文档内容
重难点 15 七种圆锥曲线的应用解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：弦长问题
一、单选题
1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知抛物线 的准线被圆 所截得的弦长为 ，
则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））己知直线l过抛物线 的焦点，并且与抛物线C
交于不同的两点A、B，若 为线段 的中点，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2022·河南郑州·三模（文））斜率为1的直线l与椭圆 相交于A，B两点，则 的最大值
为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
4．（2022·河北邯郸·二模）已知P是圆O： 上的动点，点Q(1，0)，以P为圆心，PQ为半径作
圆P，设圆P与圆O相交于A，B两点．则下列选项正确的是（ ）
A．当P点坐标为(2,0)时，圆P的面积最小
B．直线AB过定点
C．点Q到直线AB的距离为定值
D．
三、填空题
5．（2022·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知过抛物线 焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，以 为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，若 ，则线段 的
长为________．
6．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线 ，直线 被抛物线C截得的弦长为
8，则抛物线C的准线方程为___．
四、解答题
7．（2022·全国·二模（理））已知动圆M经过定点 ，且与圆 相内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设点T在 上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且 ，求直
线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．
8．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆 ： 的离心率为 ，
直线 交椭圆 的弦长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)经过定点 的直线 交椭圆 于 两点，椭圆 的右顶点为 ，设直线 ， 的斜率分别为
， ，求证： 恒为定值.9．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知圆 ： ，圆 ：
，圆 与圆 、圆 外切，
(1)求圆心 的轨迹方程
(2)若过点 且斜率 的直线与 交与 两点，线段 的垂直平分线交 轴与点 ，证明 的值是
定值.
10．（2022·北京·潞河中学三模）已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线 交椭圆于 两点，过原点的直线 交椭圆于 两点.若 ，求证：
为定值.题型二：面积问题
一、单选题
1．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）平面直角坐标系中，点集
，则点集 所覆盖的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2022·湖南·模拟预测）已知双曲线 ， 的左右焦点分别为 ， ，双曲线C上两
点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为 ， ，若
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的面积为 D． 的面积为1
三、填空题
3．（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知抛物线 的焦点为 ，过 且垂直与 轴的直
线与 相交于 ， 两点，若 ( 为坐标原点)的面积为 ，则 ________
四、解答题
4．（2022·浙江·温州中学模拟预测）已知椭圆 的上、下顶点分别为 ，抛物线在点 处的切线l交椭圆 于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线 交x
轴于点D．
(1)若点C是 的中点，求p的值；
(2)设 与 的面积分别为 ，求 的最大值．
5．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知 分别为椭圆 的左､右焦点，长轴长为
， 分别为椭圆的上、下顶点，且四边形 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的离心率为 ，过点 的直线 与曲线 交于 两点，设 的中点为M， 两点为曲
线 上关于原点 对称的两点，且 ，求四边形 面积的取值范围.
6．（2022·湖南·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P为椭圆上一
动点，直线 与圆 相切于Q点，且Q是线段 的中点，三角形 的面积为2．(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（点P不在x轴上）作圆 的两条切线 、 ，切点分别为M，N，直线MN交椭
圆C于点D、E两点，求三角形ODE的面积的取值范围．
7．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆 且经过 ， ， ，
中的三点，抛物线 ，椭圆 的右焦点是抛物线 的焦点．
(1)求曲线 ， 的方程；
(2)点P是椭圆 的点，且过点P可以作抛物线 的两条切线，切点为A，B，求三角形 面积的最大值．
题型三：中点弦问题
一、多选题
1．（2022·山东·烟台二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点 为线段AB的中点，且 ，则下列结论正确
的为（ ）
A．N为 的外心 B．M可以为C的焦点
C．l的斜率为 D． 可以小于2
2．（2022·全国·模拟预测）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他
发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙
日圆．若椭圆 的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两条切线，分
别与 交于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 面积的最大值为
C． 到 的左焦点的距离的最小值为
D．若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
二、填空题
3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直
线l与双曲线的左、右两支分别交于P、Q两点，与y轴交于点C，M为线段PQ的中点．若 ，
则双曲线E的离心率为______．
三、解答题
4．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆 ： （ ）过点 ，直线 ： 与
椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为-0.5.
(1)求椭圆 的标准方程；(2)当 时，椭圆 上是否存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，若存在，求出 ， 的坐标，
若不存在，请说明理由．
5．（2022·新疆·三模（文））已知椭圆C： ），O为坐标原点，若直线l与椭圆C交
于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为 ．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆C经过点 ，求椭圆C的标准方程．6．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 上存在 ， 两点关于直线 对称，且 （ 为坐标原点），求 的值.
题型四：范围问题
一、单选题
1．（2022·江苏南通·模拟预测）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线C相交于A，B两点，则4|
AF|＋9|BF|的最小值为（ ）
A．26 B．25 C．20 D．18
二、多选题
2．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F，F 分别是椭圆 的左，右
1 2
焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足 ，则（ ）
A． ABF 的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
2
△C．若AB⊥AF，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
2
3．（2022·辽宁大连·二模）已知在平面直角坐标系中， ， ， ， ， ，P为
该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为 和 ，且 ，设点P运动形成曲线F，点M，N
是曲线F上位于x轴上方的点，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．动点P的轨迹方程为 B．△PAB面积的最大值为
C． 的最大值为5 D． 的最小值为
4．（2022·全国·模拟预测）已知 为坐标原点，经过点 且斜率为 的直线 与双曲线 相
交于不同的两点 ， ，则（ ）
A．若 时，则
B．对任意的 ，存在直线 使得
C．对任意的 ，存在直线 使得
D．对任意的 ，存在直线 使得
三、解答题
5．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆 ）的左焦点为F，其离心率 ，过
点F垂直于x轴的直线交椭圆 于P，Q两点， ．(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜
率分别为 ，求 的取值范围．
6．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知双曲线 的离心率为2，F为双曲线的右
焦点，直线l过F与双曲线的右支交于 两点，且当l垂直于x轴时， ；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线 与双曲线交于 两点，求 的取值范围．
7．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）如图， 为抛物线 的焦点，直线
与抛物线交于 、 两点， 中点为 ，当 ， 时， 到 轴的距离与到点距离相等.
(1)求 的值；
(2)若存在正实数 ，使得以 为直径的圆经过 点，求 的取值范围.
8．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）如图，已知椭圆 的离心率为 ，直线与圆 交于M，N两点， ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)A，B为椭圆E的上、下顶点，过点A作直线 交圆O于点P，交椭圆E于点Q（P，Q
位于y轴的右侧），直线BP，BQ的斜率分别记为 ， ，试用k表示 ，并求当 时，
△ 面积的取值范围．9．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段
的中点M且与x轴平行的直线依次交直线 ， ，l于点P，Q，N．
(1)求证： ；
(2)若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，若 ，求实数
的取值范围；
题型五：定点问题
一、多选题
1．（2022·重庆·三模）已知抛物线 的焦点为F， 为C上一点， .过C的
准线上一点P，作C的两条切线 ，其中A､B为切点.则下列判断正确的是（ ）A． B．抛物线C的准线方程为
C．以线段 为直径的圆与C的准线相切 D．直线 恒过焦点F
2．（2022·河北沧州·模拟预测）已知抛物线C： ( >0)的焦点F与圆 的圆心重
合，直线 与C交于 两点，且满足： (其中O为坐标原点且A、B均不与O重
合)，则( )
A． B．直线 恒过定点
C．A、B中点轨迹方程： D． 面积的最小值为16
二、填空题
3．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，A，B为抛物线C上在第一象限的两点，
记直线 与直线 的斜率分别为 与 ，且 ，则直线 恒过定点___________.
4．（2022·四川遂宁·三模（理））已知抛物线 ： （ ）的焦点F与圆 的圆
心重合，直线 与C交于 、 两点，且满足： （其中 为坐标原点且A， 均不
与 重合），对于下列命题：
① ， ；
②直线 恒过定点 ；
③A， 中点轨迹方程： ；
④ 面积的最小值为16.
以上说法中正确的有______.
三、解答题
5．（2022·江西师大附中三模（理））已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若 的面积为 ，且椭圆的离心率为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为 的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，
说明理由．
6．（2022·广东广州·三模）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足，线段
上一点 满足 .记动点 的轨迹为曲线
(1)求曲线 的方程；
(2)设 为原点，曲线 与 轴正半轴交于点 ，直线 与曲线 交于点 ，与 轴交于点 ，直线
与曲线 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求证：直线 经过定点.7．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，不过原点的直线l交抛物线C于A，B
两不同点，交x轴的正半轴于点D．
(1)当 为正三角形时，求点A的横坐标；
(2)若 ，直线 ，且 和C相切于点E；
①证明：直线 过定点，并求出定点坐标；
② 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知F（－ ，0），F（ ，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）
1 2
在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若 ＋ ，
＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．9．（2022·河南·模拟预测（理））已知椭圆 的离心率为 ，C的四个顶点围成的
四边形面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)已知点 ，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且 ，证明：l过定点．
题型六：定值问题
一、解答题
1．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，已知离心率为 的椭圆 的左右
顶点分别为 ､ ， 是椭圆 上异于 ､ 的一点，直线 ､ 分别交直线 于 ､ 两点.直线 与
轴交于点 ，且 .(1)求椭圆 的方程；
(2)若线段 的中点为 ，问在 轴上是否存在定点 ，使得当直线 ､ 的斜率 ､ 存在时，
为定值？若存在，求出点 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由.
2．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中， 分别为等轴双曲线
的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且 ，直线
交双曲线于B点，点D为线段 的中点，延长AD，BD，分别与双曲线 交于P，Q两点．
(1)若 ，求证： ；(2)若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为 ，试判断 是否为定值，如果是，请求出 的值；如
果不是，请说明理出．
3．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知椭圆 的离心率为 ，且经
过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线 分别交x轴于M，N两点，点 ，若
，求证： 为定值．
4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知抛物线C： 的焦点为 ，准线与
坐标轴的交点为 ， 、 是离心率为 的椭圆S的焦点.
(1)求椭圆S的标准方程；
(2)设过原点O的两条直线 和 ， ， 与椭圆S交于A、B两点， 与椭圆S交于M、N两点.求证：
原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知椭圆C： 经过点
，且椭圆C的离心率 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过定点 的直线l交椭圆C于A，B两点，椭圆C的右顶点为P，设直线PA，PB的斜率分别为
， ，求证： 恒为定值．
6．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆 的
两个焦点分别为F，F，点P在椭圆C上，连结PF，PF 并延长，分别交椭圆于点A，B．已知 APF 的
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周长为 ， FPF 面积最大值为4．
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不
是，请说明理由．
7．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设点 是椭圆 上一动点， 、
分别是椭圆 的左、右焦点，射线 、 分别交椭圆 于 两点，已知 的周长为 ，
且点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明： 为定值．
题型七：向量共线问题
一、单选题
1．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知抛物线 的准线交 轴于点 ，过点 作直线 交 于 ，两点，且 ，则直线 的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的
直线 与抛物线交于 （位于第一象限）、 两点，直线 与 交于点 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·山东济南·二模）过抛物线 焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为
线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为4 B．
C．△NAB面积的最小值为6 D．若直线AB的斜率为 ，则
三、填空题
4．（2022·贵州遵义·三模（理））斜率为 的直线 过椭圆 的焦点 ，交椭圆于
两点，若 ，则该椭圆的离心率为_________．
四、解答题
5．（2022·江苏南京·模拟预测）已知圆 ： ，动圆 与圆 外切，且与定直线 相切，
设动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)若直线 过点 ，且与 交于 ， 两点，与 轴交于 点，满足 ， （ ，
），试探究 与 的关系．6．（2022·山东·烟台二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ，设 的内
切圆与AC相切于点D，且 ，记动点C的轨迹为曲线T．
(1)求T的方程；
(2)设过点 的直线l与T交于M，N两点，已知动点P满足 ，且 ，若
，且动点Q在T上，求 的最小值．
7．（2022·山西太原·三模（理））已知椭圆 过点 离心率为
(1)求椭圆C的方程；
(2)当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足
求线段PN长的最小值.8．（2022·天津红桥·二模）已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，点 、
之间的距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ，则是否存在常数 ，使得
与 共线？如果存在，求 的值；如果不存在，请说明理由.
9．（2022·山东济南·二模）已知椭圆C的焦点坐标为 和 ，且椭圆经过点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 ，椭圆C上四点M，N，P，Q满足 ， ，求直线MN的斜率.
