第十五章分式（压轴题专练）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十五章 分式（压轴题专练） 目录 【题型一 求使分式值为整数时未知数的整数值】..........................................................................................1 【题型二 已知分式恒等式，确定分子或分母】..............................................................................................2 【题型三 分式运算中的规律探究问题】..........................................................................................................4 【题型四 分式运算中的新定义型问题】..........................................................................................................8 【题型五 已知分式方程的增根求参数】........................................................................................................15 【题型六 已知分式方程的无解求参数】........................................................................................................16 【题型七 根据分式方程解的情况求值】........................................................................................................20 【题型一 求使分式值为整数时未知数的整数值】 例题：若 表示一个负整数，则整数 ________． 【变式训练】 1．如果m为整数，那么使分式 的值为整数的m的值为_______．（写出两个即可） 3 2．已知 的值为正整数，则整数m的值为_________________. m6 4a12 3．已知：分式 的值为整数，则整数a有______ ． a29 【题型二 已知分式恒等式，确定分子或分母】 AxB 5x 3x1   例题：若 ，则 _________， _________． x3 x3 3x A B 【变式训练】 A B 3x4   1．已知x1 x2 x1x2 ，则3A2B_________________． 2x3 A B   2．若(x1)(x2) x1 x2 恒成立，则A-B=__________．2x1 A B   3．若(x1)(x2) x1 x2 恒成立，则AB______． 【题型三 分式运算中的规律探究问题】 例题：观察以下等式： 第1个等式： ． 第2个等式： ． 第3个等式： ． 第4个等式： ． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明． 【变式训练】 1．观察以下等式： 第1个等式 ；第2个等式 ； 第3个等式 ；第4个等式 ；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．2．观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； 第5个等式： ； ．．．．． 按照以，上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明． 3．观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． (1)填空： ① ________；② ________； (2)当 取哪些正整数时，分式 的值为整数？【题型四 分式运算中的新定义型问题】 例题：定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式 是分式 的“关联分 式”．如 与 ，因为 ， ，所以 是 的 “关联分式”． (1)分式 __________分式 的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法： 设 的“关联分式”为 ，则 ， ， ．请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若 是 “关联分式”，求实数 ， 的值． 【变式训练】 1．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式 表示成部分分式．解：设 ，将等式右边通分，得 ，依据题意，得 ，解得 ，所以 请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式 表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求 的值．2．定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式 是分式 “友好分式”． 如 与 ，因为 ， ， 所以 是 的“友好分式”． (1)分式 ______ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式 的“友好分式”时，用了以下方法： 设 的“友好分式”为 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 请你仿照小明的方法求分式 的“友好分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“友好分式”：______． ②若 是 的“友好分式”，则 的值为______． 3．定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式N是分式 的“互联分式”． 如 与 ，因为 ， ，所以 是 的“互联 分式”．(1)判断分式 与分式 是否是“互联分式”，请说明理由； (2)小红在求分式 的“互联分式”时，用了以下方法： 设 的“互联分式”为 ，则 ， ， ． 请你仿照小红的方法求分式 的“互联分式”． (3)解决问题： 仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数 ， 的值，使 是 的“互联分式”． 4．观察下列式子： 以上变形的过程称为“分离系数法”，可以看作是分式加减运算的逆运算，这是解决有关分式问题的一种 常用的数学思想与方法，请同学们认真探索它们的规律，并回答下列问题： (1)根据以上式子填空： ① ． ② ． (2)按照上述规律，将分式 进行“分离系数法” 为常数，且 ； (3)当x取哪些正整数时，分式 的值为整数？【题型五 已知分式方程的增根求参数】 例题：若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根是_______． 【变式训练】 1．已知关于 的方程 有增根，则 的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 2．关于x的方程 有增根，则m的值是_____． 3．已知关于 的分式方程 有增根，则 的值为___________． 【题型六 已知分式方程的无解求参数】 例题：如果关于x的方程 无解，则a的值为___． 【变式训练】 1．已知关于 的分式方程 无解，则 的值为 _____． 2．①若关于 的方程 有增根，则增根是 ______． ②若关于 的方程 无解，则 的值为______． 3．若关于x的分式方程 无解，则m的值为______． 4．已知关于x的分式方程 . (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值．【题型七 根据分式方程解的情况求值】 例题：若关于x的分式方程 的解是正数．则m的取值范围是________． 【变式训练】 1．若关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为（ ） A． B． 且 C． D． 且 2．关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是____________． 3．若关于x的分式方程 的解为正整数，则正数m的值是 _____． 4．已知关于x的分式方程 的解为负数，则m的取值范围是 ．