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第十一章 三角形知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角
形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写
字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
二、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
三、三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
四、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
从三角形的一个顶点向它的对 三角形中，连接一个顶 三角形一个内角的平分线与
文字语言 边所在的直线作垂线，顶点和 点和它对边中点的线 它的对边相交，这个角的顶
垂足之间的线段． 段． 点与交点之间的线段．
图形语言
过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接 作∠BAC 的平分线 AD，交
作图语言
AD． BC于点D．
标示图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
线． 1．AD 是△ABC 的角平分
2．AD是△ABC中BC边上的
高． 2．AD 是△ABC 中 BC 线．
边上的中线． 2．AD平分∠BAC，交BC于
3．AD⊥BC于点D．
符号语言 点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°． 3．BD＝DC＝ BC
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所以 因为 AD 是△ABC 的中 因为 AD 平分∠BAC，所以
AD⊥BC．
推理语言
(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．1．线段垂直． 1．线段相等．
用途举例 角度相等．
2．角度相等． 2．面积相等．
1．与边的垂线不同．
注意事项 — 与角的平分线不同．
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的延 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
重要特征 长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
一点． 点．
五、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳
定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线
支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的
大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳
定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
六、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
七、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外
角.
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边
的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个
外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．
另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是 180°，可推出三角形
的三个外角和是360°．
八、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
凹多边形
凸多边形
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
九、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边
(n2) 180°
形的每个内角都相等，都等于 n ；
十、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于
360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相
等外角的度数．
03 题型归纳
题型一 三角形的稳定性
例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和
竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ）
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．灵活性巩固训练
1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界
最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，
确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（ ）
A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用
的数学道理是 .
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形
结构，这是因为三角形具有 ．
题型二 判断三边是否能构成三角形
例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位： )，其中能搭成
三角形的是（ ）
A．4， 5， 10 B．5， 5， 10 C．5， 8， 10 D．5， 10， 15
巩固训练
1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（ ）A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的
是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管
左端对应数轴上的“ ”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数
轴上的“ ”处，则第二刀可以剪在（ ）
A．“ ”处 B．“ ”处 C．“ ”处 D．“2”处
题型三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围
例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知 两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长
的最大值为 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为 ．
（请写出一个符合条件的答案）
2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周
长为 ．
3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此
三角形的周长为 ．
4．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为 ，第二条边长为
(1)求第三条边长 的取值范围；（用含 ， 的式子表示）
(2)若 ， 满足 ，第三条边长 为整数，求这个三角形周长的最大值题型四 判断是否三角形的高线
例题：下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．下面四个图形中，线段 是 的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在 中， 是钝角，下列图中作 边上的高线，
正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ， ， ，点 ， ， 是垂足，下列说法错误的是（ ）
A． 中， 是 边上的高 B． 中， 是 边上的高
C． 中， 是 边上的高 D． 中， 是 边上的高
题型五 根据三角形的中线求面积例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图， 的面积为20，点 ， ， 分别为
的中点，则阴影部分 的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
巩固训练
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图， 是 的中线，则下列结论中，正
确的个数有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图， 是 的中线，点E、F分别为 的中
点，若 的面积为 ，则 的面积是________ ．
3．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图， 为 的中线，点 ， 分别在 ， 上，
且满足 ， ．若四边形 （图中阴影部分）的面积为16，则 的面积为
________．题型六 与平行线有关的三角形内角和问题
例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知 ， ， ， ，
那么 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形 中，点D，H，E分别是边 ， ， 上的
点，连接 ， ，F为 上一点，连接 ，若 ， ， ．则
的度数为 ．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图， 平分 ， 平分 ， 于点C，
，则下列说法：① ；② ；③ ；④ ，其中正确
的是 ．（填序号）3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线 上，其中
．将三角尺 绕点O以每秒 的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间
为t秒．在旋转的过程中，边 恰好与边 平行，t的值为 ．
题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题
例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， 平分 ，过点 作 ．若
， ，则 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在 中， ，如果 与 的
平分线交于点D，那么 度．
2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在 中， 分别平分 分别
平分三角形的两个外角 ，则 ．3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，
于点 ．
(1)求 的度数．
(2)求 的度数．
题型八 三角形的外角的定义及性质
例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在 中，点 在 的延长线上， ，
，则
巩固训练
1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线 ， ， ，则
度．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图， 的两个外角的平分线交于点P．若 ，则．
3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线 ，将含 角的直角三角板按如图所示摆放．若
，则 = ．
题型九 多边形的内角和与外角和
例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由 12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，
将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的 ．
巩固训练
1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图， 和 是四边形 的外角，若 ，
，则 ．
2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的 倍，则这个多边形的边数为
．3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知 ，正五边形 的顶点 、 在
射线 上，顶点 在射线 上，则 的度数为 ．
题型十 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积
例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为 的网格，每一小格
均为正方形，已知 ．
(1)画出 中 边上的中线 ；
(2)画出 中 边上的高 ．
(3)直接写出 的面积为_________．
巩固训练
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的
边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出 中边 上的高 ；
(2)画出 中边 上的中线 ；
(3)直接写出 的面积为______．2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将 水平向右平移4个单位得到 ．
(1)画出 ；
(2)若连接 ， ，则这两条线段之间的关系是_________；
(3)画出 边上的中线 ；（利用网格点和直尺画图）
(4)图中能使 的格点P有_________个（点P异于点A）．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将
的点C平移至点 得到 ．
(1)画出 ；
(2)线段 和 的关系是_______．
(3)借助方格画出 边上的中线 和高 ；
(4)四边形 面积为_______．
