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第十一章 不等式与不等式组全章题型总结【5 个知识点 12 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 不等式】
1．不等式的定义：用符号 “＜” ( 或“≤” ) ，“＞”（或“≥”），≠ 连接的式子叫做不等式.
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
（1）不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。
一般用 x> a 、 x< a 、 x≥ a 、 x≤ a 来表示。
（2）数轴表示法：
4．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【题型1 不等式的概念】
【例1】下列式子：①﹣4＜0；②x＝1；③y≠﹣2；④x2﹣x，⑤2x﹣5＞0，⑥m≤﹣3．其中是不等
式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式1】式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】下列式子①3＞0；②4x+5＞0；③2x＜3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式
有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式3】下列数学表达式，是不等式的有（ ）
1 1
①m＝0；②x≠1；③ x+3＞0；④a2+2ab+b2；⑤ ＞0；⑥﹣1＞﹣2
2 x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【知识点2 不等式的性质】
1．不等式的性质1：
不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。
即若 ，则 。
2．不等式的性质2：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。
若 ，则 。
3．不等式的性质3：
不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。
若 ，则 。
【题型2 根据不等式的性质对不等式变形】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2
a b
C．若 ＞ ，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b
c c
【变式1】已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
①x﹣6＞y﹣6；
②3x＜3y；
③﹣2x＜﹣2y；
④2x+1＞2y+1；x y
⑤− −5＜− −5．
3 3
A．①③④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
【变式2】下列几个变形中，错误的是（ ）
A．如果x＞y，那么x+m2＞y+m2
x y
B．如果x＞y，那么 ＞
m2+2 m2+2
C．如果x＞y，那么x﹣m2＞y﹣m2
D．如果x＞y，那么xm2＞ym2
a a+2
【变式3】下列说法中：（1）若a＞b＞c＞0，则a2＞ab＞bc；（2）若a、b都是正数，则 ＜ ；
b b+2
（3）若a、b、c、d都是负数，且a＞b，c＞d，则ac＜bd；（4）若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d．其中
正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3 根据不等式的性质推断结论】
1 1
【例1】已知实数a，b满足a− b+1=0，0＜a+ b+1＜1，则下列判断错误的是（ ）
2 2
1
A．−1＜a＜− B．0＜b＜1
2
C．﹣2＜2a+4b＜3 D．﹣6＜2a﹣4b＜0
【变式1】已知实数a，b满足：a+b＝2，且﹣1＜a﹣b＜1，则下列结论不正确的是（ ）
1 3 1 3
A． ＜a＜ B． ＜b＜
2 2 2 2
1 3
C． ＜2a−b＜ D．5＜4a+2b＜7
2 2
【变式2】已知三个实数a，b，c，满足a+b+c＞0，a+b＝c，c+a＝b，则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．b＞0，a＝0，c＞0
C．b＜0，a＝0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
【变式3】已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．则下列结论正确的是（ ）
b
A．a+b＞0 B．2a+b＜0 C．0＜a＜c D．−2＜ ＜−1
a
【知识点3 一元一次不等式（组）的概念】
1．一元一次不等式的概念：只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母
不含有 字母 。
2．一元一次不等式组的概念：
把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
3．一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。
4．一元一次不等式组的解集的求法：
先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。
5．不等式组的解的情况与图示（a<b）：
①同大取大： ，图示： ，解集为 x> b 。
②同小取小： ，图示： ，解集为 x< a 。
③大小小大中间找： ，图示： ，解集为 a<x< b 。
④大大小小无解答： ，图示： ，解集为 无解 。
【题型4 一元一次不等式（组）的概念】
【例1】下列式子中
1
①5＞4；②3x≥2 +1；③x+y＞1；④x2+3＞2x；⑤ ＞4．
x
π
是一元一次不等式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例2】若（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．2
【变式1】下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
1 y
①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③ ＜5；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥x≤ ．
x 3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式 2】下列不等式组：①{x＞−2)，②{ x＞0 )，③{x2+1＜x)，④{x+3＞0)，⑤
x＜3 x+2＞4 x2+2＞4 x＜−7
{x+1＞0)
．
y−1＜0
其中一元一次不等式组的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞2是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
【知识点4 解一元一次不等式（组）】
解一元一次不等式具体步骤：
①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ）
②去括号：利用去括号的法则去括号。
③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ）
④并：利用合并同类项法则进行合并。
⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。
（根据不等式的性质 2 或 3 ）
【题型5 解一元一次不等式（组）】
【例1】按题目要求解不等式或不等式组：
2x−1 9x+2
（1）解不等式： − ≤1，并把解集表示在数轴上．
3 6
{2x+5≤3(x+2)①
)
（2）解不等式组： ．
1+3x
2x− ＜1②
2
5x+4 x−2
【变式1】（1）解不等式：1− ＞ ；
6 2
{5x−1＜3(x+1)
)
（2）利用数轴，确定不等式组 的解集．
2x−1 5x+1
− ≤1
3 2
【变式2】解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
2x−1 2x+1
（1） ＜1− ；
3 2{5x+2≥3(x−1)
)
（2）解不等式组 ．
2x+5
1− ＞x−2
3
x+3 2x−5
【变式3】（1）解不等式： ＜ −1，并求出最小整数解．
5 3
{ 3(x−5)＜x−7① )
（2）解不等式组： ，并在数轴上表示出它的解集．
2x−1 5x+1
− ≤1②
3 2
【题型6 由不等式（组）的解集求参】
2
【例1】已知ax﹣b＞0的解集为x＞− ，则不等式bx+a＞0的解集为（ ）
5
5 5 5 5
A．x＞ B．x＜ C．x＞− D．x＜−
2 2 2 2
{ x−a＞2 )
【例2】若关于x的不等式组 的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）2025的值是（ ）
b−2x＞0
1 1
A．1 B． C．﹣1 D．−
2 2
{ x−2＞0 )
【例3】若不等式组 的解集为x＞2，则m的取值范围值为（ ）
−3x+m＜1
A．m≥7 B．m＞7 C．m≤7 D．m＜7
1
【变式1】若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜ ，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（
3
）
1 1 1 1
A．x＜− B．x＜ C．x＞− D．x＞
2 2 2 2
{x+a＞b)
【变式2】已知关于x的不等式组 的解集是﹣2＜x＜4，则a，b的值为（ ）
x−b＜a
A．a＝1，b＝3 B．a＝3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
{x−m≤0)
【变式3】若关于x的不等式组 的解集为x≤m，则m的取值范围是（ ）
7−2x≥1
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
{x−m＞0)
【变式4】若不等式组 的解集中每一个x值均不在2≤x≤5的范围内，则m的取值范围是（
x−m＜1）
A．m＜1或m＞5 B．m≤1或m≥5 C．m＞1或m＜5 D．m≤1
【题型7 由不等式（组）有解和无解情况求参】
1
{− (x−a)＞0)
【例1】若关于x的不等式组 2 无解，则所有满足条件的非负整数a的值之和是（ ）
2x+1
x−1≥
3
A．5 B．7 C．9 D．10
{ x−a≥0 )
【例2】已知关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
7−3(x−1)＞4
A．a＞﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜2 D．a≤2
{x−2(x−1)≥3
)
【变式1】若关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为自然数，且关于x的不等式组 无
2k+x
≤x
3
解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
{x−k≤4k+6，
)
【变式2】若关于x的不等式组 x−1 有解，且关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）的解是
≥2k
2
非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣16
{x−a＞2x−3
)
【变式3】关于x的不等式组 x−1 x 有解，且其解都是不等式3x≤15的解，则a的取值范围为
1− ≤
3 2
（ ）
7 7 7 7
A．a＜ B．﹣1≤a＜ C．﹣2＜a≤ D．﹣2≤a＜
5 5 5 5
【题型8 由不等式（组）的整数解求参】
【例1】已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为3，则实数m的取值范围是（ ）
A．7＜m＜10 B．7≤m＜10 C．7＜m≤10 D．7≤m≤10
【例2】若整数a使得关于x的方程2（x﹣1）+a＝1的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组5 y+6
{ ＞y)
2 至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
y−a
≤0
6
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4．则m的取值范围为（ ）
A．m＜10 B．m≥8 C．8≤m≤10 D．8≤m＜10
{3x−a＞0
)
【变式2】不等式组 x 的所有整数解的和为7，则整数a的值有（ ）
−1≤5−x
2
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
x−t
{ ＜0 )
【变式3】关于x的不等式组 4 只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使 的值是整
❑√|a|−3
x−5 3x
＜ −2
2 4
数，则符合条件的a个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型9 不等式（组）与方程组综合求参】
{x+3 y=4−a)
【例1】已知关于x，y的方程组 ，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：
x−y=3a
{ x=5 )
① 是方程组的解；
y=−1
②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；
③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；
④若x≤1，则1≤y≤4．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
{ 2x+ y=4m )
【例2】已知关于x、y的方程组 （实数m是常数）．
x+2y=2m+1
（1）若x+y＝1，求实数m的值；
（2）若﹣1≤x﹣y≤5，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：|m+2|+|m﹣5|．{3x+2y=m+1)
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组 ．
2x+ y=m−1
（1）若5x+3y＝4，求m的值；
（2）若x，y均为非负数，求m的取值范围；
（3）已知w＝x﹣y+m，在（2）的条件下，求w的最大值和最小值．
{ x+ y=5−m )
【变式2】已知关于x、y的方程组 ，若x的值为非负数，y的值为正数．
x−y=−1+3m
（1）求m的取值范围；
（2）已知n﹣m＝2，且n＜2，求m+n的取值范围．
{3x+2y=m+1)
【变式3】已知关于x、y的方程满足方程组 ．
2x+ y=m−1
（1）若5x+3y＝﹣6，求m的值；
（2）若x、y均为非负数，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求S＝2x﹣3y+m的最大值和最小值．
【题型10 不等式（组）中的新定义问题】
【例1】定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣ ]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是 ； π
x+1
（2）如果[ ]=2，满足条件的所有正整数x为 ．
3
【例2】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组
{x−5＜0)
的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组 的解集为2＜x＜5，因为2
3x＞6
{x−5＜0)
＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组 的相伴方程．
3x＞6
{x−3＜1)
（1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组 的相伴方程？请说明理由；
x+2≤0
{3x+2＞3+x)
（2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组 的相伴方程，求a的取值范围；
x−3≥2x−6
（3）若方程5x+10＝0和
2x−4
=−2都是关于x的不等式组
{kx+2x＜k+2)
（k≠﹣2）的相伴方程，
3 x+3≥k
求k的取值范围．
1 1
【变式1】新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当n为非负整数时，若n− ≤x＜n+
2 2，则[x]＝n如：[0]＝[0.48]＝0，[0.64]＝[1.493]＝1，[2]＝2，[3.5]＝[4.12]＝4
试解决下列问题
（1）填空：①[ ]＝ ②若[x]＝3，则实数x的取值范围为 ；
（2）在关于x，y
π
的方程组
{2x+ y=1+3m)
中，若未知数x，y满足
5
≤x+ y＜
7
，求[m]的值．
x+2y=2 2 2
（3）当[2x﹣1]＝4时，若y＝4x﹣9，求y的最小值．
3
（4）求满足[x]= x的所有非负实数x的值，请直接写出答案 ．
2
【变式2】定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一
{x＞−1)
次不等式组的“关联方程”．例如：方程x﹣2＝1的解为x＝3，不等式组 的解集为﹣1＜x＜
x＜4
{x＞−1)
4，因为x＝3在﹣1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣2＝1是不等式组 的“关联方程”．
x＜4
{2x+5＞0)
（1）方程2x+1＝﹣x （填“是”或“不是”）不等式组 的“关联方程”．
x−3＜−1
{ x−1＞0 )
（2）已知关于x的方程x+2m＝5是不等式组 的“关联方程”，求m的取值范围．
2x−7＜−1
{x+2(n−1)＞2n)
（3）已知关于x的方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组 的“关联方程”，直接写出
x−n＜3
n的取值范围为 ．
【变式3】新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等
{x−1＞1)
式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组 的解集为2＜x＜5，不
x−2＜3
{x−1＞1)
难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组 的“相依方程”．
x−2＜3
{2x−1＞x+1
)
（1）在方程①6（x+2）﹣（x+4）＝23；②9x﹣3＝0；③2x﹣3＝0中，不等式组
3(x−2)−x≤4
的“相依方程”是 ；（填序号）
3x+1
{ ＞x )
（2）若关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组 2 的“相依方程”，求k的取值范围；
x−1 2x+1
≥ −1
2 3x−3m { x+1＞m )
（3）若关于x的方程 =−2是关于x的不等式组 的“相依方程”，且此时不等
2 x−m≤2m+1
式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【知识点5 用一元一次不等式（组）解决实际问题】
列不等式（组）解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超
过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；
（5）解：解出所列的不等式（组）的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【题型11 一元一次不等式（组）解最多至少问题】
【例1】某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：
蔬菜品种 西红柿 青椒 西兰花 豆角
批发价（元/千克） 3.6 5.4 8 4.8
零售价（元/千克） 5.4 8.4 14 7.6
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用去了1520元钱．
求①该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜各多少千克？
②这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少钱？
（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于
1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少千克？
【变式1】暑假期间，小巴和小蜀同学参加社会实践活动，在某糕点店制作了一批甜点进行售卖，其中
“花生酥”和“纸杯蛋糕”的制作成本分别是每个 2.5元和4元，每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生
酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元．
（1）求“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价；
（2）当天下午，小巴和小蜀又将制作的“花生酥”和“纸杯蛋糕”两种甜点共 200个进行售卖、为了
促销，他们还用50元钱租借了一个棉花糖机，制作一个棉花糖需要0.5元钱的成本，每销售一个“纸杯
蛋糕”就赠送一个棉花糖．由于天气炎热销售过程中“纸杯蛋糕”有15%的损坏（无法售卖），且两种
甜点的售价都保持不变，当天下午除损坏的“纸杯蛋糕”外，其余的“花生酥”和“纸杯蛋糕”全部售完．若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为多少个？
【变式2】茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化
的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A
种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元．
（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进
行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八
折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A
种茶具多少套？
【变式3】【问题背景】
污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型
号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
型号 A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3
万元．
【问题解决】
（1）求a，b的值；
（2）经预算：治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，通过计算说明
该公司有哪几种购买方案；
（3）若要求每月处理的污水量不少于2260吨，该公司至少需要购买多少台A型设备？并求出此时该公
司所花费的钱数．
【题型12 一元一次不等式（组）解方案选择问题】
【例1】为增进学生体质健康，某校开展了“阳光大课间”活动，各班可自主购买运动器材．七年级有两
个班级以相同的价格在体育用品商店购买了一些跳绳和篮球，请根据对话解决下列问题：（1）求出跳绳和篮球的单价；
（2）由于篮球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再购进篮球a个（a≥35）和跳绳b（b＞0）
根，已知每个篮球进价为30元，跳绳每根的进价为4元，且恰好花费1200元，求该体育用品商店有哪
几种购进方案？
（3）若（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的相同，为了使销售获利最多，应选
择那种购进方案？
【例2】互联网时代人们的购物方式有了更多的选择，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售
价比乙种书包每个售价多12元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费264元（免运费）．
请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过4550元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量
超过52个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过 10个，赠送1个相同的
书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了5个书包，获利658元，直接写出该网店甲、乙两种
书包各赠送几个．
【变式1】近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企
业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件：B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该
企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？
（3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？
【变式2】随着人们对健康的高度重视，水果已成为每个家庭的生活必需品．一名在校大学生抓住机会，
利用“互联网+”自主创业，在网上销售A，B两种水果，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B
两种水果的销售单价保持不变）
销售数量（千克） 销售额（元）
A种 B种
一月份 300 100 5200
二月份 400 200 8000
（1）求A，B两种水果售价分别是多少元/千克？
（2）若A种水果的进价为8元/千克，B种水果的进价为10元/千克，该大学生预计下个月用不低于
4330元的资金购进A，B两种水果共500千克（每种水果的进货数量必须为整数），且 A种水果的数量
不少于B种水果的两倍．
①问有几种进货方案，并写出其中进货资金最少的方案；
②为了回馈社会，支援山区，该大学生决定每销售一千克水果，爱心捐赠a元给某山区一所小学．假
设每月购进的水果都能够全部销售，在进货资金最少的情况下，要使捐赠后最低获利1500元，试求a
的最大值．
【变式3】某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型
微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.76万元的资金购
进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为45%．为了促销，公司决定甲型微
波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金 m元，要使（2）中所有方案获利相同，则m
的值应为多少？
