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第十一章 三角形易错训练与压轴训练
01 思维导图
目录
易错题型一 正确画三角形的高线............................................................................................................................1
易错题型二 多边形截角后的边数问题....................................................................................................................3
易错题型三 多边形截角后的内角和问题................................................................................................................5
压轴题型一 利用三角形三边关系化简....................................................................................................................8
压轴题型二 与三角形高有关的计算问题................................................................................................................9
压轴题型三 与三角形中线有关的计算问题..........................................................................................................14
压轴题型四 与三角形角平分线有关的计算问题..................................................................................................22
压轴题型五 三角形折叠中的角度问题..................................................................................................................28
压轴题型六 与三角形的外角有关的问题..............................................................................................................36
压轴题型七 多边形的内角和与外角和综合问题..................................................................................................46
02 易错题型
易错题型一 正确画三角形的高线
例题：（22-23八年级上·北京·期中）下列各图中，作 边 边上的高，正确的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）下列图中，作 边 上的高 正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级下·四川成都·期中）画边 上的高，下列画法中，正确的是（ ）A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在 中，作出 边上的高，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
易错题型二 多边形截角后的边数问题
例题:（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的
角的个数为（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
巩固训练
1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数
可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
3．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为
．
4．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个
十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ．
易错题型三 多边形截角后的内角和问题
例题：（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的
多边形的内角和是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
巩固训练
1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角
和是（ ）
A．14 B．23 C． 或 D． 或 或2．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是 ．则
原来多边形的边数可能是（ ）
A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12
3．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和
为 ，则原多边形的边数（ ）
A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13
03 压轴题型
压轴题型一 利用三角形三边关系化简
例题：（23-24七年级下·四川眉山·期中）若 ， ， 是 的三边，试化简：
．
巩固训练
1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简 .
2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知 的三边分别为a,b,c．
(1)若 为整数，求 的周长．
(2)化简： ．
压轴题型二 与三角形高有关的计算问题
例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图， 是 的中线， 是 的高， ，
， ， ．(1)求高 的长；
(2)求 的面积．
巩固训练
1．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在 和 中， 和 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②， 是 的边 上的一点．若 ，则 __________；
(2)如图③，在 中， 分别是 和 边上的点．若 ， ，求
和 的面积．2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在 中， ，D为直线 上任意一点，连结 ，
于点E， 于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 上时，请画出 中 边上的高 ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 之间的数量关系为__________；为了说明
之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵ __________ ，
∴ __________．
∵ ，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 中点时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 的延长线上时，请直接写出 之间的数量关系．
压轴题型三 与三角形中线有关的计算问题
例题：（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把 的三边 、 和 分别向外延长一倍，将得
到的点 顺次连接成 ，若 的面积是5，则 的面积是 ．巩固训练
1．（23-24七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在 中，点 是 的中点，点 在边 上，
， ，若 的面积是3，则图中阴影部分的面积是 ．
2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高 相同，所以
，于是 ．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在 的边 上，点P在 上．
①若 是 的中线， ______．
②若 ，则 ______．(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形 的各边，使得A，B，C，D分别为 的中点，依次连接
E，F，G，H得四边形 ．
①：直接写出 ， 与 之间的等量关系；_______
②：若 ，则 _______．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）【问题情境】如图6， 是 的中线， 与 的面积
有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答：
在图中过A作 于点 ．
是 的中线，
．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．【深入探究】
（1）如图，点 在 的边 上，点 在 上．
①若 是 的中点，求证： ；
②若 ，则 ．
【拓展延伸】
（2）如图， 在 上， 在 上，且 ， ，求 与 的数量关系．
压轴题型四 与三角形角平分线有关的计算问题
例题：（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知 平分 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数；
(3)当 ， ， 时，求点 到直线 的距离．巩固训练
1．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角 中，两条高线 相交于点O．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2， ， ， 与 的角平分线交于点M，求 的度数；
(3)如图3，对任意的锐角 ， 与 的角平分线交于点M，直接写出 的度数是
__________．
2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 为直线
上一点，连接 ， ，连接 交 于点 ，作 平分 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ．
①试判断 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
②若 ，求 的度数．3．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，
于点E， 与 交于点F，设 ， ．
(1)当 ， 时，判断 与 的位置关系并说明理由．
(2)求 的度数（用含 ， 的式子表示）．
(3)要使得（1）中的结论始终成立， 与 之间应满足什么关系．
压轴题型五 三角形折叠中的角度问题
例题：（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片 中，点 在边 （不包含端点 ，
）上运动，连接 ，将 对折，点 落在直线 上的点 处，得到折痕 ；将 对折，
点 落在直线 上的点 处，得到折痕 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)试问： 的大小是否会随着点 的运动而变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说明理
由．巩固训练
1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平
分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的
研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在 中， 的角平分线交于点P，若 ．则 ______；
(2)【问题推广】如图2，在 中， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，过
点B作 于点H，若 ，则 ______；
(3)如图3，如图3，在 中， 、 的角平分线交于点 ，将 沿DE折叠使得点 与点
重合．
①若 ，则 ______；
②若 ，求证： ；
(4)【拓展提升】在四边形 中， ，点F在直线 上运动（点F不与E，D两点重合），连
接 的角平分线交于点Q，若 ，直接写出∠Q和α，β之间
的数量关系．
2．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究(1)如图1，将 沿着 第一次折叠，顶点 落在 的内部点 处，试探究 与 之间的
数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将 沿着 第二次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，求 的度
数．
(3)如图3，将 沿着 第三次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，用含 ， 的代
数式表示 ．
3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图 ，将一张三角形纸片 沿着 折叠，使点 落在
边 上的 处，若 ，则 ______ ；
（2）如图 ，将一张三角形纸片 沿着 折叠 点 ， 分别在边 和 上 ，并使得点 和点
重合，若 ，则 ______ ；
（3）如图 ，将长方形纸片沿着 和 折叠成如图所示的形状， 和 重合，
① 的度数是多少？请说明理由；
②如果 ，求 的度数．压轴题型六 与三角形的外角有关的问题
例题：（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线 ，直角 的直角顶点A在直线 上，边
在直线 上， 的平分线与 的外角的平分线交于点 ．
(1)如图 ， __________；
(2)如图 ， 的平分线交 于点 ，请判断 与 数量关系，并说明理由；
(3)如图 ， ， 与 交于点 ，将 绕点 顺时针以每秒 的速度旋转，同时
绕点 顺时针以每秒 的速度旋转，当 旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋
转过程中边 与 的边平行时旋转的时间 的值．
巩固训练
1．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知： ，点 在直线 上，连接 ．(1)如图1，若 ．求证： ；
(2)若 ， 的平分线与 分别交于点 ．
①如图2，当点 在边 上（不与 重合）时，求证： ；
②当点 在 的延长线上时，“ ”是否依然成立？画出图形，并说明理由．
2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践
在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型
加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．
【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一
半．
【结论探究】
（1）如图1，在 中，点E是 内角 平分线 与外角 的平分线 的交点，则有
，请给出证明过程．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】
（2）如图2，在 中， ．延长 至G，延长 至H，已知 、 的角平分线
与 的角平分线及其反向延长线交于E、F，求 的度数；【变式拓展】
（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状．已知 ，
，求 的度数和是多少？
3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在 中， 与 的平分线相交于点P．
(1)如图1， ， ，求 的度数．
(2)如图2，如果 ，求 的度数（用含 的代数式表示）．
(3)如图3，作 的外角 的平分线交 的延长线于点D．
①试探究 ， 之间的数量关系．
②在 中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出 的度数．
压轴题型七 多边形的内角和与外角和综合问题
例题：（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①， 都是四边形 的外角，试探究，
与 之间的数量关系；（2）如图②， 都是四边形 的外角，试探究 与 之间的数量关系；
（3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③， 分别是四边形 的外角 、 的平分
线， ，求 的度数．
巩固训练
1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，
继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．
(1)如图1， 与 ， 之间的数量关系为______．若 ， ，则 ______．
(2)如图2， 是四边形ABCD的外角，求证： ．
(3)若n边形的一个外角为 ，与其不相邻的内角之和为 ，则x，y与n的数量关系是______．
2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空：
（1） ， ；
（2） ______ ；
【应用】（3）如图②．求 的度数；
【拓展】
（4）如图③，若 ，则 的大小为 度．
3．（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）【感知】如图1所示，在四边形 中， 分别是边
的延长线，我们把 称为四边形 的外角，若 ，则
___________；
【探究】如图2所示，在四边形 中， 分别是边 的延长线，我们把
称为四边形 的外角，试探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
【应用】如图3所示， 分别是四边形 的外角 的平分线，若 ，
则 的度数为___________．
