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第24 章 圆（单元测试·基础卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（24-25九年级上·吉林·期中）平面内，已知 的半径是 ，线段 ，则点P在（ ）
A． 外 B． 上 C． 内 D．无法确定
2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图， 是 的直径， 于点 ．若 ，
，则 长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图， 是 的直径， 是 的弦， 于点 ，则下
列结论不一定正确的是要（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·天津宁河·期末）已知圆的半径为 ，圆中一条弦长为 ，则这条弦所对的圆心
角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定 的是（ ）A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， 是 的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的
两侧， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川达州·一模）一个正六边形的边长为6，则它的边心距是（ ）
A．3 B． C． D．12
8．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图， ， 分别与 相切于A，B两点，C是优弧B上的
一个动点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正 n 边形 的两条对角线 的延长线交于
点 P，若 ，则n的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．2410．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图， 的半径 弦 于点E，C是 上一点， ，
的最大值为18，则 的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知 ， 的半径为2，圆心 在 上，当 时，
与射线 的位置关系为 ．
12．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图， 是半圆 的直径， ， 为 的中点，连接
， ，则 的度数为 ．
13．（2022·湖北省直辖县级单位·二模）如图所示，A、B是半径为2的 上的两点，若 ，
点C是弧 的中点，则四边形 的周长为 ．
14．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知圆O为 的内切圆，切点分别为D、E、F，且
， ， ，则 的半径r为 ．15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图， 是 的直径，点D在 的延长线上， 切 于
点C，若 ，则 的度数为 ．
16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径 ，将半圆O沿弦BC所在的
直线折叠，若 恰好过圆心O，则 的长是 ．
17．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图， 中， ，以 为直径
的半圆O交斜边 于点D，以点C为圆心， 的长为半径画弧，交 于点E，则阴影部分面积为
（结果保留π）．
18．（2022·山东临沂·一模）阅读理解：如图1， 与直线a，b都相切，不论 如何转动，直线a，b
之间的距离始终保持不变（等于 的半径），我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图2是利
用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前
进．据说，古埃及就是利用这种方法将巨石推到金字塔顶的．拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”．如图4，夹在平行线c，d
之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于4cm，则莱洛
三角形的周长为 cm．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）19．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图， ， 交 于点C，
D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ； (2)若 ， ，求 的半径．
20．（本小题满分8分）（2024·甘肃兰州·一模）如图，在 中， ， 与AB相切于点A，
与 相交于点C，延长 交 于点D，连接 ．
(1)求 的大小；
(2)当 时，求 的长．21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形 内接于 ，E是
的中点，连接 ．
(1)求∠E的度数．
(2)求证： ．
(3)若 ，则点E到 的距离为 ．
22．（本小题满分10分）（2024·湖北襄阳·一模）在 中，弦 ．
(1)如图1，比较 与 的长度，并证明你的结论．
(2)如图2， 为 的直径，过点 作 的切线与 的延长线交于点 ，若 ， ，求
阴影部分的面积．
23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在 中， ， ，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的 交 于点E，连接BM并延长交 于点F，交 于
点G，连接 ．
(1)求证：点B在 上．
(2)当点D移动到使 时，求 的值．
(3)求证： ．
24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究
如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，交 于点F，在 下方作
，过点C作 ，垂足为点E．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ， ，求 的长．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C D D C B B D
1．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则点P在圆外
；点P在圆上 ；点P在圆内 ，根据点与圆的位置关系的判定方法对点P与 的
位置关系进行判断．
【详解】解：∵ 的半径是 ，线段 ，
∴点P到圆心的距离大于圆的半径，
∴点P在 外．
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到 ，设 ，则
，由勾股定理可建立方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．C【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于 ，根据垂径定理有
， ，因为 、 都为圆的半径，可得 ，不能得出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，所以A选项、B选项正确，不符合题意；
只有当 垂直平分 时， ，所以C选项符合题意；
∵ 、 都为圆的半径，
∴ ，所以D选项正确，不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了等边三角形的判定，圆心角．熟练掌握等边三角形的判定，圆心角的定义是解题的关
键．
由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形，进而可求答案．
【详解】解：由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形，
∴这条弦所对的圆心角的度数为 ，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，故A不符合题意；
∵ ，
∴ ，故B不符合题意；
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，故C不符合题意；
如图，∵ ，∴ ，
而 ，
∴ ，
∴不能推出 ，故D符合题意；
故选D
6．D
【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得出 ，结合 ，可
求 的度数，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查正多边形和圆，设正六边形的中心是O，一边是 ，过O作 与G，易得
为等边三角形，利用三线合一和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，正六边形的中心是O，一边是 ，过O作 与G，则： ， ， ，
∴ 为等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，即边心距是 ；
故选C．
8．B
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接 ，根据切线的性质得 ，
再利用四边形的内角和计算出 的度数，最后根据圆周角定理计算 的度数．
【详解】连接 ，
， 分别与 相切于A，B两点，
，
，
，
，
故选：B．
9．B
【分析】连接 ， ，根据正 边形的性质知 ，得 ，则正 边形中心角
为 ，即可解决问题．本题主要考查了正 边形和圆的知识，熟练掌握正 边形的性质是解题的关键．【详解】解：连接 ， ，
多边形是正 边形，
，
，
正 边形中心角为 ，
，
故选：B．
10．D
【分析】连接 ，根据垂径定理得 ，设半径为 ，根据当 ， ， 在同一条直线上时
最长得到 ，在 中，根据勾股定理得 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，
的半径 弦 于点 ， ，
，
设半径为 ，
可知当 ， ， 在同一条直线上时 最长，
即 ，
∴ ，
∴ ，在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
，
故选D．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是利用垂径定理得 ，属于中考常考题
型．
11．相切
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的特征，直线与圆的位置关系：设 的半径为r，圆心O到
直线l的距离为d，直线l和 相交 ；直线l和 相切 ；直线l和 相离 ，掌
握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键．过点O作 于点C，根据含30度
角的直角三角形的特征，得到 ，由 的半径为2，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点O作 于点C，则 ，
， ，
，
的半径为2，
与射线 的位置关系为相切，
故答案为：相切．
12．
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，圆周角定理；根据题意得出 ，进而根据圆周角定理得出 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
故答案为： ．
13．8
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和 ，得到 和 都是等边三角形，再求出四边
形 的周长．
【详解】解：∵C是 的中点，
∴ ，而 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ， 所以四边形 的周长等于8．
故答案为：8．
【点拨】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角
相等是解本题的关键．
14．2
【分析】连接 ，由勾股定理的逆定理求得 是直角三角形，根据面积关
系 ，即可求得半径．
【详解】解：如图，连接 ，∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ 为 的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为：2．
15． /26度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是
解题的关键．连接 ，利用切线的性质得到 ，根据三角形内角和定理得到 ，即
可利用圆周角定理求出 的度数．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作
，由折叠可得 ，运用勾股定理可求 ，再由垂径定理即可求解．
【详解】解：过点O作 ，如图所示，
∵将半圆O沿弦 所在的直线折叠，若 恰好过圆心O，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∵ ， 经过圆心，
∴ ，
故答案为： ．
17． /
【分析】连接 ， ，运用勾股定理分别算出BC，CD，再结合
计算即可．本题考查扇形的面积、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的
关键是学会用分割法取阴影部分面积．【详解】解：如图，连接 ， ．
在 中， ， ，
，
∴ ，则 ，
∵ 是直径，
∴ ，
，
∵O是 的中点，
∴ 是 的中线，
∴ ，
，
故答案为 ．
18．
【分析】由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=4cm，即可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，因此可知 在以点C
为圆心、4为半径的圆上，根据弧长公式可求得 的长，莱洛三角形的周长为3段等长的弧，据此即可求
解
【详解】由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=4cm，
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在以点C为圆心、4为半径的圆上，
的长为 ，则莱洛三角形的周长为 ×3=4π，
故答案为4π．
【点拨】本题考查了新定义问题求弧长，理解题意牢记弧长公式是解题的关键．
19．(1)证明见解析
(2) 的半径是5．
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；
（1）由垂径定理得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接 ，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明： ， 为 的弦，
，
， ，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ，
， 为 的弦，
， ，
∴
设 的半径是 ，
∴ ，
解得 ，
的半径是5．
20．(1)(2)
【分析】（1）由切线的定义得出 ，则 ， ，结合 ，由三角形
内角和定理则可以求出 ．
（2）连接 ，由直径所对的圆周角等于 得出 ，证明 为等边三角形，再由含 直
角三角形的性质得出 ，进而可得出 ， ，由勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）解：∵ 与AB相切于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
（2）连接 ，则 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了切线的定义，三角形内角和定理，直径所对的圆周角等于 ，等边三角形的判
定以及性质，含 直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这写性质是解题的关键．21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角 的度数，再利用圆周角定理即可求解；
（2）要证明 ，只要证明 即可；
（3）连接 并延长交 于点F，证明 是线段 的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接 ， ，
∴
∵正方形 内接于 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：连接 并延长交 于点F，
∵ ， ，∴ 是线段 的垂直平分线，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即点E到 的距离为 ，
故答案为： ．
22．(1) ，理由如下
(2)
【分析】（1）可求得 ，结合 即可求得答案；
（2）可先求得 ，进而可知 ， ，根据
勾股定理可求得圆的半径长度，结合 即可求得答案．
【详解】（1） ，理由如下：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）如图所示，连接 ．∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 为 的切线，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 为 的直径，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
设 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质，牢记圆的基
本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键．
23．(1)见详解
(2)
(3)见详解
【分析】（1）根据题意得 ， ，即可证明；
（2）连接DE， 和 ，由题意得 ，求得 ，有 ，在
中， ，即可求得答案；
（3）分别作 ， 交于点 ，连结 ，由题意得 ，
，根据同弧所对圆周角相等得 ，有 ，由
，得 ，由 ，得
，则 ，得 ， ，由题意得 ， ，得
，有 ，在 中，有 成立，即可证得结论成立．
【详解】（1）证明：∵CD为 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴点B在 上．
（2）连接DE，如图，
∵CD为 的直径， ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
（3）分别作 ， 交于点 ，连结 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ．
【点拨】本题属于圆综合题，考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和
性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
24．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据已知条件先证明 ，然后利用 即可证明 ．
（2）由（1）可得 ，由已知条件可得 ，得出 ，推出 ，
再由平行线的性质可得 ．
（3）连接 ，可得 ，且 ，进一步求得 和 ，即可求得 ．
【详解】（1）证明：∵以 为直径的 交 于点D，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
在 和 中，（2）由（1）可知 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
（3）连接 ，如图，
∵ ，且 以 为直径
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ．
【点拨】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定
理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定．
