文档内容
高三开学收心考试模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高中数学全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．已知向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系 中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十
文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、
乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是
（ ）
A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文
C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文
6．已知 ，则 （ ）
A．－1 B． C． D．
7．已知函数 在 上的最大值与最小值分别为 和 ，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆 截得的最短弦长为（ ）
A．10 B．5 C． D．
8．如图，已知 是双曲线 的左､右焦点， 为双曲线 上两点，满足 ，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每
天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：
人
学校 平均运动时间 方差
数
200
甲校 10 3
0
300
乙校 8 2
0
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为 ，方差为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ）A．a，b， B． ， ，
C．a， ， D． ， ，b
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 . ， ，当 时，
， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 为偶函数
C． D．不等式 的解集为
12．如图，在棱长为1的正方体 中， 是棱 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C．对于任意点 ， 到 的距离的取值范围为
D．对于任意点 ， 都是钝角三角形
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 展开式中的各二项式系数之和为256，则 的系数是
14．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制
的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与
圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为 .15．已知函数 ，且 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
.
16．已知 是椭圆 的左，右焦点，过点 的直线与椭圆交于A，B两点，设 的内切圆
圆心为 ，则 的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ， 为 在 方向上的投影向量，且满足
.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长.
18．（12分）
如图所示，在多面体 中，底面 为矩形，且 底面 ∥
.
(1)证明： ∥平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.19．（12分）
已知数列{an}，{bn}，{cn}中， ．
(1)若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与 的通项公式；
(2)若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
20．（12分）
已知 ，曲线 与直线 相切于点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)证明：当 时， 恒成立．
21．（12分）
概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的
马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有 ，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期
望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 其中 ，则对任意
， ，其中符号 表示对所有满足 的
指标 所对应的 求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量 的期望为 ，方差为 ，则对任意 ，均有
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 ．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
22．（12分）
已知椭圆 经过点 ，过点 的直线交该椭圆于 ， 两点.
(1)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(2)若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
