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第一章 有理数易错训练与压轴训练
01 题型导图
目录
易错题型一 带“非”字的有理数............................................................................................................................1
易错题型二 化简的多重符号.....................................................................................................................................5
易错题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负................................................................................................7
压轴题型一 根据点在数轴的位置化简绝对值......................................................................................................10
压轴题型二 利用分类讨论数学思想化简绝对值..................................................................................................12
压轴题型三 求解绝对值方程...................................................................................................................................15
压轴题型四 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值..........................................................................................17
02 易错题型
易错题型一 带“非”字的有理数
例题：（23-24七年级上·辽宁营口·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内
， ， ， ，0，
(1)整数集合{____________________……}；
(2)分数集合{____________________……}；
(3)非负数集合{____________________……}．
【答案】(1) ， ，0
(2) ， ，
(3) ， ，0
【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义．
（1）根据整数的定义进行判断即可；
（2）根据分数的定义进行判断即可；
（3）根据非负数的含义进行判断即可．【详解】（1）解：整数集合{ ， ，0……}；
故答案为： ， ，0；
（2）解：分数集合{ ， ， ……}；
故答案为： ， ， ；
（3）解：非负数集合{ ， ，0……}．
故答案为： ， ，0．
巩固训练
1．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内
， ， ， ，0， ， ， ， 、 ……
(1)整数集合{__________……}；
(2)分数集合{__________……}；
(3)非负数集合{__________……}；
(4)有理数集合{__________……}．
【答案】(1) ， ，0， ，
(2) ， ， ， ， ……
(3) ， ，0， ， ……
(4) ， ， ， ，0， ， ，
【分析】此题考查有理数的分类，熟练掌握整数、分数、非负数、有理数的意义是解题的关键．
（1）化简后，找出所有的整数即可；
（2）找出所有的分数即可；
（3）找出所有的非负数即可；
（4）找出所有的有理数即可．【详解】（1） ， ，
整数有： ， ，0， ，
故答案为： ， ，0， ，
（2）分数有： ， ， ， ， ……
故答案为： ， ， ， ， ……
（3）非负数有： ， ，0， ， ……
故答案为： ， ，0， ， ……
（4）有理数有： ， ， ， ，0， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ，0， ， ，
2．（23-24七年级上·福建福州·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：
， ， ， ， ， ， ，0．
(1)负整数集合：{ …}；
(2)非负整数集合：{ …}；
(3)正分数集合：{ …}；
(4)负分数集合：{ …}．
【答案】(1) ，
(2) ，0
(3) ，
(4) ，
【分析】根据整数，负数，非负整数，负分数及正分数的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：负整数集合：{ ， …}，故答案为： ， ．
（2）非负整数集合：{ ，0 …}，
故答案为： ，0．
（3）正分数集合：{ ， … }，
故答案为： ， ．
（4）负分数集合：{ ， …}，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的
定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
3．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）将下列各数填入相应的集合中：
， ， ， ，0， ．
负数集合：{ }；
分数集合：{ }；
整数集合：{ }；
非负数集合：{ }；
【答案】 ， ； ， ， ， ；0， ； ， ， ，0
【分析】本题考查了有理数的分类；根据有理数的分类将符合题意的数据填入即可求解．
【详解】解： ， ，
负数集合：{ ， }；
分数集合：{ ， ， ， }；
整数集合：{0， }；非负数集合：{ ， ， ，0}；
故答案为： ， ； ， ， ， ；0， ； ， ， ，0．
4．（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
正数集合：{ …}
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
非负整数集合：{ …}
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、整数、分数、非负整数的定义进行分类即可．
【详解】解：正数集合： ， ， ， ， ， ；
整数集合： ， ， ， ；
正分数集合： ， ， ， ；
非负整数集合： ， ．
易错题型二 化简的多重符号
例题：（2024·湖南·中考真题）计算： ．
【答案】2024
【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可
求解．
【详解】解： ，
故答案为：2024．
巩固训练
1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可，本题考查了相反数，多重符号的化简方法，熟练掌握以上方法是解
题的关键．
【详解】解：A、 ，不符合题意
B、 ，不符合题意
C、 ，符合题意
D、 ，不符合题意
故选：C．
2．（22-23七年级上·海南海口·期中）下列化简，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键．
根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答．
【详解】解；A、 ，故A选项正确，符合题意；
B、 ，故B选项错误，不符合题意；
C、 ，故C选项错误，不符合题意；
D、 ，故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
3．（23-24六年级下·全国·假期作业） 的相反数是 ．
【答案】【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相
反数是0是解题的关键．先化简数字，根据相反数的定义求解即可．
【详解】解： ，
的相反数是 ，
的相反数是 ．
4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简 ．
【答案】 /
【分析】本题考查相反数，解题的关键是切记求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，
若原数带有符号（不论正负），则应先添括号，根据相反数的定义即可得到答案．
【详解】解： ；
故答案为： ．
5．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】 8 6
【分析】本题考查了符号的化简，同号得正，异号得负．
根据化简符号的规律进行解答即可．
【详解】解：（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） ．
易错题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负
例题：（2023·广西北海·一模）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“ ”，
“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能根据数轴得出 ，是解此题的关键．
根据 可知a、b异号，结合a、b在数轴上的位置得到： ．
【详解】解: ， ，
．
故答案为： ．
巩固训练
1．（22-23七年级下·广东惠州·阶段练习）点 ， 在数轴上的位置如图，则 ，
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出 与 的正负即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置得： ，且 ，
则 ， ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．
2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）已知有理数 ， 在数轴上对应的点如图所示，那么下列结论正
确的有（填序号） ．
① ；② ；③【答案】 /
①②②①
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知： ，即可求解．
【详解】解：由数轴可知： ，
∴ ，
故①②正确，③错误，
故答案为：①②．
3．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中① ；②
；③ ；④ ，⑤ 其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③⑤
【分析】本题主要考查数轴，根据数轴判断式子的正负． 根据数轴可知： ，可得 ， ，
，根据 ，且 ，可得 ，根据 ，可得
， ．
【详解】解：根据数轴可知： ，
∴ ， ， ，
故①⑤正确，④错误．
∵ ，且 ，
∴ ，
故②错误，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确，
综上，①③⑤正确，
故答案为：①③⑤．
4．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）数a、b在数轴上的对应位置如图所示，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ；
其中正确的有 （填写序号）．
【答案】③④
【分析】根据数轴得到 ，再对各个选项进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得 ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
故答案为：③④．
【点睛】本题考查有理数比较大小，解题的关键是根据数轴得到有理数的范围．
03 压轴题型
压轴题型一 根据点在数轴的位置化简绝对值
例题：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：(1)比较a﹣b与a+b的大小；
(2)化简|b﹣a|+|a+b|．
【答案】（1）a﹣b＞a+b；（2）﹣2b．
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小；
（1）用作差法比较大小；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值号，再进行加减．
【详解】解：由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
（1）∵（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b＞0，
∴a﹣b＞a+b；
（2）因为b﹣a＜0，a+b＜0，
所以|b﹣a|+|a+b|
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练的掌握实数的大小比较方法.
巩固训练
1.已知有理数 在数轴上的位置如图所示：
（1）判断正负，用“>”、“<”或“=”填空： , ,
（2）化简： .
【答案】（1）＜；＞；＜；（2）a．
【分析】（1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解；
（2）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可．
【详解】（1）根据数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＜0，a−b＞0，a＋b+c＜0，
故答案为：＜；＞；＜；
（2）根据数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，
∴b−c＜0，a−b＜0，a＋c＞0，
∴
＝−（a+c）+（a+b+c）＋（a-b）＝-a-c +a+b+c＋a-b
＝a．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解决此题的关键是能够根据数轴上
的信息，判断出a，b，c等字母的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用．
2.已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|
（1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数．
（2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|
【答案】（1）图详见解析,﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）0
【分析】（1）根据已知得出a＜0，b＞0，|b|＞|a|，再在数轴上标出即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）
﹣b＜a＜﹣a＜b；
（2）∵有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|，
∴2a-b＜0，2b-a＞0，
∴|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|
＝﹣2a+b﹣（2b﹣a）+（a+b）
＝﹣2a+b﹣2b+a+a+b
＝0．
【点睛】此题考查有理数的大小比较，正确理解数的正负性、绝对值的性质是解题的关键.
3.问题一：如图，试化简： ．
问题二：表示有理数 的点在数轴上的位置如图所示，
（1）比较 的大小关系
（2）化简： ．【答案】问题一： ；问题二：（1）a＜c＜b＜-a；（2）
【分析】问题一：根据绝对值的定义进行化简即可；
问题二：（1）根据数轴上的点进行比较即可；
（2）根据绝对值的定义进行化简即可．
【详解】解：问题一：由图可得：b＞0，c＜a＜0， ，
=
= ；
问题二：（1）由图可得：a＜c＜0，b＞0， ，
∴a＜c＜b＜-a；
（2）
=
=
【点睛】此题主要考查了数轴，有理数的大小比较以及整式的加减运算，正确去绝对值是解题关键．
压轴题型二 利用分类讨论数学思想化简绝对值
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知 、 、 均为不等式0的有理数，
则 的值为 ．
【答案】3，-3，1，−1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时， =1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时， = =−1−1−1=−3；
(3)当a>0，b>0，c<0时， = =1+1−1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时， = =−1−1+1=−1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．故答案为：3，-3，1，−1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
巩固训练
1.（2023秋·七年级单元测试）若 ，则 ．
【答案】
【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， 或 ， ，
若 ， ，则 ；
若 ， ，则 ；
综上所述， 的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．
2.（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知 、 ，那么 ＝
【答案】±2或0
【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2，
当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，
当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0，
当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
故答案为：±2或0．
【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键．
3.（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若 ， ；若 ， ；（2）若 ，则 ＝ ；
（3）若 ，则 ．
【答案】（1）1， ；（2）1；（3）1或 ．
【分析】（1）根据 的取值，去绝对值符号，然后化简即可；
（2）由（1）可知，结合 可知 即 ，化简即可；
（3）结合 可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化
简即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1；
（3）∵ ，
∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，
当a、b、c中有一个负数、两个正数时，，
当a、b、c中有三个负数时，
，
故答案为：1或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
压轴题型三 求解绝对值方程
例题：（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1) 或
(2) 或
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程
的解；
（2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（4）首先对方程进行整理，得出 ，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，
然后解出方程，即可得出原方程的解．
【详解】（1）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ；
（2）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，∴原方程的解为： 或 ；
（3）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ；
（4）解： ，
整理，可得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ．
【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝
对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．
巩固训练
1.（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：
的含义是数轴上表示数 的点与原点的距离，即 ，也就是说， 表示在数轴上数 与数0对应
的点之间的距离；因此可以推断 表示在数轴上数 与数1对应的点之间的距离．例如， ，就
是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为 或 ；回答问题：
(1)若 ，则 的值是______；
(2)利用上述方法解下列方程：① ；②
【答案】(1)
(2)① 或 ，② 或
【分析】（1）根据 表示在数轴上数 与数0对应点之间的距离，求解即可；
（2）①根据 ，表示在数轴上与3的距离为2的点对应的数，求出答案；
②根据 ，表示在数轴上表示数 的点到表示数1与表示数3的距离之和为8，求出答案．【详解】（1）解： ，数轴上表示数 的点到原点的距离为2，因此 或 ，
故答案为： ；
（2）①在数轴上到3的距离为2的点对应的数，
或 ．
②在数轴上到1和3的距离和为8的点对应的数，
或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关
键．
压轴题型四 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值
例题：（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B
两点之间的距离表示为 ，在数轴上A、B两点之间的距离 ．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是 ，则点A和B之间的距离是 ，若 ，那么x为 ；
(3)利用数轴，求 的最小值 ；
(4)当x是 时，代数式 ；
【答案】(1)3，4
(2) ， 或0
(3)3
(4) 或2
【分析】本题考查两点间的距离．绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行
求解，是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（3）设表示x的点为M，表示 的点为A，表示1的点为B，则 是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和．结合数轴，根据点M的位置分类讨论计算 即可；
（4）由（3）可得当 或 时， 才成立，分 和 两种情况，去掉绝对值
符号，求解即可．
【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，
数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ．
故答案为：3，4
（2）表示数x的点A和表示 的点B之间的距离 ，
若 ，则点A到点B的距离为2，
∵点B表示的数是 ，
∴点A表示的数是 或0，
∴x为 或0．
故答案为： ， 或0
（3）设表示x的点为M，表示 的点为A，表示1的点为B，则 是点M与点A的距离与点M
与点B的距离之和，即 ．
若点M在点A的左侧，即 ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
若点M在线段 上，即 ，如下图：
，
则 ，∴ ；
若点M在点B的右侧，即 ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上所述， ，即 的最小值为3．
故答案为：3
（4）由（3）可得当 或 时， 才成立，
当 时， 可化为： ，
解得： ，
当 时， 可化为： ，
解得： ，
综上，当 或2时， ．
故答案为： 或2
巩固训练
1.（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与 ， 与
．并回答下列各题：
(1)数轴上表示4和 两点间的距离是______；表示 和 两点间的距离是______．
(2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为 ．
①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）；
②如果数轴上A、B两点间的距离为 ，求x的值．(3)直接写出代数式 的最小值为______．
【答案】(1)6；4
(2)① ② 或
(3)5
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，化简绝对值，理解绝对值的几何意义是解本题
的关键．
（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；
（2）①根据数轴上两点间距离的求法列出代数式化简即可；②将 代入由①所得的式子，求解即可；
（3）根据绝对值的性质，分段讨论 取值，即当 时，当 时，当 时，分别化简
，取最小值比较即可得出答案．
【详解】（1）解：表示4和 两点间的距离是 ，
表示 和 两点间的距离是 ，
故答案为：6；4．
（2）解：① 数轴上的点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，
数轴上A、B两点间的距离可以表示为 ，
故答案为： ；
②若数轴上A、B两点间的距离为 时，
则 ，解得 或 ，
的值为 或 ．
（3）解：当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
综上所述得 的最小值为5，
故答案为：5．
2.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点
之间的距离表示为 ．则 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示有理
数 的点之间的距离．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ；
(3)式子 的最小值为 ；
(4)若 ，则 ；
(5)式子 的最小值为 ，此时 ．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
(4) 或
(5) ；
【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解，
（2）根据绝对值的几何意义，确定 在 和 之间，化简后，即可求解，
（3）根据绝对值的几何意义，确定 在 和 之间，化简后，即可求解，
（4）根据绝对值的几何意义，分 在 左侧时， 在 右侧时，两种情况，分别化简后，即可求解，（5）根据绝对值的几何意义，确定 在 和 之间， 取最小值，当 时， 取最小值，
即可求解，
本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定 的范围．
【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义， 表示 到 的距离等于 ，
或 ，
故答案为： 或 ，
（2）解：根据绝对值的几何意义， 表示 到 的距离等于 到 的距离，
在 和 之间，
，
，
故答案为： ，
（3）解：根据绝对值的几何意义， 的最小值表示 到 的距离与 到 的距离之和最小，
在 和 之间的线段上，
的最小值是 ，
故答案为： ，
（4）解：根据绝对值的几何意义， 表示 到 的距离与 到 的距离之和等于 ，
当 在 左侧时， ， ，解得： ，
当 在 右侧时， ， ，解得： ，
故答案为： 或 ，
（5）解：根据绝对值的几何意义， 的最小值表示 到 的距离与 到 的距离与 到
的距离之和最小，
由（3）可知 在 和 之间的线段上时， 取最小值 ，
当 时， 取最小值 ，
当 时， 取最小值 ，
故答案为： ； ．3.（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）：
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；
①数轴上表示数3和 的两点距离为 ；
②则 的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离．
（2）实际应用（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点
输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小；
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工
点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小；
③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个
加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小．
（3）结论应用（填空）；
①代数式 的最小值是 ；
②代数式 的最小值是 ；
③代数式 的最小值是 ．
【答案】（1）①4；②x， ；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；
③18
【分析】
（1）①按照化简绝对值的求法即可；
② ，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离；
（2）①通过观察，比较可得点 在点 、 之间时，可使 到 的距离与 到 的距离之和最小，为线段
长；
②通过观察，比较可得点 在点 处时， 到 ， ， 三点的距离之和最小，为线段 的长；③通过观察，比较可得点 在点 、 之间，才能使 到 ， ， ， 四点的距离之和最小，为
的长；
（3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和 之间的距离；
②结合（2）中的②，可得最小距离为 和2之间的距离；
③结合（2）中的③，可得最小距离为 和5， 和2的距离之和．
【详解】
解：（1）① ；
故答案为：4；
② ，
的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；
故答案为： ， ；
（2）①点 可能在点 的左边，点 和点 之间，点 的右边；
当点 在点 的左边或点 的右边时， 的长度均大于 的长度；
当点 在点 和点 之间时， 的长度等于 的长度．
当材料供应点 在点 和点 之间时， 到 的距离与 到 的距离之和最小．
故答案为：点 、点 之间；
②当点 在点 处时， 到 ， ， 三点的距离之和为 的长度；
当点 在除点 外的任意位置时， 到 ， ， 三点的距离之和均大于 的长度．
材料供应点 应设在点 ，才能使 到 ， ， 三点的距离之和最小；
故答案为：点 ；
③当点 在点 、 之间时， 到 ， ， ， 四点的距离之和为 的长度；
当点 在除点 、 之间的任意位置时， 到 ， ， ， 四点的距离之和均大于 的长度；
材料供应点 应设在点 、 之间，才能使 到 ， ， ， 四点的距离之和最小；
故答案为：点 、点 之间；
（3）① ，
在点 和4之间．代数式 的最小值 ；
故答案为：7；
② ，
时．代数式 的最小值 ；
故答案为：8；
③ ，在2和 之间，代数式 的最小值 ；
故答案为：18．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点
时，动点 在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键．
