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重难点突破12 导数中的“距离”问题
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导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的
距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题
转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导
数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数 ，其中 ，若存在 ，使得
成立，则实数 的值为_________.
例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数 满足 ，则的最小值______.
例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数 满足 ，则
的最小值为_____．
变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数 ， ， ， 满足 ，则
的最小值为___．
变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数 满足：
，则 的最小值为________
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的最小值是 ，则 的值是
_______
变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数 ，其
中 ，存在 ，使得 成立，则实数 =_______.
变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设 ，当 ，
变化时，则 的最小值______．
题型二：曲线与点的距离
例4．（2023·全国·高三专题练习）若点 与曲线 上点 的距离的最小值为 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）若点 与曲线 上点 距离最小值为 ，则实数 为
A． B． C． D．
例6．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点 ，P为曲线 上动点，若点A，P间距离的最小值为 ，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：曲线与圆的距离
例7．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知 为函数 图象上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 长度的最小值为___．
例8．（2023·上海·高二专题练习）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称 的最小
值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线 和曲线 ，则曲线S与曲线T的距离为
（ ）
A． B． C． D．2
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为函数 图像上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 的长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．题型四：曲线与抛物线的距离
例10．（2023·全国·高三专题练习）设 ，当a，b变化时，
的最小值为_______.
例11．（2023·全国·高三专题练习）设 ,其中 ，则 的最小值
为
A． B． C． D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）设 . ，则 的最小值为
A． B．1 C． D．2
题型五：曲线与曲线的距离
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 的最小值为___________.
例14．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，
则 的最小值为__________．
例15．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点 在曲线 上，点 曲线 上，则
的最小值为________．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则|PQ|
的最小值为_____.
变式9．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 的最小值为__________.则|PQ|的最小值等于 .
变式10．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考阶段练习）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，若 ，则 的取值范围是___________.
变式11．（2023·福建南平·统考模拟预测） 分别是函数 和 图象上的点，若 与x轴
平行，则 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
变式12．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
题型六：横向距离
例16．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）已知函数 ， 的图
象分别与直线 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
例17．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）直线 分别与直线 ，曲线
交于A，B两点，则 的最小值为
A． B．1 C． D．4
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 在点 处的切线与曲线 ：
相切，若动直线 分别与曲线 、 相交于 、 两点，则 的最小值为A． B． C． D．
变式13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数 ，函数
，直线 分别与两函数交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的图像分别与直线 交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
变式15．（2023·江苏·高二专题练习）函数 ， 的图象与直线 分别交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线 与函数 ， 的图像分别交于A，B两点，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型七：纵向距离
例19．（2023·全国·高三专题练习）直线 分别与曲线 和曲线 交于 ，
两点，则 的最小值为
A． B．2 C． D．
例20．（2023·高二课时练习）动直线 （ ）与函数 ， 的图象分别交于点A，B，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·高一课时练习）已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到
函数 的图象，若动直线 与函数 和 的图象分别交于 ， 两点，则 的最大
值为
A．2 B． C．1 D．
变式17．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知直线 与函数 ， 的图像
分别交于A，B两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式18．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若直线 与两曲线 、
分别交于 、 两点，且曲线 在 点处的切线为 ，曲线 在 点处的切线为 ，则下列结论
正确的有（ ）
A．存在 ，使 B．当 时， 取得最小值
C． 没有最小值 D．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）直线 分别与直线 ，曲线 交于 、
两点，则 的最小值为__________．
