文档内容
重难点突破 01 玩转指对幂比较大小
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：直接利用单调性............................................................................................................................................3
题型二：引入媒介值....................................................................................................................................................3
题型三：含变量问题....................................................................................................................................................4
题型四：构造函数.........................................................................................................................................................4
题型五：数形结合.........................................................................................................................................................5
题型六：特殊值法、估算法........................................................................................................................................6
题型七：放缩法.............................................................................................................................................................6
题型八：不定方程.........................................................................................................................................................7
题型九：泰勒展开.........................................................................................................................................................7
题型十：同构法.............................................................................................................................................................8
题型十一：帕德逼近估算法........................................................................................................................................9
03过关测试...........................................................................................................................................9（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥题型一：直接利用单调性
【典例1-1】记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则实数a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·二模）故 ， ， ，则a，b，c的大小顺序是
（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，那么 ， ， 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·江西上饶·模拟预测）设 ，则有（ ）
A． B．C． D．
题型三：含变量问题
【典例3-1】（2024·陕西西安·统考一模）设 且 ，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（多选题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知x，y，z都为正数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足 ，则一定有
（ ）
A． B． C． D．
题型四：构造函数
【典例4-1】设 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·湖北武汉·二模）设 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】设 ，则下列关系正确的是（ ）A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：数形结合
【典例5-1】（2024·高三·海南·期末）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·四川广安·二模）已知 ， ， 均为正数， ， ，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知 ， ，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-4】雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，
他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的
不等式．伯努利不等式的一种形式为： ， ，则 ．伯努利不等式是数学中的一
种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知
， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【变式5-5】（2024·高三·江苏苏州·期中）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）．
A． B． C． D．
【变式5-6】（2024·江西南昌·三模）若 ， ， ，则正数 大小关系是（
）
A． B．
C． D．
题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】若都不为零的实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知 ， ， ，若 ，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）若 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·江西宜春·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设 ， ， ，则 、 、 的大
小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-4】下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：不定方程
【典例8-1】已知a、b、c是正实数，且 ，则a、b、c的大小关系不可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】设实数 ， 满足 ， ，则 ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．无法比较
【变式8-1】已知实数 、 ，满足 ， ，则关于 、 下列判断正确的是
A． B． C． D．
【变式8-2】已知实数 ， 满足 ， ，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【变式8-3】若 且 ， 且 ， 且 ，则
A． B． C． D．
题型九：泰勒展开
【典例9-1】已知 ，则（ ）【典例9-2】设 ，则 的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【变式9-1】设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
题型十：同构法
【典例10-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足 ，则下
列关系式中可能正确的是（ ）
A． ，使 B． ，使
C． ，有 D． ，有
【典例10-2】（多选题）已知 ， 且满足 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·高三·浙江·开学考试）已知 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（多选题）（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足 ， ， ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． D．
【变式10-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．题型十一：帕德逼近估算法
【典例11-1】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·江西萍乡·二模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·宁夏银川·三模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南新乡·三模）设 ，其中 是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津红桥·二模）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ， ， ，则在 ， ， ， ， ， 这6个数
中最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）A． B． C． D．
7．（2024·山西·模拟预测）已知实数 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·湖北黄冈·二模）已知 分别满足下列关系： ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·青海西宁·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·安徽·三模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·河南南阳·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选题）已知 ， ， 则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
13．（多选题）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
14．（多选题）已知函数 为自然对数的底数）， ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）若正实数 满足 ，且 ，则下列不等式一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．16．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知 ， ， ，下面结论正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
17．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·高三·四川成都·期末）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·全国·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
20．已知 ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知三个互不相等的正数 满足 ，（其中 是一
个无理数），则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
23．（多选题）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
24．（多选题）（2024·湖南长沙·二模）下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．25．（多选题）（2024·山东聊城·一模）若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（多选题）（2024·江苏南通·三模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
27．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
28．（多选题）已知 ， ， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
