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第二十三章 一次函数
单 元 备 课
第23单元 本单元所需课时数 7课时
1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析
课 式;会运用待定系数法确定一次函数的解析式.
标 2.能画一次函数的图象，根据图象和解析式 y=kx+b (k≠0)探索并理解k>0和
要 k≤0时图象的变化情况；理解正比例函数.
求 3.体会一次函数与二元一次方程的关系.
4.能用一次函数解决简单实际问题.
本章通过对一次函数的学习，使学生经历学习和探究一个具体函数的一
般过程，即从定义、图象、性质、函数与方程及不等式的关系、不同函数之
间的关系等方面进行研究.
对于学生来说，无论是“正比例函数"还是“一次函数”,其概念认识的
形成，都必须借助于相当数量的、他们所熟悉的现实情境，通过归纳、抽象
才能实现.因此,教科书特别关注情境的设置与“抽象”过程的有效展开,以促
使学生产生有价值的数学思考,完成理性认识的飞跃.
教
对于一次函数性质的研究，教科书中突出了“数形结合”,即由图象特征
材
引发出函数随自变量变化的增减性质.因此，图象的绘制与观察,便起着铺垫
分
与引导的重要作用.
析
教科书紧紧抓住“一点在函数的图象上”与“该点的坐标满足函数的解
析式”的对应及一致性，导出用待定系数法求一次函数的解析式，意在突出
“形与数”的统一与相互转化，并显示“方程”的广泛应用.随后，又专项研
究了一次函数与二元一次方程的关系,更为有力地揭示了函数与方程的关联
性.
所有内容的呈现，一是尊重学生的数学现实,二是尽可能展开学生的观
察、思考、交流与研究的活动过程,以充分提供学生自主发展的空间.
本章主要内容有:一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与
二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素
主 材的课题学习.主要包括四节:第23.1节“一次函数的概念”主要介绍正比例
要 函数和一次函数的概念.第23.2节“一次函数的图象与性质”主要介绍正比
内 例函数和一次函数的图象和增减变化规律.第 23.3 节“一次函数与方程
容 （组）、不等式”主要从一次函数的角度对一次方程和不等式进行再认识.第
23.4节“实际问题与一次函数”通过对典型问题的讨论，探究解决实际问题
的最优方案，展示函数的应用价值.
1.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件
教
确定它们的解析式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变
学
化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
目
标
2.通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识
体系.
3.进行探究性课题学习，以选择方案为问题情境，进一步体会建立数学模型
的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力.
23.1 一次函数的概念 1课时
课
时 23.2 一次函数的图象和性质 3课时
分
23.3 一次函数与方程（组）、不等式 1课时
配
23.4 实际问题与一次函数 2课时
1.关注对一次函数概念形成的抽象过程的评价.“抽象”是基本数学思想
中最为重要的一个方面，是数学知识形成与发展的最为基本的思维形式，也
是数学能力构成的基本要素，通过评价的引导,以促进学生对熟悉抽象的重视
和自觉运用.
2.注重对知识与技能的评价.重点要放在知识的内在联系，一次函数各种
教
表达形式的相互转换，以及如何通过建立一次函数模型来解决相关的实际问
与
学 题和数学问题上.
建
3.在本章的教学中,大部分的教学活动都应以学生独立思考、合作交流、
议
一起探究的形式来完成.所以，学生是否积极与独立思考,是否善于主动地与
同学合作,都应该引起教师的注意，要对学生好的表现及时给予鼓励.
4.注重对学生情感态度的评价.在学生学习活动中,要注意培养学生自
信、自强的性格记录学生在学习过程中的情感表现以及在解决问题的过程中
所表现出来的创新精神.23.1 一次函数的概念
课题 一次函数的概念 课型 新授课
教学内容 教材第114-116页的内容
1.理解一次函数的概念、正比例函数的概念以及它们之间的关系．
2.能根据问题的信息写出一次函数的解析式或正比例函数解析式，能
利用函数解决简单的问题．
教学目标
3.在探究过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证
关系．
教学重点：一次函数的定义及解析式的特点．
教学重难
教学难点：一次函数与正比例函数的关系．
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，导入新课
某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气
采用学生熟悉的情
温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所
境引入新课，激发
在位置的气温是y ℃.
学生的求知欲望，
吸引学生的注意
力，为学习新知识
做好铺垫.
1．试用函数解析式表示y与x的关系．
2．思考：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什
么不同？这种函数你见过吗？
师生活动：教师提出问题，学生共同讨论，引出课题.
2.实践探究，形成新识
【探究】下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？
如果是，请写出函数解析式．这些函数解析式有哪些共同特
从大量生动有趣的
征？
实际问题情境出
(1)铁的密度约为7.9 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它 发，通过对一般规
的体积V（单位：cm²）的变化而变化. 律的探索，从实际
问题中抽象出一次
(2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总
函数的概念．
厚度h（单位：cm)随练习本的个数n的变化而变化.．
(3)一种计算成年人标准体重G(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值．
(4)把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不
变，长方形的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化．
师生活动：学生观察、思考、小组讨论，最后在老师的引导
下完成解答过程．
让学生观察所写解
(1)m=7.9V; (2)h=0.5n; 析式的特点，并让
学生认识到：各小
(3)m=h-105; (4)y=-5x+50.
题表示变量的字母
教师讲解:上面的四个函数解析式都是常数 k与自变量的积 虽然不同，但结构
与常数b的和的形式. 相同.变量间对应关
系反映出了一种函
归纳：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，
数形式，与所取符
叫作一次函数．特别地，当b=0时，y＝kx＋b即y＝kx，
号无关，找出这些
形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中
式子的共同点，才
k叫作比例系数．
能概括出一般规律.
教师追问：一次函数和正比例函数有什么联系与区别？
归纳：一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：
k≠________；自变量x的次数为________；常数项b可以为
________．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数是
________．自变量x的次数为________，正比例函数是特殊
的________． 充分加强数学与现
实的联系，促进学
师生活动：教师引导学生进行思考，师生共同完成归纳．
生新的认知结构的
建立和数学应用能
3.学以致用，应用新知
力的发展．
考点 列一次函数解析式
【例】一个弹簧不挂物体时长 12cm，在弹簧的弹性限度
内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.
(1）求弹簧的长度 у（单位：cm)关于所挂物体质量 x（单
位：kg）的函数解析式；
(2）当挂5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？
解：(1)由每挂1 kg 的物体，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于
x的函数解析式为y=2x+12.
(2)把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22.
因此，当挂5 kg 的物体时，弹簧的长度是22cm.
4.随堂训练，巩固新知 通过随堂练习，巩
固课堂所学内容，
（1）下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是( )
检测学习效果.
A.路程一定时，时间y和速度x的关系
B.长10 m的铁丝折成长为y m，宽为x m的长方形
C.圆的面积y与它的半径x
进一步巩固一次函D.斜边长为5的直角三角形的两条直角边长y和x
答案：B
（2）在运动会的百米赛场上，张媛正以7 m/s的平均速度
冲向终点，那么张媛与终点的距离s(m)关于她跑步的时间
t(s)的函数解析式为 ，跑了10s时，她离终点有
m.
答案：s＝100－7t 30
（3） 下列函数中哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
数的概念，提醒学
生在识别一次函数
时注意一次函数包
①y=-2x；② ；③y=2x2-3；④y= x+2.
括正比例函数.
答案：①④是一次函数，①是正比例函数.
（4）已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3.
①当m，n取何值时，y是x的一次函数？
②当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
解：①根据一次函数的定义得 2－|m|＝1，解得 m＝±1.又
∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函
数是一次函数；
②根据正比例函数的定义得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝
±1，n＝－3.又∵m－1≠0 即 m≠1，∴当 m＝－1，n＝－3
时，这个函数是正比例函数．
（5）写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是
x的一次函数或正比例函数？
(1)某村耕地面积为 106 m2，该村人均占有耕地面积 y( m2)
与人数x(人)之间的函数关系；
通过提问，帮助学
(2)地面气温为 28℃，如果高度每升高 1km，气温下降 生梳理本节课所学
5℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系． 内容，强化记忆.
课后练习巩固，让
解：(1)根据题意得y＝，不是一次函数；
所学知识得以运用.
(2)根据题意得28－5y＝x，则y＝－x＋，是一次函数．
5.课堂小结，自我完善
(1)什么叫一次函数?什么叫正比例函数？
(2)一次函数与正比例函数有什么联系?
6.布置作业
教材P115练习第1，2题.
教材P116习题23.1第1，2，3，4，5题．
板书设计
一次函数的概念一次函数的概念 正比例函数的概念
一次函数与正比例函数的关系
例题 练习
教学反思
整节课以“问题情境-分析探究-总结升华”为主线，使
学生亲身体验一次函数特征的探索，深化一次函数与正比例
函数的关系的理解，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂
转变.教学中可重点指导学生表述、交流个人体会，再互相
分析，在师生的共同探讨中逐步抓住知识的本质，再鼓励学
生主动地应用于解决问题中，获得实际应用能力.23.2 一次函数的图象和性质
第 1 课时 正比例函数的图象和性质
课题 正比例函数的图象和性质 课型 新授课
教学内容 教材第117-119页的内容
1.会画正比例函数的图象；理解正比例函数的图象及性质．
2.能根据正比例函数的图象和解析式y＝kx(k≠0)理解k>0和k<0时函数
的图象特征与增减性．
教学目标
3.通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学
感知、数学表达、数学概括能力．
教学重点：正比例函数的图象特征及性质.．
教学重难
教学难点：用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数
点
的图象特征及性质.．
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课
回顾前面学到的正
【知识回顾】 比例函数的概念及
函数图象的画法，
（1）什么是正比例函数？请写出两个具体的正比例函数．
引发学生思考正比
（2）描点法画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线． 例函数的图象，引
出课题．
（3）下列函数中，y是x的正比例函数的是 ①④ ．(填
序号)
①y＝－5x；②y＝；③y＝3x2；④y＝；⑤y＝－x+1.
师生活动：教师展示问题，学生回答.引出课题：为了更深
入、全面地认识正比例函数，这节课就来研究它的图象和性
质．
通过列表、描点、
2.发现探究，学习新知
连线，画出一系列
【问题1】画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找 函数图象，并从中
两个函数图象的相同点，考虑两个函数的变化规律． 找出规律．学生参
与知识的生成，体2
现了以学生为本的
(1)y＝3x；(2)y＝ x.
3 教学理念．
师生活动：学生独立完成列表、描点、连线，教师巡视指
导，要求学生严格按照三步骤画图.同时引导学生思考它们
的图象是什么形状，有什么变化趋势.
解：（1）列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －6 －3 0 3 6 …
描点、连线，画出图象，如图所示：
2
（2）在上图中画出y＝ x的图象．
3
（3）两个函数图象的共同点：都是经过原点的直线，图象
从左向右上升，经过第一、三象限．
【问题2】在同一平面直角坐标系中画出y＝－2.5x，y＝－
x两个函数的图象．
师生活动：学生分组完成，教师巡视指导学生后展示评价.
让学生观察、分
析、讨论、对比图
象的异同，发现函
数图象的性质.
在多个实例的基础
上，归纳得到正比
例函数图象的性
质，潜移默化地对
学生渗透概括、归
纳、比较、分析等
教师追问：比较这2个函数的图象，它们有什么共同点和不
思想方法.
同点？
师生共同归纳：两个函数的图象经过第二、四象限，从左向
右下降，即y随着x的增大而减小．
【问题3】正比例函数y=kx(k≠0)的图象的形状是什么样的?
图象经过几个象限，所经过的象限与k有什么关系?函数图
象的上升或下降与k有什么关系?
师生活动:教师引导学生根据以上正比例函数的图象猜想问
题答案，再给出肯定的结果.师生共同总结：k的符号 图象位置 变化趋势 增减性
教师引导学生用简
k>0 经 过 第 从左向右上升 随着 x 的增大 y 也
三 、 一 象 增大 便方法画正比例函
限 数的图象，并利用
k<0 经 过 第 从左向右下降 随着 x 的增大 y 反 此例让学生巩固正
二 、 四 象 而减小 比例函数的图象与
限
性质．
由于正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条直线，我
们可以称它为直线y=kx.
【问题4】正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，
我们知道，两点确定一条直线，现在，你知道画正比例函数
图象的简便方法了吗？
师生活动：教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象．
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
3
(1)y＝ x；(2)y＝－3x.
2
通过例题教学，帮
助学生巩固所学知
识.使学生对正比例
函数的图象和性质
能够理解得更到
师生共同总结：画正比例函数的图象时，只需除原点外再确 位．
定一个点，即找出一组满足函数解析式的对应数值即可，如
(1，k)，因为两点可以确定一条直线．
3.学以致用，应用新知
考点1 正比例函数的图象
【例1】画出下列正比例函数的图象：
(1)y＝2x，y＝x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x.
解：(1)如图1所示．
通过随堂练习，进
一步巩固课堂所学
内容，检测学习效
果，使学生掌握正
图1 图2
比例函数的图象和
(2)如图2所示． 性质，并会应用图
象和性质解决问题.
考点2 正比例函数的性质【例2】已知正比例函数y＝(2m＋4)x.问：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，
∴2m＋4＞0，解得m＞－2.
(2)∵y随x的增大而减小，∴2m＋4＜0，解得m＜－2.
(3)∵点(1，3)在该函数图象上，∴2m＋4＝3，解得m＝－．
4.随堂训练，巩固新知
（1）正比例函数y=-2x的大致图象是 ( )
答案：C
（2）关于正比例函数 y= -3x，下列结论正确的是 （ ）
A. 图象不经过原点
通过小结，帮助学
B. y随x的增大而增大 生梳理本节课所学
内容，强化记忆，
C. 图象经过第二、四象限
课后练习巩固，让
1 所学知识得以运用.
D. 当x= 时，y=1
3
答案：C
（3）已知正比例函数y=(m-2)x(m是常数)的图象经过第
二、四象限，则m的取值范围是 .
答案：m<2
（4）已知点P (1，y )，P (2，y )是正比例函数y＝(k2＋1)x
1 1 2 2
的图象上的两点，则y y (填“＞”“＜”或“＝”).
1 2
答案：<
5.课堂小结，自我完善
（1）图象:正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经
过原点的直线，可以称它为直线y=kx.
（2）性质:当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从
左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大;当 k<0 时，直线
y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.
（3）数形结合思想在解决函数问题中的作用.
6.布置作业
教材P119练习第1，2题.
教材P124习题23.2第1，2题.
板书设计
正比例函数的图象和性质
1.正比例函数的图象 例题
2.正比例函数的性质 练习
教学反思
这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数
的图象和性质．在教学过程中教师应通过情境创设激发学生
的学习兴趣，对函数与图象的对应关系应让学生动手去实
践，去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己
得出．在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直
线”，很快作出正比例函数的图象．在巩固练习活动中，鼓
励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力．23.2 一次函数的图象和性质
第 2 课时 一次函数的图象和性质
课题 一次函数的图象和性质 课型 新授课
教学内容 教材第119-121页的内容
1.会画一次函数的图象；能从图象角度理解正比例函数与一次函数的
关系．
2.能根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)，理解k>0和k<0时
教学目标
图象的变化情况，从而理解一次函数的增减性．
3.通过函数图象、类比正比例函数性质概括一次函数性质的活动，体
会数形结合的思想，发展几何直观．
教学重点：一次函数的图象和性质.
教学重难
教学难点：由一次函数图象归纳出一次函数的性质.
点
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，导入新课 先让学生写几个一
次函数解析式，既
【问题1】前面我们初步学习了一次函数，你能写出两个具
是为了帮助学生回
体的一次函数解析式吗?什么叫一次函数?
顾一次函数的概
师生活动:学生随便写出两个一次函数解析式，如y=2x-3， 念，也是为了后面
y=-3x＋1等. 研究函数性质提供
画图象的具体函数.
【问题2】前面我们还学习了正比例函数，能说说正比例函
数y=kx的性质吗?是怎样获得这些性质的? 通过回顾和类比正
比例函数的性质及
师生活动:教师引导学生说出正比例函数的性质及其研究步
其研究过程，引导
骤：画图象→观察图象→解释变量(坐标)意义.
学生自然合理地提
【问题3】针对函数y=kx+b，大家想研究什么?应该怎样研 出一次函数的研究
究? 任务和研究方法.
师生活动:教师引导学生自然合理地提出要研究的问题——
研究函数的增减性，研究步骤:画图象→观察图象→解释变
量(坐标)意义.
2.合作交流，探究性质【问题4】让我们从一次函数y=2x-3的性质开始研究，首先
要画出一次函数y=2x-3的图象，那么怎样画出图象呢?
师生活动:在学生说出画图象的步骤(列表、描点、连线)
根据画函数图象的
后，学生独立画出图象.
步骤，引导学生先
教师追问1:看一看，画出的图象是什么? 用描点法画出一次
函数的图象.类比正
教师追问2:为什么说画出的图象是一条直
比例函数y=2x，分
线?你能说明理由吗?
析y=2x-3的图象与
师生活动:类比正比例函数 y=2x 的图象， y=2x的图象之间的
直观发现函数 y=2x-3 的图象是平行于直 联系.
线 y=2x 的一条直线.再比较一次函数
y=2x-3与y=2x的解析式，发现当x分别取-2，-1，0，1，
2，…时，一次函数 y=2x-3的函数值都比正比例函数 y=2x
的函数值对应小 3，这个规律对自变量
的任何取值都成立.这反映在图象上是
将直线 y=2x 向下平移 3 个单位长度就
得到函数 y=2x-3 的图象，因此，函数
y=2x-3的图象确实是一条直线.
把研究一次函数
y=2x-3图象形状得
教师追问3：对于一般的一次函数
到的结论推广到一
y=kx+b(k≠0)，它的图象的形状是什么?
般的一次函数.
师 生 活 动 : 引 导 学 生 比 较 解 析 式
y=kx+b(k≠0)和y=kx(k≠0)，把函数值之间的关系通过坐标转
化为图象的平移关系，从而由函数y=kx(k≠0)的图象是直线
得到函数y=kx+b(k≠0)的图象也是直线. 结合“两点确定一
条直线”，引导学
教师追问4：在几何中怎样确定一条直线？由此，你能得到
生发现“两点法”
画一次函数图象的简便方法吗？
画一次函数图象.
师生共同总结:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，
画一次函数图象可以用“两点法”.
【问题5】学习正比例函数时，我们通过画k的符号不同的
若干具体函数图象，观察发现了函数增减性与系数 k的符号 通过类比正比例函
之间的关系，在一次函数中我们能否也这么办?试一试! 数的性质的研究方
法,引导学生先画出
师生活动:教师引导学生类比正比例函数性质的研究，提出
若干个一次函数的
一次函数性质的研究目标(增减性与k的符号的关系)和研究
图象,同时巩固两点
方法，然后教师布置任务:用简便方法分别在同一坐标系中 法画一次函数图象.
画出下列一次函数的图象:(1)y=x+1，y=3x+1;(2)y=-x+1，
y=-3x+1.
教师追问1:结合对上面函数图象的观察，你能用自己的语言
说出一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的特征吗?
教师追问2:你能进一步说出一次函数y=kx+b(k≠0)中的函数
值是怎样随着自变量x的变化而变化的吗? 为了让学生更深刻
地理解函数增减性
师生活动:在学生得到结论后，教师用动画展示(当k>0且固
与系数k的关系，
定时，让x变化，看y怎样变化;当k<0且固定时，让x变
采用几何画板软件化，看y怎样变化)这种变化规律，在此基础上，通过让k的 制作动画，让学生
值从正变到负，引导学生观察发现，当k的正负号不变时， 通过动态的视觉感
函数的增减性是一致的;当k的正负号变化时，函数的增减 知和语言表征，进
性也随之变化，固定k的值，让b的值变化，发现函数的增 一步理解系数k对
减性不变，从而在直观上验证一次函数的增减性只与 k的正 一次函数y=kx+b的
负有关. 增减性的影响.
总结：归纳出一次函数图象的特点：
（1）在一次函数y=kx+b(k≠0)中，
当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大，当 b>0 时，直线必过第
一、二、三象限;当b<0时，直线必过第一、三、四象限.
当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小，当 b>0 时，直线必过第
一、二、四象限;当b<0时，直线必过第二、三、四象限.
（2）当k>0时，k的值越大，直线与x轴所夹的锐角越大.
（3）同一平面内，有两条不重合的直线l :y =k x+b (k ≠0)与
1 1 1 1 1
l :y =k x+b (k ≠0)，当k =k 时，l ∥l ;当k ≠k 时，l 与l 相交.
2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3.学以致用，应用新知
考点1 一次函数的图象的平移
【例2】 画出函数y＝－3x与y＝－3x＋1的图象．
解：函数y＝－3x与y＝－3x＋1中自变量x可为任意实
数．列表表示几组对应值如下： 通过例题及时巩固
巩固一次函数的图
x … －1 -0.5 0 0.5 1 …
象和性质.
y＝－3x … 3 1.5 0 -1.5 －3 …
y＝－3x＋1 … 4 2.5 1 -0.5 －2 …
描点、连线，画出函数y＝－3x与y＝－3x＋1的图象如图
所示．
师生活动：教师提示，可用“两点法”画.
比较一次函数y=kx+6(¥0)与正比例函数y=kx(k≠0）的解析
式，容易得出：
一次函数y=kx+b(k≠0）的图象可以由直线y=kx平移|b|个单
位长度得到（当6>0时，向上平移；当6<0时向下平移）.
一次函数у=kx+b(k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为
直y=kx+b.考点2 一次函数的图象的性质
【例3】画出函数y=2x-1与y=-0.5r+1的图象.
分析：由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就
能画出它.
解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值.
充分加强数学与现
实的联系，促进学
生新的认知结构的
建立和数学应用能
力的发展．
过点(0,-1)与(1，1)画出直线y=2x-1；过点(0，1)与(1，
0.5)画出直线y=-0.5x+1.
观察可以发现规律：
当k>0时，直线y=kx十b从左向右上升；当k<0时，直
线y=kx+b从左向右下降.
通过随堂练习，巩
一般地，一次函数y=kx十b（k，b是常数,k≠0）具有
固课堂所学内容，
如下性质：
检测学习效果.
当k>0时，y随x的增大而增大；
当k<0时，y随x的增大市减小.
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列函数图象中，表示直线 y=2x+1的是 （ ）
答案：B
（2）下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( )
A.y＝2x＋8 B．y＝3x－2
C.y＝－2－4x D．y＝4x
答案：C（3）已知直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第三象限，则k，b的
取值范围是( )
A.k＞0，b≥0 B．k＞0，b≤0
C.k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤0
答案：C
（4）对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论正确的是( )
A.函数值随自变量的增大而增大
B.函数的图象经过第三象限
C.函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝－2x的图象
D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)
答案：C
（5）在一次函数 y=-2x+5 图象上有（2，y ）和（1， y ）
1 2
两点，则y ________y （填“>”“<”或“=”）.
1 2
答案：<
（6）直线y=2x-3与x轴的交点坐标为 ;与y轴的交点
坐标为 ;它经过第 象限,y随x的增大而 .
答案：(1.5,0) (0,-3) 一、三、四 增大
（7）画出函数y＝2x-6的图象，结合图象回答问题：
①随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？
②函数图象经过哪几个象限？
③写出函数图象与y轴的交点坐标．
解：函数y＝2x-6的图象如图：
帮助学生梳理本节
课所学内容，强化
记忆.
课后练习巩固，让
所学知识得以运用.
①随着自变量x的增大，函数值y增大，图象从左向右上
升．
②函数图象经过第一、三、四象限．
③(0，-6).
（8）已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m
的取值范围．
解：(1)把(0，0)代入y＝(2m＋1)x＋m－3，得m＝3.
(2)由题意，得2m＋1＝3，解得m＝1.
(3)由题意，得2m＋1＜0，解得m＜－.
5.课堂小结，自我完善
(1)一次函数的图象是过点(0，b)，(－，0)的直线，当k>0
时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而增大；当k<0
时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小．
(2)根据函数图象经过的象限，画出大致图象，结合图象确
定其系数的符号，也可以由系数的符号确定图象经过哪些象
限．
6.布置作业
教材P121练习第1，2，3题．
教材P124习题23.2第3，6，8题．
板书设计
一次函数的概念
1．一次函数的图象
2．一次函数的性质
3．一次函数图象的平移规律
例题 练习
教学反思
本节课设计了三个方面：一是通过画函数图象理解一次
函数图象的形状，二是两点法画一次函数的图象，三是探究
一次函数的图象与 k，b符号的关系．在学生活动中，如何
调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性值得深
入探讨．为了达到上述目的，应结合每个活动，给学生明确
的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目．学生目
标明确，操作性强，受到了较好的效果．19.2.2 一次函数
第 3 课时 用待定系数法求一次函数的解析式
课题 用待定系数法求一次函数的解析式 课型 新授课
教学内容 教材第121-123页的内容
1. 学会用待定系数法确定一次函数的解析式.
教学目标
2. 了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数.
教学重点：用待定系数法确定一次函数解析式.
教学重难
教学难点：用待定系数法确定一次函数解析式并解决实际问题.
点
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入课题
回顾一次函数图象
师生问答：请回答下列问题：
的相关内容，回顾
（1）一次函数的图象是什么图形？ 图象画法，利用逆
向思维推断由图象
学生答：一次函数的图象是一条直线.
上两个点的坐标可
（2）上节课我们是怎么画一次函数图象的？ 以求函数解析式.
学生详细描述列表——描点——连线的画图过程.
（3）画函数图象时我们描了两个点，这是为什么呢？
学生答：两个点可以确定一条直线.
（4）在平面直角坐标系中，已知一次函数图象上两点的坐
标能不能确定这条直线，从而求出这个函数的解析式呢？
学生猜测可以.
这节课我们就来探究怎么通过一次函数图象上点的坐标求出
函数解析式. 给出一个一次函数
图象的实例，根据
2.发现探究，学习新知
函数的图象一步步
【问题1】下图是某函数在平面直角坐标系中的图象，你能 推出求函数解析式求出该函数的解析式吗？
的方法，层层递进.
让学生自行选取两
点求函数解析式，
体现出点的选择的
任意性，同时锻炼
教师追问：请同学们观察上图，这个函数是什么函数？
了学生的自主能力.
师生互动：学生经观察后回答：函数图象是一条直线，所以
是一次函数.
教师追问：这个函数图象过哪些点，请写出这些点的坐标.
师生互动：教师请一位学生作答：图象过点（-2，-6），
（-1，-4），（0，-2），（1，0），（2，2），（3，
4），（4，6），（-2，-6）.
教师追问：既然函数图象过这些点，那么这些点一定时符合
函数解析式的，前面我们猜测过可以通过一次函数图象上两
个点的坐标确定一次函数的解析式，请大家任选两点尝试求
出该函数的解析式.
师生互动：教师引导学生设出函数解析式y=kx+b(k≠0)，
学生任选两点带入求解.教师从旁指导，并请同学板书求解
过程如下.
取点（2，2），（3，4）.
将 点 （ 2 ， 2 ） ， （ 3 ， 4 ） 分 别 代 入 函 数 解 析 式
y=kx+b(k≠0)，得 解得
故这个一次函数的解析式为y=2x-2.
教师追问：同学们求出来的函数解析式是不是这个呢？你们
能得到什么结论吗？ 在求一次函数解析
式的基础上进一步
师生互动：学生们求出的解析式一致，教师引导学生得出结
讨论特殊的一次函
论：已知一次函数图象上任意两点的坐标可以求出函数的解
数——正比例函数
析式.
解析式的求法，经
教师给出待定系数法的定义：像前面的探究这样先设出函数 历由一般到特殊的
解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函 研究过程.
数解析式的方法，叫作待定系数法．教师总结：由于一次函数 y=kx＋b中有k 和b两个待定系
数，因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程
组（以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数
的解析式.
教师追问：正比例函数与一次函数是什么关系？正比例函数
的图象有什么特点呢？
师生活动：学生回答问题，正比例函数是一次函数的特殊情
况，正比例函数的图象过点（0,0）.
教师追问：知道正比例函数图象上除原点外的几个点可以求
出正比例函数的解析式呢？请以下面的函数为例进行探究
师生活动：教师引导学生按求一次函数解析式的方法进行探
究，学生发现已知正比例函数图象上除原点外的任意一点可
以求出正比例函数的解析式.
【问题2】通过前面的研究我们可以发现由一次函数解析式 通过例题帮助学生
可以画出函数图象，由一次函数图象也可以求解函数解析 巩固、应用新知，
式，请说一下它们是怎么互相转化的. 熟悉本课重点，包
括求一次函数解析
师生活动：教师请学生回顾根据由一次函数解析式可以画出
式.
函数图象的过程，及根据一次函数图象求解函数解析式的方
法，教师总结.
3.学以致用，应用新知
考点1 利用待定系数法求一次函数的解析式
【例4】已知一次函数的图象经过点（2，－4）与（－3，
11）.求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
因为y＝kx＋b图象经过点（2，－4），（－3，11），
所以 解得
这个一次函数的解析式为y＝-3x+2.考点2 分段函数与待定系数法的实际应用
【例5】一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的
前一部分为高速公路，后一部分为普通公路，汽车在高速公
路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程
y（单位：km）与时间（单位：h）之间的关系如图所示.
(1）求汽车行驶的路程y关于时间χ的函数解析式；
(2）记者出发后多长时间到达采访地？
解：(1）当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线
的一部分，设函数的解析式为y=k x.因为它的图象过点
1
A(2，180)，所以180=2k ，解得 k =90.
1 1
因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x.
当x＞2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分.我
们求出直线B所对应的一次函数的解析式.设这个一次函数
的解析式为y=k x+b ，把点A，B的坐标分别代入y=k x+b ，
2 2 2 2
通过随堂练习，进
一步巩固课堂所学
得 解得
内容，检测学习效
因此，当x＞2时，函数的解析式为y=60x+60. 果.
综上，当0≤x≤2时，y=90x；当x＞2时，y=60x+60.
(2)由图象可知，当y=360时，x＞2.
由360=60x+60，解得x=5.
因此，记者在出发5h后到达采访地.
4.随堂训练，巩固新知
（1）直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的图象如图，则（
）
A.k＝－2，b＝－1 B．k＝－，b＝－1
C.k＝－1，b＝－2 D．k＝－1，b＝－ 通过小结，帮助学
生梳理本节课所学
答案：B
内容，强化记忆，
（2）已知y是x的一次函数,下表给出了x,y的部分对应值, 课后练习巩固，让
则m的值是 . 所学知识得以运用.x -1 2 5
y 5 -1 m
答案：-7
5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答
以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.用待定系数法求一次函数解析式的步骤是什么？
6.布置作业
教材P123练习第1,2,3题；
教材P124习题23.2第4,5,9题；
板书设计
用待定系数法求一次函数解析式
待定系数法： 例题
练习
教学反思
本课时由图象上点的坐标求函数解析式，利用图象的画
法等已有经验认识到图象上点的坐标决定着解析式形式，这
体现了“以旧推新”的方法，再引导学生由两个特殊点坐标
求得一次函数解析式，从而形成，用待定系数法求函数解析
式的技能，增加对“数形结合”思想的理解.23.3 一次函数与方程（组）、不等式
课题 一次函数与方程（组）、不等式 课型 新授课
教学内容 教材第127-130页的内容
1. 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程（组)、一元一次不
等式之间的联系.
教学目标
2. 会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义.
教学重点：理解函数与方程、不等式的联系，利用函数求方程、不等
教学重难
式的解集.
点
教学难点：用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题
通过直观观察这三
（1）在平面直角坐标系中画出函数y＝x-2的图象，并标出 个式子与对应一次
函数图象与x轴的交点. 函数解析式，联合
一次函数的意义，
（2）求出下列方程、不等式的解.
使学生产生深入探
①x-2>0;②x-2=0;③x-2<0. 究的欲望，更好地
进入新课．
师生活动：教师引导学生观察函数图象与 x轴的交点与方
程、不等式的解之间的关系，让学生初步感知它们之间有一
定的联系．
通过左边是2x＋1，
2.发现探究，学习新知 右边是常数的三个
方程，结合函数
【问题1】（1）解方程：2x-1=0.
y=2x+1的图象，通
（2）已知一次函数y=2x-1，x取何值时，y=0?
过直观的观察分析
师生活动：教师预留时间让学生独立解决问题1，遇到问题 一次函数与一元一
小组讨论交流，教师巡视，留意大部分学生有问题的地方， 次方程的关系，教
进行重点讲解. 学过程中引导学生
分析：关于问题1（1），容易求出它的解为x=0.5. 观察分析、分组讨
关于问题1（2），即可转化为令y=2x-1中y=0，即2x-1=0. 论，培养学生分析
因此发现（1）和（2）是同一问题的不同表达. 能力和合作意识.
教师追问：除此之外，还有其他方式吗？（学生思考讨论
后，教师提醒，可以从函数图象的角度考虑）师生共同得出结论：画出y=2x-1的图象.
从图中可以看出，一次函数y＝2x-1的图象与x轴交点坐标
为（0.5，0），这就是当y=0时，得x=0.5，而x=0.5正是
方程2x-1=0的解.
师生活动：教师引导学生从函数的角度看一元一次方程．学
生小组讨论之后，派出代表汇报想法，教师帮助总结：从函
数的角度看，解这个方程相当于在一次函数y=2x-1的函数
以同样的方法研究
值为0时，求自变量x的值.或者说，在直线y=2x-1上取纵
一次函数与一元一
坐标分别为0的点，看它们的横坐标分别为多少.
次不等式的关系，
教师追问：我们知道任何一个以x为未知数的一元一次方程 体现出研究方法的
都可以变形为ax+b=0 (a≠0)的形式，那么解一元一次方程 一致性，教师鼓励
是不是就相当于在某个一次函数y=ax＋b的函数值为0时, 学生自主探究，教
求自变量x的值呢？ 师加以引导，培养
学生自主学习的能
师生活动：学生思考讨论后回答：是.
力.
【问题2】如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出
函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由
此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解
集吗?
师生活动：教师引导学生类比一元一次方程，自主探究从函
数的角度看一元一次不等式．
如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，
其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x＞
0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横
坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x＜0.5.
由此得出不等式2x-1＞0的解集是x＞0.5，2x-1＜0的解集
是x＜0. 5.
对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0）的一元一次不等
式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函
数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范
围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这
条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围
联系一次函数图
象，体现一次函数
【问题3】对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
与二元一次方程组
之间的联系.并将该
师生活动：学生独立解决问题：
关系推广到一般情
师生活动：教师引导学生结合前两个问题的探究，在同一直
况.
3 8
角坐标系中，画出一次函数y=2x-1和y=- x+ 的图象．这
5 5
两条直线的交点坐标为（1，1)，这也说明方程的解为
.
教师追问：你能将上述一次函数与一元二次方程的关系推广
到一般形式吗？
师生活动：教师引导学生仿照前两个问题中的方法得出：
由于每个含未知数x和у的二元一次方程都可以转化
为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程
都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每
个点的坐标（x,y）都是这个二元一次方程的解，以这个二
元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上.
教师做出总结：方程（组）与函数之间互相联系，从函数的
角度可以把它们统一起来．解决问题时，应根据具体情况灵
活地把它们结合起来考虑.
通过例题帮助学生
一般地，由于含有未知数x和y的两个二元一次方程组
巩固、应用新知，
成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对
熟悉本课重点，包
应两条直线，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求
括一次函数与一元
当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数
一次方程、一次函
值是何值，从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定
数与一元一次不等
两条直线交点的坐标.
式、一次函数与二
元一次方程组.
1. 学以致用，应用新知
【例】同时释放两个探测气球，1号探测气球从海拔5 m处
出发，以1 m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从
海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都
以实际问题为背景
上升了1h．
得出两个气球对应
的函数，研究自变
用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关
量和因变量分别相
于上升时间t（单位：min）的函数关系.
等的情况，转化为
师生活动：学生独立解决问题：
解二元一次方程组
的问题.
气球上升时间x满足0≤x≤60.
1号气球：y＝x＋5，2号气球：y＝0.5x＋15.
教师追问：在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，
这时气球上升了多少时间？位于什么高度？
师生活动：教师引导学生思考在某时刻两个气球位于同一高
度，就是说对于x的某个值（O≤x≤60)，函数y=x+5和
y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到
解决．
教师追问：上面的说法也可以转化为二元一次方程y=x+5和y=0.5x+15有相同的x和y，你能联想到什么？
师生活动：教师引导学生想到解二元一次方程组
通过随堂练习，进
即 解得 这就是说，当
一步巩固课堂所学
上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
内容，检测学习效
教师追问：你可以利用函数图象解释上述问题吗？ 果.
师生活动：教师引导学生结合前两个问题的探究，在同一直
角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象．这
两条直线的交点坐标为（20，25)，这也说明当上升20 min
时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
4.随堂训练，巩固新知
（1）若直线y＝2x＋b与x轴交于点A（－3，0），则方程
2x＋b＝0的解是（A）
A.x＝－3 B．x＝－2 C．x＝6 D．x＝－
答案：A
（2）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x和y＝ax
＋2相交于点A（m，1），则关于x，y的二元一次方程组
的解为（ ）
答案：C
（3）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线
y=x+5 和直线 y=ax+b(a≠0)相交于点 P,根据图象可知,方程
x+5=ax+b的解是( )
A.x=20 B.x=5 C.x=25 D.x=15
答案：A
（4）如图，已知一次函数y＝kx＋b，观察图象回答下列问
题：当x> 时，kx＋b>0；当x> 时，kx＋b>1.
答案：2.2 3
（5）如图,函数y=kx+b(k<0)的图象经过点 P,则关于x的不
等式kx+b>3的解集为 .
通过小结，帮助学
生梳理本节课所学
内容，强化记忆，
答案：x<-1 课后练习巩固，让
所学知识得以运用.
5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答
以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.你能描述一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二
元一次方程组之间的关系吗？
6.布置作业
教材P130练习第1，2，3题.
教材P130习题23.3第1，2，3题.
板书设计
一次函数与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程： 例题
2.一次函数与一元一次不等式： 练习
3.一次函数与二元一次方程组：
教学反思
本节课由一次函数讨论了一元一次方程、一元一次不等
式和二元一次方程组，本节用函数的观点对它们进行分析.
教学中，一定要把握内容的要求尺度.通过本节课的教学，
应加强知识间横向和纵向的联系.发挥函数对相关内容的统
作用，能用一次函数的观点把以前学习的方程与不等式进行整合.
23.4 实际问题与一次函数
第 1 课时 一次函数的实际应用课题 一次函数的应用 课型 新授课
教学内容 教材第131-132页的内容
1. 利用一次函数解决实际问题.
教学目标
2. 利用分段函数解决实际问题.
教学重点：根据题意列出一次函数解析式解决实际问题.
教学重难
教学难点：根据题意建立分段函数模型.
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题
同个实际问题引
【问题1】由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着
入，引发学生思
时间的增加而减少，干旱持续时间t（天）与蓄水量V（万
考，激发学生兴趣.
米3）的关系如下图所示，回答下列问题：
本题给出了函数图
象，可以通过图象
寻找关键信息，也
可以根据图象求出
函数解析式，再求
解.
（1）干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？
（2）蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报.干旱
多少天后将发出严重干旱警报？ 教师引导学生将每
（3）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 一个问题转化为函
数求值问题，先求
师生活动：教师引导学生观察题图，蓄水量V是干旱持续时
出函数解析式，再
间t的一次函数.这是一道一次函数实际应用的题目.
根据已知的自变量
2.发现探究，学习新知 或应变量代入求值.
教师追问：请将问题（1）进行转化，并求解.
师生活动：教师请学生将问题进行转化，已知t=10，求V；
已知 t=23，求 V.学生独立求解.由图象可知当 t=10 时，V=1000，当t=23时，需要先求函数解析式，根据图象求出
函数解析式V=-20t+1200，所以此时V=740.
教师追问：请将问题（2）进行转化，并求解.
师生活动：教师引导学生将问题进行转化，观察图象可知V
随x的增大而减小，故要求蓄水量小于400万米3时对应的
天数，只需求当V=400时t的值，由图象可知此时t=40.
本题属于分段函数
的范畴，自变量在
教师追问：请将问题（3）进行转化，并求解.
不同的范围内对应
师生活动：教师请学生将问题进行转化，已知 V=10，求t.
的函数解析式不
学生独立求解.将V=0代入V=-20t+1200，得t=60.
同，教师引导学生
分析题目，逐步突
【问题2】“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一
破.
次购买2 kg以上的种子，超过2 kg部分的种子价格打八
折．
（1）填写下表：
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 …
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数
图象．
（3）一次购买1.5kg种子，需付款多少元？一次购买3kg
呢？
师生活动：学生独立审题并根据题意求解问题（1）.
教师追问：购买量是关于付款金额的什么函数？试一次函数
吗？请求解问题（2）.
师生活动：学生进行讨论，教师引导学生分析.分析:付款金
额与种子价格相关．问题中种子价格不是固定不变的，它与
购买量有关．设购买x kg 种子，付款金额为y.当0≤x≤2
时，种子价格为5元/kg；当x>2时，其中有2kg 种子按5
元/kg计价，其余的(x—2)kg(即超出2 kg部分)种子按4
元/kg （即8折）计价．因此，写函数解析式与画函数图象
时，应对0≤x≤2和x>2分段讨论.
当0≤x≤2时，y=5x；
当x>2时，y=4(x-2)+10=4x+2.
教师请学生独立画图：
分段函数求值时应
注意已知自变量的
范围，代入对应的
解析式求值，这里
考察到了分类讨论
的思想.教师追问：当x=1.5和x=3时,应该如何求付款金额y呢？
通过例题帮助学生
求解问题（3）.
巩固、应用新知，
师生活动：教师引导学生观察x取值的范围，解题时应考虑 熟悉本课重点，包
x 的值是符合 0≤x≤2 还是符合 x>2.因为 1.5<2，所以 括一次函数的应
x=1.5 代入 y=5x，得 y=7.5；因为 3>2，所以 x=3 代入 用、分段函数的应
y=4x+2，得y=14. 用.
3.学以致用，应用新知
【例】某玉米种子的价格为 40元/kg，若一次购买不超过
2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过 2kg的种子，超
过部分的种子价格打6折.
(1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图
象；
(2）一次购买4k㎏g玉米种子，需付款多少元？
解：（1）设购买量为x kg，付款金额为y元.
当 0≤x≤2 时，种子价格为 40 元/kg，函数解析式为
y=40x；
当x>2时，购买的种子中有2 kg按40元/kg计价，其余的
通过随堂练习，进
（x一2）kg（即超出2 kg部分）按24元/kg（即6折）计
一步巩固课堂所学
价，函数解析式为y=80十24(x-2)=24x+32.
内容，检测学习效
函数图象如图所示. 果.
(2)因为 4>2，所以y=24×4+32=128.
因此，一次购买4kg种子，需付款128元.
4.随堂训练，巩固新知
（1）一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)
的对应关系如图所示,如果这辆汽车每千米的耗油量相同,当
油箱中剩余的油量为35 L时,该汽车已行驶的路程为( )
A.150 km B.165 km C.125 km D.350 km
答案：A
（2）已知A,B两地相距30千米,B,C两地相距48千米,某人
骑自行车以12千米/时的速度从A地出发,经过B地到达C地.设此人骑车时间为x(时),离B地的路程为y(千米),则y与x
之间的函数解析式为 .
答案：y=
（3）为了学生的身体健康,某中学课桌椅的高度都是按一定
的关系(一次函数)配套设计的,下表列出了5套符合条件的课
桌椅的高度.
椅子的高度x(cm) 45 42 39 36 33
课桌的高度y(cm) 84 79 74 69 64
(1)请你确定y与x之间的函数解析式;
(2)现有一把高37 cm的椅子和一张高71.5 cm的课桌,它们是
否配套?为什么?
解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
由题意,得 解得 ∴y= x+9.
当x=39时,y=74;当x=36时,y=69;当x=33时,y=64.
∴y与x之间的函数解析式为y= x+9.
(2)一把高37 cm的椅子和一张高71.5 cm的课桌不配套.
理由:当x=37时,y= ×37+9=70 ≠71.5,
∴一把高37 cm的椅子和一张高71.5 cm的课桌不配套.
（4）为了加强公民的节水意识，某城市规定用水收费标准
如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按0.6元/立方米 通过小结，帮助学
收费，超过6m3时，超过部分每立方米按1元收费，每户每 生梳理本节课所学
月用水量为xm3,应缴水费y元. 内容，强化记忆，
课后练习巩固，让
（1）写出每月用水量不超过6m3和超过6m3时，y与x之间
所学知识得以运用.
的函数关系式.
（2）已知某户5月份用水量为8m3，求该用户5月份的水
费.
解：（1）当0≤x≤6时，y=0.6x,当x>6时，y=0.6×6+1×
（x-6）=x-2.4.
（2）当x=8时，y=5.6,故该用户5月份的水费为5.6元.
5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答
以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.用分段函数解决实际问题应注意什么？
6.布置作业
教材P131练习第1,2题；
教材P135习题23.4第1,2题.
板书设计
一次函数的实际应用
1.一次函数的应用： 例题
2.分段函数的应用： 练习
教学反思
本节课通过本节课通过两道实际生活中的应用探究了一
次函数的应用，分段函数的而,再通过例题和练习巩固所学,
达成教学目标.本节课的设计给予学生自主探究的时间,为学
生营造了宽松、和谐的氛围,让学生学得更主动、更轻松,力
求在探索知识的过程中,培养学生的探索能力和创新能力,激
发学生学习的积极性.23.4 实际问题与一次函数
第 2 课时 最佳方案问题
课题 最佳方案问题 课型 新授课
教学内容 教材第132-134页的内容
1. 会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想.
教学目标
2. 能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法.
教学重点：用一次函数知识解决方案选择问题.
教学重难
教学难点：从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法.
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题
引言中让学生思考
做一件事情，有时有不同的实施方案.从中选择最佳方
讨论生活中选择方
案是十分必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行比
案的问题，体会到
较分析，可以帮助我们清楚地认识各种方案，作出理性的决
现实中方案选择问
策.
题普遍存在，对各
请说说自己生活中需要选择方案的例子.当我们面对不同的 种方案作出分析，
方案，怎样运用数学方法进行比较并作出合理的选择？ 在此基础上进行理
性选择，具有重要
师生活动：学生举出生活中需要选择方案的例子，并与同学
的现实意义.
讨论怎样进行选择.
2.发现探究，学习新知
【问题】下表给出了某游泳馆A,B，C三种年卡套餐的收费
标准.
套餐 年卡费用/元 套餐内有用次数/h 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限时 引导学生在实际问
题中发现数学关
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？
系，发现游泳费用
教师追问：观察上面的收费标准，什么变量影响游泳费用 和游泳次数之间存
呢？ 在函数关系，引导学生探究问题解决
师生活动：学生观察思考，给出结论：在方式A，B中，游
的方法.
泳次数是影响游泳费用的变量；在方式C中，游泳费用是常
量.
教师做出引导，指出：游泳费用可以看成是游泳次数的函 探究比较游泳费用
数，可以设年游泳次数为x h,则方案A，B的收费金额y 1 ， 用大小的方法，转
y 2 都是x的函数. 化为比较函数大小
的问题.
教师追问：怎么比较三种年卡套餐收费标准哪种更节省呢？
师生活动：学生进行讨论，教师引导学生结合前面学习的比
较函数大小的方法思考：要比较它们，需在x>0的条件下，
考虑何时(1)y =y ,(2)y y .在此基础上，再用其
1 2 1 2 1 2
中省钱的方式与方式C进行比较，则容易对收费方式作出选
择.
教师追问：要比较y ，y ,的大小需要写出函数的解析式，请
1 2
同学们先根据表中数据写出方式A对应的函数解析式.
师生活动：学生分析方式A对应的数据，能够知道年年卡费
用600元与包时游泳次数20次是常量，即游泳次数在20次
以内时，游泳费用为600元，当游泳次数超过20次时，每
次加收 40 元.得到刻画套餐 A 的游泳费用的函数解析式 通过画出函数图象
是问题更加直观具
象，方便对几种方
案的费用进行比较.
化简，得
教师追问：你能画出这个函数的图象吗？
师生活动：学生根据函数解析式画出图象.
教师追问：请依此求出方式B,C的收费金额y ，y 关于上网
1 2
时间x的函数解析式.并在上图中画出图象.
师生活动：学生求出方式B,C的游泳费用y ，y 关于游泳次
1 2
数x的函数解析式
教师追问：结合函数图象与解析式，填空：当游泳次数 时，选择方案A最省钱；
当游泳次数 时，选择方案B最省钱； 通过例题帮助学生
巩固、应用新知，
当游泳次数 时，选择方案C最省钱.
熟悉本课重点，包
师生活动：学生结合图象和解析式进行计算，填空，得出最 括利用函数关系选
终结论. 择方案.
教师总结归纳：解决含有多个变量的问题时，可以分析这些
变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的
变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问
题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
3.学以致用，应用新知
考点 选择方案
【例】某学校计划在总费用2 300元的情况下，租用客车送
234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有
1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如
下表所示．
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
（1）共需租多少辆客车？
（2）请给出最节省费用的租车方案．
解：（1）∵（234＋6）÷45＝5……15，
∴保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6.
∵只有6名教师，
∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，客车总数不能大于
6.
通过随堂练习，进
∴共需租6辆汽车． 一步巩固课堂所学
内容，检测学习效
（2）设租乙种客车x辆，则租甲种客车（6－x）辆，由题
果.
意，得 解得≤x≤2.
∵x为整数，∴x＝1或x＝2.
设租车的总费用为y元，
则y＝280x＋400×（6－x）＝－120x＋2 400.
∵－120<0，
∴当x＝2时，y取最小值，最小值为2 160.
答：最节省费用的租车方案为租甲种客车4辆、乙种客车2
辆．
4.随堂训练，巩固新知（1）如图，l1反映某公司产品的销售收入与销售量的关
系，l2反映该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据
图像判断该公司盈利时的销售量 （
）
A.小于4件
B.大于4件
C.等于4件
D.大于或等于4件
答案：B
（2）小刚和他父亲一起去灯具店买灯具，灯具店老板介绍
说：一种节能灯的功率是 10 瓦(即 0.01 千瓦)的,售价 60
元．一种白炽灯的功率是 60瓦(即0.06千瓦)的,售价为3
元．两种灯的照明效果是一样的．
父亲说：“买白炽灯可以省钱．”小刚正好读八年级，他在
心里默算了一下说：“还是买节能灯吧”．
父子二人争执不下，如果当地电费为0.6元／千瓦.他们应
该选择哪种灯可以更省钱呢？
解：设照明时间是x小时, 用节能灯的费用为y ，用白炽灯
1
的费用为y 元表示，则有
2
y ＝60＋0.6×0.01x;y =3+0.6×0.06x.
1 2
若y ＜ y ，则有60＋0.6×0.01x ＜3+0.6×0.06x ,
1 2
解得x>1900,此时购买节能灯较省钱．
若y >y ，则有60＋0.6×0.01x>3+0.6×0.06x ,
1 2
解得x＜1900,此时购买白炽灯较省钱．
若y =y ，则有60＋0.6×0.01x＝3+0.6×0.06x，
1 2
解得x=1900,此时购买节能灯、白炽灯均可．
（3）某中学要添置某种教学仪器.
方案一：到商店购买，每件需要8元；
方案二：每件需要 4 元，另外需要制作工具的租用费 120
元.
通过小结，帮助学
方案一的费用为y 元，方案二的费用为y 元，购买的教学
1 2 生梳理本节课所学
仪器为x件．
内容，强化记忆，
①直接写出y ,y 关于x的关系式； 课后练习巩固，让
1 2
②购买仪器多少件时，两种方案的费用相同； 所学知识得以运用.
③若学校需要仪器50件，采用哪种方案便宜？
解：①y =8x,y =4x+120.
1 2
②依题意y =y ，即8x=4x+120，解得x=30，
1 2
所以当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同；
③把x=50分别代入y =8x,y =4x+120中，
1 2
得y =8×50=400，y =4×50+120=320.
1 2
因为y ＞y ，
1 2
所以当需要的仪器为50件时，选择第2种方案费用便宜．
5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答
以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.你能描述解决选择方案类题目的方法吗？
6.布置作业
教材P133练习；
教材P134练习；
教材P135习题23.4第6,7题.
板书设计
最佳方案问题
问题：
例题
练习
教学反思
本节课通过以生活中的实例问题为载体,以一次函数的知识
作为解题工具,把复杂的实际问题转化为函数问题,思路清晰
而简练,突出重点,训练到位,体现了学生自主、合作、探究、
交流的学习方式,激发学生学习数学的兴趣,培养了学生运用
数学知识解决实际问题的能力.
