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第二十七章 相似三角形 培优卷
满分 120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则
它们对角线AC与A′C′的比为（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
2. ( 3分 ) 如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
3. ( 3分 ) “相似的图形”是（ ）
A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重
合的图形 D. 大小相同的图形
4. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结
GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为( )
A. 32 B. 48 C. 64 D. 72
5. ( 3分 ) 已知△ABC的三边长分别为6cm ， 7.5cm ， 9cm ， △DEF的一边长为4cm ， 当
学科网（北京）股份有限公司△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm
6. ( 3分 ) 如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角
线BD交AG于点F，已知AF=2，则线段AE的长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7. ( 3分 ) 已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的
平行线交二次函数图像于点B，分别过点B，A作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接PA，PD,PD交AB
于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A. 始终相似 B. 始终不相似
C. 只有AB=AD时相似 D. 无法确定
8. ( 3分 ) 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，
CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（ ）
A. 2 √2 ＋2 B. 2 √2 ＋4 C. 2 √5 D. 2 √5 ＋2
9. ( 3分 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ， CE 平分 ，与对角线 BD 相交于
5 25 15
点 N ， F 是线段 CE 的中点，则下列结论中：① OF= ；② ON= ；③ S = ；④
6 26 螖CON 13
学科网（北京）股份有限公司，正确的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. ( 3分 ) 在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的两个动点，∠EAF＝45°，下列几个结论中：
①EF＝BE＋DF；②MN2＝BM2＋DN2；③FA平分∠DFE；④连接MF，则△AMF为等腰直角三角形；
⑤∠AMN＝∠AFE. 其中一定成立的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题
4 k
11. ( 4分 ) 如图，一次函数 y= x+b 的图象与y轴交于点 B(0,3) ，与反比例函数 y= (x<0) 的
3 x
图象交于点 D(m,n) ．以 BD 为对角线作矩形 ABCD ，使顶点 A ， C 落在 x 轴上（点 A 在点
C 的右边）， BD 与 AC 交于点 E ．则 k= ________．
12. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=4，BD=5,则边AC的长为
________．
学科网（北京）股份有限公司13. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：
4，则S△BDE：S△ACD＝________.
14. ( 4分 ) 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (1,3) ，点 B 的坐标为 (3,1) ，在第三象限内作与
位似的 ，点
A
的对应点为点
C
， 与 的位似比为
1:3
，则点
C
的
坐标为________．
15. ( 4分 ) 如图，在 中， AC=BC=5 ， AB=6 ，点D为AC上一点，作 DE//AB 交BC
于点E ， 点C关于DE的对称点为点O ， 以OA为半径作⊙O恰好经过点C ， 并交直线DE于点
M ， N则MN的值为________．
16. ( 4分 ) 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，
点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，
线段AE的长为________．
17. ( 4分 ) 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE
将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD ， 点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC
的一边相切时，AP的长为________．
学科网（北京）股份有限公司18. ( 4分 ) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC上一点，且AP＝5cm．点Q
为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，
则AQ的长为________cm．
三、解答题
19. ( 5分 ) 如图,小丽在观察某建筑物AB．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物AB在阳光下的投影．
（2）已知小丽的身高为1.65m,在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和8m,求建筑物AB
的高．
20. ( 11分 ) 如图 ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上， ，垂足为点E，
，垂足为点F.
学科网（北京）股份有限公司AG
（1）发现问题：在图 中， 的值为________.
BE
（2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 角 ，如图 所示，探究线
段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图 所示，延长CG
交AD于点H；若 AG=6 ， GH=2√2 ，直接写出BC的长度.
21. ( 10分 ) 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足
∠DEF=∠B，且点D．F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
学科网（北京）股份有限公司22. ( 5分 ) 如图，△ABC中， ， AB=2AC ．点P在△ABC内，且
，求△ABC的面积．
23. ( 5分 ) 附加题：
如图，在 中， AB=AC ， ，垂足为 D ， E 、 G 分别为 AD 、 AC 的中点，
，垂足为 F ，求证： FG=DG ．
四、综合题
学科网（北京）股份有限公司24. ( 12分 ) 抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若
∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q
（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求
定点坐标．
25. ( 10分 ) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s 的速度
沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的
时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.
（1）当△BDE 是直角三角形时，求t的值；
（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系
式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
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