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第5 章 相交线与平行线（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列车标，可看作图案的某一部分经过平移所形成的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 、 相交于O， ，那么下列结论错误的是（ ）
A． 与 是对顶角 B． 与 互为余角
C． 与 互为余角 D． 与 互为补角
3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图
形，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于命题“如果 ，那么 与 互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有一条直线平行于已知直线； B．两条直线不相交就平行
C．两点之间，直线最短； D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
6．如图，CM，CD，ON，OB被AO所截，下列说法错误的是（ ）A．∠1和∠4是同位角 B．∠2和∠4是同位角
C．∠2和∠AOB是同位角 D．∠ACD和∠4是同位角
7．尺规作图：过直线AB外一点P作直线AB的平行线，下列作法错误的是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图， 是直线 上一点， 平分 ， ， ，添加一个条件，仍不能判
定 ，添加的条件可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知长方形 ，将 沿对角线 折叠，记点 的对应点为 ，若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形 中， ， 平分 ， ，
，点 在直线 上，满足 . 若 ，则 的值是（ ）A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是 ；它是 命题（真、假）．
12．如图，三条直线交于同一点，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶1，则∠4 = .
13．如图，长方形 中，线段 、 相交于点O， ， ，那么三角形 可
以看作由 平移得到的．
14．如图，直线 上有两点A、C，分别引两条射线 、 ， ， ，射线
、 分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线 转动一周的时间内，
使得 与 平行所有满足条件的时间＝ ．
15．如图， 的平分线 与 的平分线相交于点 ，过 作 交 于 ，交
于 ，若 ，则 的长为 ．16．在同一平面内有2023条直线 ， ，…， ，如果 ， ， ， ，……，
以此类推，那么 与 的位置关系是 ．
17．数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小丹的画法如下：
①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；
②再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线OC；
③图3是去掉三角板后得到的图形．
老师说小丹的画法符合要求．请你回答：
（1）小丹画的∠AOC的度数是 ；
（2）射线OC是∠AOB的角平分线的依据是 ．
18．如图，有三条两两相交的公路 、 、 ，从 地测得公路 的走向是北偏东50°，从 地
测得公路 的走向是北偏西40°．若 、 、 的长分别为 千米， 千米、 千米，点 是公路
上任意一点，则线段 的最小值为 千米．（用含 、 、 的式子表示）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，直线 、 相交于点O， ，射线 将 分成两个角，且．
（1）求 的度数；
（2）若 平分 ，则 是 的平分线吗？判断并说明理由．
20．（8分）如图，已知两平行直线 、 被直线 所截，射线 、 分别平分 和
．
（1）判断 与 之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论可以得到一个命题：如果（ ），那么（ ）．
21．（10分）已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若
是，请说明理由．
解答：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）
∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定义）
∴AD∥EG（ ）
∴∠1＝∠E（ ）
∠2＝∠3（ ）
∵∠E＝∠3（已知）∴ ＝
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）.
22．（10分）如图，点 在 上， ，且 平分 ．
（1） 平分 吗？试说明理由．
（2）若 ， ，求证： ．
23．（10分）如图①，已知直线 ，且 和 分别交于 两点， 和 分别交于 两点，
点 在线段 上，设 ．
（1）试找出 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点 在点 的北偏东 的方向上，在点 的北偏西 的方向上．应用（1）中的结论
求 的度数；
（3）如果点 在直线 上且在线段 外侧运动（点 和 两点不重合），其他条件不变，试探究
之间的关系．24．（12分）（1）【问题】如图①， 为平角， 、 分别是 和 的平分线，
求 的度数，并写出 的余角．
（2）【拓展】如图②， ，射线 是 内部任一射线，射线 、 分别平分
、 ，则 的大小为_________（用含字母 的代数式表示）；
（3）【应用】如图③， ，点P是射线 上一动点（与点A不重合）， 、
分别平分 、 ，分别交射线 于点C，D．求 与 的差．参考答案：
1．D
【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小，不可旋转与翻转，依次判断即可．
解：可看作图案的某一部分经过平移所形成的是D选项所示图形，
故选D．
【点拨】此题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，
学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而导致错选．
2．D
【分析】本题考查了对顶角，余角和补角的知识，根据互余两角之和等于 ，互补两角之和等于
，判断求解即可．
解：A、 、 相交于O，
与 是对顶角，本选项正确，不符合题意；
B、 ，
与 互为余角，本选项正确，不符合题意；
C、 与 是对顶角，且 与 互为余角
与 互为余角，本选项正确，不符合题意；
D、 与 互为补角， ，本选项错误，符合题意．故选：D．
3．A
【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.
解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选A．
【点拨】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
4．C
【分析】本题考查了命题与定理，余角与补角，先写出原命题的逆命题，再找到满足 且
的反例即可．
解：对于命题“如果 ，那么 与 互补”的逆命题为“如果 与 互补，那么
”，能说明这个命题为假命题的反例可以为： ， ，
故选：C．
5．D
【分析】根据应为过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；同一平面内不重合的两条直线的
位置关系；两点之间，线段最短；
解：A、过一点有一条直线平行于已知直线，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线平行于
已知直线；
B. 两条直线不相交就平行，说法错误，应为在同一平面内不相交的两条直平行；
C. 两点之间，直线最短，说法错误，应为两点之间，线段最短；
D. 在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法正确.
【点拨】本题主要考查平行线公理、线段的性质，直线的位置关系，熟记这些定理和定义是解决问题
的关键．
6．A
【分析】两条直线被第三条直线所截，在两条直线同旁，在第三条直线同旁的两个角叫同位角，根据
定义判断即可．
解：A、不是同位角，故本选项符合题意；
B、是同位角，故本选项不符合题意；
C、是同位角，故本选项不符合题意；
D、是同位角，故本选项不符合题意.
故选A．【点拨】本题考查对同位角的定义的应用，解题关键是学生对定义的理解能力．
7．D
【分析】根据平行线的判定定理，结合尺规作图的意义理解判断即可．
解：A、根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
B、根据尺规作图可得， ，
四边形 为菱形，可得 ，选项不符合题意；
C、根据尺规作图可得： ， 平分 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴
选项不符合题意；
D、根据尺规作图可得， 垂直平分 ，且
根据条件得不出 ，选项符合题意；
故选：D【点拨】此题考查了尺规作图，平行线的判定，菱形的判定等性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图
的方法，以及菱形的判定与性质．
8．D
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可．
解： 、 平分 ， ，
，故 不符合题意；
、 ，
平分
，故 不符合题意；
、 ，
平分
，故 不符合题意；
、 ，
不能判断 ，故 符合题意，
故选： ．【点拨】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关
键．
9．B
【分析】由矩形的性质可得 ，从而可得 ，由折叠的性质可得
，最后由平行线的性质即可求得 的度数．
解： 四边形 是矩形，
，
，
，
由折叠的性质可得： ，
，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性
质、平行线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】分类讨论：①当点H在点F的上方时，设 ，根据时平行线的性质和垂直的性质可
得 、 ，再根据角平分线的性质可得
即 ，再结合 可得 ，然后可
得 ，再根据 列式即可求得k；同理可求，②当点H在点F的下方时k
的值．
解：如图，当点H在点F的上方时，设 ，∵
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点H在点F的下方时，∵
∴ ，
∵ ，
，
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线和灵活运用分类
讨论思想成为解答本题的关键．
11． 在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形 真
【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题
的逆命题．找出原命题中的题设和结论，进行互换即可得到其逆命题．
解：命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是“在三角形中，若两个角的角平分线相等，那
么这个三角形是等腰三角形”．它是真命题．
故答案为：在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真．
12．60°
【分析】由图可知，∠1与∠4是对顶角，∠2、∠3、∠4的和为180°，再根据已知条件列式计算即可．
解：∵∠1与∠4，∠1：∠2：∠3=2：3：1，∴∠4：∠2：∠3=2：3：1，
∵∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠3=30°，∠4=60°，∠2=90°，
故答案为60°．
【点拨】本题考查了对顶角和邻补角，对顶角相等，邻补角互补，是识记的内容．
13．
【分析】根据平移的性质，可得答案．
解：在长方形 中， 、 相交于点O， ， ，那么三角形 可以看作是
三角形 平移得到的，平移的距离是线段 的长．
故答案为： ．
【点拨】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线
段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
14． 或
【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可．
解：设运动x秒后，使得 与 平行，
此时 转过了 ， 转过了 ，
当 与 在 的两侧，
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴
解得 ；当 与 在 的同侧，
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴
解得 ；
当转了一圈， 与 在 的同侧，
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴
解得 （舍去）；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键．15．10
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质“两直线平行，内错角相等”、等腰三角形的性
质，掌握角平分线的定义和平行线的性质得证 是关键．
由 的平分线 与 的平分线 相交于点 得到 ，再由
得到 ，得到 ，从而得到
，然后由 得到 ，从而得到 ．
解：∵ 的平分线 与 的平分线 相交于点 ，
∵ ，
∴
故答案为：10．
16． （或垂直）
【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，
进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可．
解：∵ ， ， ， ，……，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ，……，
∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环，
∵ ，
∴ ，
故答案为： （或垂直）．
【点拨】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．
17． 75° 角平分线定义．【分析】（1）根据图1可知∠AOB度数，根据图2可知∠COB度数，从而得到∠AOC度数；
（2）通过角相等可知依据是角平分线定义．
解：∵（1）由图1可知∠AOB＝60°+90°＝150°，
由图2可知∠COB＝30°+45°＝75°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝150°﹣75°＝75°，
故答案为75°；
（2）由（1）可知∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的定义可知射线OC是∠AOB的角平分线，
故答案为角平分线定义．
【点拨】本题考查了利用三角板作图，角的和差，角平分线的定义，熟练掌握作图方法及相关定义是
解题的关键.
18．
【分析】过C作 于P，依据 ，可得在 中，得出 ，代入数
值求解即可．
解：如图，过C作 于P，
由题可得， ，
∴ ，
∴
∴ 中， ，
∴ ，
即线段 的最小值为 ，
故答案为 ．【点拨】此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了
数学应用于实际生活的思想．
19．（1） ；（2）OB是 的平分线，理由见分析
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义：
（1）由对顶角相等可得 ，再根据 即可求解；
（2）由邻补角的性质求得 ，再由角平分线的性质求得 ，即可得出结论．
（1）解： ，
，
， ，
；
（2）解：是．理由如下：
，
，
平分 ， ，
，
， ，
，
是 的平分线．
20．（1） ，证明见分析；（2）两条直线平行，内错角的角平分线平行
【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质：
（1）根据平行线的性质可得 ，再结合角平分线的性质可得 ，根据“内
错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）结合（1）的结论即可得到答案．
（1）解： ．证明如下：
（已知）
（两直线平行，内错角相等）
射线 、 分别平分 和 （已知）
， （角平分线的定义）
（已证）（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（2）解：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线平行．
故答案为：两条直线平行，内错角的角平分线平行．
21．同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；∠1=∠2.
解：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定义），
∴AD//EG（同位角相等,两直线平行），
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；
∠1=∠2．
22．（1） 平分 ，理由见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）由 易得 ，证明 ，由 平分 易得 ，
从而 ，故 平分 ；
（2）证明 ， ，可得 ， ，再利用平行公理可得结论．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
（2）∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定、平行公理的应用，垂直的性质，熟记平行公理
的含义是解本题的关键．
23．（1） ．理由见分析；（2） ；（3） 之间的关系为
或
解：（1） ．理由如下： ，
．
在三角形 中， ， ．
（2）由（1）可知， ．
（3）①当点 在 的延长线上时，如图①所示．过点 作 ，交 于点 ，则 ．
．
， ；
②当点 在 的延长线上时，如图②所示．过点 作 ，交 于点 ，则 ．
， ， ．
， ．
综上所述， 之间的关系为 或
24．（1）∠DOE＝90°，∠COE的余角为∠DOC和∠DOA；（2） ；（3）∠ACB与∠ADB的差为
56°
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ， ，再根据∠DOE＝∠DOC+∠COE进行求解即可；
（2）根据角平分线的定义得到 ， ，再由∠MON＝∠MOC+∠NOC
进行求解即可；
（3）先由平行线的性质求出∠ABN＝180°﹣68°＝112°，∠ACB=∠CBN，∠CDB=∠DBN，从而推出
∠ACB-∠ADB=∠CBN-∠DBN=∠CBD由（1）结论可知， ，得到∠ACB﹣∠ADB＝∠CBD＝
56°．
解：（1）∵射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴ ， ，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE
，∠COE的余角为∠DOC和 ∠DOA ；
（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，
∴ ， ，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC
；
（3）∵AM BN，∠A＝68°，
∴∠ABN＝180°﹣68°＝112°，∠ACB=∠CBN，∠CDB=∠DBN，
∴∠ACB-∠ADB=∠CBN-∠DBN=∠CBD
又∵BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，∴由（1）结论可知， ，
∴∠ACB与∠ADB的差为56°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解
题的关键
