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重难点突破 01：集合中的新定义问题
以集合为载体的新定义题，既强化了集合的相关知识，也考察了学生运用所学知识处
理问题的能力，符合高考中以能力立意命题的指导思想，故而是高考的常备题型．求解此
类问题的关键是准确理解新定义的含义，再正确运用集合的一些概念和性质就能破题．
一．选择题（共13小题）
1．定义集合 且 ．已知集合 ，4， ， ， ，则
中元素的个数为
A．6 B．5 C．4 D．7
2．对于数集 ， ，定义 ， ， ， ， ，
若集合 ， ，则集合 中所有元素之和为
A． B． C． D．
3．定义集合 ， ， ，设集合 ，0， ， ，1，
，则 中元素的个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图所示的 图中， ， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合，
若 ， ， ， ， ，则
A． B． C． 或 D．或
5．如图所示的韦恩图中， ， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合．若
， ， ， ， ，则
A． B． C． 或 D． 或
6．设数集 ， ， ，且 ， 都是集
合 的子集，如果把 叫做集合 的“长度”，那么集合 的“长
度”的最小值是
A． B． C． D．
7．定义集合 ， 的一种运算： ， ， ，若 ， ，
， ，则 中的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示的 图中， 、 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合．
若 ， ， ， ，3，4，5，6， ，则A． ，4，6， B． ，4，6， C． ，3，4，5，6， D． ，2，
4，6，
9．如图所示的 图中， ， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合，
若 ， ， ， ，3，4，5，6， ，则
A． ，2，4， B． ，4，6， C． ，3，4，5，6， D． ，2，
4，6，
10．设集合 ，定义：集合 ，集合
， ， ，集合 ，分别用 ， 表示集合 ，
中元素的个数，则下列结论可能成立的是
A． B． C． D．
11．对于 ， 表示不超过 的最大整数，定义在 上的函数 ，
若 ，则 中所有元素的和为
A．12 B．3 C．14 D．15
12．已知有限集 ， ，定义集合 ，且 ， 表示集合 中的元素个数．若 ，2，3， ， ，4， ，则
A．3 B．4 C．5 D．6
13．对于任意两个正整数 ， ，定义某种运算“※”如下：当 ， 都为正偶数或都为
正奇数时， ※ ；当 ， 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ※ ，
则在此定义下，集合 ※ 中的元素个数是
A．10 B．9 C．8 D．7
二．填空题（共6小题）
14 ． 定 义 两 个 集 合 与 的 差 ： 且 ， 对 称 差 △
， 若 ， ， 则 △
．
15．定义：实数 ， ， ，若满足 ，则称 ， ， 是等差的，若满足
，则称 ， ， 是调和的．已知集合 ， ，集合 是集合
的三元子集，即 ， ， ，若集合 中的元素 ， ， 既是等差的，又是
调和的，称集合 为“好集”，则集合 为“好集”的个数是 ．
16．对于集合 ， ， ， 的子集 ， ， ， ，定义 的“特征
数列”为 ， ， ， ，其中 ，其余项均为0，例如子集 ，
的“特征数列”为0，1，1，0，0， ，0．
（1）子集 ， ， ， 的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若 的子集 的“特征数列” ， ， ， 满足 ， ，
， 的 子 集 的 “ 特 征 数 列 ” 为 ， ， ， ， 满 足 ，， ，则 的元素个数为 ．
17．对于非空集合 ，定义 若 ， 是两个非空集合，且 ，则
；若 ， ，且存在 ，
，则实数 的取值范围是 ．
18．定义全集 的子集 的特征函数 ，这里 表示 在全集 中的补
集，那么对于集合 、 ，下列所有正确说法的序号是 ．
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．
19．已知 ， 均为实数，设数集 ，且数集 、
都是数集 的子集．如果把 叫做集合 的“长度”，那么集合
的“长度”的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
20．若集合 ， 满足 ，则称 ， 为集合 的一种分拆，并规定：当且
仅当 时， ， 与 ， 为集合 的同一种分拆，写出集合 ， 的
不同分拆．
21．对于集合 ，定义函数对于两个集合 ， ，定义运算 ．
（1）若 ，2， ， ，3，4， ，写出 （1）与 （1）的值，并求出 ；
（2）证明： ；
（3）证明： 运算具有交换律和结合律，即 ， ．
22．对非空数集 ， ，定义 与 的和集 ， ．对任意有限集
，记 为集合 中元素的个数．
（Ⅰ）若集合 ，1， ， ，3，5，7， ，写出集合 与 ；
（Ⅱ）若集合 ， ， ， 满足 ，且 ，求
．23．已知集合 是集合 的子集，对于 ，定义 ．任取 的两个不同
子集 ， ，对任意 ．
（Ⅰ）判断 （A） （B）是否正确？并说明理由；
（Ⅱ）证明： （A） （B）．
24．已知实数集 ， ， ， ，定义 （A） ， ， ．
（Ⅰ）若 ，0，1， ，求 （A）；
（Ⅱ）若 （A） ， ， ， ，12，18， ，求集合 ；
（Ⅲ）若 中的元素个数为9，求 （A）的元素个数的最小值．
