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培优专题 01 一元二次方程的解法
◎ 方法一 直接开平方法
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，
x2 √a −√a
对于形如 =a( a ≥ 0 ) 的方程，根据平方根的定义可解得 x= ,x= .
1 2
（2） 直接开平方法适用于解形如 x 2 = p 或 (mx+a ) 2 = p( m ≠ 0 ) 形式的方程，如果 p ≥ 0 ，就可以利用直接开
平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互
为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的
系数为 1 ；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程
的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（ ）
A．x＝x＝1 B．x＝1，x＝-1
1 2 1 2
C．x＝x＝-1 D．x＝1，x＝0
1 2 1 2
2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于 的方程 可以用直接开平方法求解，那么 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·九年级课时练习）关于 的方程 ．
（1）当 时，方程有__________的实数根；
（2）当 时，方程有__________的实数根；（3）当 时，方程__________．
4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程 的解为______．
5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，
定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．
(1)若 ，求 的值．
(2)若 ，求 的值．
◎方法二 配方法
1 、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；
2 、把常数项移到等号的右边；
3 、方程两边都除以二次项系数；
4 、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
5 、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
6．（2022·江苏南通·八年级期末）用配方法解方程 ，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·九年级课时练习）下列解方程变形正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
8．（2022·江苏·九年级专题练习）用配方法将方程 变为 的形式，则
________．9．（2022·江苏南京·模拟预测）当 满足 时，方程 的根是________．
10．（2022·浙江金华·八年级期末）解方程：
(1) ；
(2)x2－6x＋2＝0．
◎方法三 公式法
（1） 一般地，对于一元二次方程 a x 2 +bx+c=0( a ≠ 0 ) ，如果 b 2 -4a c ≥ 0 ，那么方程的两个根为
−b±√b2 −4ac
x= 2a ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程
的系数 a,b, c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程
a x 2 +bx+c=0( a ≠ 0 ) 的过程。
（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：
① 方程化为一般形式： a x 2 +bx+c=0( a ≠ 0 ) ，一般 a 化为正值
② 确定公式中 a,b, c 的值，注意符号；
③ 求出 b 2 -4a c 的值；
④ 若 b 2 -4a c ≥ 0 ，则把 a,b, c 和 b-4a c 的值代入公式即可求解，若 b 2 -4a c ＜ 0 ，则方程无实数根 。
11．（2022·广西崇左·八年级期末）用公式法解方程 时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
12．（2022·全国·九年级专题练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
13．（2022·江苏·九年级课时练习）已知代数式x2-3与代数式 的值互为相反数，那么x的值为______．
14．（2019·全国·八年级单元测试）方程 的解是______.
15．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）解方程：
(1)(2)
◎方法四 因式分解法
1 . 用因式分解法解一元二次方程的步骤
（ 1 ）将方程右边化为 0 ；
（ 2 ）将方程左边分解为两个一次式的积；
（ 3 ）令这两个一次式分别为 0 ，得到两个一元一次方程；
（ 4 ）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 .
2 . 常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等 .
特别说明：
（ 1 ）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0 ，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（ 2 ）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0 ，那么这两个因式中至少有一
个等于 0 ；
（ 3 ）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0 ；②方程两边不能同时
除以含有未知数的代数式；
（ 4 ）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。
16．（2022·山东泰安·八年级期末）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）方程 的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝3，x＝﹣3
1 2
C．x＝ ，x＝ D．x＝﹣3，x＝0
1 2
18．（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期中）已知直角三角形的其中两条边长是方程x2﹣12x+32＝0的根，
则该三角形的第三条边长为 _____．
19．（2021·湖南永州·九年级期中）关于x的一元二次方程 的一个解为0，则
______．
20．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区一模）解方程
(1)(2)
◎方法五 换元法
1 、解数学题时 , 把某个式子看成一个整体 , 用一个变量去代替它 , 从而使问题得到简化 , 这叫换元法 .
换元的实质是转化 , 关键是构造元和设元 , 理论依据是等量代换 , 目的是变换研究对象 , 将问题移至
新对象的知
识背景中去研究 , 从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化 , 变得容易处理 .
2 、我们常用的是整体换元法 , 是在已知或者未知中 , 某个代数式几次出现 , 而用一个字母来代替它
从而简化问题 ,
当然有时候要通过变形才能发现 . 把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程 , 从而
达到降次的目的 .
21．（2021·山东济南·八年级期末）关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）
的解是x＝m－3，x＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（ ）
1 2
A．x＝－3，x＝1 B．x＝2m－3，x＝1
1 2 1 2
C．x＝2m－3，x＝1－2m D．x＝－3，x＝1－2m
1 2 1 2
22．（2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中）若实数 满足方程 ，那么
的值为（ ）
A． 或4 B．4 C． D．2或
23．（2022·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值是_______．
24．（2022·江苏·九年级专题练习）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2＝___．
25．（2022·全国·九年级）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝
y，则原方程化为y2﹣3y＝0，解得y＝0，y＝3，当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当y＝3时，
1 2
x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2，所以，原方程的解为x＝1，x＝﹣1，x＝2，x＝﹣2
1 2 3 4
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2＋2x）2﹣2（x2＋2x）﹣3＝0的解．
◎方法六 十字相乘法
26．（2022·江苏·九年级单元测试）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
27．（2022·内蒙古包头·中考真题）若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或9 C．3或 D． 或6
28．（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程 的两个根分别是Rt△ABC的两
条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．
29．（2022·全国·九年级期中）若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程 的根，则这个等
腰三角形的周长是_____．
30．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）解方程：
(1) ﹣x＝3；
(2) ﹣x+2＝0．
