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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
本章知识综合运用
有关概念
●●1、不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用
“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
◆不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
◆不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解
集．
◆解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
●●2、一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫
做一元一次不等式．
●●3、一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式
合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
◆一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的
不等式组的解集，解不等式组就是求不等式组的解集 .
◆用“口诀法”求一元一次不等式组的解集：同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小无处找.
一个性质
●●不等式的基本性质
◆性质一：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号
的方向不变，即：
若a＞b，那么a±c＞b±c；
◆性质二：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
a b
若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或 ＞ ；
c c
◆性质三：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
a b
若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或 ＜ ；
c c两个解法
●●1、一元一次不等式的解法
◆一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为 x＞a或x＜a的形式的过
程叫做解一元一次不等式．
◆根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，
都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
●●2、一元一次不等式组的解法
◆求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
◆求一元一次不等式组解集的方法：
①分别求出各个不等式的解集；
②在数轴上寻找各不等式解集公共部分；
③写出不等式组的解集.
◆一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
两个应用
列不等式（组）解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关
系列出不等式（组），建立解决问题的数学模型，通过解不等式（组）可以得到实际问题
的答案．
●●1、一元一次不等式的应用
◆列一元一次不等式解实际问题的步骤：
（1）审题：弄清题意及题目中的不等关系.
（2）设未知数：可直接设，也可间接设.
（3）列出不等式.
（4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 .
（5）写出答案.
●●2、一元一次不等式组的应用
◆列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
题型一 不等式及解集的概念
【例题1】（2023春•双流区期中）下列数学式子中：①﹣3＜0，②2x+3y≥0，③x＝
1，④x2﹣2xy+y2，⑤x+1＞3中，不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个解题技巧提炼
1、判断一个式子是等式还是不等式要根据各自的概念，主要看连接两个式子的符
号是什么，若用等号连接，则为等式；若用不等号连接，则为不等式.
2、不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范
围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
【变式1-1】（2023春•郫都区校级期中）下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；
④x2+x；⑤x＝﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1-2】（2023•南海区一模）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞
0解的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
【变式1-3】（2022春•运城期末）在﹣1，0，1， 中，能使不等式2x﹣1＜x成立的数
2
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-4】关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（ ）
A．x＝﹣3 是 x+3＜﹣2 的解 B．x＞4 是 x+3＞6 的解集
1
C．x= 是 6x≥3 的解集 D．x＜﹣5 是﹣3x＞15 的解集
2
【变式1-5】（2023春•薛城区月考）下列说法错误的是（ ）
A．不等式5x﹣10＞0的解是3
B．3是不等式5x﹣10＞0的解
C．不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2
D．x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集
题型二 不等式性质的应用
【例题2】（2023春•昌平区期中）已知x＜y，则下列各式中正确的是（ ）
x y
A．x+3＞y+3 B． ＞ C．x﹣y＞0 D．﹣x＞﹣y
5 5解题技巧提炼
不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等
号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的
式子，不等号的方向不变．
【变式2-1】（2023春•包河区期中）若m＞n，则下列各式中正确的是（ ）
m n
A．m+2＜n+2 B．﹣5m＜﹣5n C．m﹣3＜n﹣3 D． ＜
6 6
【变式2-2】（2023春•北碚区校级期中）下列判断不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则﹣3a＜﹣3b
C．若2a＞2b，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2
【变式2-3】已知a＞b，用“＞”或“＜”连接下列各式．
（1）a﹣3 b﹣3； （2）2a 2b；
a b
（3）- - ； （4）4a﹣3 4b﹣3．
2 2
【变式2-4】根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x﹣1＜2； （2）4x＞16；
1
（3）- x＞4； （4）8x＞5x+1．
3
【变式2-5】（2023春•西城区校级期中）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数 a和b比较大小，
有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的
规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：（1）比较大小：3+√5 √10+√5；（填“＜”，“＝”或“＞”）；
（2）已知x+2y﹣2＝0，且x是正数，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．
题型三 一元一次不等式的识别
【例题3】（2023春•禅城区月考）下列是一元一次不等式的是（ ）
1
A．x+ ＞1 B．3x+2 C．2x＞x﹣1 D．x2﹣2＜1
x
解题技巧提炼
判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断，如果化简后不
等号两边都是整式且含有一个未知数，未知数的次数为1且系数不为0，那么此
不等式为一元一次不等式.
【变式3-1】（2022春•雁塔区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
3
A．x2＞1 B．2x﹣5＞x C． +3≥1 D．x+y＜0
x
【变式 3-2】（2022 春•南关区校级期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是
（ ）
A．3＞2 B．4x＞3﹣2x2 C．3x+2y＜5 D．5x＞7﹣2x
【变式3-3】（2022春•凤翔县月考）下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
x 1
① +1＞5x；② ＜1；③6x＞0；④2x+1＞3（x+2）；⑤﹣3＜2．
3 x
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【变式3-4】（2022春•华龙区校级期中）若（m﹣1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等
式，则m＝（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【变式3-5】（2022春•叙州区校级期中）已知9（m﹣5）x|m|﹣4+2＜0是关于x的一元一
次不等式，则m的值为 ．
题型四 解一元一次不等式
【例题4】（2023春•盐田区期中）不等式2x+3≤7x+13的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
解题技巧提炼
1、解一元一次不等式的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
2、解一元一次不等式时有两步可能会改变不等号的方向；一是去分母；二是系
数化为1，为了使不等式简化，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正
数.
【变式4-1】（2023春•晋江市校级期中）求不等式2（x+2）﹣6≤﹣3（x﹣4）的解集，
并将解集表示在数轴上．
x+3 x
【变式4-2】（2023春•九龙坡区校级期中）解不等式 -1＞ ，并把解集在如图所
2 3
示的数轴上表示出来．x+5 3x+2
【变式4-3】（2023春•莲池区校级月考）下面是小明解不等式 -1＜ 的过
2 2
程：
①去分母，得x+5﹣1＜3x+2，②移项、合并同类项，得﹣2x＜﹣2，③两边都除以﹣
2，得x＞1．先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
（1）小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
（2）用正确的方法解这个不等式．
【变式4-4】（2023春•碑林区校级月考）解不等式：
2x-1 9x+2
（1）4（x﹣1）+3＞3x； （2） - ≤ 1．
3 6
【变式4-5】（2022秋•工业园区校级月考）解不等式：
x+2 2-3x
（1）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）； （2） ＜1- ．
2 5
题型五 求一元一次不等式的特殊解
【例题5】（2022春•东莞市期中）不等式3x≤7+x的非负整数解有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解题技巧提炼
求一元一次不等式的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式，得出解
集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
x-9 3x+4
【变式 5-1】（2023春•碑林区校级月考）不等式 +1＜ 的负整数解有（
3 2
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 1
【变式5-2】（2023春•潍城区期中）能使不等式 (3x-1)-(5x+2)＞ 成立的x的
2 2
最大整数值是 ．
x-2 x
【变式5-3】（2023春•东城区校级月考）解不等式5- ＞1+ ，并写出它的所有
2 3
正整数解．
x-2 1+x
【变式5-4】（2023•碑林区校级模拟）解不等式1 - ≥ ，并写出它的非负整数
2 3
解．2x+1 x-1
【变式5-5】（2022•兴平市模拟）解不等式 ≤ +1，并写出它的所有非负整
4 3
数解的和．
题型六 不等式与绝对值的综合应用
【例题6】已知：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|＝ ．
解题技巧提炼
解绝对值问题的关键是确定绝对值符号内的式子的正负，再去绝对值进行化简，
而绝对值内式子的符号需通过解不等式确定未知数的取值范围后，再判断.
【变式6-1】不等式3（x+1）≥5x﹣2，则|2x﹣5|＝ ．
【变式6-2】（2023春•靖西市期中）由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，试化
简|a﹣1|+|2﹣a|．
【变式6-3】已知：x＜﹣1，化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|【变式6-4】（2021春•罗湖区校级期末）已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），则化简|
3x+3|﹣|2﹣3x|＝ ．
3x-1 7 5+2x
【变式 6-5】已知有理数x满足： - ≥x- ，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为
2 3 3
a，最大值为b，则ab＝ ．
题型七 利用不等式的解集解含字母常数的不等式
1
【例题7】（2023春•永春县期中）m、n是常数，若mx+n＞0的解是x＜ ，则nx﹣m
2
＜0的解集是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＞2
解题技巧提炼
解题时，要充分挖掘题中的已知调剂，包含隐含的条件，正确确定未知数的字母
的系数的正负是解题的关键.
【变式7-1】（2022•丰泽区校级模拟）如果不等式ax+m＜0的解集是x＞1，那么mx+a
＞0的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1
1
【变式7-2】已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜ ，则nx﹣m＜0的解集是（
3
）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
【变式7-3】（2022春•海门市期中）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关
于x的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（ ）
1 1
A．x＞﹣3 B．x＞- C．x＜﹣3 D．x＜-
3 3
2
【变式7-4】若关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x＞- ，则关于x的不等式mx
3
﹣m＞2nx﹣n的解集是（ ）4 4 4 4
A．x＞ B．x＜ C．x＞- D．x＜-
3 3 3 3
【变式7-5】（2022春•浦东新区校级期中）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解
1
集是x＜- ，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集．
3
题型八 一元一次不等式与方程（组）的综合应用
2x-1 9x+8
【例题8】已知不等式 ≤ ．
3 6
（1）求该不等式的解集；
（2）该不等式的所有负整数解的和是关于y的方程2y﹣3a＝6的解，求a的值．
解题技巧提炼
本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方
程组的解，再建立不等式，求出相应字母的取值范围.
【变式 8-1】（2022 春•桐城市期末）已知关于 x、y 的二元一次方程组{3x+2y=-a-1
2 5 的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
x- y=a+
3 3
13 13 9
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤﹣3
8 4 2
【变式 8-2】（2023 春•安溪县期中）已知关于 x、y 的二元一次方程组
{ 2x+ y=3①
的解满足x﹣y＜7，求满足条件的m的取值范围．
x+2y=-2m+1②
{ x- y=2
【变式8-3】已知关于x、y的方程组 的解满足不等式3﹣x＜2y，求实数a
2x+ y=5a
的取值范围．
{2x+ y=-2m+3
【变式8-4】若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＞﹣8．
x+2y=4
（1）用含m的代数式表示x﹣y．
（2）求满足条件的m的所有正整数值．
{2x-3 y=-2
【变式8-5】（2022春•市中区期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的
x-2y=k
解满足x﹣y＜0．
（1）求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集为x＞1，求整数k的值．题型九 一元一次不等式的实际应用
【例题9】（2023春•蜀山区校级期中）体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得 3
分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投
进几个球（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
解题技巧提炼
先分析题意，找到题目中不等关系，再列出不等式并解不等式得出符号题意的
解.
【变式9-1】（2023春•新城区期中）某商店为了促销一种定价为 20元的商品，采取下
列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，
超过部分按原价八折付款．如果小颖有 200 元钱，那么她最多可以购买该商品
（ ）
A．5件 B．6件 C．7件 D．8件
【变式9-2】（2023春•南岗区校级期中）某班为了奖励进步学生，购买笔记本和笔袋两
种文具共10个，已知笔记本每本12元，笔袋每个7元，总费用不超过100元．则班级
最多能买 个笔记本．
【变式9-3】（2023•长沙模拟）2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准
（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体
验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购 A，B两种菜苗开展种植活动．
若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种
菜苗共需740元．
（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；
（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活
动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？【变式9-4】（2023•香坊区一模）文教店用1200元购进了甲、乙两种纪念册，已知甲
种纪念册进价为每本12元，乙种纪念册进价为每本10元，文教店在销售时甲种纪念
册售价为每本15元，乙种纪念册售价为每本12元，全部售完后共获利270元．
（1）求文教店购进甲、乙两种纪念册各多少本？
（2）若文教店以原进价再次购进甲、乙两种纪念册，且购进甲种纪念册的数量不变，而
购进乙种纪念册的数量是第一次的2倍，乙种纪念册按原售价销售，而甲种纪念册降价销
售，当两种纪念册销售完毕时，要使再次购进的纪念册获利不少于 340元，求甲种纪念册
每本最低售价应为多少元？
【变式9-5】（2023春•市中区期中）为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某
品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售．
成本价（万元/辆） 售价（万元/辆）
A型 16 16.8
B型 28 29.4
（1）为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍，则A型车至少购
买多少辆？
（2）在（1）的条件下，若这20辆电动汽车全部售出，为使4S店销售的利润最大，购进
A型电动汽车多少辆？最大利润是多少？题型十 一元一次不等式组的识别
【例题 10】（2021 春•游仙区校级期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是
（ ）
{ x-2＞0 {x+1＞0
A． B．
x(x-1)≤2 y-1＜0
{ 3x＞0
{x-2＞0
C． D． 1
x＜-3 +1＜0
x
解题技巧提炼
每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等
式组．形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一
元一次不等式组．
【变式10-1】下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
{x＞3 { 3x＜5
A． B．
x＜1 2x-1＜9
{x-1＞3 {x-1＞3
C． D．
y+2＜1 x-3＜2
【变式10-2】下列各式中不是一元一次不等式组的是（ ）
{ 1
y＜- {3x-5＞0
A． 3 B．
4x+2＜0
y＞-5
{
x-5＞0
{a-1＜0
C． x+2＜0 D．
b+2＞0
4x+8＜9【变式10-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
{ x＞0， {x+x＞-2，
① ②
2x+5＜-1； 3-x＜0；
{1
+2＞3， {ab＜-8，
③ x ④
a+b＞0；
x-5＞4；
{ y＜0，
{m+n+1≥0，
⑤ ⑥ 2y-1＜5，
m-n-1≤0；
3+ y＞2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型十一 解一元一次不等式组
{x+1＞0
【例题11】（2023春•安丘市期中）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的
x-3≤0
是（ ）
A． B．
C． D．
解题技巧提炼
一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的
解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找．
{2x≤3(x+1)
【变式11-1】（2023•临朐县一模）关于x的不等式组 x 的解集，在数轴上
2- ＞3
2表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
{
2x+3≤7①
【变式11-2】（2023•滨海新区一模）解不等式组 3 5 ．请结合题意填空，
- x+1≤ ②
4 2
完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
【变式11-3】（2023春•姑苏区校级期中）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出
来．
{
2+x 2x-1
＞
2 3 .
5-2(x-3)≤x-1
{ x+2＞-1
【变式11-4】（2023•番禺区一模）解不等式组 ，并将解集在数轴上表
x-5≤3(x-1)
示出来．
【变式11-5】（2023春•北碚区校级月考）解下列一元一次不等式（组）：{4(x+1)≤7x+10 {x-3(x-2)≥4
（1） x-8 ； （2） 2x-1 x+1 ．
x-5＜ ≥
3 5 2
题型十二 求不等式组的整数解
{3x+6＞5(x-2)
【例题12】（2023•徐汇区二模）求不等式组 x-2 2x-1 的整数解．
1- ≤
3 2
解题技巧提炼
求一元一次不等式组的整数解分两步来解答：一是求解一元一次不等式组，得出
解集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
{2x-6≥0
【变式 12-1】（2022春•新乡县校级期中）不等式组 的最小整数解是
4-x＜-1
．{12-4x＞-8
【变式12-2】（2023•息县模拟）不等式组 的整数解的个数是（ ）
x+4≥5
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式12-3】（2023春•南海区校级月考）已知点M（1﹣a，12﹣4a）在第二象限，且
它的坐标都是整数，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
{4x-7＜5(x-1)
【变式12-4】（2022秋•湘潭县期末）求不等式组 的正整数解．
2x≤18-3x+7
{
x+3
≥1
【变式12-5】（2023•涟水县校级模拟） 2 ，并求出它的所有整数解的
2(x+4)＞4x+2
和．
题型十三 根据不等式组的解集求字母范围
{ x＜m+1
【例题12】（2022春•兖州区期末）若不等式组 无解，则m的取值范围是
x＞2m-1
（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．无法确定解题技巧提炼
解答这类题，一般先将字母视为常数，再逆用不等式组解集的意义，由不等式组
的解集反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
{x x-3
＜1-
【变式13-1】（2022•珠海二模）如果不等式组 3 6 的解集是x＜3，那么m
x＜m
的取值范围是（ ）
7 7
A．m＜ B．m≥ C．m＜3 D．m≥3
8 8
{3x-2＜m
【变式13-2】（2023•零陵区模拟）若关于x的不等式组 有解，则实数m的
x+1≥0
取值范围是 ．
{ x-a＜1
【变式13-3】（2023春•北碚区校级期中）已知不等式组 的解集为﹣1＜x＜
x-2b＞3
3，则（a+1）（b﹣1）＝ ．
{-x+2＜x-6
【变式13-4】（2023春•北碚区校级期中）若关于 x的不等式组 的解集
x＞a
是x＞4，且关于y的一元一次方程3a﹣5y＝﹣9的解为非负数，则符合条件的所有整
数a的和是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式13-5】（2023春•蜀山区校级期中）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非
{x-2(x-1)≤3
负数，且关于 x的不等式组 2k+x 有解，则符合条件的整数 k值的和为（
≥x
3
）
A．2 B．3 C．5 D．6题型十四 利用整数解求字母的取值范围
{3-2x≥0
【例题14】（2023春•东城区校级期中）若关于x的不等式组 有2个整数解，
x≥m
则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0＜m≤1 D．0≤m＜1
解题技巧提炼
利用整数解求字母的取值范围的方法：
（1）先求出每个不等式解集，其中一个不等式解集（含待定字母），如 x＜
1+n；
（2）画数轴，在数轴上表示出确定的一个解集，并在数轴上观察出一解集中
（1+n）
的取值范围.
（3）列出不等式组，求出不等式组的解集.
{ x＞a
【变式14-1】（2023春•包河区期中）已知关于x的不等式组 仅有两
2x＞3(x-2)+5
个整数解，则整数a的值是 ．
{x+21
≥3-x
【变式14-2】（2023春•青羊区期中）如果关于x的不等式组 2 恰有3个整
x＜m
数解，则m的取值范围是 ．
{x-1 x
+1＞
【变式14-3】（2023春•莲湖区期中）若实数a使得关于x的不等式组 3 2有
6x-5≥a
且仅有4个整数解，求实数a的取值范围．
2x+5
{ -x＞5
3
【变式14-4】（2023春•桐柏县校级月考）已知关于x的不等式组 恰有5
x+3
-t＜x
2
个整数解，求t的取值范围．【变式14-5】（2023春•渝中区校级期中）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组
{3x+2y=4m+5 {5x-m＞0
的解满足x+4y≤3，且让不等式 只有3个整数解，则满
x- y=m-1 x-4＜-1
足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C．﹣10 D．﹣14
题型十五 方程组与不等式组的综合应用
{
1-x
＞x-2
【例题15】如果关于x的方程x+2+m＝0的解也是不等式组 2 的一个解，
2(x-3)≤x-8
求m的取值
范围．
解题技巧提炼
本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方
程组的解，再建立不等式组，解不等式组，即可求出相应字母的取值范围.
{ x+ y=5-2a
【变式15-1】（2021春•利州区期末）已知：关于x、y的方程组 的解满
2x- y=5a+4
足x＞y＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|8a+2|﹣|3a﹣2|．{ x+2y=4m
【变式15-2】已知关于x，y的方程组 满足﹣2＜x﹣y＜1，求m的取值
2x+ y=2m-1
范围．
{x+ y=-7-m
【变式15-3】（2021春•饶平县校级期末）已知方程组 的解满足x为非
x- y=1+3m
正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
{3x- y=2a-5
【变式15-4】（2021春•射洪市期末）已知关于x、y的方程组 的解都为
x+2y=3a+3
正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a+b＝4，且b＞0，z＝2a﹣3b，求z的取值范围．【变式 15-5】（2022 春•高坪区校级月考）已知关于 x，y 的方程满足方程组
{3x+2y=m+1
．
2x+ y=m-1
（1）若x﹣y＝2，求m的值；
（2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m﹣3|+|m﹣5|；
（3）在（2）的条件下求s＝2x﹣3y+m的最小值及最大值．
题型十六 一元一次不等式组的实际应用
【例题16】（2022春•诸城市校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友
分得4个，则还剩余16个苹果；若每个小朋友分得6个，则有一个小朋友分得的苹果
不足5个．若小朋友的人数为x人，则列式正确的是（ ）
A．0＜4x+16﹣6（x﹣1）≤5 B．0≤4x+16﹣6（x﹣1）＜5
C．1＜4x+16﹣6（x﹣1）≤5 D．1≤4x+16﹣6（x﹣1）＜5解题技巧提炼
一元一次不等式组的实际应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步
骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
【变式16-1】（2023春•通州区期中）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果
是否＞18”为一次程序操作，如果输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，那么x
的最小整数值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式16-2】（2022春•五华区期末）将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分
5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果
但不足8个，则有小朋友（ ）
A．7位 B．6位 C．5或6位 D．37或42位
【变式16-3】（2023春•安丘市期中）某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足
球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买 3个篮球和4个足球共需费用
720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于18个，且总费用不超过6000
元，那么最多采购篮球多少个？
【变式16-4】（2023春•莲湖区期中）为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我
的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4
个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．1
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的 ，
3
购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
【变式16-5】（2021秋•鸡冠区校级期末）在今年的新冠疫情期间，政府紧急组织一批
物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110
箱．
（1）求食品和矿泉水各有多少箱？
（2）现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知 A种货
车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通
过计算帮助政府设计几种运输方案？
（3）在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政
府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
