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必考点 03 多边形及其内角和
●题型一 利用内、外角和公式求边数
★★★1、已知正多边形的内角度数，求边数
【例题1】（2022春•会宁县期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的3倍，则这个正多边
形是（ ）
A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形
【例题2】（2022•麻栗坡县校级模拟）若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的内角和的度数
为（ ）
A．1080° B．1260° C．1350° D．1440°
【例题3】（2022春•南阳期末）已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正
多边形的边数和它的内角和．
★★★2、已知多边形的内角和，求边数
【例题4】（2022春•洋县期末）如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是 边形．
【例题5】（2021秋•仁怀市校级月考）若两个多边形的边数之比为2：3，两个多边形的内角和之和为
1080°，求这两个多边形的边数．
★★★3、已知多边形的内角和与外角和的关系，求边数
【例题6】（2021秋•泰山区期末）某多边形的内角和与外角和的总和为 2160°，此多边形的边数是（
）
A．9 B．10 C．11 D．12
【例题7】（2022•顺德区一模）若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为
．
【解题技巧提炼】
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三
角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但
这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．●题型二 利用内、外角和公式求角度
★★★1、求多边形的外角的度数
【例题8】（2022•射洪市模拟）若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为720°，该多边形的一个外
角是（ ）
A．60° B．70° C．72° D．90°
【解题技巧提炼】
多边形求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．同时考查了多边形内角与相邻外角是互补的关
系．当多边形的每个内角都相等时每个外角也相等，也可以用 来求每个外角的度数.
★★★2、求多边形的内角的度数
【例题9】（2022春•越城区期末）如果一个八边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数
等于 度．
【解题技巧提炼】
多边形求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．同时考查了多边形内角与相邻外角是互补的关
系．正多边形的每个内角的度数为 ，当多边形的每个内角都相等时每个外角也相等，也可以
用 来求每个外角的度数,则每个内角的度数为 .
★★★3、求两个角的和【例题10】 （2022春•青龙县期末）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图
中∠α+∠β的度数是（ ）
A．220° B．180° C．270° D．240°
【例题11】如图，将四边形ABCD去掉一个70°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1+∠2= ．
★★★4、求复杂几何图形中相关角的和
【例题12】（2022春•无锡期中）小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
的度数为（ ）
A．360° B．540° C．600° D．720°
【例题13】（2022春•内江期末）如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+CF＝360°
【解题技巧提炼】
转化思想是将复杂的问题转化成简单的问题，或将陌生的问题转化长熟悉的问了来处理的一种思想方
法，
本章中的多边形问题是转化成三角形问题来解决，在求一个图形中的多个角时，常把它们转化为一个多
边
形的内角来处理，再利用内角和公式来计算，有时也要用到外角来转化.
●题型三 多边形对角线公式的应用
【例题14】（2022春•黔江区期末）如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么过这个多边形的一个顶
点可作对角线的条数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2
【例题15】（2022春•惠济区期末）若一个多边形的外角和是它内角和的 ，那么这个多边形从一个顶点
3
可以作（ ）条对角线．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题技巧提炼】多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，
所以n边形对角线的总条数为： （n≥3，且n为整数）
（3）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，
●题型四 多边形内角和公式在实际问题的应用
【例题16】将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直
于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大
小是 度．
【解题技巧提炼】
根据多边形的内角和计算公式求正五边形的内角,正多边形的每个内角的度数为 ，也可以用
来计算较简便.
●题型五 多边形外角和公式在实际问题的应用
【例题17】（2021秋•上思县期末）如图，小明从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右
转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）A．240m B．230m C．220m D．200m
【解题技巧提炼】
本题是用运动的角度来看外角和，他第一次回到出发点A, 所转度数之后就是这个多边形的内角和，多边
形的外角和除以一个外角就得多边形的边数，从而确定运动的路程.
●题型六 与多边形内角和有关的开放型问题
【例题18】（2021秋•回民区校级月考）将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是
（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．3个或4个或5个
【例题19】（2021秋•新城区校级期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八
边形，则原多边形纸片的边数可能是 ．
【解题技巧提炼】
1、一个多边形剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一
边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．
2、一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．
●题型七 与多边形内角和有关的探究型问题
【例题20】（2021春•徐州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ 度；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F
＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为 ．
【解题技巧提炼】
综合运用多边形的内角和与外角和性质，常常是四边形的内角和以及三角形的内角和的综合运用，并且
熟练运用平行线性质和角平分线的定义．
◆题型一 利用内、外角和公式求边数
1．（2022春•卧龙区期末）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
2．（2022•云南模拟）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是 3：1，
这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．123．（2022春•章丘区期末）一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
◆题型二 利用内、外角和公式求角度
4．（2021春•盱眙县期中）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为 1800°，那么这个多边形的一
个外角是（ ）
A．72° B．60° C．36° D．30°
5．（2021•禅城区校级三模）如图，在正六边形ABCDEF中，若去掉一个角得到一个七边形，
则∠1+∠2= 度．
6．（2021春•遂宁期末）如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ ．
7．（2021秋•饶平县校级期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角
的一半．
（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的内角和．
8．（2021春•薛城区期末）已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
◆题型三 多边形对角线公式的应用
9．（2022春•禅城区期末）过一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形．这个
多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
10．（2021秋•赛罕区校级月考）如果一个多边形内角和是外角和的 4倍，那么这个多边形有（ ）条
对角线．
A．20 B．27 C．35 D．4411．（2022春•市中区校级月考）若一个多边形的内角和为1080°，则从此多边形的一个顶点出发可作的
对角线共有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
◆题型四 多边形内角和公式在实际问题的应用
12．用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不
计，如图2），在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形 AMDN中，∠MDN的度数为
（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
◆题型五 多边形外角和公式在实际问题的应用
13．（2021秋•凉州区期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10
米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（ ）
A．100米 B．110米 C．120米 D．200米
14．（2021春•炎陵县期末）如图，淇淇从点A出发，前进10米后向右转20°，再前进10米后又向右转
20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）淇淇一共走了多少米？说明理由．
（2）求这个多边形的内角和．
◆题型六 与多边形内角和有关的开放型问题
15．（2021秋•郧阳区期中）若一个多边形截去一个角后，变成十六边形，那么原来的多边形的边数为（
）
A．15或16或17 B．16或17 C．15或17 D．16或17或18
16.小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍
发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
◆题型七 与多边形内角和有关的探究型问题
17．（2021秋•拜泉县期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）求：∠ABC+∠ADC＝ °；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，写出DE与BF的位置关系．
（3）如图②，若BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，对（2）和
（3）任选一个加以证明．
1．（2021秋•雁塔区校级期末）从十边形的一个顶点出发可以引 条对角线，将这个十边形分成
了 个三角形，十边形的内角和为 度．
2
2．（2021秋•浑源县期中）若一个多边形的外角和是它内角和的 ，那么这个多边形是（ ）
3
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（2022•鼓楼区校级开学）如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）A．70° B．80° C．90° D．100°
4．（2022春•南阳期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．720° B．540° C．180° D．360°
5．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形
的周长 （填：大或小），理由为 ．
6．（2022•易县三模）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）A．72° B．84° C．82° D．94°
7．（2021春•烟台期中）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到 2003个三角
形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
8．（2022•仙游县模拟）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、
∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．（2021•桥西区校级模拟）如图，正五边形 ABCDE，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD，则
∠BDG＝（ ）
A．144° B．120° C．114° D．108°
10．（2022春•双峰县期中）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的 3倍还大
20°，求这个多边形的内角和．11．（2022•石家庄模拟）看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
12．（2021春•太康县期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的 3倍还大
20°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？13．（2021秋•余干县月考）如图，将六边形纸片 ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
14．如果一个多边形的最小的一个内角为120°，比它稍大的一个内角为125°，以后依次每一个内角比前
一个内角大5°，且所有内角和与最大的内角的度数之比为63：8，求这个多边形的边数及最大内角的
度数．
15．如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．
（1）图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）图甲中的点A向下移到BE上时（如图乙）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变
化？试说明理由
（ 3 ） 把 图 乙 中 的 点 C 向 上 移 动 到 BD 上 时 （ 如 图 丙 所 示 ） ， 五 个 角 的 和 （ 即
∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？试说明理由．
16．已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）如图1，求∠B与∠D的和为多少度？
（2）如图2，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：BE∥DF．17．（2021春•淅川县期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说
明理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为
．
18．（2021春•沭阳县期中）（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，
CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．
①若∠A＝50°，则∠O＝ ，∠P＝ ；
②若∠A＝α，则∠O＝ ，∠P＝ ．（用含α的式子表示）（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数
量关系，并说明理由．
