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热点专题 01 一元二次方程（12 个热点）
考点一、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分
式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程
（是无理方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。
考点二、一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式 ，其中 叫作二次项， 是二次项系
数； 叫作一次项， 是一次项系数； 叫作常数项。
注意：（1） 中的 ．因当 时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
考点三、一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根
或解反代回去再进行求解.
考点四、解一元二次方程的方法
（1）直接开方法：方程能化成 的形式,那么 ,进而得出方程的根；
（2）配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同
除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为 的形式；
⑤如果 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 ，则原方程无解．
（3）公式法：①化为一般形式；②求出判别式 的值，判断根的情况；③在
的前提下,把 的值代入公式 进行计算,求出方程的根。
（4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
（5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然
有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目
的。
考点五、一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ， 。利用韦达定理可以求
一些代数式的值（式子变形），如
考点六、列一元二次方程解应用题的具体步骤
①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．②设：根据题意，可以直接设未知数，
也可以间接设未知数．③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出
方程．④解：准确求出方程的解．⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．⑥答：写出答案．题型一 一元二次方程的概念
【例1】若 是关于 的一元二次方程，则 的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．3或
【例2】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】已知关于 的一元二次方程 ，则常数 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．无法确定 的值
【变式1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】下列关于 的方程中： ， ， ， ，
， 其中，一元二次方程的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 一元二次方程的一般形式
【例3】若方程 化为一般式后的二次项为 ，则一次项的系数为（ ）
A． B． C． D．【例4】一元二次方程 化为一般形式是 ．
【变式2-1】将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项
分别为（ ）
A．5， B． ， C．5，3 D． ，3
【变式2-2】将一元二次方程 化为一般形式后，它的各项系数的和为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【变式2-3】把一元二次方程 整理成一般形式为______．
题型三 一元二次方程的解
【例5】若 是方程 的一个根，则m的值是（ ）
A．16 B． C． D．10
【例6】若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则 的值等于 ．
【变式3-1】关于 的方程 的解是 ， （a、b、c均为常数， ），则方程
的解是 ．
【变式3-2】写出一个两个根分别为1和 的一元二次方程 .
【变式3-3】已知m是方程式 的一个实数根，求代数式 的值．题型四 解一元二次方程
【例7】解一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
【例8】解方程：
(1) ；（用配方法）
(2) ；（用公式法）
(3) ．（用适当的方法）
【变式4-1】选择合适的方法解下列一元二次方程：
(1)
(2) ．
【变式4-2】用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式4-3】按要求解一元二次方程：
(1) （配方法）；(2) （因式分解法）；
(3) （公式法）．
题型五 解一元二次方程（换元法)
【例9】已知一元二次方程 的两根分别为 ，则方程
的两根分别为（ ）
A． B．
C． D．
【例10】若关于 的方程 两个实根为 ， ，则 的根为 ．（用
含 ， 的代数式表示）
【变式5-1】若实数x、y满足 ，则 的值是（ ）
A． 或1 B．2 C．2或 D．1
【变式5-2】已知a、b为实数，且满足 ，则代数式 的值为（ ）
A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5
【变式5-3】若 ，则 的值为 ．
题型六 根的判别式与解的情况
【例11】关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【例12】关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【变式6-1】若关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【变式6-2】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A． B． 且 C． D．
【变式6-3】已知关于x的方程 ．
(1)当 时，求该方程的根
(2)当 时，请判断该方程根的情况，并说明理由
题型七 根与系数的关系（求代数式）
【例13】已知 ， 分别是方程 的两个根，则代数式 的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【例14】 是方程 的两个根，则 的值为 ．
【变式7-1】若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．【变式7-2】已知一元二次方程 的两个根为 、 ，则 的值为（ ）
A．－3 B． C．1 D．
【变式7-3】已知 ， 是方程 的两个实数根，求 的值．
题型八 根与系数的关系（求参数）
【例15】已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．若 ，
则k的值为______．
【例16】已知关于 的一元二次方程为 有两个实数根 和 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
【变式8-1】若 、 是关于 的方程 的两个根，且 求 的值．
【变式8-2】已知关于x的方程 有两个实数根 ， ．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．
【变式8-3】关于x的一元二次方程 ．
(1)试判断该方程根的情况并说明理由：(2)若 ， 是该方程的两个实数根，且 ，求m的值．
题型九 一元二次方程的应用（增长率问题）
【例17】某商品原价200元，连续两次降价 后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例18】某公司销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利
36.4万元．已知2月份和3月份利润的月增长率相同，设2、3月份利润的月增长率为 ，根据题意列方程
为 ．
【变式9-1】某公司今年销售一种新产品，1月份获得利润20万元，由于该产品畅销，利润逐月增加，3月
份的利润达到 万元，假设该产品利润每月的增长率相同，则每月增长率为( )
A．20% B．22% C．30% D．44%
【变式9-2】为了提高富民社区居民对“垃圾分类”的知晓率，街道工作人员用了两个月的时间在该社区
加强了宣传，若社区的知晓人效的平均月增长率为 ，两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万
人，现在的知晓人数为b万人，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】随着冬奥会的临近，冬奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家冬奥商品专卖店十月份销售额
分别为 万元和 万元，十二月份销售额甲店比乙店多 万元．已知甲店十一、十二月份销售额的月平
均增长率是乙店十一、十二月份月平均增长率的 倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？
题型十 一元二次方程的应用（销售问题）【例19】水果店店主张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干，以每斤4元的价格出售，每天可售出
100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 元，每天可多售出20斤．张阿姨决定降价销售．
设这种水果每斤的售价降低 元．
(1)每天的销售量为___________斤（用含 的代数式表示）；
(2)为尽量减少天气炎热带来的损耗，最大化减少库存，如果销售这种水果每天盈利300元，张阿姨需将每
斤的售价降低多少元？
【例20】已知某商品的进价每件是40元，现在的售价每件是60元，每周可卖出300件．市场调查反映，
若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．设该商品每件涨价 元 ．
(1)根据题意填写下表：
售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元）
现在 60 20 300
涨价后
(2)若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？
【变式10-1】中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文
化，茶叶产业作为绿色经济的重要组成部分，某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒
时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，那么平
均每天可多售出2盒．在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
【变式10-2】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量 （个）与销售
单价 （元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元?
【变式10-3】直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行
直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，
每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为多少元时，才能使每天的利润为640元？
题型十一一元二次方程的应用（面积问题）
【例21】如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部
分建成花园，已知小路的占地面积为50平方米，设小路的宽为x米，则可列方程为 ．
【例22】某公园要在一个足够大的草地上规划出一个矩形草坪 ，矩形草坪 的长 为 米，
宽 为 米，并计划在草坪 上种植两条宽均为 米的两条互相垂直的花带（阴影部分），且两条花
带与矩形的边分别平行，余下的四块矩形草坪改为种植景观树．
(1)已知 ， ，且种植景观树的总面积为 平方米，每条花带的宽为多少米？
(2)若 ，每条花带的宽均为 米，且种植景观树的总面积为 平方米，求 ， 的值．
【变式11-1】如图，在一块长92m宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成
面积均为 的6个矩形小块，水渠应挖的宽为 ．【变式11-2】用 长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为 ，并且在垂直于墙的
一边开一个 长的小门（该门用其他材料），若墙长 ，则该长方形场地的长为 ．
【变式11-3】寿春农场（文蔬苑）深受广大同学喜爱．如图所示，农场内有一长方形的空地．长为x米，
宽为12米，学生部把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲种植小青菜，乙种植花卉，丙
开辟成池塘．
(1)请用含x的代数式表示花区域的边长：_______米；
(2)若池塘的面积为32平方米，请求出x的值．
题型十二一元二次方程的应用（动态几何问题）
【例23】如图，在 中， ， ，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度
移动，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动．如果 、 两点同时出发，问：经过
秒后 的面积等于 ．
【例24】如图，等腰直角三角形 中， ，点P从点A开始沿 边向点B运动，过点P作 ， ，分别交 于R，Q．
(1)四边形 的形状是______；若设 ，则四边形 的面积可表示为______；
(2)四边形 的面积能为 吗？能为 吗？如果能，请求出P点与A点之间的距离；如果不能，
请说明理由．
【变式12-1】如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿 方
向运动，动点 从点 出发，沿 方向运动，如果点 ， 同时出发， ， 的运动速度均为 ．
(1)那么运动几秒时，它们相距 ？
(2) 的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【变式12-2】如图， 中， ， ， ， ， 两点分别从 ， 出发，分别以
每秒 个单位， 个单位的速度沿边 ， 向终点 ， 运动，（有一个点达到终点则停止运动）．(1)在运动的过程中， 是否能够等于 ？为什么？
(2)求经过多长时间后 ？
【变式12-3】如图所示，在 中， ， ， ， ．
(1)点P从点A开始沿 向C点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 向A点以2cm/s的速度移动．
如果P、Q同时出发，经过t秒后， 的长度为______， 的长度为______．
(2)在（1）的背景下，经过几秒 的面积等于 ．
(3)点P从点A开始沿 向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 向C点以2cm/s的速度移动．
如果 ， 同时出发，经过几秒 的面积等于 ．
一、单选题
1．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期中）一元二次方程 的一根为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）用配方法解方程 时，下列配方正确的是（ ）A． B． C． D．
4．（2023秋·云南红河·九年级统考期末）一元二次方程 有两个相等的实数根，则
m等于（ ）
A． 或1 B．1 C． D．4或1
5．（2023秋·广东佛山·九年级期末）三角形边长分别为6和5，第三边是方程 的解，则此三
角形的周长是（ ）
A．15 B．13 C．15或13 D．15或17
6．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期中）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）已知一元二次方程 中，下列说法：①若
，则 ； ②若方程两根为 和2，则 ； ③若方程 有两个不相
等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；④若 ，则方程有两个不相等的实根．其中
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023秋·广东揭阳·九年级校考期末）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出 个
位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积
为192，设这个最小数为 ，则下列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）若关于x的一元二次方程 的一个
根是1，则 ．
10．（2023秋·天津北辰·九年级校考期中）若m是方程 的一个实数根，则多项式
的值是 ．
11．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）已知关于 的二次方程 的两
根为 ， ，且 ，则 ．
12．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）若 ， （ ）为菱形 的两条对角线，且
a，b为一元二次方程 的两根，则菱形的周长为 ．
13．（2023秋·云南红河·九年级统考期末）任意写出一个以 ，5为根的一元二次方程是 ．
14．（2023秋·江西南昌·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ，点M、N分别在边 、
上，连接 、 ．若四边形 是菱形，则 等于 ．15．（2022秋·山东菏泽·九年级菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考期中）若关于 的一元二次方程
有两个相等的实数根，则m的值为 ．
16．（2022秋·山西阳泉·九年级校联考期末）某校为改善校园环境，加大对绿化的投入，2021年对绿化投
入资金10万元，2023年对绿化投入资金 万元．现假定每年投入绿化资金的增长率相同，则该校投入
绿化资金的年平均增长率为 ．
三、解答题
17．（2022秋·贵州毕节·九年级校考期中）已知 ， ， 且 是方程 的一个
解，求 的值.
18．（2022秋·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知关于 的方程 是
一元二次方程，求 的值．
19．（2023秋·云南红河·九年级统考期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
20．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．
21．（2022秋·福建三明·九年级校考期中）某商场销售一批小家电，平均每天可售出20台，每台盈利40
元．为了去库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，小家电的单价每降1元，
商场平均每天可多售出2台．如果商场将这批小家电的单价降低x元，据此规律，请回答：
(1)每天的销售量是 台（用含x的代数式表示）；(2)如果商场通过销售这批小家电每天要盈利1050元，那么单价应降多少元？
(3)若这批小家电的单价有三种降价方式：降价10元、降价20元、降价30元，如果你是商场经理，你准备
采取哪种降价方式？说说理由．
22．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，在 中， ，点Q从
点A开始沿 边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿 边向点C以2cm/s的速度移动，两点
同时出发．
(1)出发几秒后，线段 的长为 ？
(2) 的面积能否等于 ？若能，求出时间；若不能，说明理由．
