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重难点突破 06 立体几何中轨迹、翻折、
探索性问题
一．选择题（共3小题）
1．如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直线 与平面
所成的角为 ，则点 的轨迹长度为
A． B． C． D．
2．如图，已知正三棱台 的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点
在侧面 内运动（包含边界），且 与平面 所成角的正切值为 ，则所有
满足条件的动点 形成的轨迹长度为
A． B． C． D．
3．已知正方体 中， ，点 为平面 内的动点，设直线与平面 所成的角为 ，若 ，则点 的轨迹所围成的面积为
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
4．正方体 的棱长为1， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则正
确的是
A．
B． 平面
C．点 、 到平面 的距离相等
D．若 为底面 内一点，且 ，则点 的轨迹是线段
5．已知直四棱柱 ，底面 是菱形， ，且 ，
为 的中点，动点 满足 ，且 ， ， ，则下列说法正确
A．当 平面 时，
B．当 时， 的最小值为
C．若 ，则 的轨迹长度为D．当 时，若点 为三棱锥 的外接球的球心，则 的取值范围
为三．解答题（共10小题）
6．如图，在三棱柱 中，△ 为等边三角形，四边形 为菱形，
， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的正弦值为 ？
若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由．7．如图，在三棱锥 中， ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的正切值为 ？若存在，求
出 的值，若不存在，请说明理由．8．在梯形 中， ， ， ， 为 的中点，线
段 与 交于 点（如图 ．将 沿 折起到 位置，使得平面 平
面 （如图 ．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在四棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形， ，
， ， 分别为棱 ， 的中点．
（1）求证 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值，若不存在，
说明理由．10．在直角梯形 中， ， ， ，如图
（1）．把 沿 翻折，使得平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角为 ？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．11．如图甲所示，在平面四边形 中， ， ，
，现将平面 沿 向上翻折，使得 ， 为 的中点，如图
乙．
（1）证明： ；
（2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与
平面 所成仍的余弦值．12．如图1，已知 是直角梯形， ， ， ， 、 分
别为 、 的中点， ， ，将直角梯形 沿 翻折，使得二面角
的大小为 ，如图2所示，设 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 为 上一点，且 ，则当 为何值时，直线 与平面 所成角的
正弦值为 ．13．如图1，在边长为4的菱形 中， ，点 ， 分别是边 ， 的
中点， ， ．沿 将 翻折到 的位置，连接 ，
， ，得到如图2所示的五棱锥 ．
（1）在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论；
（2）当四棱锥 体积最大时，求点 到面 的距离；
（3）在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成
角的余弦值为 ？若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由．14．如图1，在菱形 中， ，将 沿着 翻折至如图2所示的△
的位置，构成三棱锥 ．
（1）证明： ．
（2）若平面 平面 ，求 与平面 所成角的正弦值．15．如图，平面五边形 中， 是边长为 2 的等边三角形， ，
， ，将 沿 翻折，使点 翻折到点 ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
