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第九章 平面直角坐标系章末测试卷
能力提升培优测
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：平面直角坐标系（人教版2024）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题意可得a＜0，b＞0，从而可得ab＜0，﹣b＜0，然后根据平面直角坐标系中每一象限点的
坐标特征，即可解答．
【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，﹣b＜0，
∴点B（ab，﹣b）所在的象限是第三象限，
故选：C．
2．（3分）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣
1，3），（1，0），则叶柄底部点C的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，1） C．（1，0） D．（4，1）
【分析】根据点与点的相对位置即可求解．
【解答】解：由图可知：点B向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度即可得到点C，
故点C的坐标为（1+3，0+1），即：（4，1），
故选：D．3．（3分）在平面直角坐标系中，点M坐标为（﹣2，3），若MN∥x轴，且线段MN＝2，则点N坐标为（
）
A．（0，3） B．（﹣4，3）
C．（0，3）或（﹣4，3） D．（3，0）或（﹣3，﹣4）
【分析】根据点M坐标为（﹣2，3），MN∥x轴，且线段MN＝2，可以得到点N的纵坐标为3，横坐标为
﹣2﹣2＝﹣4或﹣2+2＝0，然后即可写出点N的坐标．
【解答】解：∵点M坐标为（﹣2，3），MN∥x轴，
∴点N的纵坐标为3，
又∵线段MN＝2，
∴点N的横坐标为﹣2﹣2＝﹣4或﹣2+2＝0，
∴点N的坐标为（﹣4，3）或（0，3），
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，A（3，m），B（7，m），将线段AB向下平移2m（m＞0）个单位后得到
A B ，A、B的对应点分别为A 、B ，恰好构成的四边形AA B B为正方形，则m的值是（ ）
1 1 1 1 1 1
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形AA B B为正方形，
1 1
∴AB＝AA ，
1
∴2m＝7﹣3，
∴m＝2，
故选：B．
5．（3分）如图，已知直线l ⊥l ，且在某平面直角坐标系中，x轴∥l ，y轴∥l ，若点A的坐标为（2，
1 2 1 2
1），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴第A在第一象限，点B在第三象限，
∵x轴∥l ，y轴∥l ，
1 2∴可以建立如下坐标系，
∴点C在第四象限，
故选：D．
6．（3分）某景区有A，B，C三个景点（如图所示），以志愿者服务站O为坐标原点建立直角坐标系（以南
北方向为纵轴，东西方向为横轴），则A，B，C三个景点的坐标分别为（0，3），（﹣4，1），（0，﹣
3）．若要使志愿者服务站O到三个景点的距离都相等，则该志愿者服务站O需要（ ）
A．向上平移2个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度
【分析】根据题意，画出平面直角坐标系，再根据点O到A，B，C三个点的距离相等，得出点O在△ABC
三边的垂直平分线上，据此可解决问题．
【解答】解：如图所示，∵点O到A，B，C三个点的距离相等，
∴点O需在△ABC三边的垂直平分线上．
分别作出AC和BC边的垂直平分线，相交于点M，
∴点O需要向左平移1个单位长度．
故选：D．
7．（3分）已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐
点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】直接利用“和谐点”的定义得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，
∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点M在第三象限．
故选：B．
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点A（2，﹣a﹣1），点B（2，3﹣a），点C（﹣2，﹣a
﹣1），则△ABC的面积为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据A（2，﹣a﹣1），C（﹣2，﹣a﹣1）得点A，C关于y轴对称，进而得AB⊥y轴，且AC＝
4，再根据点A（2，﹣a﹣1），点B（2，3﹣a）得点A，B在直线x＝2上，进而得AB⊥AC，且AB＝4，
据此可得△ABC的面积．
【解答】解：∵点A（2，﹣a﹣1），C（﹣2，﹣a﹣1）的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
∴点A，C关于y轴对称，
∴AB⊥y轴，
又∵点A在第一象限，
∴点C在第二象限，
∴AC＝|2﹣（﹣2）|＝4，
∵A（2，﹣a﹣1），点B（2，3﹣a）的横坐标相同，
∴点A，B在直线x＝2上，
∵直线x＝2与y轴平行，
∴AB⊥AC，且AB＝|﹣a﹣1﹣（3﹣a）|＝4，1 1
∴S△ABC =
2
AB•AC =
2
×4×4＝8．
故选：B．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（a2+3，0），B（a2+3，a2+3），C（a2+6，b2+9），连接AB，AC，
BC．若∠OAB＝∠ABC，则a2﹣b2的平方根为（ ）
A．±1 B．±❑√3 C．±❑√5 D．±❑√6
【分析】根据点A，B的坐标可知，点A，B在垂直于x轴的一条直线上，于是∠OAB＝∠ABC＝90°，进而
可知点B，C在平行于x的轴的一条直线上，得到b2+9＝a2+3，即a2﹣b2＝6，再利用平方根的定义求解即
可．
【解答】解：∵A（a2+3，0），B（a2+3，a2+3），
∴点A，B在垂直于x轴的一条直线上，
∴AB⊥x轴，
∴∠OAB＝90°，
若∠OAB＝∠ABC，则∠ABC＝90°，如图，
∴点B，C在平行于x的轴的一条直线上，
∴b2+9＝a2+3，即a2﹣b2＝6，
∴a2﹣b2的平方根为±❑√6．
故选：D．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（a+3，a），其中a为整数．点C在线段AB
上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（ ）个．
A．3 B．4 C．6 D．7
【分析】由题意知，点A，B在平行x轴的同一条直线上，分a＞0，﹣3≤a≤0和a＜﹣3三种情况讨论，
分别作出不同情况下的图形，结合a为整数即可求解．
【解答】解：如图，当a＞0时，此时，在线段AB上不存在点C在y轴上；
如图，当﹣3≤a≤0时，
此时，在线段AB上存在点C在y轴上，
∵a为整数，
∴a的所有取值为﹣3，﹣2，﹣1，0，
∴满足条件的点C的坐标有4个；
如图，当a＜﹣3时，
此时，在线段AB上不存在点C在y轴上．
综上，满足条件的点C的坐标有4个．
故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2m﹣3，3m﹣1）在一、三象限角分线上，则P点坐标为 （﹣ 7 ，
﹣ 7 ） ．
【分析】根据平面直角坐标系中，第一、三象限角分线上点的横纵坐标相等，列出关于m的方程，求出
m，再求出点P的坐标即可．
【解答】解：∵点P（2m﹣3，3m﹣1）在一、三象限角分线上，
∴2m﹣3＝3m﹣1，
2m﹣3m＝3﹣1，
﹣m＝2，
m＝﹣2，
∴2m﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，3m﹣1＝3×（﹣2）﹣1＝﹣7，
∴点P的坐标为（﹣7，﹣7），
故答案为：（﹣7，﹣7）．
12．（3分）已知点P（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为 ﹣ 1 或﹣ 4 ．
【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵点P（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数，
∴2﹣a＝3a+6或2﹣a+3a+6＝0，
解得：a＝﹣1或a＝﹣4，
故答案为：﹣1或﹣4．
13．（3分）如图，A（﹣2，0），B（0，3），C（2，4），D（3，0），点P在x轴上，直线CP平分四边形
ABCD的面积，则PD的长为 3 ．
【分析】作CE⊥x轴，根据四边形ABCD的面积＝S△AOB +S梯形OBCE +S△CDE 求得四边形的面积，设点P（x，
0），则PD＝3﹣x，由直线CP平分四边形ABCD的面积列出方程求解可得．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵A（﹣2，0），B（0，3），C（2，4），D（3，0），
∴AO＝2，OB＝3，OE＝2，CE＝4，DE＝1，∴四边形ABCD的面积＝S△AOB +S梯形OBCE +S△CDE
1 1 1
= ×2×3+ ×(3+4)×2+ ×1×4
2 2 2
＝12，
设点P（x，0），
则PD＝3﹣x，
∵直线CP平分四边形ABCD的面积，
1
∴S = ×12=6，
△PCD 2
1
∴ (3−x)×4=6，
2
∴x＝0，
∴PD＝3．
故答案为：3．
14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点M（2m+5，n﹣6）在x轴上，点N（3m+9，2n+3）在y轴上，则将
点A（m，n）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点A'，则点A'的坐标为 （﹣
5 ， 2 ） ．
【分析】先根据题意得出n，m的值，再由点平移的性质即可得出结论．
【解答】解：∵点M（2m+5，n﹣6）在x轴上，点N（3m+9，2n+3）在y轴上，
∴n﹣6＝0，3m+9＝0，
解得n＝6，m＝﹣3，
∴A（﹣3，6），
∴将点A（m，n）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点A'（﹣3﹣2，6﹣4），即
A′（﹣5，2）．
故答案为：（﹣5，2）．
15．（3分）在平面直角坐标系内，有一个动点P（a+1，2a﹣3），若点P到x轴的距离为m，到y轴距离为
5
n，则m+n的最小值为 ．
23 3
【分析】用含a的式子表示出m+n，分3种情况讨论：①a≤﹣1，②﹣1＜a≤ ，③a＞ ，算出最小
2 2
值．
【解答】解：∵P（a+1，2a﹣3），其中a为任意实数，m，n分别表示点P到x轴和y轴的距离，
∴m＝|2a﹣3|，n＝|a+1|，
∴m+n＝|2a﹣3|+|a+1|，
∴m+n的最小值即为|2a﹣3|+|a+1|的最小值，
∴①当a≤﹣1时，m+n＝|2a﹣3|+|a+1|＝﹣3a+2≥5；
3
②当﹣1＜a＜ 时，m+n＝|2a﹣3|+|a+1|＝4﹣a，
2
5
此时 ＜4﹣a＜5；
2
3 5
③当a≥ 时，m+n＝|2a﹣3|+|a+1|＝a﹣3+a+1＝3a﹣2≥ ；
2 2
5
综上，m+n≥ ，
2
5
∴m+n的最小值为 ，
2
5
故答案为： ．
2
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，10），线段AB向右平移4个单位到线段
CD，线段CD与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为 （﹣ 1 ， 0 ） ．
【分析】过点D作DF⊥x轴，根据平移的性质，得
1 1
S =S = (OE+DF)⋅OF= (OE+10)⋅4=24，求出OE，设OC＝m，根据
阴影 梯 形OE2DF 2
1 1
S =S −S = ×10(m+4)− ×2m=24，求出m的值，即可得出结果．
阴影 △OAB △OCE 2 2
【解答】解：过点D作DF⊥x轴，∵线段AB向右平移4个单位到线段CD，B（0，10），
∴D（4，10），AB＝CD，
∴OB＝DF＝10，
∵∠F＝∠AOB＝90°，
∴△AOB≌△CFD，
∴S△AOB ＝S△CFD ，
1 1
∴S =S = (OE+DF)⋅OF= (OE+10)⋅4=24，
阴影 梯 形OE2DF 2
∴OE＝2，
设OC＝m，则：OA＝m+4，
1 1
∴S =S −S = ×10(m+4)− ×2m=24，
阴影 △OAB △OCE 2 2
∴m＝1，
∴C（﹣1，0）；
故答案为：（﹣1，0）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣7，n﹣6）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为
3和1．
（1）分别求m的平方根和3n的平方根．
（2）设4m+3n+2的立方根为t，在同一个平面直角坐标系中还有一点Q，点Q（t，t2﹣2），请指出点Q是
怎样由点P平移得到的？
【分析】（1）根据第四象限内的点的坐标的特征，以及点到坐标轴的距离求出m、n的值，进而求出m，
3n的平方根即可；
（2）求出4m+3n+2的值，由立方根的定义求出t的值，确定点Q的坐标，由点P的坐标，点Q的坐标之
间的关系以及平移坐标的变化规律得出答案即可．
【解答】解：（1）∵点P（2m﹣7，n﹣6）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1，∴2m﹣7＝1，n﹣6＝﹣3，
解得m＝4，n＝3，
∴m的平方根为±❑√4=±2，3n的平方根为±❑√9=±3；
（2）当m＝4，n＝3时，4m+3n+2＝4×4+3×3+2＝27，
4m+3n+2的立方根t=√327=3，
当t＝3时，t2﹣2＝9﹣2＝7，
∴点Q（3，7），
∵点P（1，﹣3），
∴点Q（3，7）可以看作点P（1，﹣3）先向右平移2个单位，在向上平移10个单位所得到的．
18．（8分）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，
点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关
系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）若M（a﹣2，2b﹣3）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为
N（2a﹣7，9﹣b），分别求a和b的值．
（3）求线段AB扫过的面积．
【分析】（1）根据题意，得到B（2，1），点B′（﹣1，﹣2），结合2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝3，
得到三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3公单位长度，再向下平移3个单位长度得到或向下平移
3个单位长度，再向左平移3个单位长度；
（2）根据M（a﹣2，2b﹣3）是随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，9﹣b），
得a﹣2﹣3＝2a﹣7，2b﹣3﹣3＝9﹣b，求a和b的值即可；
（3）分割法计算四边形AA′BB′扫过的面积即可．【解答】解：（1）根据题意，得到B（2，1），点B′（﹣1，﹣2），
∵2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝3，
∴三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到或向下平移3
个单位长度，再向左平移3个单位长度．
（2）根据M（a﹣2，2b﹣3）是随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，9﹣b），
得a﹣2﹣3＝2a﹣7，2b﹣3﹣3＝9﹣b，
解得a＝2，b＝5．
（3）根据题意，得A（0，3），A′（﹣3，0），B（2，1），点B′（﹣1，﹣2），
1 1 1 1
∴线段AB扫过的面积为：5×5− ×2×2− ×3×3− ×3×3− ×2×2=12．
2 2 2 2
19．（8分）五子棋和象棋、围棋一样深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流
弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上先连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和
乙的对弈图（部分），甲执黑子先行．白①的位置是（﹣1，2），白③的位置是（0，﹣1）．若将白①
向下平移2个单位，再向右平移3个单位后到白②的位置．
（1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy并直接写出白②的坐标；
（2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标．
【分析】（1）根据白①的位置是（0，3），画出直角坐标系即可；（2）根据五子连棋的规则，据此即可确定点的坐标．
【解答】解：（1）画出平面直角坐标系xOy如图所示：
白②的坐标是（2，0）．
（2）结合图形可知，甲的落子位置为（3，3）或（5，1）或（1，﹣2）或（4，3）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴相交于点A，B，点A，B的坐标分别为（a，
0），（0，b），且a，b满足(a−6) 2+❑√b−8=0，在平面直角坐标系内还有一点C（﹣3，m）．
（1）a＝ 6 ，b＝ 8 ；
（2）若点C在x轴上，则△ABC的面积为 3 6 ；
（3）当点C在第三象限时，求出△ABC的面积（用含m的式子表示）．
【分析】（1）利用非负数的性质求得a、b的值即可；
（2）先画出图形，然后根据坐标与图形以及三角形的面积公式列式计算即可；
（3）如图：连接OC，先说明m＜0，再根据图形可得S△ABC ＝S△AOB +S△AOC +S△BOC ，然后根据坐标与图形
以及三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵(a−6) 2+❑√b−8=0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，b＝8．
故答案为：6，8．
（2）如图1：∵点C在x轴上，
∴m＝0，
∴AC＝6﹣（﹣3）＝9，
1 1
∴△ABC的面积为 AC⋅OB= ×9×8=36．
2 2
故答案为：36；
（3）如图2：连接OC，
∵点C在第三象限，
∴m＜0，
∵S△ABC ＝S△AOB +S△AOC +S△BOC ，
1 1 1
∴ ×6×8+ ×6×|m|+ ×8×|−3|=24+3|m|+12=36−3m．
2 2 2
a−c
21．（8分）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x= ，
2
b−d 7
y= ，那么称点T是点A和B的衍生点．例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T(−5， )是点
2 2
M和N的衍生点．
（1）已知点D（2，0），点E（m，m﹣3），点T（x，y）是点D和E的衍生点．1
①当m＝4时，点T的坐标为 (−1，− ) ；
2
2−m 3−m
②一般地，点T的坐标为 ( ， ) （用m表示）；
2 2
（2）在（1）的条件下，若直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，求点E的坐标．
【分析】（1）根据衍生点的定义，进行求解即可；
（2）根据∠TDH＝90°，得到TD⊥x轴，进而得到T点的横坐标为2，求出m的值，即可得出结果．
【解答】解：（1）①当m＝4时，E（4，1），
∵D（2，0），
2−4 0−1 1
∴T( ， )，即：T(−1，− )；
2 2 2
1
故答案为：(−1，− )；
2
②点D（2，0），点E（m，m﹣3），点T（x，y）是点D和E的衍生点，
2−m 0−m+3 2−m 3−m
∴点T( ， )是点D和E的衍生点，即：T( ， )；
2 2 2 2
2−m 3−m
故答案为：( ， )；
2 2
（2）∵D（2，0），
∴点D在x轴上，
又∵H在x轴上，∠TDH＝90°，
∴TD⊥x轴，
∴T点的横坐标为2，
2−m
即： =2，解得：m＝﹣2，
2
∴E（﹣2，﹣5）．
22．（10分）已知点A（a，0）、B（b，0），且❑√a+4+|b﹣2|＝0．（1）求a、b的值．
（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．
（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形
1
ABC面积的 ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；
（2）由A（﹣4，0）、B（2，0），得到AB＝6，根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到即可；
（3）根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0，
∴a+4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣4，b＝2；
（2）如图1，
∵A（﹣4，0）、B（2，0），
∴AB＝6，
∵三角形ABC的面积是15，
1
∴ AB•OC＝15，
2
∴OC＝5，
∴C（0，5）；
（3）存在，如图2，
∵三角形ABC的面积是15，
1
∴S△ACD =
2
CD•OC＝15，1 1
∴ CD×5 = ×15，
2 2
∴CD＝3，
∴D（3，5）或（﹣3，5）．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，a），点B的坐标为（4，b），连接AB．
（1）若a＝b＝5，求线段AB的长度；
（2）若b﹣a＝3且a＞0．
①当点A在直线OB上时，求a的值；
②当点A不在直线OB上时，连接OA，OB，记△AOB的面积为S，若S＝1，求a的值．
【分析】（1）先求出A、B两点的坐标即可得到答案；
（2）①根据S
_△BOD
列式求解即可；②分点A在OB上方根据S△AOC +S梯形ACDB ﹣S△OBD ＝1列式求解即可，
分点A在OB下方，根据S△OBD ﹣S△AOC ﹣S梯形ACDB ＝1列式求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝b＝5，
∴点A的坐标为（2，5），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝4﹣2＝2；
（2）①如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵A在直线OB上，∴S ，
_△BOD
∵点A的坐标为（2，a），点B的坐标为（4，b），
∴OC＝2，OD＝4，AC＝a，BD＝b，
1 1 a+b
∴ ×4b = ×2a + （4﹣2）
2 2 2
∴2b＝a+a+b，
∴b＝2a，
又∵b﹣a＝3，
∴2a﹣a＝3，
∴a＝3；
②如图所示，当点A在OB上方时，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵S△AOB ＝1，
∴S△AOC +S梯形ACDB ﹣S△OBD ＝1，
1 a+b 1
∴ ×2a+ ×(4−2)− ×4b=1，
2 2 2
∴a+a+b﹣2b＝1，
∴2a﹣b＝1，
又∵b﹣a＝3，
∴2a﹣a﹣3＝1，
∴a＝4．
如图，当点A在OB下方时，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∵S△AOB ＝1，
∴S△OBD ﹣S△AOC ﹣S梯形ACDB ＝1，
1 1 a+b
∴ ×4b− ×2a + （4﹣2）＝1，
2 2 2
∴2b﹣a+a+b＝1，
∴3b＝1，
又∵b﹣a＝3，
∴9+3a＝1，
8
∴a=− ；
3
8
综上所述：a＝4或a=− ．
3
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，0）向右平移4个单位得到点B，将线段AB向上
平移m个单位，再向右平移1个单位得到线段DC（点A与点D对应，点B与点C对应）且四边形ABCD
的面积为8．
（1）直接写出m的值及点B，C的坐标；
DE
（2）连接AC与y轴交于点E，求 的值；
OE
（3）如图2，若点P从O点出发，以每秒n个单位的速度向上平移运动，同时点Q从B点出发，以每秒2n
个单位的速度向左平移运动，当点P到达点D后停止运动．若射线CQ交y轴于点F，设△CFP与△OFQ
的面积差为S，问：S是否为定值？如果S是定值，请求出它的值；如果S不是定值，请说明理由．
【分析】（1）先根据点坐标平移的特点求出点B的坐标，再根据四边形ABCD的面积为8，求出OD＝2，
再由平移的性质得到CD＝AB＝4，即可求出点C的坐标；S 1 4
（2）解法1：先求出 △CDE =4，再由S +S =S = S =4，得到S = ，又由
S △ADE △CDE △ACD 2 四 边 形ABCD △ADE 5
△ADE
4
1 DE S 5
S△ADE +S△AOE ＝S△AOD ＝1，求出S
△AOE
=
5
，则
OE
=
S
△ADE=
1
=4；
△AOE
5
8
8 8 2 DE 5
解法2：由S△ACD ＝S△ADE +S△CDE ，求出DE=
5
，则OE=2−
5
=
5
，即可得到
OE
=
2
=4；
5
（3）分当点Q在线段OB上时，当点Q在OA上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）向右平移4个单位得到点B，
∴点B的坐标为（3，0），
∵S四边形ABCD ＝AB•OD＝8，AB＝4，
∴OD＝2，
即m＝2，
由平移性质可知，CD＝AB＝4，
∴点C的坐标为（4，2）；
（2）解法1：∵△CDE和△ADE同底，
1
DE⋅CD
S 2 CD 4
∴ △CDE = = = =4，
S 1 OA 1
△ADE DE⋅OA
2
1
∵S +S =S = S =4，
△ADE △CDE △ACD 2 四 边 形ABCD
4
∴S = ，
△ADE 5
1
∵S +S =S = OA⋅OD=1，
△ADE △AOE △AOD 2
1
∴S = ，
△AOE 5
∵△AOE和△ADE同高，
4
DE S 5
∴ = △ADE= =4；
OE S 1
△AOE
5
解法2：∵S△ACD ＝S△ADE +S△CDE ，1 1 1 1 1 1
∴ DO⋅CD= DE⋅AO+ DE⋅CD，即 ×4×2= ×DE×1+ ×DE×4，
2 2 2 2 2 2
8
∴DE= ，
5
8 2
∴OE=2− = ，
5 5
8
DE 5
∴ = =4；
OE 2
5
（3）结论：S的值是定值3，理由如下：
①如图，当点Q在线段OB上时，连接OC．
设运动时间为t秒，
由题意：OP＝nt，BQ＝2nt，
1 1
∴S = ×OP×CD= ×nt×4=2nt，
△OCP 2 2
1 1
S = ×BQ×OD= ×2nt×2=2nt，
△BCQ 2 2
∴S△OCP ＝S△BCQ ，
∴S四边形CPOQ ＝S△OCP +S△OCQ ＝S△BCQ +S△OCQ ＝S△OBC ，
1 1
∴S=S −S =S =S = ×OB×OD= ×3×2=3；
△CFP △OFQ 四 边 形CPO△QOBC 2 2
②如图，当点Q在OA上时，连接OC．
由①可知S△OCP ＝S△BCQ ，
∴S＝S△CFP ﹣S△OFQ ＝（S△CFP +S△OCF ）﹣（S△OFQ +S△OCF ），＝S△OCP ﹣S△OCQ ＝S△BCQ ﹣S△OCQ ＝S△OBC ＝3，
综上所述，S的值是定值3．
