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第二十二章 二次函数（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当 时， ，那么当
成本为 元时，边长为（ ）
A． 厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米
2．如表中列出的是一个二次函数的自变量 与函数 的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，
正确的是（ ）
0 3 4
0
A．图象的开口向下 B．有最小值
C．图象与 轴的一个交点是 D．图象的对称轴是
3．一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点 、 皆在 轴上，且有一水平线与两图像相交于 、 、
、 四点，各点位置如图所示，若 ， ， ，则 的长度是（ ）A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为 ，且与x轴的一个交点在点 和
之间．则下列结论：① ；② ；③ ；④一元二次方程
有两个不相等的实数根；⑤若方程 的两根分别为 ，则 ．其
中正确结论的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，在正方形 中，点B，C的坐标分别是 ， ，点D在抛物线 的图像上，
则b的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式 ．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场
的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网
C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界
8．如图，抛物线 与抛物线 交于点 ，且分别与 轴交于点
D，E．过点 作 轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
②无论x取何值， 总是负数；
③当 时，随着x的增大， 的值先增大后减小；
④四边形 为正方形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设二次函数 （ ，m，k是实数），则（ ）
A．当 时，函数y的最大值为 B．当 时，函数y的最大值为
C．当 时，函数y的最大值为 D．当 时，函数y的最大值为
10．如图，已知点 ，点 ．若抛物线 （a为常数， ）与线段 有两个不
同的公共点，则a的取值范围是（ ）A． B． 或
C． 或 D．
本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线 的解析式，令 ，根据有两个
交点求出a的取值范围，再分 和 两种情况讨论即可得到答案；
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度 之间的关系满足二次函数
，则当温度为 时，水的体积为 ．
12．已知二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，点 ， 在抛物线
上，则 （填“＞”或“＜”）；
13．在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数 ，
的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系： ，求
出 与直线 的交点坐标为 ．14．如图，将抛物线 在 轴下方部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像 当直线
与图像 恰有两个公共点时， 的取值范围是 ．
15．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙 于点O（如图），
其中 上的 段围墙空缺．同学们测得 m， m， m， m， m．班
长买来可切断的围栏 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是
．16．如图，二次函数 的图象交 轴于点 （点 在点 的左侧），交 轴于点 ．
现有一长为 的线段 在直线 上移动，且在移动过程中，线段 上始终存在点 ，使得三条线
段 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段 左端点 的橫坐标为 ，则 的取值范围
是 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．已知二次函数的图像以 为顶点，且过点 ．
(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．
18．飞机降落后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是 ，当
时， ；当 时， ．
(1)求该函数的解析式；
(2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出飞机降落后滑行到停下来前进了
多远？
19．已知一次函数 的图像上有两点 ，它们的横坐标分别是2、 ，若二次函数 的图像
经过 两点．(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像；
(2)若 ， 两点都在二次函数 的图像上，试比较 与 的大小．
20．在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C，点
在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范
围．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的解析式是 ，直线 的解析式是 ，点
，点 是在该抛物线上的动点，连接 ，过 作 ．
(1)求证： ；(2)设点 ，求 的最小值及此时点 的坐标．
22．甲、乙两汽车出租公司均有 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 元，那么 辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每
增加 元，那么将少租出 辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计
元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润 月租车费 月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为 （单位：辆， ）的条件下，甲的利润用 表示（单位：
元），乙的利润用 （单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？
(3)甲公司热心公益事业，每租出 辆汽车捐出 元（ ）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润
仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最
大，求 的取值范围．
23．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的
直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表
所示，设 的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直
直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物线的开口大小，该数
学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为 ．
①此时点 的坐标为________；
②将点 坐标代入 中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入 中解得 ________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有A，B两点， ，且 轴，二次函数
和 都经过A，B两点，且 和 的顶点P，Q距线段 的距离之
和为10，求a的值．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决
赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全
红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系 ．如果
她从点 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度
（单位：米）与水平距离 （单位：米）近似满足函数关系式 ．(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 10 10 6.25
根据上述数据，直接写出 的值为________，直接写出满足的函数关系式：________；
(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度 与水平距离 近似满足函数关系 ，记
她训练的入水点的水平距离为 ，比赛当天入水点的水平距离为 ，请通过计算比较 与 的大小；
(3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点 开始计时，若点 到水平面的距离为 ，则她到水面的距
离 与时间 之间近似满足 ，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的
270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
23．综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形 中， 分别是 上一点，且 ．
点 从点 出发，沿正方形 的边顺时针运动；点 同时从点 出发，沿正方形 的边逆时针
运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时 两点都停止运动，设点 运动的
时间为 秒， 的面积为 ，探究 与 的关系．
初步感知
根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画
出．（1） 的长为______， 的长为______．
（2） 的值为______， 的最大值为______．
延伸探究
（3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．
（4）求 的值，并求出当 时， 的取值范围．
