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培优专题 07 设元的五种技巧
【专题精讲】
解应用题时,设元是常用来解题的方法,通过设元可以找到条件和结论之间的联系,
准确、恰当地设元往往有助于简化解题过程,达到事半功倍的作用,设什么元需要
根据具体问题的条件确定,就常见的设元法简析如下:
1.直接设元法
就是将题目中需要求的量直接设为未知元,即求什么设什么,这是最常用的设元法。
1．（2022·全国·七年级专题练习）A，B两地相距448km，一列慢车从A地出发，速度为
60km/h，一列快车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行，慢车先行28min，快车开
出多长时间后两车相遇？
【答案】快车出发后3小时两车相遇
【分析】利用两车行驶的距离和 ，进而求出即可．
【详解】设快车出发后x小时两车相遇，根据题意可得：
×60+（60+80）x＝448，
解得：x＝3，
答：快车出发后3小时两车相遇．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，得出正确等量关系是解题关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，
甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B
两城相距多少千米？
【答案】 千米
【分析】设A、B两城相距x千米，根据“经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，甲车比乙车每小时多行3千米”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设A、B两城相距x千米
x=
答：两城相距 千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
3．（2022·江西赣州·七年级期末）石城县矿山机械设备闻名省内外．在某矿山机械设备车
间工人正在紧张地按订单进度进行生产，若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16
个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生
产的轴承和轴杆正好配套？
【答案】调配36个人加工轴承，54个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配
套．
【分析】设x个人加工轴承，（90-x）个人加工轴杆，列方程求解即可．
【详解】解：设x个人加工轴承，（90-x）个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆
正好配套，
根据题意得：12x×2=16（90-x），
去括号得：24x=1440-16x，
移项合并得：40x=1440，
解得：x=36．
90-x=90-36=54．
答：调配36个人加工轴承，54个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程求解．
4．（2022·辽宁大连·七年级期末）列一元一次方程解应用题∶
某社区为响应抗击“新冠病毒”号召，组织志愿者到各个街道进行“少出门，少聚集”的
安全知识宣传．原计划在甲街道安排20个志愿者，在乙街道安排12个志愿者，但到现场
后发现任务较重，决定增派16名志愿者去支援两个街道，增派后甲街道的志愿者人数是乙
街道志愿者人数的2倍，请问新增派的志愿者中有多少名去支援甲街道？
【答案】新增派的志愿者中有12名去支援甲街道．
【分析】设新增派的志愿者中有x名去支援甲街道，则新增派的志愿者中有（16-x）名去
支援乙街道，根据增派后甲街道的志愿者人数是乙街道志愿者人数的2倍列方程，解方程
即可求解．
【详解】解：设新增派的志愿者中有x名去支援甲街道，则新增派的志愿者中有（16-x）
名去支援乙街道，依题意得：
20+x=2（12+16-x），解得：x=12，
答：新增派的志愿者中有12名去支援甲街道．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
2.间接设元法
对于直接设元比较困难的问题,通常可以间接设元,所设的量不是要求的,但更易
找出符合题意的等量关系,这种把题中要求量以外的量设为未知元的方法,称为间
接设元法。
5．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）列一元一次方程解应用题：
在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同
样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速和两机场之间的航程．
【答案】无风时飞机的航速是696千米/时，两机场之间的航程是2016千米
【分析】设无风时飞机的航速是 千米/时，根据路程=时间×速度，列出方程求解即可．
【详解】解：设无风时飞机的航速是 千米/时，
依题意得： ，
解得： ．
则 （千米）
答：无风时飞机的航速是696千米/时，两机场之间的航程是2016千米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解
题的关键．
6．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学七年级阶段练习）小刚和小强分别从 、 两地
出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一线路相向匀速而行，出发两小时两人相遇，相遇
时小刚比小强多走了 千米，相遇后 小时小刚到达 点．
(1)两人的行驶速度各是多少？
(2) 两地相距多少千米？
【答案】(1)小刚的速度是16km/h，小强的速度是：4km/h．
(2) 千米
【分析】（1）可根据相遇时甲乙所用时间相等，且甲乙所行路程之和为A，B两地距离，
从而列出方程求出解．
（2）根据（1）的结论即可求解．
（1）
解：设小刚的速度为xkm/h，
则相遇时小刚走了2xkm,小强走了(2x−24)km，
由题意得，2x−24=0.5x，解得：x=16，
则小强的速度为：(2×16−24)÷2=4(km/h)，
答：小刚的速度是16km/h，小强的速度是：4km/h．
（2）
解：根据题意，小刚的速度是16km/h，小强的速度是：4km/h，2小时相遇，
两地相距 千米
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7．（2022·河南驻马店·七年级期末）在一条铁路上，有甲，乙两个站，相距408千米，一
列慢车从甲站开出每小时行72千米，一列快车从乙站开出，每小时行96千米，若两车同
向而行，几小时后两车相距60千米？
【答案】若两车同向而行，14.5小时或19.5小时两车相距60千米
【分析】设x小时后两车相距60千米，分两种情况：（1）快车未追上慢车时，（2）快车
追上慢车后，分别列出方程即可求解．
【详解】解：设x小时后两车相距60千米
（1）慢车在前，快车在后．
解得
（2）快车在前，慢车在后．
解得
答：若两车同向而行，14.5小时或19.5小时两车相距60千米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列方程解决问题．
8．（2022·全国·九年级专题练习）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距
离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的
速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？
【答案】甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时
【分析】先根据比例尺和地图上的距离求出两间实际距离，再根据“路程=速度×时间”求
出两车速度和，再利用两车的速度比求出各自速度．
【详解】解：10×3000000＝30000000（厘米）＝300千米，
设甲车的速度是3x千米/时，则乙车的速度是2x千米/时，
根据题意得
2（3x+2x）＝300，
解得x＝30，
3x＝3×30＝90，
2x＝2×30＝60．
答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时．【点睛】此题考查比例尺的意义、比的应用，能够根据比例尺进行图上距离与实际距离换
算是解题的基础．
3.整体设元法 3个
有些问题未知量太多,而等量关系又太少,若末知量的某一部分存在一个整体关系,
则可设这一部分为未知数,这样就成少了设未知数的个数,这种设元的方法叫做整
体设元法。
9．（2021·湖南·衡阳市实验中学七年级期中）小聪是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的
用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图；并
用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答
下列问题：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（2）设中间的数为 ，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于2025吗？
如能，写出这五位数，如不能，说明理由．
【答案】（1）十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；（2）5x；（3）框住的五个
数的和不能等于2025．理由见解析
【分析】（1）将五个数相加即可得出结论；
（2）设中间的数为x，则另外四个数分别为x-10、x-2、x+2、x+10，将五个数相加即可得
出结论；
（3）设中间的数为x，根据（2）的规律可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，
由x为奇数可得出框住的五个数的和不能等于2025．
【详解】解：（1）∵6+14+16+18+26=80=16×5，
∴十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；
（2）设中间的数为x，则另外四个数分别为x-10、x-2、x+2、x+10，
∴（x-10）+（x-2）+x+（x+2）+（x+10）=5x；
（3）不能，理由如下：
设中间的数为x，
根据题意得：5x=2025，
解得：x=405．∵405不是偶数，
∴框住的五个数的和不能等于2025．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，观察表格中的数据，
找出十字框中的五个数的和是中间的数的5倍是解题的关键．
10．（2021·江苏·七年级专题练习）一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大
1，个位上的数比十位上的数的3倍小1．如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数
字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求这个三位数．
【答案】738
【分析】由题意设十位上的数为x，用代数式表示原三位数是100
（2x+1）+10x+（3x-1），新三位数为100（3x-1）+10x+（2x+1），根据新数减去原数等于
99建立方程求解即可．
【详解】解：由题意设十位上的数为x，则这个数是100（2x+1）+10x+（3x-1），
把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调后的数为100（3x-1）+10x+（2x+1），
则100（3x-1）+10x+（2x+1）-[100（2x+1）+10x+（3x-1）]=99，
解得x=3．
所以这个数是738．
【点睛】本题利用了列一元一次方程解应用题，代数式来表示数，整式的减法，抓住对调
后新三位数比原来的三位数大99建立方程是解题关键．
11．（2022·江西上饶·七年级期末）一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，
那么应该怎样写呢？
在理解例题的基础上，完成下列三个问题：
例题：如何将 化为分数形式？
解：设x= ． 则10x=10× ．
由 =0.444···，可知10x=4.444···
得：10x=4+
可得 10x=4+x ，解方程，得：
于是，得 =
(1)将 化为分数形式；
(2)将 化为分数形式；
(3)将 化为分数形式．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）设 =x，根据规律公式列出关于x的方程，解方程即可．
（2）设 =x，根据规律公式列出关于x的方程，解方程即可．
（3）设 =x，得到1000x= ，10x= ，根据规律公式列出关于x的方程，解
方程即可．
(1)
解：设 =x，
∵ =0.7777…，∴10x=7.777…．
∴10x-x=7.777…-0.777…=7，即 10x-x=7，
解方程得x= ，于是得 = ；
(2)
设 =x，∵ =0.272727...，
∴100x=27.272727...，
∴100x-x=27，
解得：x= = ；
(3)
设 =x，
则1000x= ，10x= ，
则1000x-10x=321，
解得：x= ．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通
过方程形式，把无限小数化成整数形式．
4. 辅助设元法对于一些较复杂的问题,往往条件较少、关系交错,不管是直接设元还是间接设元,
都存在一定困难,这时不妨增加未知数,也就是引入辅助元,在已知量和未知量之
间架起一座“桥梁”,更好地理顺各个量之间的关系,便于列出方程.这种方法叫
做辅助设元法,也叫设而不求法。
12．（2022·湖北省宜昌市渔峡口中学七年级期中）某书城开展学生优惠购书活动，凡是一
次性购买不超过200元的一律九折优惠；超过200元时，其中的200元按九折计算，超过
200元的部分按八折计算．小军第一次购书付款72元，第二次购书享受了八折优惠，他查
看了所买书的定价，发现两次共节省了34元．
(1)求小军第一次所购书的定价是多少元？
(2)求小军第二次购书的实际付款是多少元？
【答案】(1)80元
(2)204元
【分析】（1）设小军第一次所购书的定价是 元，先判断出 ，再根据优惠方案和
小军第一次购书付款72元建立方程，解方程即可得；
（2）设小军第二次所购书的定价是 元，先判断出 ，再根据优惠方案和发现两次
共节省了34元建立方程，解方程可得 的值，然后利用 减去节省的钱即可得出答案．
（1）
解：设小军第一次所购书的定价是 元，
，
，
则 ，
解得 ，
答：小军第一次所购书的定价是80元．
（2）
解：设小军第二次所购书的定价是 元，
由题意得：小军第二次节省的钱数为 （元），
小军第二次购书享受了八折优惠，
，
则 ，
解得 ，
所以小军第二次购书的实际付款是 （元），
答：小军第二次购书的实际付款是204元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
13．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）文峰文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒
12元．
(1)文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第
二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少利润？
(2)在实际销售中，该文具店老板在以（1）中标价销售完m盒后，决定搞一场促销活动，
尽快清理库存．老板先将标价提高到每盒40元，再推出活动：购买两盒，第一盒七折，第
二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒该老板共获利600元，求m的值．
【答案】(1)320元
(2)30
【分析】（1）设第一次购买了 盒，则第二次购买了 盒，根据题意列方程，得出
每一次购买得数量，再分别算出每一批的利润，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出销售m盒的销售额、七折的销售额、半价的销售额，再根据
总销售额－成本=利润，列出方程，即可求解．
（1）
设第一次购买了 盒，则第二次购买了 盒，
依题意得： ，
解得： （盒），
∴ 第一次购买了40盒，第二次购买了30盒，
则第一批盈利： （元），
则第二批盈利： （元），
∴总共盈利： （元）．
（2）
销售m盒销售额为：20m，
七折的销售额为： ，
半价的销售额为： ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系．
14．（2021·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）列一元一次方程解应用题．
甲、乙两件服装进价共500元，商店决定把甲服装按进价提高50%标价，乙服装按进价提
高40%标价，如果两件服装均按标价的九折出售，这样商店获利共157元．甲、乙两件服
装进价分别是多少元？【答案】甲、乙两件服装进价分别是300元、200元
【分析】设甲服装进价x元，则乙服装进价（500﹣x）元，然后根据“商店获利共157
元”列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设甲服装进价x元，则乙服装进价（500﹣x）元，
x（1+50%）×0.9+（500﹣x）×（1+40%）×0.9﹣500＝157，
解得x＝300，
∴500﹣x＝200．
答：甲、乙两件服装进价分别是300元、200元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解答本
题的关键．
15．（2022·山东烟台·期末）列方程解应用题：
某商厦以每件80元的价格购进了某品牌T恤500件，并以每件120元的价格销售400件，
商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，请你帮商场计算一下，当每件衬衫降价
多少元时，销售完这批衬衫，正好达到盈利45%的预期目标．
【答案】每件T恤降价20元
【分析】设当每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫，正好达到盈利45%的预期目标，根
据销售收入﹣进货成本＝利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设每件T恤降价x元，根据题意，得
（120-80）×400+（500-400）（120-80-x）=80×500×45%
解得x=20
答：每件T恤降价20元，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
5.比值设元法
比值设元法是经常运用的一种方法,有些问题中给了几个未知数的比值关系,这时
我们可以通过它们之间的比例关系设出一份量的未知数,然后可以通过关系换算
进而得到方程,也就是知比值设份数
16．（2022·广东·九年级专题练习）列方程解应用题，若没有列方程，则给0分．
(1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为
1：2：14，计划生产这三种洗衣机各多少台？
(2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进人到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时
间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的
长度．
【答案】(1)Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台．(2)这列火车的长度300m．
【分析】（1）设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台，由于洗衣机厂今
年计划生产洗衣机25500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果．
（2）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
（1）
解：设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台，
依题意得：x＋2x＋14x＝25500
解得：x＝1500
∴2x＝2×1500＝3000，14x＝14×1500＝21000
答：Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台．
（2）
解：设火车的长度为x m，
根据题意得： ，
解得：x＝300，
答：这列火车的长度300m．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解本题的关键．
17．（2021··期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133
人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，
七年级各选出多少人？
【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69
【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出
一元一次方程即可．
【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x），
由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1，
即（192-x）：x=2：1，
解得：x=64，
∴133-64=69（人）．
答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人．
【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关
系从而可列方程求解．
18．（2021·福建南平·七年级期中）顺昌县疾控中心往三个乡镇运送新冠疫苗15000支，
其中大历、岚下、高阳、需要数量比是2：3：5，试用列方程求出各个乡镇需要新冠疫苗
多少支？
【答案】大历、岚下、高阳需要新冠疫苗分别是3000支、4500支、7500支
【分析】设大历、岚下、高阳需要新冠疫苗分别是2x、3x、5x支，根据题意列一元一次方程，解方程求解即可
【详解】解：设大历、岚下、高阳需要新冠疫苗分别是2x、3x、5x支
依题意得：2x+3x+5x＝15000
解方程得 x＝1500
所以，2x＝3000，3x＝4500 ，5x＝7500
答：大历、岚下、高阳需要新冠疫苗分别是3000支，4500支，7500支．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
19．（2021·全国·七年级课时练习）有某种三色冰淇淋50g，咖啡色､红色和白色配料的比
是2∶3∶5，这种三色冰淇淋中咖啡色､红色和白色配料分别是多少克？
【答案】咖啡色､红色和白色配料分别是 ， 和
【分析】可设比中每一份为x，那么可得用x表示的三种颜色的冰淇淋的质量，让这3个质
量之和＝50，把相关数值代入求解即可．
【详解】解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为 ，那么红色和白色配料分别为 和
．
根据题意，得 ，
解得 ，
则 ， ， ．
则这种三色冰淇淋中咖啡色､红色和白色配料分别是 ， 和 ．
【点睛】考查一元一次方程的应用，得到冰淇淋质量和的等量关系是解决本题的关键；注
意有比的问题应设比中的每一份为x．
【巩固训练】
1．（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）一项筑路工程，甲队
单独完成需要80天，乙队单独完成需要120天．若甲队每天比乙队多筑路50米，求这项
工程共需筑路多少米？
【答案】12000
【分析】设甲队每天筑路x米，则乙队每天筑路（x-50）米，根据“甲队单独完成需要80
天，乙队单独完成需要120天”列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲队每天筑路x米，则乙队每天筑路（x-50）米，根据题意得：
，
解得： ，
∴ 米，
答：这项工程共需筑路12000米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关
键．2．（2022·全国·七年级专题练习）某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用 、
两台大型设备进行加工，如果单独用 型设备，需要45天做完；如果单独用 型设备，需
要30天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
(1)填空： 型设备的工作效率是_________， 型设备的工作效率是_________；
(2)若两台设备同时加工10天后， 型设备出了故障，暂时不能工作，如果由 型设备单独
完成剩下的任务，则还需要多少天？
【答案】(1) ，
(2)20天
【分析】（1）利用工作效率 工作总量 工作时间，可得出 ， 两台设备的工作效率；
（2）先设还需要 天完成，利用 型设备完成的工作量 型设备完成的工作量 总工作
量，即可得出关于 的一元一次方程，求解即可．
（1）
解： 如果单独用 型设备，需要45天做完；如果单独用 型设备，需要30天做完，
型设备的工作效率是这批冬季校服数量的 ， 型设备的工作效率是这批冬季校服数
量的 ．
故答案为： ； ．
（2）
解：设还需要 天完成，
依题意得： ，
解得： ．
答：还需要20天完成．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一
次方程求解．
3．（2022·全国·七年级专题练习）[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部
分内容．
问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告
牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以
上信息解答下列问题：
（1）两人合作需要__________天完成．
（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，
完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
【答案】[教材改编]（1）2.4；（2）师傅和徒弟各分225元；[拓展]师傅所得报酬为306元，
徒弟所得报酬为144元．
【分析】[教材改编]（1）用总工作量除以两人的工作效率之和，即可求解；（2）两人合
作x天，根据题意，列出方程，即可求解；
[拓展]先分别求出两人完成的工作量，可得两人完成工作量相同部分，再根据工作量相同
部分的报酬，师徒按3：2分配，即可求解．
【详解】[教材改编]解：（1）两人合作的天数为： 天，
答：两人合作需要2.4天完成；
（2）设两人合作x天，根据题意得：
，
解得： ，
∴徒弟完成的工作量为 ，师傅完成的工作量为 ，
∴两人的工作量相同，
∴师傅和徒弟各分一半，即 元，
答：师傅和徒弟各分225元；
[拓展] 解：由（1）得：两人合作的时间为2.4天，
徒弟完成工作量的 ，
师傅完成工作量的 ，
两人完成工作量相同部分为 ，
徒弟所得报酬为 元，
∴师傅所得报酬为 元，
答：师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，明确题意，准确
得到数量关系是解题的关键．
4．（2022·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）甲、乙两人想共同承
包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过
1天罚款1000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．正常情况下，甲、乙两人能否履行
该合同？
【答案】能履行该合同【分析】设甲、乙两人合作需要 天完成，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：能履行该合同
理由如下：设甲、乙两人合作需要 天完成，根据题意，
，
解得 ，
因为 ，所以甲、乙两人能履行该合同
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2022·云南文山·七年级期末）某体育用品专卖店准备购进篮球服和足球服两种运动服
装，根据批发商提供的信息，每套篮球服的价格比每套足球服的价格多5元，进购5套篮
球服和4套足球服共需700元．
(1)篮球服和足球服的进购单价各是多少元？
(2)专卖店第一次进购了两种服装共260套，并且将篮球服和足球服的售价均定为每套100
元，售完后获得总利润5800元，求专卖店第一次进购了两种服装各多少套？
(3)由于进购的服装销售情况良好，所以专卖店又进购了一批服装，两种服装的数量分别与
上次相同，且批发商对所有服装都给予了八折的优惠．因此专卖店采取了篮球服在上次售
价的基础上打折，足球服售价不变的方式销售，结果全部售完后总利润比上次还多540元，
求篮球服打了几折？
【答案】(1)篮球服的进购单价为80元，足球服的进购单价为75元
(2)篮球服进购了140套，足球服进购了120套
(3)篮球服打了七五折
【分析】（1）设每套足球服进购单价为x元，则篮球服每套 元，根据等量关系式：
进购5套篮球服+4套足球服=700元，列出方程，解方程即可；
（2）设篮球服进购了m套，则足球服进购了 套，根据等量关系式：篮球服获利
+足球服获利=5800元，列出方程，解方程即可；
（3）先算出篮球服和足球服的进价，然后设篮球服打的折扣为y，根据等量关系式：篮球
服获利+足球服获利=5800元+540元，列出方程，解方程即可．
(1)
解：设每套足球服进购单价为x元，则篮球服每套 元，根据题意得：
，
解得： ，
∴篮球服每套 元，
答：篮球服的进购单价为80元，足球服的进购单价为75元．
(2)
解：设篮球服进购了m套，则足球服进购了 套，根据题意得：，
解得： ，
∴足球服进购了 套，
答：篮球服进购了140套，足球服进购了120套．
(3)
解：篮球服进价： 元/套，
足球服进价： 元/套，
设篮球服打的折扣为y，根据题意得：
，
解得： ，
七五折，
答：篮球服打了七五折．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系，列出方
程，是解题的关键．
6．（2022·湖北恩施·七年级期末）元旦期间，某商场将甲种商品降价40%，乙种商品降价
20%开展优惠促价活动．已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为1200元，小敏的妈妈参
加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付800元．
(1)甲、乙两种商品原销售单价各是多少元？
(2)商场在这次促销活动中销售甲种商品800件，销售乙种商品1500件，共获利99000元，
已知每件甲种商品的利润比乙种商品的利润低20元，那么甲、乙两种商品每件的进价分别
是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种商品原销售单价分别是800元和400元
(2)甲、乙两种商品每件的进价分别是450元和270元
【分析】（1）设甲商品原销售单价是 元，则乙商品原销售单价是 元，再利用
小敏的妈妈参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付800元．列方程，再解方程即可；
（2）设每件甲种商品的利润是 元，则每件乙种商品的利润是 元，利用这次促销
活动中销售甲种商品800件，销售乙种商品1500件，共获利99000元，再列方程，解方程
即可．
(1)
解：设甲商品原销售单价是 元，则乙商品原销售单价是 元
由题意可列方程：
解得： ，
∴
答：甲、乙两种商品原销售单价分别是800元和400元．(2)
设每件甲种商品的利润是 元，则每件乙种商品的利润是 元，
由题意可列方程：
解得： ，
∴
∴ （元）， （元），
所以，甲、乙两种商品每件的进价分别是450元和270元．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的
关键．
7．（2020·山西·七年级期中）山西省某人民医院门口有一个长为 的长方形电子显示
屏，如图所示，医院的有关重要通知事项都会在电子显示屏播出，由于事项的名称不同，
字数也就不等，为了制作方便、显示美观，负责播出的工作人员对有关数据作出了如下规
定：边空宽：字宽：字距 ．请用列方程的方法解决下列问题：为欢迎援鄂抗疫英雄
凯旋，需要输人迎接词共 个字，求此时的字距．
【答案】
【分析】根据边空宽：字宽：字距 的比例，设字距为 ,则边空宽为 ,字宽为，
然后再根据题干中的等量关系列写等式解得
【详解】解:设字距为 ,则边空宽为 ,字宽为
由题意得
解得
经检验, 符合题意
答:此时字距是
【点睛】本题考查含有比例的一元一次方程的应用，常见方法为根据比例系数来设未知数，
然后列写方程
8．（2017·湖南怀化·七年级期末）列方程解应用题
某建筑公司有甲.乙两个施工队，甲队的技术人员人数是乙队技术人员人数的2倍.今年公司进行人员调整，从甲施工队调出10名技术人员到乙施工队，结果两队技术人员相等了.
（1）原来甲.乙两施工队各有多少技术人员
（2）若这个建筑公司的人员人数比例是：领导:技术人员:工人=0.2:1:10，那么这个公司有
多少人员？
【答案】(1)甲队有40名技术人员，乙队有20名技术人员；（2）总人数是672；
【分析】（1）根据题意设原来乙队技术员有x人，从而可以用x的代数式表示出甲队的技
术人员，然后列出方程即可求解；
（2）根据（1）中的结果和人员人数比例，进行分析即可求得这个公司有多少人员．
【详解】解：（1）设乙队技术员有x人，则甲队技术人员为2x人，
列方程得2x-10=x+10,
解得x=20，
∴2x=40，
所以甲队有40名技术人员，乙队有20名技术人员；
（2）由（1）可知，这个公司的技术人员有：40+20=60（人），
∵这个建筑公司的人员人数比例是：领导：技术人员：工人=0.2：1：10，
∴这个公司的领导有：60×0.2=12（人），工人有：60×10=600（人），
∴这个公司一共有：12+60+600=672（人），
答：这个公司有672人．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，
利用方程的知识进行分析解答．
