文档内容
必考点 09 等腰三角形的性质与判定
●题型一 等腰三角形的分类讨论问题
★★★1、解决边的分类讨论问题
【例题1】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（ ）
A．13 B．17 C．18 D．19
【例题2】（2021秋•东莞市期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
★★★2、解决角的分类讨论问题
【例题3】（2022春•子洲县期末）已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°【例题4】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 60°，那么这个
等腰三角形的顶角等于（ ）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
★★★3、确定等腰三角形的分类讨论问题
【例题5】（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为
等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 ．
【例题6】（2021秋•克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在
直线 a上，直线 b上存在点 B，使以点 O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点 B有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题技巧提炼】
解决等腰三角形的分类讨论问题时，主要从边，分为腰和底来讨论；角：分为顶角和底角来讨论；一腰
上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论；在讨论的时候有时利用等腰三角形的性质和判定时需要用
到方程的思想和三角形的内角和定理来解决.
●题型二 等腰三角形的性质
★★★1、利用等腰三角形的性质求角的度数
【例题7】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则
∠BDC是（ ）A．36° B．60° C．72° D．80°
【例题8】（2022•南京模拟）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，
AD＝DE＝EB，则∠A等于（ ）
A．45° B．30° C．60° D．75°
★★★2、利用等腰三角形的性质求线段长
【例题9】（2022春•城固县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，
CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为 ．
★★★3、证明等腰三角形中角之间的数量关系
【例题10】如图，已知AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC= ∠BAC．★★★3、利用等腰三角形性质证明线段相等
【例题11】已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ．求证：BP=CQ．
【解题技巧提炼】
等腰三角形的性质:
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．（简称：等边对等角）
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（三线合一）
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
●题型三 等腰三角形的判定
【例题12】（2021秋•鹿邑县期末）在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规
在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（ ）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
【例题13】（2021春•东城区校级期末）已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，
∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．
【例题14】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC是
等腰三角形．
【解题技巧提炼】
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称：等角对等边）
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中
线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．
●题型四 等腰三角形的性质与判定的综合应用
【例题15】（2022秋•通州区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周
长为33，AB＝15，则AC为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．23
【例题16】（2021秋•陇县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，
BE＝3，则AC＝（ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
【例题17】（2022春•神木市期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，
BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．
【解题技巧提炼】
等腰三角形的判定与性质：1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的
重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中
线是常见的辅助线.
●题型五 利用等腰三角形的性质解决实际问题
【例题18】（2021秋•江州区期末）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航
行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（
）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来
【例题19】（2022春•青岛期末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝18°，为使钢架更加牢固，需在其内
部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无数
【解题技巧提炼】
利用等腰三角形的性质解决实际问题时，主要利用了等边对等角的性质和三角形外角的性质
●题型六 与等腰三角形相关的探究题
【例题20】（2021秋•青县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上
运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）在点D的运动过程中，当∠BDA的度数是 时，△ADE是等腰三角形．
【解题技巧提炼】
解决与等腰三角形相关的探究题时，主要是综合运用等腰三角形的性质和判定，有时会用到分类讨论的
思想来解决问题.
◆◆◆题型一 等腰三角形的分类讨论问题
1．（2021秋•东莞市期末）若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的等腰三角形，则该等腰三角
形的腰长为 cm．
2．（2022春•巴中期末）在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（ ）
A．50°、80° B．50°、80°或 65°、65°
C．65°、65° D．无法确定
3．（2022春•蓬莱市期末）等腰三角形顶角为86°，则腰上的高与底边所成的角的度数为（ ）
A．4° B．43° C．47° D．53°
4．（2022春•泰和县期末）在△ABC中，∠B＝36°，点P是射线BA上的任意一点，当△PBC为等腰三
角形时，∠BPC的度数为 ．◆◆◆题型二 等腰三角形的性质
5．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，
则∠D的度数为（ ）
A．39° B．40° C．49° D．51°
6．（2021秋•交城县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE＝FE．◆◆◆题型三 等腰三角形的判定
7．（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB
上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个
格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
9．（2021秋•历下区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．◆◆◆题型四 等腰三角形的性质与判定的综合应用
10．（2020秋•兰山区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、
G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
11．（2021秋•渌口区期末）如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平
分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 ．
12．（2021秋•合川区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，AD⊥BC，垂足为D，若AB+BD＝CD，
求∠B的度数.A．20° B．25° C．45° D．50°
◆◆◆题型五 利用等腰三角形的性质和判定解决实际问题
13．（2022春•富平县期末）如图，大海中有两个岛屿A与B，∠BEQ＝30°，在海岸线PQ上的点F处测
得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若在海岸线PQ上的点E处测得∠AEP＝74°，求∠BAE的度数．
14．（2021春•岳麓区月考）如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB＝ ，为了使钢架更加坚固，需在其内
部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，α若最多能添加这样的钢管4根，则
的取值范围是 ． α
◆◆◆题型六 与等腰三角形相关的探究题
15．（2022秋•吴江区校级月考）如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交
AB、AC于E、F．
（1）如图①，若AB≠AC，图中有哪几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理
由．
（2）如图②，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB
于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？有哪几个？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．1．（2022春•雁塔区校级期中）等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角是（ ）
A．35° B．55° C．35°或55° D．55°或70°
2．（2022秋•香坊区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
3．（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于
点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；
④OD＝2CD．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021秋•莒南县期中）下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2021秋•长春期末）若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作
“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应
该是（ ）
A．45°或36° B．72°或36°
C．45°或72° D．45°或36°或72°
6．（2022秋•崇川区校级月考）在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝
30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
7．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中
小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021秋•惠州期末）如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC
的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2021秋•南岗区期末）如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC
交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长
等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2022春•源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两
部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
11．（2022•滕州市校级模拟）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC，垂足为D，点E在直线BC
上，若CD＝CE，则∠BDE的度数为 ．
12．（2021秋•勃利县期末）如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交
BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．13．（2021春•新泰市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线
段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F．
（1）求证：∠C＝∠BAD；
（2）若AC=√3，求线段EF的长．
14．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作
BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：∠ABF＝∠ACF；
（2）若∠BAC＝48°，求∠CFE的度数．
15．（2021秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且
BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．16．（2022春•锦江区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE，
连接DE．
（1）求证：∠DEC＝∠DCE；
（2）若AC＝BC，BE＝CE．
①求∠B的度数；
②试探究AB﹣AC与BC﹣DE的数量关系，并说明理由．
17．（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以
2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
