＝ ＝８ ＝ ＝８ ５ ５ 平均成绩一样,那么作为教练该如何挑选呢? 接下来我们一起学习刻画一组 数据离散程度的两个常见统计量———离差平方和与方差． 活动二:实践探 探究点 离差平方和、方差 究,获取新知 ．离差平方和 方差的概念和意义 １ 、 我们来看引言中的问题． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 (教材 问题)某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子 P１６８ 􀪋通􀪋过􀪋对􀪋方差􀪋公􀪋式􀪋 时 甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲 乙两种甜玉米 , 、 的探究,帮助学 种子的相关情况 专家各用 块自然条件相同的试验田进行试验 得到各试验田 生认识到引入方 , １０ , 每公顷的产量 单位 如表所示 差的必要性并理 ( :t) : 【教学建议】 解方差公式,让 甲 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 老师逐步引导,并 学生体会方差可 ７６５ ７５０ ７６２ ７５９ ７６５ ７６４ ７５０ ７４０ ７４１ ７４１ 提醒学生以下几点: 以反映一组数据 乙 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ７５５ ７５６ ７５３ ７４４ ７４９ ７５２ ７５８ ７４６ ７５３ ７４９ ()使用方差的 的波动大小,同 根据这些数据估计 专家应该选择哪种甜玉米种子呢 １ 时培养学生的合 , ? 前提条件是平均数相 我们一起通过分析问题来解决 作交流意识． : 等或相近． １７１教学步骤 师生活动 计算出两组数据的平均数 你有什么发现 ()各个数据与 (１) , ? ２ 答 : x甲 ＝７ ． ５３７, x乙 ＝７ ． ５１５ ．发现在试验田中 , 甲 、 乙两种甜玉米的平均产量相 其平均数的差不取绝 差不大 由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米 它们的平均产量相差不大． 对值的原因是在许多 , , 教师:我们常常用平均数 中位数来刻画数据的 平均水平 但像上面这种情 问题中含有绝对值的 、 “ ”, 况 我们发现只知道 平均水平 是不够的． 式子不便于计算,且 , “ ” 为了直观地看出甲 乙两种甜玉米产量的情况 我们把这两组数据画成下面的 在衡量一组数据的波 、 , 图 和图 ． 动大小的“功能”上, ① ② 取平方更强些． ()计算方差的 ３ 步骤可概括为“先平 均,后求差,平方后, 再平均”． 观察图 和图 比较甲 乙两种甜玉米的波动程度． (２) ① ②, 、 答 比较两幅图可以看出 甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大 多个产量 : , , 离平均产量较远 而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小 较集中地分布在平均 ; , 产量附近．因此 从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好． , 由问题 我们发现 当数据分布比较分散时 数据与平均数的差异相对较大 (２) : , ; 当数据分布比较集中时 数据与平均数的差异相对较小．反过来也成立．这样 为了 , , 全面反映一组数据的离散程度 可以通过数据与平均数的差异来刻画． , 概念引入:一般地,由n个数据x,x,􀆺,x,用x表示它们的平均数,我们把 n １ ２ x x(i ,,􀆺,n)叫作x 关于平均数x的离差． i－ ＝１２ i 思考:可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗 为什么 ? ? 答 不能．因为x x x x x x x x x nx : (１－ )＋(２－ )＋􀆺＋(n－ )＝ １＋ ２＋􀆺＋ n－ ＝ 所以平均离差无法刻画一组数据的离散程度． ０, 概念引入:为了避免离差求和时正负抵消的问题,统计中通常先对离差进行平方, 然后求和．我们把(x １－ x) ２ ＋ (x ２－ x) ２ ＋ 􀆺 ＋ (x n－ x) ２ 叫作这n个数据关于平均数的 离差平方和,记作“d２ ”．把离差的平方的平均数 (x １－ x) ２ ＋ (x ２－ x) ２ ＋ 􀆺 ＋ (x n－ x) ２ 叫 n 作这组数据的方差,记作“s２ ”． 归纳总结:方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度,能较好地反映出数 【教学建议】 据的离散程度,是刻画数据离散程度最常用的统计量．方差越大,数据的离散程度 教师提醒学生: 越大;方差越小,数据的离散程度越小． 方差的大小与数据本 请大家利用方差公式分析甲 乙两种甜玉米产量的波动程度． 身的大小无关,可能 (３) 、 ． ． ２ ． ． ２ ． ． ２ 一组数据比较小,但 解 : s２甲 ＝ (７６５－７５３７)＋(７５０－７５３７)＋􀆺＋(７４１－７５３７) ≈０ ． ０１０, 是方差较大;也可能 １０ ． ． ２ ． ． ２ ． ． ２ 一组数据比较大,但 s２乙 (７５５－７５１５)＋(７５６－７５１５)＋􀆺＋(７４９－７５１５) ． ． ＝ １０ ≈０００２ 是方差较小． 由s２甲 ＞ s２乙, 可得乙种甜玉米产量的离散程度较小 , 即乙种甜玉米产量的波动 较小 稳定性较好．由此可知 在试验田中 乙种甜玉米的产量比较稳定．根据样本 , , , 估计总体的统计思想 综合考虑甲 乙两个品种的平均产量和产量的稳定性 可以 , 、 , 推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米． 思考(教材 思考):用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度 和方差 P１７０ ? 比较 有什么不足 , ? 答 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度 : 时 离差平方和只适用于数据个数相同的情况 而方差不受这个限制． , , １７２教学步骤 师生活动 ．利用计算器求方差 ２ 使用计算器说明 : 使用计算器的统计功能求方差 操作时需要参阅计算器的使用说明书． (１) , 通常需要先按某一功能键 使计算器进入统计状态 然后依次输入数据 (２) , ; x １, x ２,􀆺, x n; 最 后 按 求 方 差 的 功 能 键 , 计 算 器 便 会 求 出 方 差s２ ＝ ( x １－ x ) ２ ＋( x ２－ x ) ２ ＋􀆺＋( x n－ x ) ２ 的值． n 【对应训练】 教材 练习第 题． P１７１ １ 例 (教材 例 )甲 乙两名气手枪运动员进行射击训练 次射击成绩 P１７０ １ 、 ,１０ 活动三:典例精 单位 环 如表所示 ( : ) : 讲,升华提高 甲 ９ ７ ９ １０ １０ ８ ９ １０ ５ １０ 乙 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ９ １０ ７ ８ １０ ９ ９ ８ ７ ９ 哪名射击运动员的发挥更稳定 【教学建议】 􀪋巩􀪋固􀪋学􀪋生对􀪋方􀪋差􀪋 ? 解 两名运动员射击成绩的平均数分别为 老师提醒学生注 意义的认知,在 : 实际生活问题 x甲 ＝ ９＋７＋􀆺＋１０ ＝８ ． ７, x乙 ＝ ９＋１０＋􀆺＋９ ＝８ ． ６ ． 意 组数 :只 据 有 的 在 平 两 均 组 数 或 相等 多 中,根据方差比 １０ １０ 较数据的稳定性． 两名运动员射击成绩的方差分别为 或比较接近时,才能 ．２ ．２ ．２ 用方差比较两组或多 s２甲 ＝ (９－８７)＋(７－８７ １０ )＋􀆺＋(１０－８７) ＝２ ． ４１, 组数据的离散程度． ．２ ．２ ．２ s２乙 (９－８６)＋(１０－８６)＋􀆺＋(９－８６) ． ． ＝ ＝１０４ １０ 由s２甲 ＞ s２乙 可知 , 乙射击运动员的发挥更稳定． 【对应训练】 教材 练习第 题． P１７１ ２ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 离差平方和 方差的概念是什么 方差的计算公式是什么 方差有什么作用 、 ? ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１７４ ２４２ １,２ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 数据的离散程度 ２４２ 第 课时 离差平方和 方差 １ 、 板书设计 ．离差 离差平方和 方差的概念． １ 、 、 ．离差平方和 方差的计算公式． ２ 、 ．方差的意义和作用． ３ １７３教学步骤 师生活动 本节课采用了创设问题情境 启发学生思考的教学模式 更好地抓住学生学习新知的过程．由于本课时 , , 教学反思 的试题信息量比较大 会耽误一定的时间 学生在互动的时间上会有所压缩．从本节课的授课过程来看 学 , , , 生在教师的引导下自学 联系旧知 给学生充分发表意见的自由度． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １７４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 方差的计算 计算方差的步骤可概括为 先平均 后求差 平方后 再平均 ． “ , , , ” 在求一组数据x x x 的方差时 要先求出它们的平均数x 再计算出各数据与它们的平均数x的差的平方 １,２,􀆺,n , , : ( x １－ x ) ２ ,( x ２－ x ) ２ ,􀆺,( x n－ x ) ２ , 最后求出它们的平均数． 即s２ ＝n １ [( x １－ x ) ２ ＋( x ２－ x ) ２ ＋􀆺＋( x n－ x ) ２ ] 就是这组数据的方差． 例１ 样本 的方差是 (１) ５,６,７,８,９ ２ ; (２) 在样本方差的计算公式s２ ＝ １ [( x １－２０) ２ ＋( x ２－２０) ２ ＋􀆺＋( x n－２０) ２ ] 中 , 数字 １０ 表示 样本容量 , 数字 ２０ １０ 表示 样本平均数 ; 某人 次射击命中的环数分别为 x ．若这组数据的中位数为 则这组数据的方差为 ． ． (３) ５ ５,１０,７,,１０ ８, ３６ 解析:根据题意,数据 , ,,x, 的中位数为 ,则有x ,这组数据的平均数为１ ( ) ,则这组 ５１０７ １０ ８ ＝８ × ５＋１０＋７＋８＋１０＝８ ５ 数据的方差s２ １ [( ) ２ ( ) ２ ( ) ２ ( ) ２ ( ) ２ ] ．． ＝ × ５－８ ＋ １０－８ ＋ ７－８ ＋ ８－８ ＋ １０－８ ＝３６ ５ 解题大招二 方差的应用 用样本方差估计总体方差 在考察总体方差时 如果所要考察的总体包含很多个体 或者考察本身带有破坏性 那么可 : , , , 以采用样本估计总体的统计思想．实际生活中常常用样本的方差来估计总体的方差． 在用方差比较数据的稳定性时需要注意 一般要先比较平均数 当几组数据的平均数相等或相近时 才能用方差比较数 : , , 据的离散程度． 例２ 甲 乙两人进行射击训练 在相同条件下各射靶 次 成绩统计如下表 、 , ５ , : 命中环数/环 ７ ８ ９ １０ 甲命中的频数/次 ２ ２ ０ １ 乙命中的频数/次 １ ３ １ ０ 甲 乙两人射击成绩的平均数 方差分别是多少 (１) 、 、 ? 谁的射击成绩更稳定 (２) ? 解: (１) x甲 ＝ １ ×(７×２＋８×２＋１０)＝８, x乙 ＝ １ ×(７＋８×３＋９)＝８ ． ５ ５ s２甲 ＝ １ ×[(７－８) ２ ＋(７－８) ２ ＋(８－８) ２ ＋(８－８) ２ ＋(１０－８) ２ ]＝１ ． ２, ５ s２乙 ＝ １ ×[(７－８) ２ ＋(８－８) ２ ＋(８－８) ２ ＋(８－８) ２ ＋(９－８) ２ ]＝０ ． ４ ． ５ 所以甲射击成绩的平均数是 方差是 ． 乙射击成绩的平均数是 方差是 ．． ８, １２; ８, ０４ (２) 因为s２甲 ＞ s２乙, 所以乙的射击成绩更稳定． 培优计划 培优计划可扫描下面的二维码下载获取．第 课时 利用数据的集中趋势和离散程度做决策 ２ 教学目标 课题 ． 第 课时 利用数据的集中趋势和离散程度做决策 授课人 ２４２ ２ ．学会运用方差分析数据并进行优化选择和决策． １ 素养目标 ．综合运用平均数 众数 中位数和方差解决实际问题． ２ 、 、 ．通过解决简单的实际问题 形成一定的数据意识 提高解决问题的能力 进一步体会数学的应用价值． ３ , , , 教学重点 数据的集中趋势与离散程度的实际应用． 教学难点 综合运用平均数 众数 中位数和方差解决实际问题． 、 、 教学活动 教学步骤 师生活动 【知识回顾】 活动一:复习回 ．反映数据集中趋势的统计量有哪些? 顾,旧知启发 １ 答:平均数、中位数和众数． ．反映数据离散程度的统计量有哪些? 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ２ 答:离差平方和、方差． 【教学建议】 􀪋通􀪋过􀪋回􀪋顾前􀪋面􀪋学􀪋 ．方差的意义是什么? 教师引导学生自 过的知识,加深 ３ 答:方差越大,数据的离散程度越大;方差越小,数据的离散程度越小． 由回答,最后总结引 印象,为本课时 ．用样本估计总体的意义是什么? 入,为新课的学习做 的内容奠定基础． ４ 答:当考察具有破坏性或总体中个体的数目太大时,用样本估计总体能够节省 好铺垫． 时间和成本． 在前面我们已经学习了反映数据集中趋势和离散程度的相关统计量,在日常 生活中,我们进行一些选择与决策时,也会受到这些统计量的影响．下面我们将进 行本节课的学习． 探究点１ 利用方差作决策 活动二:问题引 例１ (教材 例 )自动灌装线灌装饮料时 由于各种不可控的因素 每瓶 入,自主探究 P１７２ ２ , , 饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差 实际含量 标准含量 ．甲 乙两条灌 ( － ) 、 装线同时灌装标准含量为 的饮料 为了检验两条灌装线的灌装质量 从每 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 ５００mL , , 条灌装线上各随机抽取 瓶饮料进行测量 结果 单位 如表所示． 􀪋通􀪋过􀪋生􀪋活􀪋实􀪋例􀪋, １０ , ( :mL) 甲 类比平均数和方 ５０１ ４９６ ４９８ ４９９ ５０３ ４９８ ５０５ ４９８ ５０１ ５０１ 差,反映了方差 乙 【教学建议】 ４９６ ４９３ ５０４ ４９５ ５００ ５０６ ５０４ ５０５ ４９８ ４９９ 在实际生活中的 教师提醒学生: 如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过 此条灌装线的灌装质量 应用． 为 不 ( 合 １) 格 那么两条灌装线的灌装质量是否都合格 １０mL, 在日常生活中,并不 , ? 一定是方差越小就越 解 甲 乙灌装线饮料的实际含量与标准含量 的误差如表所示． : 、 ５００mL 好,需要结合实际情 甲组误差/ 况进行抉择． mL １ －４ －２ －１ ３ －２ ５ －２ １ １ 乙组误差/ mL －４ －７ ４ －５ ０ ６ ４ ５ －２ －１ 从表中的数据可以看出 甲 乙灌装线的误差绝对值最大分别为 , 、 ５mL,７mL, 两者都小于 因此两条灌装线灌装的质量都是合格的． １０mL, 哪个统计量可以用来评价灌装线的灌装质量 (２) ? 答 在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下 灌装饮料的实际含量与标准含 : , 量的差异越小 说明灌装线的质量越好．因此可以用方差来评价灌装线的灌装质量． , １７５教学步骤 师生活动 哪条灌装线的灌装质量更好 (３) ? 解 通过计算可得 甲 乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 : , 、 x甲 ＝５００, x乙 ＝５００ ． 类比方差 计算甲 乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度分 , 、 别为s２甲 ＝６ ． ６, s２乙 ＝１８ ． ８ ． 可以发现 甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小． , 根据样本估计总体 综合来看 甲灌装线的灌装质量更好． , , 【对应训练】 教材 练习． P１７４ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ 综合利用数据的集中趋势和离散程度分析数据 􀪋结􀪋合􀪋生􀪋活􀪋实􀪋例􀪋, 例２ (教材 例 )甲 乙两地同一天的气温记录如表所示． P１７３ ３ 、 综合统计图、集 时刻 : : : : : : : 中趋势和离散程 ０００ ２００ ４００ ６００ ８００ １０００ １２００ 甲/ 度等相关统计 ℃ １１ ９ １０ １２ １６ ２１ ２３ 量,对数据进行 乙/ ℃ １３ １１ １２ １４ １５ １７ １９ 分析,强化巩固 时刻 : : : : : : １４００ １６００ １８００ ２０００ ２２００ ２４００ 学生对统计知识 甲/ 的掌握． ℃ ２４ ２１ １８ １６ １４ １３ 乙/ ℃ ２１ ２０ １８ １７ １６ １５ 试比较两地的气温差异． 请画出甲 乙两地同一天的气温的折线图分析两地的气温差异． (１) 、 答 以时刻为横坐标 气温为纵坐标 把表中数据用折线图进行表示 得到如图 : , , , 的折线图． 【教学建议】 教师提醒学生:对 数据进行分析时,在不 同的条件下,所关注的 统计量也不相同． 从折线图中可以看出 甲 乙两地气温在不同的时刻互有高低 但甲地的最高 , 、 , 气温高于乙地 而最低气温低于乙地． , 请通过数据的集中趋势分析两地的气温差异． (２) 答 : 两地气温的平均数分别为x甲 ＝１６, x乙 ＝１６ ． 将两地气温按从小到大排列 可以发现两地气温的中位数都是 众数各有 , １６, 两个 甲地是 和 乙地是 和 且都出现两次 因为重复次数太少 所以不 ( １６ ２１, １５ １７) , , 具有代表性．因此 从数据的集中趋势看 两地的气温差异不明显． , , 请通过数据的离散程度分析两地的气温差异． (３) 答 : 两地气温的方差分别为s２甲 ≈２３ ． ５, s２乙 ≈８ ． ６ ． 由s２甲 ＞ s２乙 可知 , 乙地气温的波动程度比甲地的小 , 气温更稳定． 【对应训练】 教材 习题 ．第 题． P１７５ ２４２ ４ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 活动三:随堂训 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 练,课堂总结 , : 如何表现一组数据的集中趋势和离散程度 结合数据做决策时有哪些需要注意的地方 ? ? １７６教学步骤 师生活动 【知识结构】 【作业布置】 ．教材 习题 ．第 题． １ P１７５ ２４２ ３,５ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 数据的离散程度 ２４２ 第 课时 利用数据的集中趋势和离散程度做决策 ２ 板书设计 ．数据的集中趋势． １ ．数据的离散程度． ２ ．用样本估计总体． ３ 本节课主要是对前面所学知识的综合复习与应用 让学生进一步理解平均数 中位数 众数 方差等相 , 、 、 、 教学反思 关统计量的意义．通过对教材例题的探索 让学生理解数学来源于生活 又反过来作用于生活的观点 学会 , , , 思考如何对实际问题做决策．在探索过程中 要有针对性地进行引导 培养学生的自主意识和探索精神． , , 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １７７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 分析数据做决策 统计的基本思想 用样本的特征 平均数 方差等 估计总体的特征． : ( 、 ) 统计的决策依据 利用数据做决策时 要全面 多角度地去分析已有数据 从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势 : , 、 , , 减少人为因素的影响． 通常情况下 方差越小越好 但也有例外 此时需要结合题目条件 具体情况具体分析． , , , , 例１ 去年某果园随机从甲 乙 丙 丁四个品种的葡萄树中各采摘了 棵 这四个品种每棵产量的平均数x 单位 、 、 、 １０ , ( :kg) 及方差s２ 如下表所示．今年准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植 应选的品种是 乙 ．填 , ( 甲 乙 丙 或 丁 “ ”“ ”“ ” “ ”) 甲 乙 丙 丁 x ２４ ２４ ２３ ２０ s２ ． ． ． ２１ １９ ２ １９ 解析:因为甲、乙两个品种葡萄树产量的平均数比丙、丁两个品种葡萄树产量的平均数大,而乙品种葡萄树产量的方差 比甲品种葡萄树产量的方差小, 所以乙品种葡萄树的产量既高又稳定, 故应选的品种是乙． 解题大招例２ 培优计划 解题大招例 和培优计划可扫描下面的二维码下载获取． & ２２４．３ 数据的四分位数 教学目标 课题 ． 数据的四分位数 授课人 ２４３ ．了解百分位数 并借助百分位数认识四分位数． １ , 素养目标 ．会计算四分位数 能够画出箱线图． ２ , ．了解四分位数与箱线图的关系 能够借助箱线图分析数据的分布信息． ３ , 教学重点 四分位数与箱线图的关系 借助箱线图分析数据的分布信息． , 教学难点 借助箱线图分析数据的分布信息． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境引入】 活动一:创设情 【教学建议】 境,导入新课 某银行有 和 两个理财产品经营团队．近三年,这两个团队分别负责经营 A B 学生自由讨论后 项理财产品．两个团队的产品收益率的平均数(单位:％)和方差分别为 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 １２ 指定学生代表回答, x ． ,s２ ． ;x ． ,s２ ． ． A≈３８６２ A≈１３２７ B≈３８６３ B≈０１１７ 引导学生分析出做出 􀪋通􀪋过实􀪋际􀪋情􀪋境􀪋,先􀪋 如果你是一位购买理财产品的投资者,会选择哪个团队的产品? 不同决策的原因,并 复习平均数和方 答:稳健型投资者可以选择团队 经营的理财产品;激进型投资者可以选择 差的相关知识,再 B 通过新的问题引发学 团队 经营的理财产品． 通过设问引发学 A 生思考,为新课的学 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况,例如收益率 生思考,为导入新 习做好铺垫． 课做准备． 大部分在什么范围,哪些范围比较集中等信息,通过今天的学习,我们将找到答案． 探究点１ 百分位数、四分位数 活动二:问题引 平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度 但无法反映 , 入,自主探究 出投资客户关心的这些信息 收益率大部分在什么范围 哪些范围比较集中等 ．因 ( , ) 此 我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量． , 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 概念引入:一组数据按从小到大的顺序排列,中位数是从中间点把数据分成 ２ 􀪋在􀪋活􀪋动􀪋一问􀪋题􀪋的􀪋 等份,将数据分成 等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数． １００ 基础上,引入百 相比中位数,百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息． 【教学建议】 概念引入:一组数据的 ％分位数、 ％分位数(即中位数)和 ％分位数把 分位数和四分位 ２５ ５０ ７５ 第一四分位数又 这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份,所以称它们为这组数据的四分位数, 数的概念,并结 称下四分位数,第三 从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数(中位数)、第三四分位 合四分位数说明 四分位数又称上四分 数,分别记为Q ,Q ,Q ． 数据的分布情况． １ ２ ３ 位数． 分析教材 问题中的相关数据 分别确定 两个团队产品收益率的 (１) P１７６ , A,B 学习 相 关 概 念 四分位数． 后,教师可带领学生 解 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． :A:２０２２１５３１８|３２１３６４３８５|３９８４１０４１１|４７７４８９６４４ 进行总结:第一四分 ． ． ． ３１９５ ３９１５ ４４４ 位数是前半部分数据 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 的中位数,第三四分 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． B:３１８３４０３６０|３６７３８４３８７|３９１３９９４１０|４１５４２１４４４ 位数是后半部分数据 ． ． ． ３６３５ ３８９ ４１２５ 的中位数． 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 团队 产品收益率的四分位数分别为 ． Q ． Q ． Q A ３１９５(１),３９１５(２),４４４(３); 团队 产品收益率的四分位数分别为 ． Q ． Q ． Q ． B ３６３５(１),３８９(２),４１２５(３) 结合四分位数 说明两个团队产品收益率的分布情况． (２) , 答 团队 其产品收益率小于 ． ％的项目数占总数的 ％ 产品收益率 : A: ３１９５ ２５ , 小于 ． ％的项目数占总数的一半 产品收益率大于 ． ％的项目数占总数的 ３９１５ , ４４４ ％．产品收益率在 ． ％至 ． ％之间的项目数占总数的 ％． ２５ ３１９５ ４４４ ５０ １７８教学步骤 师生活动 团队 其产品收益率小于 ． ％的项目数占总数的 ％ 产品收益率小于 B: ３６３５ ２５ , ． ％的项目数占总数的一半 产品收益率大于 ． ％的项目数占总数的 ％． ３８９ , ４１２５ ２５ 产品收益率在 ． ％至 ． ％之间的项目数占总数的 ％． ３６３５ ４１２５ ５０ 【对应训练】 ．某校 个班参加艺术节合唱比赛 通过简单随机抽样 抽得 个班的比赛 １ １８ , , ８ 得分如下 则这组数据的 ％分位数为 ． ． :９１,９０,９４,８７,９３,９６,９１,８５, ７５ ９３５ ．一组数据按从小到大排列为 m ．若这组数据的下四 ２ :１６,２５,３３,３９,４３, ,６５,７０ 分位数与上四分位数的和是 则m ． ８５, ＝ ４７ ．教材 练习第 题． ３ P１８０ ３ 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋探􀪋􀪋究􀪋点􀪋２􀪋􀪋箱􀪋线􀪋图􀪋及􀪋其􀪋􀪋画􀪋法􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋在􀪋四􀪋分􀪋位数􀪋的􀪋基􀪋 概念引入:为了更加直观地观察数据的分布特征,我们可以用数据的三个四分 础上进一步探 位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图． 究,将四分位数 箱线图主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成．箱 线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值,中间箱 与图形结合,得 体的左端竖线表示第一四分位数,箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数),箱 到箱线图． 体的右端竖线表示第三四分位数,整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分 位数的差,称为四分位距． 请尝试用统计图表示探究点 中 两个团队产品收益率的四分位数． (１) １ A,B 解 如图． : A: 【教学建议】 教师提醒:箱线 B: 图除了要表示出对应 的五个数值外,还要 由箱线图 容易看出数据分布的大致情况 如分布的范围 中位数的大小 集中 表示出相应统计量的 , , 、 、 的范围 分布是否对称等． 刻度线,且刻度线的 、 箱线图也可以按竖直方向画．为了便于比较两组数据的分布特征 可以把两个 度量单位应与数据的 , 箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中 如图． 单位一致,起点比最 , 小值稍小,终点比最 大值稍大． 请结合上面的箱线图 分析比较 两个团队产品收益率的分布情况． (２) , A,B 答 观察箱线图可以发现 两个团队产品收益率的中位数几乎相等 表示中位 : , ( 数的水平线段差不多高 但团队 的产品收益率波动明显比团队 的大 团队 ), A B ( A 的箱体和须线比团队 的长 这与用平均数 方差比较的结果是一致的．团队 的 B ), 、 B 产品收益率分布比团队 的更对称 中位数对应的水平线段在箱子的中间位置 A ( ), 团队 有约 ％的产品收益率高于团队 的最高产品收益率 也有约 ％的产 A ２５ B , ２５ 品收益率低于团队 的最低产品收益率 等等． B , 【对应训练】 教材 练习第 题． P１８０ １ １７９教学步骤 师生活动 例 (教材 例题)根据教材 例 中的数据 分别计算甲 乙两地气温 活动三:重点突 P１７９ P１７３ ３ , 、 的四分位数 在同一幅图中画出箱线图 据此比较甲 乙两地的气温特点． 破,提升探究 , , 、 解 将表中两地的气温 单位 分别按从小到大的顺序排列 可得 : ( :℃) , 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 甲地 ９ １０ １１ １２ １３ １４ １６ １６ １８ ２１ ２１ ２３ ２４ 􀪋进􀪋一􀪋步􀪋强化􀪋学􀪋生􀪋 乙地 １１ １２ １３ １４ １５ １５ １６ １７ １７ １８ １９ ２０ ２１ 借助箱线图描述 【教学建议】 甲 乙两地气温各有 个数据．甲地气温的最小值为 最大值为 三个四 数据、分析数据 分 位数分 、 别为Q Q １３ ．Q ．乙地气温的最小 ９ 值 , 为 最大 ２４ 值 , 为 当多组箱线图在 的能力． 三个四分位数分 ２ 别 ＝ 为 １６ Q ,１＝１１ Q ５,３＝ ． ２１ Q ．． １１, ２１, 同一幅图中时,可以 ２＝１６,１＝１３５,３＝１８５ 很方便地比较不同组 在同一幅图中画出两地气温的箱线图如图． 数据的分布特征,包括 中位数的差异(中心位 置),四分位数间距的大 小(离散程度),从而快 速发现组间的差异和 规律． 可以看出 甲 乙两地气温的中位数相同 但甲地气温的波动明显比乙地的大 , 、 , , 甲地约有 ％时刻的气温高于乙地的最高温度 约有 ％时刻的气温低于乙地的 ２５ , ２５ 最低温度． 【对应训练】 教材 练习第 题． P１８０ ２ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 如何理解百分位数和四分位数 它们有什么区别 箱线图该怎么画 它是怎样反映数据的分布信息的 ? ? ? ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．． １ P１８０~１８１ ２４３ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 数据的四分位数 ２４３ ．百分位数． 板书设计 １ ．四分位数． ２ ．箱线图． ３ 本节课采用了创设问题情境 启发学生思考的教学模式 引入百分位数与四分位数．同时 为了使数据 , , , 教学反思 的分布特征更加直观 将四分位数与最小值 最大值用图形的形式展示 得到箱线图．通过本节课的学习 让 , 、 , , 学生能够通过箱线图分析比较多组数据的分布情况． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １８０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招一 百分位数的应用 一般地 一组数据的p％分位数是这样一个值 它是这组数据中至少有p％的数据小于或等于这个值 且至少有 , , , (１００－ p ％的数据大于或等于这个值． )􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １８１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 例１ 下表是 周岁男生的体重百分位数值表． １６~１７ 体重百分位数/ kg m m m m m m m ５ １０ ２５ ５０ ７５ ９０ ９５ ． ． ． ． ． ． ． ４５１ ４７９ ５１５ ５６７ ６３７ ７２４ ８０４ 岁的小明的体重是 则他的体重超过 ％ 的同龄人． １７ ６４kg, ７５ 解析:观察表格可以发现, 周岁男生体重的 ％分位数是 ． , ％分位数是 ． , 更接近 ． １６~１７ ７５ ６３７kg９０ ７２４kg６４kg ６３７kg 且大于 ． ,所以小明同学的体重超过 ％的同龄人． ６３７kg ７５ 解题大招二 求四分位数的方法 将数据按从小到大的顺序排列 (１) ; 找出这组数据的中位数 作为这组数据的第二四分位数 即Q (２) , , ２; 找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数 分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数 即Q 和Q ． (３) , , １ ３ 注意: 在求四分位数之前,一定要对数据进行正确的排序; 求第一四分位数和第三四分位数时,以Q 为界,左右两 ① ② ２ 侧的数据均不包含Q ． ２ 例２ 数据 的四分位数分别是Q Q Q ． (１) １４,１０,１６,３０,１２,１８,２４,２６,２０,２２,２８ １＝ １４ ,２＝ ２０ ,３＝ ２６ 解析:将这组数据按从小到大的顺序排列: , , , , , , , , , , ．这组数据的中位数为 ,即Q ; １０１２１４１６１８２０２２２４２６２８３０ ２０ ２＝２０２０ 左侧数据的中位数为 ,即Q ; 右侧数据的中位数为 ,即Q ． １４ １＝１４２０ ２６ ３＝２６ 某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试 在面试阶段中 位老师根据考生表现给出得分 分数由低 (２) , ,８ , 到高依次为 a ．若这组数据的上四分位数与下四分位数的平均数恰好与中位数相等 则a ． :７６,,７９,８０,８０,８１,８４,８５ , ＝ ７６ a 解析:由题中数据易知,Q ,Q ＋７９,Q ８１＋８４ ．． ２＝８０ １＝ ３＝ ＝８２５ ２ ２ 因为这组数据的上四分位数与下四分位数的平均数恰好与中位数相等, Q Q a 所以 １＋ ３ Q ,即 ＋７９ ． ,解得a ． ＝ ２ ＋８２５＝２×８０ ＝７６ ２ ２ 培优点 借助箱线图(四分位数)分析数据的分布信息 箱线图 四分位数 可以帮助我们了解数据的离散程度．通过观察箱线图 或计算Q Q 和Q 我们可以得到四分位距 ( ) ( １,２ ３), 即箱体的长度 四分位距可以用来衡量数据的离散程度 相比于极差 最大值与最小值的差 它不容易受到极端值的影 ( ), , ( ), 响．比如在一个班级学生成绩的统计数据中 如果我们知道了成绩的四分位数 就可以了解到成绩分布的大致情况．如果Q , , １ 较低Q 较高 说明成绩分布比较分散 如果Q 和Q 比较接近 说明中间部分的学生成绩比较集中． ,３ , ; １ ３ , 例 班和 班某次测试成绩 单位 分 如下 A B ( : ) : 班 A :７０,７２,７４,７５,７６,７７,７８,７９,８０,８０,８１,８２,８３,８４,８５,８６,８７,８８,８９,９０; 班 ． B :４０,５０,５５,６０,６２,６５,６８,７０,７２,７３,７４,７５,７６,７８,８０,８２,８４,８５,８８,９０ 某同学想要利用百分位数分析 两个班的水平 如表是他记录的 A,B , 两个班成绩的百分位数． A,B 成绩百分位数/分 班级 最小值 m m m 最大值 ２５ ５０ ７５ 班 ． ． ． A ７０ ７６５ ８０５ ８５５ ９０ 班 a ． b B ４０ ７３５ ９０ 请根据以上信息完成下列问题 : 表中a ． b (１) ＝ ６３５ ,＝ ８１ ; 该同学基于四分位数绘制了 班成绩的箱线图如图所示 获得 (２) A , 了 班成绩的直观表示．请你根据 班成绩的箱线图在图中补全 班成绩的箱线图 并根据箱线图对 两个班的成绩作 A A B , A,B 出评价． 解:补全 班成绩的箱线图如图所示 B ． 班成绩整体更高且更稳定 班成绩波动较大且存在极端低分现象 A ,B ．２４．４ 数据的分组 教学目标 课题 ． 数据的分组 授课人 ２４４ ．经历数据分组的活动 了解组内离差平方和与组间离差平方和的概念． １ , 素养目标 ．能够按照组内离差平方和最小的分组原则对数据进行分组． ２ ．借助数据的分组原则解决实际问题． ３ 教学重点 组内离差平方和与组间离差平方和 组内离差平方和最小的分组原则． ; 教学难点 组内离差平方和最小的分组原则． 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境引入】 活动一:创设情 一家公司向社会招聘一名员工,所有应聘者先统一参加笔试,然后根据笔试成 境,导入新课 绩确定一部分应聘者进入面试．将 名应聘者的笔试成绩(百分制)按从小到大的 【教学建议】 １０ 顺序排列如下: 教师鼓励学生发 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 散思维,发表意见;适 􀪋通􀪋过实􀪋际􀪋情􀪋境􀪋,引􀪋 ５８ ６４ ６８ ７５ ７６ ８３ ８５ ８９ ９０ ９２ 你认为哪一部分应聘者应当进入面试? 时将实际问题简化为 发学生思考,为导 上面的问题可以理解为把这 名应聘者的笔试成绩分成好和差两组,则共有 数据分组问题,引导学 入新课做准备． １０ 种分组方法． 生进入本课时的学习． ９ 要使每组组内的数据差距不大,且组与组之间的数据差别明显,那么你认为应 遵循怎样的分组原则? 今天我们将进行这方面的学习． 探究点 数据的分组 活动二:问题引 入,自主探究 (１) 在前面的学习中 , 我们学习了离差平方和 , 了解到d２ 可以刻画一组数据的 离散程度 结合活动一中的问题 你有什么想法 , , ? 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 答 可以借助两组数据各自的离差平方和来解决活动一中的问题． : 􀪋通􀪋过􀪋引􀪋入组􀪋内􀪋离􀪋 概念引入:一般地,设有n个数据x,x,􀆺,x n ,其平均数记为x,则离差平方 １ ２ 差平方和和组间 和为d２ ＝ (x １－ x) ２ ＋ (x ２－ x) ２ ＋ 􀆺 ＋ (x n－ x) ２． 离差平方和的概 如果把这组数据分为两组,前m(m n)个数据为一组,后(n m)个数据为一 【教学建议】 ＜ － 念,为解决活动 组,它们的平均数分别记为x 和x,离差平方和分别为d２ (x x) ２ (x 本节课的重点在 １ ２ １＝ １－ １ ＋ ２－ 一中的问题提供 x １ ) ２ ＋ 􀆺 ＋ (x m－ x １ ) ２ ,d２ ２＝ (x m ＋１－ x ２ ) ２ ＋ (x m ＋２－ x ２ ) ２ ＋ 􀆺 ＋ (x n－ x ２ ) ２ ,那么 于理解d２ ＝ d２ １＋ d２ ２＋ 思路． d２ d２ d２ m(x x) ２ (n m)(x x) ２． d２ ,教师要引导学生 ＝ １＋ ２＋ １－ ＋ － ２－ １２ 注:将d２ 按教材 的方式变形后,将其展开,所得 倍项的和为 (x 对等式进行变形,得 P１８３ ２ ２ １－ x)[(x x 􀆺 x ) mx] (x x)[(x x 􀆺 x) (n 出相应结果,加深学 １＋ ２＋ ＋ m － １ ＋２ ２－ m ＋１＋ m ＋２＋ ＋ n － － m)x],由两组数据的平均数的意义可知:x x 􀆺 x mx,(x 生理解． ２ １＋ ２＋ ＋ m＝ １ m ＋１＋ x 􀆺 x) (n m)x,所以所有 倍项的和为 ． m ＋２＋ ＋ n ＝ － ２ ２ ０ 其中d２ d２ 称为组内离差平方和,表示两个组内数据的离散程度;记d２ １＋ ２ １２＝ m(x x) ２ (n m)(x x) ２ ,d２ 称为组间离差平方和,表示两个组间的差异． １－ ＋ － ２－ １２ 当分组结果满足组内差异最小的情况时d２ d２ 与d２ 满足什么条件 (２) ,１＋ ２ １２ ? 答 当组内差异最小时 即组内离差平方和最小 则d２ d２ 最小 由于d２ 不变 : , , １＋ ２ , , 此时d２ 最大．所以分组是既可以按d２ d２ 最小来分组 也可以按d２ 最大来分组． １２ １＋ ２ , １２ １８２教学步骤 师生活动 将下列表格补充完整 找出最合适的分组方法． (３) , 分组 x x d２ d２ d２ d２ １ ２ １ ２ １＋ ２ 第 个间隔 ． ． ． １ ５８ ８０２ ０ ７９９６ ７９９６ 第 个间隔 ． ． ． ２ ６１ ８２２５ １８ ５０３５ ５２１５ 第 个间隔 ． ． ． ． ． ３ ６３３ ８４３ ５０７ ２７１４ ３２２１ 第 个间隔 ． ． ． ． ． ４ ６６２５ ８５８ １５２８ １７０８ ３２３６ 第 个间隔 ． ． ． ． ． ５ ６８２ ８７８ ２２８８ ５４８ ２８３６ 第 个间隔 ． ． ． ６ ７０７ ８９ ４１１３ ２６ ４３７３ 第 个间隔 ． ． ． ． ． ７ ７２７ ９０３ ５８７４ ４７ ５９２１ 第 个间隔 ． ． ． ８ ７４７５ ９１ ８１９５ ２ ８２１５ 第 个间隔 ． ． ． ９ ７６４ ９２ １０２６２ ０ １０２６２ 答 结合表中数据可知 当按第 个间隔分组时 组内离差平方和最小．因此 : , ５ , , 最合适的分组方法是 和 ． {５８,６４,６８,７５,７６} {８３,８５,８９,９０,９２} 【对应训练】 有一组数据 按照 组内离差平方和最小 原则将这组数据分成两 :５,６,８,９,１０, “ ” 组 下列选项正确的是 , (B ) 和 和 A􀆰{５} {６,８,９,１０} B􀆰{５,６} {８,９,１０} 和 和 C􀆰{５,６,８} {９,１０} D􀆰{５,６,８,９} {１０} 例 (教材 例题) 个城市某月的每日最高温度的平均数 简称平均高 活动三:重点突 P１８４ １０ ( 温 如表所示． 破,提升探究 ) 石家 呼和 哈尔 城市 北京 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 庄 浩特 滨 􀪋结􀪋合􀪋具􀪋体􀪋实􀪋例􀪋, 平均高 从两个方面入 温/ ３ ３ －３ －１１ １０ ２１ ２２ １２ ９ １７ ℃ 手,让学生认识 根据平均高温的组内离差平方和最小原则 把这 个城市分为两组． 到组内离差平方 (１) , １０ 解 将表中的数据按从小到大排列 可得 【教学建议】 和最小原则与组 : , 在进行分组时, 间离差平方和最 －１１ －３ ３ ３ ９ １０ １２ １７ ２１ ２２ 将它们分成两组共有 种情况 分别计算组内离差平方和 如表所示． 分组原则可以选择组 大原则是等价的． ９ , , 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 内离差平方和最小, 也可以选择组间离差 第 个间隔 ． ． １ ０ ５８４２ ５８４２ 平方和最大,具体可 第 个间隔 ． ． ２ ３２ ３８０９ ４１２９ 结合实际情况选择． 第 个间隔 ． ． ． ３ ９８７ ２８５７ ３８４４ 第 个间隔 ． ． ４ １３２ １５８８ ２９０８ 第 个间隔 ． ． ５ ２２８８ １１３２ ３４２ 第 个间隔 ． ． ６ ３０８８ ６２ ３７０８ 第 个间隔 ． ． ７ ３９７４ １４ ４１１４ 第 个间隔 ． ． ８ ５６２ ０５ ５６２５ 第 个间隔 ． ． ９ ７８９６ ０ ７８９６ １８３教学步骤 师生活动 观察最后一列组内离差平方和可以发现 当按第 个间隔分组时 组内离差平 , ４ , 方和最小．因此 按组内离差平方和最小的分法为 哈尔滨 呼和浩特 北京 石家 , { , , , 庄 和 贵阳 上海 成都 昆明 广州 海口 ． } { , , , , , } 根据平均高温的组间离差平方和最大原则 把这 个城市分为两组．所得 (２) , １０ 分组结果与 中结果一致吗 (１) ? 解 : 分组 x x 组间离差平方和 １ ２ 第 个间隔 ． ． １ －１１ １０４４ ４１３９ 第 个间隔 ． ． ２ －７ １２１２５ ５８５２ 第 个间隔 ． ． ． ３ －３６７ １３４３ ６１３７ 第 个间隔 ． ． ４ －２ １５１７ ７０７３ 第 个间隔 ． ． ． ５ ０２ １６４ ６５６１ 第 个间隔 ． ． ６ １８３ １８ ６２７３ 第 个间隔 ． ． ７ ３２９ ２０ ５８６７ 第 个间隔 ． ． ８ ５ ２１５ ４３５６ 第 个间隔 ． ． ９ ６７８ ２２ ２０８５ x ．,d２ m(x x) ２ (n m)(x x) ２ ＝８３ １２＝ １－ ＋ － ２－ 观察最后一列组间离差平方和可以发现 当按第 个间隔分组时 组间离差平 , ４ , 方和最大．因此 按组间离差平方和最大的分法为 哈尔滨 呼和浩特 北京 石家 , { , , , 庄 和 贵阳 上海 成都 昆明 广州 海口 ． } { , , , , , } 所得分组结果与 中结果一致． (１) 结合地理课所学知识 说一说这样分组合理吗 (３) , ? 答 合理．因为第一组中的城市均位于我国北方地区 普遍气温偏低 第二组中 : , , 的城市均位于我国南方或沿海地区． 【对应训练】 教材 练习第 题． P１８５ ２ 【随堂训练】见«创优作业»“随堂作业”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : 什么是组内离差平方和 什么是组间离差平方和 对一组数据进行分组时 应遵循什么原则 ? ? , ? 【知识结构】 活动四:随堂训 练,课堂总结 【作业布置】 ．教材 习题 ．． １ P１８６ ２４４ ．创优作业 主体本部分相应课时训练． ２« » ． 数据的分组 ２４４ ．组内离差平方和． 板书设计 １ ．组间离差平方和． ２ ．数据的分组原则． ３ １８４教学步骤 师生活动 本节课采用了创设问题情境 启发学生思考的教学模式 重点在于通过对离差平方和公式的变形 引导 , , , 学生验证 离差平方和 组内离差平方和 组间离差平方和 其中组内离差平方和代表组内差异 组间离 教学反思 “ ＝ ＋ ”, , 差平方和代表组间差异 由此理解组内离差平方和最小的分组原则．在进行计算时 由于计算量相对较大 , , , 条件允许的情况下 可引导学生了解计算器 统计软件等工具的操作使用方法． , 、 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １８５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解题大招 数据分组的基本原则 由活动二中的分析过程可知d２ d２ d２ d２ 对于一组数据d２ 是定值 所以在对数据进行分组时 分组原则 组内离差 : ＝ １＋ ２＋ １２, , , , “ 平方和最小 与 组间离差平方和最大 是等价的．在进行数据分组时 可以结合实际情况 选择合适的分组原则进行分组． ” “ ” , , 例 某乡镇 家企业去年的产值如下表所示． ６ 企业 A B C D E F 产值/亿元 ８ １０ １２ ５ １４ １０ 根据组间离差平方和最大的原则 把这 家企业分成两组． , ６ 解:将表中数据按从小到大排列 可得 , ５ ８ １０ １０ １２ １４ 将它们分成两组共有 种情况 计算组间离差平方和 如下表． ５ , , 分组 x x 组间离差平方和 １ ２ 第 个间隔 ． ． １ ５ １０８ ２８０３ 第 个间隔 ． ． ． ２ ６５ １１５ ３３３ 第 个间隔 ． ． ３ ７７ １２ ２８１７ 第 个间隔 ． ． ４ ８２５ １３ ３００８ 第 个间隔 ． ５ ９ １４ ２０８３ x ． ≈９８３ 观察最后一列组间离差平方和可以发现 当按第 个间隔分组时 组间离差平方和最大． , ２ , 因此 按组间离差平方和最大的分法为 和 ． , {５,８} {１０,１０,１２,１４} 培优点 根据数据分组的原则把一组数据分为多组 如果需要把一组数据分为三组或三组以上 要注意考虑到所有的分组情况 做到不重不漏 其他过程与分成两组的情况 , , , 相同 最后按组内离差平方和最小的情况写出分组即可． , 例 例题可扫描下面的二维码下载获取．综合与实践 学生体质健康调查与分析 教学目标 课题 综合与实践 学生体质健康调查与分析 授课人 ．经历收集 整理 描述 分析数据的全过程 提升数据观念． １ 、 、 、 , ．了解体质健康测试的有关信息 能对统计结果作出正确的评估和合理化的建议 尝试制定一些体质健康 ２ , , 素养目标 测试项目的评价标准． ．通过合作学习 培养统计能力 并自觉运用统计思想思考和解决一些简单的实际问题 在活动中加强自身 ３ , , , 体质健康意识． 教学重点 数据的收集与处理方法． 教学难点 尝试制定一些体质健康测试项目的评价标准 利用数据分析的方法探究不同项目成绩之间的关系． , 教学活动 教学步骤 师生活动 【情境引入】 活动一:创设情 (教材 )青少年的体质健康,既与其学习和生活息息相关,又与国家和民 境、引入新知 P１９３ 族的未来密不可分．为了提升学生的体质健康,进行学生体质健康调查与分析就必 不可少． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 为建立健全国家学生体质健康检测评价机制􀆺􀆺 􀪋通􀪋过􀪋填􀪋写􀪋体质􀪋健􀪋 请查阅资料,了解体质健康测试的有关信息,并根据自身情况填写下表的相关 康测试登记表中 数据． 【教学建议】 自身的各项数据, 体质健康测试登记表 教师 简 单 介 绍 激发学生求知欲． «国家学生体质健康 姓名 性别 身高/ 体重/ m kg 标准( 年修订)», 指标 成绩 指标 成绩 ２０１４ 引导学生根据自身情 身高 况填写表格,体会修 体重指数 / BMI＝体重 ２ 男生 引体向上/次 订标准的意义． ( 􀅰 －２ ) 专项 kg m 肺活量/ 米跑/ mL １０００ s 米跑/ 分钟仰卧 ５０ s 女生 １ 坐位体前屈/ 起坐/次 cm 专项 立定跳远/ 米跑/ cm ８００ s 探究点１ 立定跳远成绩的调查与分析 【教学建议】 活动二:实践探 任务１ 收集数据 在活动具体实施 究,旧知应用 确定样本量 操作之前,需要先组 (１) 根据你所在学校八年级学生的人数情况 确定一个合适的样本量． 内讨论构思方案,确 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋 , 确定抽取样本的方法 定获取数据的方式、 (２) 􀪋回􀪋顾􀪋收􀪋集、􀪋整􀪋理􀪋、 用简单随机抽样方法抽取样本 确定具体操作步骤． 方法和具体的操作步 , 描述、分析数据 制订方案 进行调查 骤,再进行调查分析, (３) , 的过程,强化学 根据确定的收集数据的方法 进行调查 得到样本数据． 教师需要引导学生做 , , 生对数据调查分 任务２ 整理数据 好事前的讨论与交 析的应用． 参照表格 整理样本数据 得到不同立定跳远等级的频数与百分比． 流,方便后续分工合 , , 作,明确任务目标． １８６教学步骤 师生活动 立定跳远等级评价表 立定跳远等级 男生成绩x/ 女生成绩y/ cm cm 优秀 x y ≥２２６ ≥１８８ 良好 x y 【教学建议】 ２１０≤ ＜２２６ １７４≤ ＜１８８ 及格 x y 在进行组内交流 １７０≤ ＜２１０ １４４≤ ＜１７４ 不及格 x y 讨论时,教师可以引 ＜１７０ ＜１４４ 任务３ 描述数据 导学生简要回顾抽样 根据整理的数据 选择合适的统计图描述样本数据 使数据分布的信息更直 调查;在进行数据描 , , 观 清楚地显示出来． 述与分析时,教师要 、 任务４ 分析数据 引导学生尽可能地使 估计整体情况 用统计图表说明结 (１) 根据样本数据以及所作统计图表 计算样本数据的平均数 中位数 众数 方 论,体现统计调查研 , 、 、 、 差 四分位数等 对全年级男生 或女生 的立定跳远成绩进行估计． 究的特点． 、 , ( ) 数据分组 (２) 观察调查得到的样本数据 能否按大小将其分组 以便对不同立定跳远水平的 , , 学生提供针对性帮助 如果样本数据适合分组 分几组合适 如何分组 ? , ? ? 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点２ BMI的合理性及其评价标准 【教学建议】 􀪋借􀪋助􀪋表􀪋达􀪋式􀪋,通􀪋 任务１ 探究用 衡量人体胖瘦程度的合理性 教师可引导学生 BMI 过正、反比例关 请查阅资料 探究将 作为衡量普通人胖瘦程度的常用指标的合理性． 猜想体重指数主要受 , BMI 系确定变量(身 任务２ 制订你所在班级的 等级评价标准 哪几个因素的影响, BMI 高、体重)对函数 根据你所在班级同学的 数据 尝试制订一个专属于你所在班级的 分析这些因素与体重 BMI , BMI ( 等级)的 BMI 等级评价标准． 指数之间的关系． 影响． «标准»中的八年级学生 等级评价标准 【教学建议】 BMI 在选择体重指数 等级 性别 的表达式后,注意体 低体重 正常 超重 肥胖 重指数的大小与 男 ． ． ． ． ． ． BMI ≤１５６ １５７~２２５ ２２６~２５２ ≥２５３ 等级之间的关系,如: 女 ． ． ． ． ． ． ≤１５２ １５３~２２２ ２２３~２４８ ≥２４９ 若选择 a２为表达式, 任务３ 分析标准的差异性 b 对比你所制订的标准和表中的数据 两者是否有差异 如果有 分析可能造成 则体重指数越小, , ? , BMI 这种差异的原因． 等级越高(即越胖)． 􀪋􀪋设􀪋计􀪋意􀪋图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 探究点３ 肺活量与长跑成绩的关系 【教学建议】 􀪋在􀪋􀪋􀪋的􀪋基􀪋础􀪋 BMI 任务１ 问题提出 教师引导学生对 上,探究某两个 肺活量大的人长跑能力强 这句话对八年级学生适用吗 提出可以通过数据 两个项目的成绩进行 “ ” ? 项目成绩之间的 分析解答研究的问题． 类比分析,确定肺活 关系,锻炼学生 任务２ 问题解决 量成绩和长跑成绩之 类比学习及分析 通过小组合作的方式 设计整个研究过程 经历收集 整理 描述 分析数据的 间是否存在正(或反) , , 、 、 、 验证的能力． 过程 得出研究结论． 比例关系． , １８７教学步骤 师生活动 设计意图 探究点４ 开展其他活动(选做) 【教学建议】 􀪋锻􀪋炼􀪋学􀪋生发􀪋现􀪋问􀪋 本活动中给出的 从下列三个方面选择一个进行研究 或根据自身兴趣 小组协商 提出其他问 , , , 题,以及自主解 题进行研究． 问题是对前面三个活 决问题的能力． 男生 跑成绩的调查 动的强化训练,教师 (１) １０００m ; 可引导学生提出其他 女生的 与其仰卧起坐成绩的关系 (２) BMI ; 问题自主思考并探究 制订你所在班级学生坐位体前屈成绩的评价标准． (３) 解决问题的方法． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 , : ．如何调查初中生体质健康测试中的某个项目成绩 １ ? ．如何制订某个测试项目中的评价标准 ２ ? ．如何验证某两个测试项目之间的关系 ３ ? 活动三:课堂总 【知识结构】 结,作业布置 【作业布置】 根据探究活动中各项任务 分组制作一份完整的研究报告． , 综合与实践 学生体质健康调查与分析 ．某项目成绩的调查与分析． 板书设计 １ ．制订测试项目的评价标准． ２ ．分析某个项目成绩对另一个项目成绩的影响． ３ 制订方案是做好调查的前提 准确记录数据是做好调查的保证 要培养学生细致认真的习惯．本节课涉 , , 教学反思 及多个活动的调查与探究 教师需要有意识地引导学生先讨论方案 并在方案实施过程中分工合作 锻炼学 , , , 生的沟通交流能力 培养学生的参与意识和团队协作能力． , １８８