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重难点突破01 玩转指对幂比较大小
目录
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
题型一：直接利用单调性
【例1】（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知 ， ， ，
则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】根据指数函数 在 上递增可得， ；
根据对数函数 在 上递增可得， ，
根据指数函数 在 上递减和值域可得， ，
∴ ．
故选：D
【对点训练1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调
递减，若 ， ， 则 ， ， 大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
因为 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
因为 ， ， ，
且 在 上单调递减，
所以 ，
即 ．
故选：A．
【对点训练2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 在 上单调递减，所以 ，即 ．
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ．
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ．
综上， ．
故选：D
【对点训练3】（2023·天津·统考二模）设 ，则 的大小关系为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，
，
由于 为 上的单调增函数，故 ，
故 ，
故选：C
题型二：引入媒介值
【例2】（2023·天津河北·统考一模）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ， ，
而 ，即 ，
所以 ， ， 的大小关系为 ．
故选：B
【对点训练4】（2023·天津南开·统考二模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： ，
，且 ，则 ，
因为 ，则 ，
所以 ．
故选：B．
【对点训练5】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知 ， ， ，则三者的大小关
系是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由 ，即
又由 ，可得 ，
因为 ，即 ，所以 ．
故选：C．
【对点训练6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由对数函数的运算性质，可得 ，
， ，所以 ．
故选：D．
题型三：含变量问题
【例3】（理科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知 ， ，
， ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可设 ，因为 ，所以 的图象关于直线 对称．
因为 ，当 时， ，所以 ， ， ，所以
，所以 在 上单调递增，
由对称性可知 在 上单调递减．因为 ，所以 ，所以
；
又 ， ，由对称性可知 ，且 ，因为
，所以 ，又 在 上单调递减，所以 ，所以 ，
故选：A．
【对点训练7】（云南省大理市辖区2023届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）已知实数a，b，
c满足 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 ，由 ，得 ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递增，因 ，
当且仅当 时取等号，故 ，
又 ，所以 ，故 ，
∴ ，则 ，即有 ，故 ．
故选：C．
【对点训练8】（江西省宜春市2023届高三模拟考试数学（文）试题）已知实数x，y， ，且满足
， ，则x，y，z大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因 ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ，函数 在 上单调递增，有 ，
即 ，从而当 时， ，令 ， ， 在 上单调
递减，
则由 ， 得 ，
所以 ．
故选：A
【对点训练9】（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数
，若 ， ， ， ，则a，b，c的大
小关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 在 上是奇函数．所以
对 求导得，
令 ，则
当 时， ，所以 在 上单调递增，
则 时， ，即 ，
所以 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ．
令 ，则
所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增．
所以 ，
而 ，即 ，所以 ，即 ．
所以 ，即 ，则
所以
所以 ，即 ．
故选：A
【对点训练10】（2023·陕西西安·统考一模）设 且 ，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，
则
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ．
故选：A．
题型四：构造函数
【例4】（2023·山东潍坊·三模）已知 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
构造函数 ， ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单减，
∴ ，
故 ，所以 在 上单减，
∴ ，
∵ ，构造函数 ， ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单减，
∴ ，
故 ，所以 在 上单减，
∴ ，
故 ．
故选：D．
【对点训练11】（2023·广西·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由指数幂的运算公式，可得 ，所以 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故 ，当且仅当 时取等号，
由于 ，则 ，则 ，所以 ，所以 ，所以 ．
故选：C．
【对点训练12】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知 ， ，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】 ，
设 ，则 在 恒成立，
所以函数 为单调递减函数，
所以 ，即 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
综上， ．
故选：A
【对点训练13】（河北省唐山市开滦第二中学2023届高三核心模拟（三）数学试题）设 ，
， ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，则 ，
令 且 ，则 为减函数，
所以 ，而 ，故 ，
故 在 上递增，则 ，即 在 上恒成立，
所以 ，即 ，
由 ，
令 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，即 在 上恒成立，所以 ，即 ．
综上， ．
故选：C
【对点训练14】（湖北省武汉市2023届高三5月模拟训练数学试题）已知 ，
， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
，
又 ，则 ，
，所以 ，
对于 ，令 ，则 ，
此时 ，
所以 ．
故选：A．
【对点训练15】（2023·山西大同·统考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
设 ，函数定义域为 ，
则 ，
故 在 上为增函数，有 ，即 ，所以 ，故 ．
设 ，函数定义域为 ，则 ，
，解得 ； ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， 取最大值，所以 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ．
故选：D．
【对点训练16】（2023·河南·模拟预测）已知 ， ， ， ，则a，b，c，d
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令函数 ，求导得 ，函数 在 上递减，
当 时， ，则 ，于是 ，即 ，
令函数 ，求导得 ，函数 在 上递增，
当 时， ，则 ，于是 ，即 ，
当 时， ， ，则 ，
即 ，而 ，于是 ，即 ，
所以a，b，c，d的大小关系是 ，C正确．
故选：C
题型五：数形结合
【例5】（广东省六校2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知 ， 为函数
的零点， ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 大小关系不确定
【答案】C
【解析】易知 为函数 的零点，又
解之： ，负根舍去；
又 ，
即 与 有三个交点，交点横坐标分别为 ，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设
切点为
切线方程为： 过原点，
此时 的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，
故选：C
【对点训练17】（2023·天津和平·统考三模）已知 满足 ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知：把 的值看成函数 与 图像的交点的横坐标，因为 ， ，易知 ；
把 的值看成函数 与 图像的交点的横坐标，
，易知 ；
把 的值看成函数 与 图像的交点的横坐标，
，与 ，易知 ．
所以 ．
故选：B．
【对点训练18】（2023·广东汕头·统考三模）已知 ， ， ，则a，b，c大小为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
画出函数的图象如下图所示，由图象可知， ．
故选：D．
【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知正实数 ， ， 满
足 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
故令 ，则 ， ．
易知 和 均为 上的增函数，故 在 为增函数．
∵ ，故由题可知， ，即 ，则 ．
易知 ， ，
作出函数 与函数 的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在 内，即 ，
，
．
故选：B．
【对点训练20】（河南省洛平许济2022-2023学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又 递增，
所以 ，即 ；
，
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图：
由图象可知在 中恒有 ，
又 ，所以 ，
又 在 上单调递增，且
所以 ，即 ；
综上可知： ，故选：A
【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）已知y＝（x－m）（x－n）＋2 023（n>m），且α，β（α<β）
是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是（ ）
A．α
