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高考必刷题专练答案精析
必刷小题 1 集合、常用逻辑用语、不等式
1．C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D
7．B
8．C [令m＝ax＋a－x，则当a>0且a≠1时，m＝ax＋a－x≥2＝2，
当且仅当x＝0时，等号成立，
且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，
则a2x＋a－2x＝m2－2，
原不等式可化为m2＋tm－2>0对任意m∈[2，＋∞)恒成立．
所以t>－m恒成立，
又y＝－m在[2，＋∞)上单调递减，
所以t>－2＝－1.]
9．AC [∵A＝{x|x2－2x<0}
＝(0,2)，
B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，
∴A∩(∁U B)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，
故AC正确，BD错误．]
10．CD [设f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x＝0时，函数f′(x)＝0，
当x<0时，f′(x)<0，
当x>0时，f′(x)>0，
故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，
所以f(x)＝ex－x－1≥f(x) ＝f(0)＝0，
min
即∀x∈R，ex≥x＋1，故A错误；
当x＝时f(x)＝sin＝cos 2x，
故函数f(x)为偶函数，故B错误；
当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)·(a－b)>0，当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，
当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，
反之同样成立，故C正确；
“x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A” “x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不
充分条件，故D正确．] ⇏
11．BCD [因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，
所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以ab≤＝，即A错误，B正确；
因为a2＋b2＝1，
所以＋＝＋
＝2＋＋
≥2＋2＝4
(当且仅当＝，即a＝b时取等号)，即C正确；
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以2＝≤＝
(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．]
12．AD [因为3a＝2,5b＝3，则a＝log 2，b＝log 3.
3 5
对于A，∵23<32，则2< ，从而0＝log 152，则3> ，则＝ b＋，B错误；
对于C，因为2ab＝2log 2·log 3＝2log 2＝log 4，
3 5 5 5
所以，a＋b－2ab＝log 2＋log 3－log 4＝log 2－log >log －log ＝0，
3 5 5 3 5 3 5
所以，a＋b>2ab，C错误；
对于D，构造函数f(x)＝，其中00，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0，故①为假命题；
对②，命题p：<0，解得01}，故②为假命题；
对③，当x＝1，y＝0时，满足>，但lg x>lg y不成立，故③为假命题；
对④，根据正弦定理＝ 可得，边a>b是sin A>sin B的充要条件，故为真命题；
对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝
2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．
16．[－1,0)∪(8,9]
解析 不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，
则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，
设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x，x，不妨令x8，
所以实数k的取值范围为
[－1,0)∪(8,9]．
必刷小题 2 函数的概念与性质
1．C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C
7．B
8．D [函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2的定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝xsin x＋cos x＋x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，
f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，当x>0时，2＋cos x>0，
则f′(x)>0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由f(ln x)＋f(－ln x)＝2f(ln x)<2f(1)，可得f(|ln x|)0，所以2kπf(5)，故A正确；
题中条件没有说明函数关于直线x＝2对称，
所以f(－1)和f(5)未必相等，故B不正确；
根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续，
所以不能确定最大值是f(2)，故C不正确；
x＝0和x＝3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，
所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D正确．]
11．ABC [由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，故A正确；
又f(1＋x)＝－f(1－x)，
所以f(x)图象关于(1,0)对称，故B正确；
又f(－x)＝－f(－x＋2)＝－f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，故C正确；
又f(－2)＝－f(－2＋2)＝－f(0)，
无法判断其值，故D错误．]
12．ACD [因为f(x＋2)为奇函数，
所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，故C正确；
由f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)
＝0，
因为f(2x＋1)为偶函数，
所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，
所以当x＝时，f(－2)＝f(4)＝0，故A，D正确；
令f(x)＝sin x，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B不满足．]
13. 14.f(x)＝－x2或f(x)
＝－|x|(答案不唯一)15．－9或－6
解析 当a≥0时，f(x)＝x3＋2x＋a(1≤x≤2)，
f(2)＝23＋22＋a＝12＋a≥12，不符合题意；
当a<0时，y＝x3＋2x＋a在[1,2]上单调递增，
3＋a≤x3＋2x＋a≤12＋a，
而3＋a<3,3＋a<12＋a，
则或
所以a＝－9或a＝－6.
16.∪
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－ln|－x|＝－ln|x|＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝－ln x，
因为函数y＝，y＝－ln x均在(0，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由f(2t＋1)>f(t＋3)得f(|2t＋1|)>f(|t＋3|)，则
即
即
解得－f(t＋3)成立的实数t的取值范围是
∪.
必刷小题 3 基本初等函数
1．B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.D
7．A
8．C [因为f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1，
所以f(－x)＝2 022－x＋ln(－x)－2 022x＋1，
因此f(x)＋f(－x)＝ln(x2＋1－x2)＋2＝2，
因此关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2，可化为f(2x－1)>2－f(2x)＝f(－2x)，
又y＝2 022x－2 022－x单调递增，
y＝ln(＋x)单调递增，
所以f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1在R上单调递增，
所以有2x－1>－2x，解得x>.]
9．AC [∵a>1>b>c>0，
∴aa>ab>bb， > ，故A选项正确，D选项不正确；又log clog a，
c b
故B选项不正确；
∵loga<0，ac>0，
c
∴loga0)，则函数为g(t)＝t＋，
由对勾函数的性质可知g(t)＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故g(t)＝t＋在t＝1处取得最小值，
g(t) ＝g(1)＝2，
min
所以f(x)的最小值为2，故B错误，D正确；
f(x)＝2x＋的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，故C正确．]
11．AB [函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
当x＋x＝2时，x 与x 的中点为1.
1 2 1 2
∴f(x)＝f(x)，选项B正确；
1 2
当x＋x>2时，x 与x 的中点大于1，
1 2 1 2
又x0时，f(x)与f(x)的大小与x ，x 离对称轴的远近有关系，但与a无关，选项D错
1 2 1 2
误．]
12．ABC [依题意，令2a＋a＝log b＋b＝log c＋c＝k，则2a＝－a＋k，log b＝－b＋k，
2 3 2
log c＝－c＋k，
3
令y＝2x，y＝log x，y＝log x和y＝－x＋k，则a，b，c可分别视为函数y＝2x，y＝log x，y
2 3 2
＝log x的图象与直线y＝－x＋k交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log x，
3 2
y＝log x和y＝－x＋k的图象，如图，
3观察图象得，当k<1时，a1时，a1时，曲线y＝f(x)与曲线y＝log (x＋1)只有一个交点，不符合题意；
a
当00时，两个函数的图象有1个交点，
当m≤0时，两个函数的图象有2个交点，
所以函数g(x)＝f(x)－m的零点可能有1个或2个．]
11．AD [由函数图象可知
y＝
当t＝1时，y＝4，
即1－a＝4，解得a＝3，∴y＝故A正确，
药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝，
药物刚好失效的时间
t－3＝0.125，
解得t＝6，
故药物有效时长为
6－＝5(小时)，
注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每
毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C错误．]
12．BC [因为f(x)为偶函数且有4个零点，
则当x>0时f(x)有2个零点，
即解得a>2，A不正确；
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝x2＋ax＋1，B正确；
偶函数f(x)的4个零点满足：
x0，xx＝1且x＝－x，x＝－x，
3 3 4 1 4 2 3
于是得xxxx＝(xx)2＝1，C正确；
1 2 3 4 3 4
由C选项知，x＋2x＋3x＋4x＝x＋3x＝x＋，
1 2 3 4 3 4 3
且0m，即<1；
若m>0 ，f′(x) 是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点，
必有m>，则n0，得x>4ln 2；令h′(x)<0，得x<4ln 2，
所以h(x)在(－∞，4ln 2)上单调递减，在(4ln 2，＋∞)上单调递增，h(x) ＝7－8ln 2，
min
所以当x＝4ln 2时，x－x 取最小值，为7－8ln 2.]
2 1
9．ABC [由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，
＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1和x＝1；
对于B，函数y＝2x2－x＋1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标 x
＝；
对于 C，函数 y＝xln x，y′＝ln x＋1，当 x∈时，y′<0，函数单调递减，当 x∈时，
y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xln x在x＝处取得极小值；
对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没
有极值点．]
10．AD [∵f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，
∴f′(x)＝－e2－x＋1，
令f′(x)>0，解得x>2；
令f′(x)<0，解得x<2，
故函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，
所以函数f(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，为f(2)＝3，
而f(1)＝e＋1，f(3)＝3＋，
则f(1)>f(3)，
故f(x)的最大值为f(1)＝e＋1.]
11．AC [f′(x)＝3ax2－2bx＋c
＝3a(x－x)(x－1)，
0
由图知x>1时，f(x)单调递增，可知f′(x)>0，所以a>0，故B错误；
又f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x)x＋3ax，
0 0 0∴2b＝3a(1＋x)，c＝3ax，
0 0
∵x<－1<0∴c＝3ax<0, 故A正确；
0 0
∵x<－1<0，∴1＋x<0，∴f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x)>0，故C正确；
0 0 0
f′(x)＝3ax2－2bx＋c，其图象开口向上，对称轴小于 0，函数f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故D错误．]
12．BCD [对于A，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝xf(x)＝1不单调，故A错误；
对于B，f(x)＝，f′(x)＝，在(1,2)上f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
y＝xf(x)＝，y′＝＝>0在x∈(1,2)上恒成立，
∴y＝xf(x)在(1,2)上单调递增，故B正确；
对于C，若f(x)＝在(m，＋∞)上单调递减，
由f′(x)＝＝0，得x＝e，
∴m≥e，y＝xf(x)＝ln x在(m，＋∞)上单调递增，故C正确；
对于D，f(x)＝cos x＋kx2在上单调递减，
f′(x)＝－sin x＋2kx≤0在x∈上恒成立⇒2k≤ ，
min
令h(x)＝，
h′(x)＝，
令φ(x)＝xcos x－sin x，
φ′(x)＝cos x－xsin x－cos x
＝－xsin x<0，x∈，
∴φ(x)在上单调递减，φ(x)<φ(0)＝0，
∴h′(x)<0，∴h(x)在上单调递减，h(x)>h＝，
∴2k≤⇒k≤，
令g(x)＝xf(x)＝xcos x＋kx3，则g(x)在上单调递增，
g′(x)＝cos x－xsin x＋3kx2≥0在x∈上恒成立，
∴3k≥ ，
max
令F(x)＝，F′(x)＝>0，x∈，
∴F(x)在上单调递增，F(x)1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
①②③都满足，∴f(x)＝x3－3x满足题意．16．(0，e)
解析 设曲线y＝ln x与其切线交于A(x，y)，
0 0
切线方程l：y＝kx＋b，y′＝，
由导数与切线方程斜率关系可得k＝y′| ＝，①
又∵切线过点P(a,1)，
∵要保证过点P(a,1)可以作曲线y＝ln x的两条切线，可得P(a,1)不能在曲线y＝ln x上，
∴x≠a，
0
∴k＝，②
∵点A在曲线y＝ln x上，故y＝ln x，③
0 0
由①②③式可得＝⇒＝，
∴x(ln x－1)＝x－a，解得a＝2x－x·ln x，
0 0 0 0 0 0
令f(x)＝2x－x·ln x，
则f′(x)＝2－x·－ln x＝1－ln x，
令f′(x)＝0，故1－ln x＝0，
∴x＝e，
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
即f(x)在x＝e处取得最大值，故f(x) ＝f(e)＝2e－e·ln e＝e，
max
作出f(x)的草图如图所示，
由图可知a仅在(0，e)范围内有2个对应的x值，
即a∈(0，e)时，有2个解，此时存在2条切线方程，
综上所述，a的取值范围为(0，e)．
必刷大题 6 导数的综合问题
1．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，
f′(x)＝2x－＝.
当x∈时，f′(x)<0，则f(x)的单调递减区间为，
当x∈时，f′(x)>0，
则f(x)的单调递增区间为.
(2)由f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．
设h(x)＝(x>1)，
则h′(x)＝.
当x∈(1，)时，h′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x) ＝h()＝2e，
min
则a2＋1≤2e，
解得－≤a≤，
故a的取值范围是[－，]．
2．(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，
f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)取得最小值
f ＝1－.
(2)证明 令F(x)＝x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，
则g′(x)＝1＋－＝
≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以当00
当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，
当x＝1时，F(x)＝0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
3．解 (1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，
∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为
f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，
x∈[13,17]．
(2)∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，
x∈[13,17]，
∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，
令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝18，
而10≤a≤13，
则16≤≤18，
①若16≤<17，
即10≤a<11.5，
当x∈时，f′(x)≥0，
f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)≤0，
f(x)单调递减，
∴f(x) ＝f
max
＝(13－a)3；
②若17≤≤18，
即11.5≤a≤13，
则f′(x)≥0，即f(x)在[13,17]上单调递增，
∴f(x) ＝f(17)＝12－a，
max
综上，Q(a)＝
4．解 (1)由题意，
f(x)＝x2＋2x－4ln ，x>0，
则f′(x)＝2x＋2－
＝(x2＋x－2)
＝(x－1)(x＋2)，
故f(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
有极小值f(1)＝3－4ln ，无极大值．(2)设g(x)＝f(x)－ax＝x2＋(2－a)x－aln ，x∈(0,4]，
则g′(x)＝2x＋(2－a)－
＝[2x2＋(2－a)x－a]
＝(x＋1)(2x－a)，
①当a＝0时，g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合题意；
②当a<0时，g(x)在(0,4]上单调递增，g(2)＝4＋(2－a)×2>0，
x→0时，g(x)<0，
由零点存在定理得，g(x)在(0,4]内只有一个零点，即曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且
只有一个交点．
③当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
若<4，即00，
则要g(4)＝16＋4(2－a)－aln 2<0，则a>，
故a≥8，
综上，a的取值范围为
(－∞，0)∪{4}∪[8，＋∞)．
5．解 (1)因为f′(x)＝－asin x＋bex，
所以解得
(2)因为f(x)＝cos x－ex，x∈，
所以f′(x)＝－sin x－ex，设g(x)＝－sin x－ex，
g′(x)＝－cos x－ex＝－(cos x＋ex)．
当x∈时，cos x≥0，ex>0，
所以g′(x)<0，
当x∈(0，＋∞)时，－1≤cos x≤1，ex>1，
所以g′(x)<0.
所以，当x∈时，g′(x)<0，g(x)即f′(x)单调递减．
因为f′(0)＝－1<0，f′＝－ ＝ － ，因为 >e>2，所以 < ，
所以f′>0.
所以∃x∈，使得f′(x)＝－sin x－ ＝0，即 ＝－sin x.
0 0 0 0
所以，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
0
所以f(x) ＝f(x)＝cos x－ ＝cos x＋sin x＝sin.
max 0 0 0 0
因为x∈，所以x＋∈，
0 0
所以sin∈，
所以f(x)∈(0,1)．
0
由题意知，c≥f(x)，所以整数c的最小值为1.
0
必刷小题 7 三角函数
1．B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B
7．B [由题设知f(x)＝sin，
故y＝g(x)＝sin，
要使x≠x 且g(x)g(x)＝2，则g(x)＝g(x)＝或g(x)＝g(x)＝－，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴|x－x|的最小值为1个周期长度，则|x－x| ＝＝π.]
1 2 1 2min
8．B [由f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离分别为和，即可知其周期为π，
所以＝π，即ω＝2，
所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数
g(x)＝2sin，
又g(x)为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，则φ＝－.]
9．CD [由题意可得f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1.
因为f(－x)＝2sin－1＝－2sin－1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故A错误；
因为f ＝2sin－1＝－1，所以f(x)的图象不关于点对称，故B错误；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝1时，≤x≤，故C正确；
因为－1≤sin≤1，所以－2≤2sin≤2，所以－3≤2sin－1≤1，即f(x)的值域是[－3,1]，故D正
确．]
10．BC [由题可得g(x)＝2sin，
当x∈时，2x－∈，故函数g(x)在上不单调，故A错误；当x∈时，2x－∈，sin∈，g(x)＝2sin∈[－2,1]，故B正确；
当x＝时，2x－＝，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
由g(x)＝2sin可知，最小正周期为π，又x＝，2x－＝，故函数g(x)的图象不关于点对称，故
D错误．]
11．CD [由题意，将函数y＝sin的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到
y＝sin
＝sin，
则y＝sin的图象关于直线x＝对称．
所以2×＋2φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－，k∈Z，
当k＝0时，φ＝－，
当k＝1时，φ＝.]
12．ABD [对于A，由题意可知函数g(x)＝sin(2x＋φ)的图象在区间[a，b]上的对称轴为直
线x＝，又g(x ＋x)＝，所以g(0)＝g(x ＋x)＝，所以sin φ＝，又因为0<φ<，所以φ＝，故
1 2 1 2
g(x)＝sin，故A正确；
对于B，g(x)＝sin向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，再将其横坐标缩短为原来的
得到f(x)＝sin的图象，故B正确；
对于C，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝1时，≤x≤，
所以g(x)在上单调递增，而⊈，故C错误；
对于D，令t＝4x－，则t∈，函数y＝sin t在上有6个零点t ，t ，…，t ，则t ＋t ＝π，t ＋
1 2 6 1 2 2
t＝3π，t＋t＝5π，t＋t＝7π，t＋t＝9π，
3 3 4 4 5 5 6
故t＋2t＋2t＋2t＋2t＋t＝4(x＋2x＋2x＋2x＋2x＋x)－10×＝25π，
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
所以x＋2x＋2x＋2x＋2x＋x＝，故D正确．]
1 2 3 4 5 6
13.(填写符合φ＝2kπ±，k∈Z的一个值即可)
14.
15．1 －
解析 依题意得f ＝A×－×＝0，解得A＝1，
所以f(x)＝sin x－cos x
＝2sin，
所以f ＝2sin
＝2sin＝－.
16．①④⑤或②③④
解析 若选①，f(x)＝(1＋cos x)sin x，
则f′(x)＝2cos2x＋cos x－1
＝(2cos x－1)(cos x＋1)，令f′(x)>0，解得cos x>；
令f′(x)<0，解得cos x<，
所以f(x)在，k∈Z上单调递增，
在，k∈Z上单调递减，显然f(x)在上不单调，③不正确；显然f(x)的一个周期是2π，
所以当x＝时，f(x)取得最小值
f ＝－，⑤正确；
因为f(2π－x)
＝[1＋cos(2π－x)]sin(2π－x)
＝－(1＋cos x)sin x
＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确，可知选①④⑤.
若选②，f(x)＝(1－cos x)sin x，
则f′(x)＝－2cos2x＋cos x＋1＝(2cos x＋1)(1－cos x)，
令f′(x)>0，解得cos x>－；
令f′(x)<0，解得cos x<－，
所以f(x)在，k∈Z上单调递增，
在，k∈Z上单调递减，显然f(x)在上单调递增，③正确；因为f(2π－x)
＝[1－cos(2π－x)]sin(2π－x)
＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确；
显然f(x)的一个周期是2π，
所以当x＝时，f(x)取得最小值
f ＝－，⑤不正确，
可知选②③④.
必刷小题 8 解三角形
1．D 2.D 3.D 4.B 5.B
6．A [由tan A＝以及正弦定理得＝＝，
所以sin B＝cos A，
即sin B＝sin，
又B为钝角，所以＋A∈，
故B＝＋A，C＝π－(A＋B)＝－2A>0
⇒A∈，
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A
＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－22＋，
因为A∈，
所以00，设g(x)＝9x2－40m2x＋16m4＋，则方程g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，所以g＝92－
40m2×＋16m4＋≤0，解得m4≥，即m≥.]
9．AB [选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；
选项B，bsin A＝25sin 150°＝，则a>b>bsin A，则三角形有一解，判断正确；
选项C，bsin A＝sin 60°＝，则a0，
所以sin C＝.
(2)因为△ABC是锐角三角形，
由(1)得cos∠ACB＝
＝＝，
sin∠ADC＝sin
＝(sin∠ACB－cos∠ACB)
＝×＝，
在△ACD中，由正弦定理得＝
＝，
即＝＝＝5，
解得CD＝，AC＝，
所以CD＝，AC＝.3．解 (1)选①：
由asin B＝bsin得，
sin Asin B＝sin Bsin.
即sin A＝sin，
则A＝A－(舍)或A＋A－＝π，
所以A＝.
选②：由(a＋b)(sin A－sin B)
＝(b＋c)sin C得，
(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得
cos A＝＝－，
又A∈(0，π)，所以A＝.
选③：由bsin ＝asin B得，
sin ＝sin A，
即cos ＝2sin cos ，
因为cos ≠0，所以sin ＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由S ＋S ＝S 得，
△ABD △ADC △ABC
(b＋c)＝bc，
即bc＝b＋c＝6，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，
解得a＝，
由正弦定理得＝＝＝2R＝2，即R＝，
所以sin Bsin C＝＝＝.
所以sin Bsin C的值为.
4．解 (1)由bcos C＋bsin C－a－c＝0，
可得sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0
⇒sin Bcos C＋sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0
⇒sin Bcos C＋sin Bsin C－sin Bcos C－cos Bsin C－sin C＝0
⇒sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0
⇒sin B－cos B＝1
⇒sin＝，因为B∈，所以B＝.
(2)因为B＝，b＝2，
利用正弦定理得＝＝＝＝，
所以a＝sin A，c＝sin C，
所以l＝a＋b＋c
＝2＋(sin A＋sin C)，
所以l＝2＋
＝2＋4sin，
因为△ABC是锐角三角形，
所以0，
所以，
所以0<<，
则2<＋2<8，
即2，即0<2λ－1<3，
所以正数λ的取值范围为.
必刷小题 10 平面向量与复数
1．D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A
7．B 8.C
9．BC [对于A，＝＝＝＝－i，A错误；
对于B，∵z·z＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴＝－5＋i；
1 2
又·＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝·，B正确；
对于C，∵z＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；
1
对于D，由题意得OA＝(2，－3)，
OB＝(－1，－1)，
∴AB＝OB－OA＝(－3,2)，
∴|AB|＝＝，D错误．]10．CD [对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，
又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为
·＝b，B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正
确．]
11．AB [如图，
对于A项，由题意得AG＝2GD，AH⊥BC，
所以GH＝2OG，所以A选项正确；
对于B项，设D为BC的中点，
GB＋GC＝2GD＝－GA，
所以GA＋GB＋GC＝0，所以B选项正确；
对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，
所以AG＝2GD，GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，
所以AH＝2OD，故C选项错误；
对于D项，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D选项错误．]
12．ABC [由题意作图如图所示，
∵OP1⊥OP3，∴OP1·OP3＝0，故选项A正确；∵PP 与PP 所对的圆心角相等，∴|PP1|＝|PP2|，故选项B正确；
1 2
∵OP·OP3＝|OP||OP3|cos 60°＝.
OP1·OP2＝|OP1||OP2|cos 60°＝，故选项C正确；
若点P 坐标为，
1
则|OP1|＝≠，故选项D错误．]
13．2 14. 15.
16．8
解析 ∵△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，
∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(2,0)，B(－1，)，C(－1，－)，
设P(2cos θ，2sin θ)，
则PA＝(2－2cos θ，－2sin θ)，
PB＝(－1－2cos θ，－2sin θ)，
PC＝(－1－2cos θ，－－2sin θ)，
则PA·PB＋PB·PC
＝(2－2cos θ)(－1－2cos θ)＋2sin θ·(2sin θ－)＋(2cos θ＋1)2＋(2sin θ－)(2sin θ＋)
＝4＋2cos θ－2sin θ
＝4＋4cos，
∴0≤PA·PB＋PB·PC≤8，
则PA·PB＋PB·PC的最大值为8.
必刷小题 11 数 列
1．D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.D
7．D
8．C [等差数列{a}中，a＝－5，a＝－1，
n 1 3
所以d＝2，a＝－5＋2(n－1)＝2n－7，S＝－5n＋×2＝n2－6n，
n n
则b＝＝，令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝>0，
n故f(x)在，上单调递增，没有最大值，
因为b＝1，b＝9，b＝－8，结合数列的函数特性易得，当n＝4时，b 取得最小值．]
1 3 4 n
9．BC [由等差中项的性质可得a＋a＋a ＝3a 为定值，则a 为定值，
3 8 13 8 8
S ＝＝15a 为定值，
15 8
但S ＝＝8不是定值．]
16
10．ABD [A项，若{a}和{b}都是等差数列，不妨设a＝kn＋b，b＝kn＋b，
n n n 1 1 n 2 2
故可得a＋b＝(k＋k)n＋b＋b，则a ＋b ＝(k＋k)(n＋1)＋b＋b，
n n 1 2 1 2 n＋1 n＋1 1 2 1 2
则a ＋b －(a＋b)＝k＋k，故数列{a＋b}是等差数列，故A正确；
n＋1 n＋1 n n 1 2 n n
B项，设数列{a}是数列1,1,1；数列{b}是数列2,2,2，故可得数列{ab}是数列2,2,2，是等
n n n n
差数列，故B正确；
C项，若{a}和{b}是等比数列，设a ＝aq，b ＝bq，故可得a ＋b ＝aq＋bq，a ＋b
n n n 1 n 1 n n 1 1 n＋1 n＋1
＝aq＋bq，则＝，不是常数，故{a＋b}不是等比数列，故C错误；
1 1 n n
D项，设数列{a}是数列1,1,1；数列{b}是数列2,2,2，故可得数列{ab}是数列2,2,2，是等
n n n n
比数列，故D正确．]
11．ABD [由题意，数列{a}的前n项和满足a ＝2S(n∈N*)，
n n＋1 n
当n≥2时，a＝2S ，
n n－1
两式相减，可得
a －a＝2(S－S )＝2a，
n＋1 n n n－1 n
可得a ＝3a，即＝3(n≥2)，
n＋1 n
又a＝1，则a＝2S＝2a＝2，
1 2 1 1
所以＝2，
所以数列{a}的通项公式为
n
a＝
n
当n≥2时，S＝＝
n
＝3n－1，
又S＝a＝1，适合上式，
1 1
所以数列{a}的前n项和为
n
S＝3n－1，
n
又＝＝3，
所以数列{S}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的．]
n
12．AB [设等比数列{a}的公比为q，则q≠1.
n
∵a>0，a＝，S<2，
n 1 n
∴{a}是递减数列，
n×qn－1>0，<2，
∴1>q>0且1≤4－4q，
解得00)，数列{b}的公比为q，
n n
由已知得解得a＝3，d＝3，所以a＝3n；
1 n
所以b＝a＝3，q＝＝3，所以b＝3n.
1 1 n
(2)由题意可知新数列{c}为b，b，b，b，…，
n 1 2 4 5
则当n为偶数时，S＝
n
＝ ＝ ，
则当n为奇数时，
S＝S ＋c＝S ＋ ＝S ＋ ＝ ，
n n－1 n n－1 n－1
综上，S＝
n
6．(1)解 设{a}的公差为d，{b}的公比为q，
n n
则a＝1＋(n－1)d，b＝qn－1，
n n
由a－b＝a－b＝1可得
2 2 3 3
⇒d＝q＝2(d＝q＝0舍去)，
所以a＝2n－1，b＝2n－1.
n n
(2)证明 因为b ＝2b≠0，
n＋1 n
所以要证(S ＋a )b＝S b －Sb，
n＋1 n＋1 n n＋1 n＋1 n n
即证(S ＋a )b＝S ·2b－Sb，
n＋1 n＋1 n n＋1 n n n即证S ＋a ＝2S －S，
n＋1 n＋1 n＋1 n
即证a ＝S －S，
n＋1 n＋1 n
而a ＝S －S 显然成立，
n＋1 n＋1 n
所以(S ＋a )b＝S ·b －S·b.
n＋1 n＋1 n n＋1 n＋1 n n
(3)解 因为[a －(－1)2k－1a ]b ＋[a －(－1)2ka ]b
2k 2k－1 2k－1 2k＋1 2k 2k
＝(4k－1＋4k－3)×22k－2＋[4k＋1－(4k－1)]×22k－1＝2k·4k，
所以a －(－1)ka]b
k＋1 k k
＝[a －(－1)2k－1a ]b ＋[a －(－1)2ka ]b }＝k·4k，
2k 2k－1 2k－1 2k＋1 2k 2k
设T＝k·4k，
n
所以T＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n，
n
4T＝2×42＋4×43＋…＋(2n－2)·4n＋2n×4n＋1，
n
两式相减得－3T＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－2n×4n＋1
n
＝2×－2n×4n＋1
＝－2n×4n＋1，
所以T＝，
n
所以a －(－1)ka]b
k＋1 k k
＝.
必刷小题 13 立体几何
1．A 2.D 3.D 4.A 5.D
6．B [根据题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后水柱的体积减去原来水柱的体积；
设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r；
则玻璃球的体积为πr3，圆柱的底面面积为πr2，
放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，
此时水面的高度为2r，所以πr3＝πr2(2r－10)，解得r＝15(cm)．]
7．B [正四棱锥P－ABCD的底面是正方形，底面边长为4，高为8，如图所示，
所以正四棱锥P－ABCD的底面对角线的长为4×＝8，
设正四棱锥外接球的半径为R，则R2＝(8－R)2＋42，解得R＝5，所以球的表面积为S＝4π·R2＝4π×25＝100π，
即该鞠的表面积为100π. ]
8．B [设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DE⊥BC交BC于点E，则∠CDE为“切面”所
在平面与底面所成的角，设为θ.
设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为2b＝DE＝2r，
则椭圆的长轴长2a＝|CD|＝，即a＝，
所以椭圆的离心率为e＝＝＝＝＝sin θ，
所以θ＝.]
9．A [在△ABC中，由余弦定理，得BC＝＝3，
设△ABC外接圆半径为r，
由正弦定理2r＝＝2，
得r＝，
又R2＝R2＋3，∴R2＝12，
∴球O的表面积为4πR2＝48π.]
10．B [根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E，
在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q，
在平面VAB内，过F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为EF∥AC，
所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，
则＝＝＝k，
因为VA＝VB＝VC＝1，
所以AC＝，即EF＝k，
因为FD∥ VB，
所以△AFD∽△AVB，
即＝＝，因为＝＝1－k，
所以＝＝1－k，即FD＝1－k，
同理△CEQ∽△CVB，
即＝＝＝1－k，
即EQ＝1－k，
所以FD∥EQ，且FD＝EQ，
所以四边形FEQD为平行四边形，
因为VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA⊂平面VAC，VC⊂平面VAC，
所以VB⊥平面VAC，
因为FD∥VB，
所以FD⊥平面VAC，
因为EF⊂平面VAC，
所以FD⊥EF，
所以四边形FEQD是矩形，即S ＝FD·EF＝(1－k)·k＝－2＋，
矩形FEQD
所以当k＝时，
S 有最大值.
矩形FEQD
故该截面面积的最大值是 dm2.]
11．BC [设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2a，
1 1 1 1
则MN＝
＝＝a，
作点E在平面ABCD内的射影点G，
连接EG，GF，
所以EF＝
＝
＝a，
所以MN≠EF，故选项B正确，A错误；
连接DE，因为E为平面ADD A 的中心，
1 1
所以DE＝AD，
1
又因为M，N分别为BC ，CC 的中点，
1 1 1
所以MN∥BC，
1又因为BC∥AD，所以MN∥ED，
1 1
且DE∩EF＝E，
所以MN与EF异面，故选项C正确，D错误．]
12．BC [将四边形ABFE沿EF翻折，得到几何体AED－BFC，
在几何体AED－BFC中，DE∥CF，CF⊂平面CFB，DE⊄平面CFB，
∴DE∥平面CFB，又AE∥BF，BF⊂平面CFB，AE⊄平面CFB，∴AE∥平面CFB，
∵AE∩DE＝E，∴平面CFB∥平面ADE，
∵BC⊂平面CFB，∴BC∥平面ADE，故B正确；
如图，过点D作DH⊥EF，交EF于H，过H作HG⊥AB，交AB于点G，
过点C作CN⊥EF，交EF的延长线于N，过点N作NM⊥AB，交AB的延长线于点M，如图
所示，
则四棱锥C－BFNM与D－AEHG是全等的两个四棱锥，
∵NM⊥AB，则NM⊥EF，又CN⊥EF，NM∩CN＝N，
∴EF⊥平面CMN，
∴EF⊥平面DHG，
∵D∈平面DHG，A∉平面DHG，则AD与EF不垂直，故A错误；
三棱柱CNM－DHG为直三棱柱，
几何体AED－BFC的体积与三棱柱CNM－DHG体积相同，
三棱柱CNM－DHG的体积V＝S ·NH，
△CNM
在Rt△DEH中，DE＝4，∠EDH＝30°，∴EH＝2，
又EF＝6，NF＝EH，
∴NH＝6，
当S 面积最大时，几何体AED－BFC的体积最大，
△CNM
当NM⊥CN时，S 面积取最大值，
△CNM
∵NM⊥NE，NE∩CN＝N，则MN⊥平面DEFC，
又NM⊂平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面DEFC，故C正确；
若平面ADE⊥平面ABFE，由平面ADE∩平面ABFE＝AE，
过D有两条直线DH′，DH与平面ABFE垂直，
这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾，故D错误．]
13．2 14.
15．20 2解析 由题意可得，DF∥BE，
1
则
＝×
＝×＝20；
将长方体展开，如图所示，当点E为BD 与CC 的交点，F为BD 与AA 的交点时，截面四
1 1 1 1
边形BED F的周长最小，最小值为2BD＝2＝2.
1 1
16．①③
解析 对于①，连接AD ，CD ，如图，由正方体的性质知△ACD 为等边三角形，由于O为
1 1 1
底面ABCD的中心，故O为AC的中点，故AC⊥DO，①正确；
1
对于②，将 DO 进行平移到过B 点，使之与 BP 具有公共顶点，如图，根据立体图形判
1 1 1
断，无论如何也不可能满足BH平行或重合于BP，所以DO不可能平行于BP，②错误；
1 1 1 1
对于③，取BB的中点E，连接OE，EC，BD，DE，如图，易证明DO⊥平面OEC，所以
1 1 1
P在线段EC上运动，当点P到点E位置时，C P最大，此时△DC P的面积最大为 ＝
1 1 1
×2×＝，所以③正确；
对于④，P到直线DC 的距离为线段PC 的长度，所以|PC |＝|PB|，判定出P点在直线BC
1 1 1 1 1
的垂直平分线上，故④错误．
必刷大题 14 空间向量与立体几何
1．解 (1)设点A到平面ABC的距离为h，
1
因为直三棱柱ABC－ABC 的体积为4，
1 1 1
所以 ＝S ·AA
△ABC 1
，又△ABC的面积为2，
1
＝×2h＝，
所以h＝，
即点A到平面ABC的距离为.
1
(2)取AB的中点E，连接AE，
1
则AE⊥AB.
1
因为平面ABC⊥平面ABBA，平面ABC∩平面ABBA＝AB，AE⊂平面ABBA，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AE⊥平面ABC，
1
又BC⊂平面ABC，所以AE⊥BC.
1
又AA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
1
所以AA⊥BC.
1
因为AA∩AE＝A，AA，AE⊂平面ABBA，所以BC⊥平面ABBA，
1 1 1 1 1 1
又AB⊂平面ABBA，所以BC⊥AB.
1 1
以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系，
由(1)知，AE＝，
所以AA＝AB＝2，AB＝2.
1 1
因为△ABC的面积为2，
1
所以2＝·AB·BC，所以BC＝2，
1
所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)，
1
则BD＝(1,1,1)，BA＝(0,2,0)．
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝(1,0，－1)．
又平面BDC的一个法向量为AE＝(0，－1，1)，
所以cos〈AE，n〉＝＝＝－.
设平面ABD与平面BCD的夹角为θ，则sin θ＝＝，
所以平面ABD与平面BCD夹角的正弦值为.
2．证明 (1)由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线
分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设PA＝AB＝2，则P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，PB＝(2,0，－2)，PD＝
(0,2，－2)，AM＝(1,1,1)，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1,1,1)，
∵AM＝n，∴AM⊥平面PBD.
(2)如图，连接AC交BD于点E，
则E是AC的中点，连接PE，
∵AM∩平面PBD＝O，
∴O∈AM且O∈平面 PBD，
∵AM⊂平面PAC，
∴O∈平面PAC，
又平面PBD∩平面PAC＝PE，
∴O∈PE，
∴AM，PE的交点就是O，连接ME，
∵M是PC的中点，
∴PA∥ME，PA＝2ME，
∴△PAO∽△EMO，
∴＝＝，
∴AO＝2OM.3．(1)证明 连接EF(图略)，∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA，
∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD，且AF＝CD.
∴四边形ADCF为平行四边形，即CF∥AD，
∵CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CF∥平面PAD，
∵EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，
∴平面PAD∥平面EFC，CE⊂平面EFC，则CE∥平面PAD.
(2)解 ∵∠ADC＝90°，AB∥CD，∴AB⊥AD，CF⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CF，又PA∩AB＝A，∴CF⊥平面PAB，∴CF⊥PF.
设CF＝x，则S ＝×1×x＝，S ＝××x＝x，
△AFC △PFC
设点A到平面PCF的距离为h，由V ＝V ，
P－AFC A－PFC
得××2＝××h，则h＝.
∵点F为AB的中点，∴点B到平面PCF的距离等于点A到平面PCF的距离，为.
4．(1)证明 因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE.
在△ADB和△CDB中，
因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
DB＝DB，
所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC.
因为E为AC的中点，所以AC⊥BE.
又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，
所以AC⊥平面BED，
又AC⊂平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.
(2)解 由(1)可知AB＝BC，
又∠ACB＝60°，AB＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
则AC＝2，BE＝，AE＝1.
因为AD＝CD，AD⊥CD，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以DE＝1.
所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE.
由(1)可知，AC⊥平面BED.
连接EF，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，
当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，
即EF的长度最小．
在Rt△BED中，当EF的长度最小时，
EF⊥BD，EF＝＝.
方法一 由(1)可知，DE⊥AC，BE⊥AC，
所以EA，EB，ED两两垂直，
以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标
系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)，C(－1,0,0)，
AB＝(－1，，0)，DB＝(0，，－1)．
易得DF＝，FB＝，所以3DF＝FB.
设F(0，y，z)，则DF＝(0，y，z－1)，
FB＝(0，－y，－z)，
所以3(0，y，z－1)＝(0，－y，－z)，
得y＝，z＝，
即F，
所以CF＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1
则
不妨取y＝1，则x＝，z＝，
1 1 1
n＝(，1，)．
记CF与平面ABD所成的角为α，
则sin α＝|cos〈CF，n〉|＝＝.
所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.
方法二 因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的
2倍．
因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
因为V ＝V ，
D－AEB E－ADB所以·AE·BE·DE＝·S ·，其中d为点C到平面ABD的距离．
△ABD
在△ABD中，BA＝BD＝2，AD＝，
所以S ＝，所以d＝.
△ABD
由(1)知AC⊥平面BED，EF⊂平面BED，
所以AC⊥EF，
所以FC＝＝.
记CF与平面ABD所成的角为α，
则sin α＝＝.
所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.
方法三 如图，过点E作EM⊥AB交AB于点M，连接DM，过点E作EG⊥DM交DM于点
G.
因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以DE⊥AB，
又EM∩DE＝E，EM，DE⊂平面DEM，所以AB⊥平面DEM，
又EG⊂平面DEM，所以AB⊥EG，
又AB∩DM＝M，AB，DM⊂平面ABD，
所以EG⊥平面ABD，则EG的长度等于点E到平面ABD的距离．
因为E为AC的中点，所以EG的长度等于点C到平面ABD的距离的.
因为EM＝AE·sin 60°＝，
所以EG＝＝＝，
所以点C到平面ABD的距离d＝.
FC＝＝.
记CF与平面ABD所成的角为α，
则sin α＝＝.
所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.
5．(1)证明 在图①中，连接CE(图略)，
因为DC∥AB，CD＝AB，E为AB的中点，
所以DC∥AE，且DC＝AE，
所以四边形ADCE为平行四边形，
所以AD＝CE＝CD＝AE＝2，同理可证DE＝2，
在图②中，取DE的中点O，连接OA，OC(图略)，
则OA＝OC＝，
因为AD＝AE＝CE＝CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC，
因为OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面AOC，所以DE⊥平面AOC，
因为AC⊂平面AOC，所以DE⊥AC.
(2)解 若选择①：由(1)知DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，
所以过点A作AH⊥OC交OC于点H(图略)，则AH⊥平面BCDE，因为S ＝2，
四边形BCDE
所以四棱锥A－BCDE的体积V ＝2＝×2·AH，
A－BCDE
所以AH＝OA＝，所以AO与AH重合，所以AO⊥平面BCDE，
建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(－，0,0)，E(0,1,0)，A(0,0，)，
易知平面DAE的一个法向量为CO＝(，0,0)，
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
因为CE＝(，1,0)，CA＝(，0，)，
所以取n＝(1，－，－1)，
设平面DAE与平面AEC的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面DAE与平面AEC夹角的余弦值为.
若选择②：因为DC∥EB，所以∠ACD即为异面直线AC与EB所成的角，
在△ADC中，cos∠ACD＝＝，
所以AC＝，所以OA2＋OC2＝AC2，即OA⊥OC，
因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，又OA⊂平面AOC，
所以AO⊥平面BCDE，
建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(－，0,0)，E(0,1,0)，A(0,0，)，易知平面DAE的一个法向量为CO＝(，0,0)，
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
因为CE＝(，1,0)，CA＝(，0，)，
所以取n＝(1，－，－1)，
设平面DAE与平面AEC的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面DAE与平面AEC夹角的余弦值为.
6．(1)证明 因为△ABC是正三角形，点E是BC的中点，所以AE⊥BC，
又因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，
所以AE⊥平面BCD，
又因为CD⊂平面BCD，所以CD⊥AE，
因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，
又因为BD⊥CD，所以CD⊥EF，又因为AE∩EF＝E，
AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF，
又因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面AEF.
(2)解 在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H，此时EH∥CD，即H为BD的中点，
设BC＝4，则EA＝2，DF＝FC＝1，EF＝.
以E为原点，以EH，EF，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐
标系，
则E(0,0,0)，A(0,0,2)，
C(－1，，0)，D(1，，0)，
设G(1，y,0)(－≤y≤)，则EA＝(0,0,2)，AD＝(1，，－2)，CD＝(2,0,0)，EG＝(1，y,0), 设平
面AEG的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1 1
则令y＝－1，得n＝(y，－1,0)，
1 1设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2 2 2
则令z＝1，得n＝(0,2,1)，
2 2
设平面AEG与平面ACD的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n，n〉|＝＝，
1 2
当y＝0时，cos θ最大，此时平面AEG与平面ACD的夹角θ最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD的夹角最小．
必刷小题 15 直线与圆
1．A 2.B 3.C 4.C 5.A
6．C [若点P在圆C上，则x＋y＝1，圆心到直线l：xx＋yy＝1的距离d＝＝1，此时直线
0 0
l与圆C相切；
若直线l与圆C相切，则d＝＝1，即x＋y＝1，此时点P在圆C上．
综上知，“点P(x，y)在圆C上”是“直线l与圆C相切”的充要条件．]
0 0
7．A [设C(x，y)，则＝，
即＝，
化简得(x－2)2＋y2＝3，
所以点C的轨迹是以(2,0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝2，
所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2－.]
8．C [圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0，即圆C：(x－m)2＋(y－1)2＝16，即圆心为
C(m,1)，r＝4，
所以△ABC的面积为S ＝r2sin∠ACB＝8sin∠ACB≤8，
△ABC
当且仅当∠ACB＝，即△ABC为等腰直角三角形时等号成立，此时，|AB|＝4，圆心C到直线
AB的距离为＝2，
因为点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0内，
所以2≤|PC|<4，
即2≤<4，
所以8≤(m－3)2＋4<16，
解得3－20，得m>－7，A选项正确；
圆x2＋y2＝2的圆心为(0,0)，半径为，
因为圆心到直线l的距离为＝，
所以圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离等于，B选项错误；
C 的圆心为(1,2)，半径为3；C 的圆心为(－1，－1)，半径为2，
1 2
所以圆心距为＝≠3＋2，C选项错误；
圆x2＋y2＋2x＝0的圆心为A(－1,0)，半径为1，
表示圆上的点B(x，y)与点C(1,0)连线的斜率，
当直线BC与圆A相切时，如图所示，
AB＝1，AC＝2，所以∠BCA＝，
结合对称性可知的取值范围是，D选项正确．]
12．ACD [对于A选项，因为直线l的方程可化为
x－y＋＋m(x＋y－3)＝0.
令解得
所以直线l过定点Q(0，)，
直线l是过点Q的所有直线中除去直线x＋y－3＝0外的所有直线，
圆心C(1,0)到直线x＋y－3＝0的距离为＝1<2，即直线x＋y－3＝0与圆C相交，
又点Q(0，)在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以直线l与C至少有一个公共点，
所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B
错误；
对于C选项，因为圆心C到直线4x＋3y＋16＝0的距离d＝＝4，
所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确；
对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1，
因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确．]
13.
14．3x－4y＋2＝0或x＝2
15．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标为(－1,1)，半径为，
过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，
则所求圆的圆心在此直线上，
又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，
则所求圆的半径为，
设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0上，
所以＝，且a＋b＝0，
解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合题意，舍去)，
故所求圆的方程为
(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
16.
解析 由题意得l：(x－3)m＋(1－y)＝0，l：(x－1)＋(y－3)m＝0，
1 2
∴l 恒过定点M(3,1)，l 恒过定点N(1,3)，又l⊥l，
1 2 1 2
∴P点轨迹是以|MN|为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，以×＝为半径的圆，
∴P点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C的圆心距d＝＝3>2，
∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，
即|PQ| ＝3－2＝.
min
必刷小题 16 圆锥曲线
1．C [双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2，
所以离心率为＝＝.]
2．D [根据题意，由椭圆的离心率为可得＝，
又×2b×c＝48，即bc＝48，且a2＝b2＋c2，
故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.]
3．B [抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，因为点M到C的焦点的距离为7，到
x轴的距离为5，所以＝2，所以p＝4.]
4．A [由题意，设椭圆C的方程为
＋＝1(a>b>0)，
因为椭圆C的离心率为，面积为12π，
所以
解得a2＝16，b2＝9，
所以椭圆C的方程为＋＝1.]
5．C [在椭圆＋＝1中，a＝2，
b＝，
c＝＝1，
设线段PF 的中点为M，连接PF，MF ，如图所示，
2 1 1
则FF 为圆O的一条直径，则FM⊥PF，
1 2 1 2
因为M为PF 的中点，则|PF|＝|FF|＝2c＝2，则|PF|＝2a－|PF|＝2，
2 1 1 2 2 1
所以△PFF 为等边三角形，由图可知，直线PF 的倾斜角为.]
1 2 2
6．A [由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|
＝|PF|＋|PM|－1，
当F，P，M三点共线时，
|PM|＋|PN|取得最小值，
则最小值为|MF|－1＝－1＝2－1.]
7．B [作PM⊥x轴于点M，如图，依题意|PM|＝c，
∠PFF＝120°，
2 1
则∠PFM＝60°，
2
由题意知F(c,0)，
2
由sin∠PFM＝＝，
2
得|PF|＝2c，
2
由双曲线的定义知|PF|＝2a＋2c，而|FF|＝2c，
1 1 2
在△PFF 中，由余弦定理得
1 2
|PF|2＝|PF|2＋|FF|2－
1 2 1 2
2|PF|·|FF|cos∠PFF，
2 1 2 2 1
解得2a＋2c＝2c，
即a＝(－1)c，
又离心率e＝，于是有e＝，
所以双曲线C的离心率为.]
8．D [可设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由消去x，
可得y2＋4y－4＝0，
则y＋y＝－4，即y＋y＝－x＋1－x＋1＝－4，
1 2 1 2 1 2
则x＋x＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)，
1 2
易知，直线l过抛物线焦点(1,0)，
则|AB|＝x＋1＋x＋1＝8，
1 2
且AB的垂直平分线方程为
y－(－2)＝1×(x－3)，
即y＝x－5，
则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r，
所以b＝a－5，
则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，
又圆心M(a，b)到直线l: y＝－x＋1的距离d＝＝，且满足2＋d2＝r2，
则16＋2(a－3)2＝r2，①又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r，
即(a＋1)2＝r2，②
①②联立解得或]
9．CD [由双曲线C：－＝1，
得a＝，b＝，c＝，
则双曲线C的实轴长为2，故A错误；
双曲线的渐近线方程为
y＝±x，即x±y＝0，
取右焦点(，0)和渐近线
x＋y＝0，
则右焦点(，0)到渐近线
x＋y＝0的距离为＝，故B错误；
因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，
所以c＝＝2，则m＝2，故C正确；
因为渐近线y＝x和
y＝－x垂直，
所以·＝－1，
解得m＝2，故D正确．]
10．BCD [易知点F的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，
xx＝－p2＝－，选项B正确；
1 2
若MF＝λNF，则MN过点F，
则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；
抛物线x2＝y的焦点为，
准线方程为y＝－，
过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，
所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.
所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|
＝，
所以线段|PP′|＝＝，
所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D正确．]
11．BCD [由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆C外，则＋>1，解得b<，
所以椭圆C的离心率e＝＝>，
即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确；
当e＝时，c＝，b＝＝1，
所以|QF|的取值范围是[a－c，a＋c]，
1
即[2－，2＋]，故B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
由于AF1·AF2＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q使得QF1·QF2＝0，故C正确；
(|QF|＋|QF|)＝2＋＋≥2＋2＝4，
1 2
当且仅当|QF|＝|QF|＝2时，等号成立，
1 2
又|QF|＋|QF|＝4，
1 2
所以＋≥1，故D正确．]
12．BCD [对于A，在△PAA 中，根据三角形两边之差小于第三边，
1 2
得||PA|－|PA||<|AA|＝2a，故A错误；
1 2 1 1
对于B，焦点F(c,0)，渐近线不妨取y＝x，即bx－ay＝0，
2
设F 关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，
2
则
解得
即F 关于双曲线C的渐近线的对称点为，
2
由题意知该点在双曲线上，
故－＝1，
将c2＝a2＋b2 代入，
化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
所以e2＝＝＝1＋＝5，
故e＝，故B正确；
对于C，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
设P(x，y)(y≠0)，
0 0 0
则x－y＝a2，则x－a2＝y，
故 · ＝·＝＝1，故C正确；
对于D，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠APA＝3∠PAA，
1 2 1 2
设∠PAA＝θ，∠APA＝3θ，
1 2 1 2
则∠PAx＝4θ，
2
根据C的结论 · ＝1，
即有tan θ·tan 4θ＝1，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故θ＋4θ＝，θ＝，故D正确．]
13.＋＝1(答案不唯一)
14. 15.x＝±
16．2 2
解析 如图，过点M作MM 垂直准线于点M ，由抛物线定义可知|MF|＝|MM|.所以|MQ|＋|
1 1 1
MF|＝|MQ|＋|MM|.
1
过点Q作QQ 垂直准线于点Q，交抛物线于点P，
1 1
所以|MQ|＋|MM|≥|PQ|＋|PQ|，
1 1
所以当M在P处时，|MQ|＋|MM|＝|PQ|＋|PQ|＝|QQ |最小，
1 1 1
此时|QQ |＝3＋＝4，解得p＝2.
1
所以抛物线标准方程为x2＝4y.
设A(x，y)，B(x，y)，则有
1 1 2 2
两式相减得x－x＝4y－4y，
1 2
即(x＋x)(x－x)＝4(y－y)．
1 2 1 2 1 2
因为Q(2,3)为线段AB的中点，所以x ＋x ＝4，所以直线AB的斜率为k＝＝＝1，所以直线
1 2
AB的方程为y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1.
由A(x，y)，B(x，y)符合消去y得x2－4x－4＝0，
1 1 2 2
所以x＋x＝4，xx＝－4.
1 2 1 2
所以弦长|AB|＝·|x－x|＝·＝·＝8.
1 2
而O到直线AB的距离为d＝＝，
所以S ＝|AB|·d＝×8×＝2.
△AOB必刷大题 17 解析几何
1．解 (1)设P(x，y)，则y＝4x，
0 0 0
因为点P在第一象限，
所以y＝2，
0
对y＝2两边求导得y′＝，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为
y－2＝(x－x)，
0
令y＝0，则x＝－x，
0
所以M(－x 0)，
0,
所以线段MP的中点为，
所以线段MP的中点在定直线x＝0上．
(2)若P(2,2)，则M(－2,0)．
所以k ＝，k ＝2，
MP PF
因为PN⊥l，
所以k ＝－，
PN
所以直线PF：y＝2(x－1)，
直线PN：y＝－(x－4)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
所以x＝或2，所以Q，
由
得x2－10x＋16＝0，
所以x＝2或8，所以N(8，－4)．
因为M(－2,0)，Q，
N(8，－4)，
所以k ＝－，k ＝－，
MQ MN
所以M，Q，N三点共线．
2．解 (1)设A(x，y)，
因为|AE|＝|AF|，
所以
＝×，将等式两边平方后化简得
x2＋y2＝1.
(2)将直线l：y＝kx＋m与双曲线－＝1联立，得⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以有
即m2＋9>4k2且k≠±，
所以x＋x＝－，
1 2
xx＝，
1 2
因为∠MON＝，
所以OM⊥ON，即OM·ON＝0，所以xx＋yy＝0⇒xx＋(kx＋m)·(kx＋m)＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
化简得(k2＋1)xx＋km(x＋x)＋m2＝0，
1 2 1 2
把x ＋x ＝－，xx ＝代入，得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化简得 m2＝，因为 m2＋9>4k2且
1 2 1 2
k≠±，
所以有＋9>4k2且k≠±，解得k≠±，
圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，
圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离为d＝＝
＝>1，
所以点A到直线l距离的最大值为＋1，最小值为－1，
所以点A到直线l距离的取值范围为.
3．(1)解 由题可知c＝1.
当l 与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，
1
所以
解得a＝2，b＝.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明 设l 的方程为x＝my＋1，M(x，y)，N(x，y)，
1 1 1 2 2
联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
易知Δ>0恒成立，由根与系数的关系得y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
由直线AM的斜率为 ＝，得直线AM的方程为y＝(x＋2)，
1 1
当x＝1时，y ＝，
P
由直线AN的斜率为 ＝，得直线AN的方程为y＝(x－2)，
2 2
当x＝1时，y ＝，
Q
若四边形OPA Q为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证y ＋y ＝0，
2 P Q
因为y ＋y ＝＋＝＝，
P Q则2myy－3(y＋y)＝2m·－3·＝＝0，
1 2 1 2
所以|PF|＝|QF|，即PQ与OA 相互垂直且平分，所以四边形OPA Q为菱形．
2 2
4．(1)解 ∵e＝，|AB|＝，
∴a2＝4c2，a2＋b2＝7，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)①证明 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，
由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设P(x，y)，Q(x，y)，则x＋x＝，xx＝，
1 1 2 2 1 2 1 2
又A(－2,0)，由题知k ·k ＝·＝－，
AP AQ
则(x＋2)(x＋2)＋4yy＝0，且x，x≠－2，
1 2 1 2 1 2
则x·x ＋2(x ＋x)＋4＋4(kx ＋m)(kx ＋m)＝(1＋4k2)xx ＋(2＋4km)(x ＋x)＋4m2＋4＝＋(2＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4km)·＋4m2＋4＝0，
则m2－km－2k2＝0，
∴(m－2k)(m＋k)＝0，
∴m＝2k或m＝－k.
当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，
此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
当m＝－k时，直线PQ的方程为
y＝kx－k＝k(x－1)．
此时直线PQ过定点(1,0)．
当直线PQ的斜率不存在时，
若直线PQ过定点(1,0)，
P，Q的坐标分别为，.
满足k ·k ＝－.
AP AQ
综上，直线PQ过定点(1,0)．
②解 不妨设直线PQ过定点(1,0)为F.
则△APQ的面积S＝×|AF|×|y－y|＝|y－y|，
1 2 1 2
设直线PQ的方程为x＝my＋1，
联立椭圆的方程＋＝1，
消去x得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
∴S＝|y－y|
1 2＝
＝
＝18.
令t＝m2＋1(t≥1)，
则S＝18＝18，
∵t≥1，
∴9t＋＋6≥16(当且仅当t＝1即m＝0时取等号)，
∴S≤，即△APQ面积的最大值为.
必刷大题 18 统计与统计分析
1．解 (1)由样本的频率分布直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为
3 000×0.28＝840.
(2)由样本的频率分布直方图可知，总体成绩的众数为＝75，
平均数为
0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×
10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以总体成绩的众数为75，
平均数为71.2.
2．解 (1)由图可知，10×(2×0.005＋a＋0.02＋0.025＋0.03)＝1，
解得a＝0.015.
设中位数为x，
则0.05＋0.15＋0.2＋0.03×(x－70)＝0.5，
所以x＝.
这100人问答成绩的平均数为
45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，
则问答成绩在[60,70)内的有×5＝2(人)，分别记为A，B；
问答成绩在[70,80)内的有×5＝3(人)，分别记为a，b，c.
从中任意抽取2人，则试验的样本空间
Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有10个样本点．
设事件A为2人的问答成绩均在[70,80)内，
则A＝{(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有3个样本点，
所以这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率P(A)＝.
3．解 (1)由表知，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(8＋9＋m＋12＋n＋19＋22)＝，
所以－72＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72－7×42＝28，
所以b＝＝，
即m＋n＝43－7b，①
因为经验回归直线恒过点(，)，
所以＝4b＋4，
即m＋n＝28b－42，②
由①②，得b＝，m＋n＝26，③
因为 y＝8＋18＋3m＋48＋5n＋114＋154＝452，
i i
所以3m＋5n＝110，④
由③④，得m＝10，n＝16.
(2)由(1)知，经验回归方程为y＝x＋4，
所以当x＝6时，预测值y＝×6＋4＝，
此时残差为19－＝.
4．解 (1)由频率分布直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，
解得a＝0.035，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为
20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．
(2)这200人中通过电子阅读的人数为200×＝150，
通过纸质阅读的人数为200－150＝50.
因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，
所以通过电子阅读的中青年的人数为150×＝90，
中老年的人数为150－90＝60.
2×2列联表为
电子阅读 纸质阅读 合计
中青年 90 20 110
中老年 60 30 90
合计 150 50 200
零假设为H：阅读方式与年龄无关．
0由表中数据，得χ2＝≈6.061>5.024＝x ，
0.025
所以依据小概率值α＝0.025的独立性检验，推断H 不成立，即认为阅读方式与年龄有关．
0
5．解 (1)作出散点图如图所示．
由条形图数据和参考数据得，
＝4，(t－)2＝28，≈0.53，
i
(t－)(y－)＝y－＝39.75－4×9.24＝2.79，
i i i i i
所以r≈≈0.99.
y与t的样本相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝＝1.32，
又由(1)得b＝＝≈0.10，
a＝－b≈1.32－0.10×4＝0.92，
所以y关于t的经验回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将t＝11代入经验回归方程得y＝0.92＋0.10×11＝2.02.
所以预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．
6．解 (1)根据散点图显示的该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是
y＝ecx＋d，因为t＝ln y，则t＝cx＋d，
因为＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＝4.5，＝204，t＝92.4，＝2.1，
ii
所以c＝＝＝＝0.4，
d＝－c＝2.1－0.4×4.5＝0.3，
所以t＝0.4x＋0.3，
即y＝e0.4x＋0.3.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，500(1－r)5＝500(1－10%)，解
得1－r＝ ，
设从2022年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，
则有y＝500(1－r)x＝ ，
设从2022年底起经过x年后新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量，则有e0.4(x＋8)＋0.3> ，
所以(0.4x＋3.5)lg e>3－lg 2＋0.2x(2lg 3－1)，
解得x>≈6.64，
故从2022年年底起经过7年后，即2029年年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保
有量．
必刷小题 19 计数原理与概率
1．C 2.B 3.D 4.C
5．B [记“选派的4人中至少有2名男老师”为事件A，
“选派的4人中有2名女老师”为事件B，
则P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(AB)＝P(B)＝，
则在已知选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为P(B|A)＝
＝＝.]
6．C [根据题意，6种不同食物中，有1种适合放入中间格，则中间格有1种放法，
十字格有四个位置，有3种适合放入十字格，所以有一种放两个位置，共有3种放法，四角
格有4个位置，有2种适合放入四角格，可分为一种放三个位置，一种放一个位置，有两种
放法，或每种均放两个位置，有一种放法，则四角格有3种放法，则有1×3×3＝9(种)不同
放法．]
7．D [由题意，可以用2根火柴棒表示数字1；3根火柴棒表示数字7；4根火柴棒表示数
字4；5根火柴棒表示数字2,3,5；6根火柴棒表示数字6,9；7根火柴棒表示数字8.
数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两组：2和6,3和5，组成两个数字，还有一个数字只
能为0，
这样组成的无重复数字的三位数个数为CCA＋CCA＝20.]
8．C [A项，如图1所示，从延平门到安化门，最近的路线是从图1中点M到点N，只能横向往右走纵向往下走，所以
共有C＝15(条)，故A正确；
B项，甲、乙两人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因为两人的
选择互不影响，所以两人进城共有9种不同的情况，两人从相同城门进城有3种情况，所以
两人从同一城门进城的概率为，故B正确；
C项，如图2所示，
用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同，则有A
＝24(种)染色方法，若1与4颜色相同，则有A＝24(种)染色方法，若2与3颜色相同，则有
A＝24(种)染色方法，若1与4颜色相同且2与3颜色相同，则有A＝12(种)染色方法，综上，
共有84种染色方法，故C错误；
D项，若将街道看成直线，则在矩形ABCD区域网格的5条横线中任取两条，6条竖线中任
取两条，即可围出一个矩形，所以共有CC＝150(个)不同的矩形，故D正确．]
9．BC [对于A，事件M与N是可能同时发生的，故M与N不互斥，故A不正确；
对于B，P(M)＝＝，故B正确；
对于C，事件M发生与否对事件N发生的概率没有影响，M与N相互独立，故C正确；
对于D，事件M发生的概率为P(M)＝，事件N发生的概率为P(N)＝，P(M∪N)＝1－P()P()
＝1－×＝，故D不正确．]
10．ACD [对于A，取x＝2，得a＝1，A正确；
0
对于B，(x－3)8＝[－1＋(x－2)]8展开式中第7项为C(－1)2(x－2)6＝28(x－2)6，
即a＝28，B不正确；
6
对于C，取x＝，得
a＋＋＋…＋＝8
0
＝，
则＋＋…＋＝－a
0
＝－，
C正确；
对于D，取x＝3，得
a＋a＋a＋a＋…＋a＋a＝0，
0 1 2 3 7 8
取x＝1，得
a－a＋a－a＋…－a＋a
0 1 2 3 7 8
＝(－2)8＝256，两式相加得2(a＋a＋a＋a＋a)＝256，
0 2 4 6 8
即a＋a＋a＋a＋a＝128，
0 2 4 6 8
D正确．]
11．CD [对于A，事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中
至少有1个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件“该家庭3个小孩都是男孩”和事件“该家庭3个小孩都是女孩”不能同时发
生，能同时不发生，是互斥但不对立事件，故B错误；
对于C，有3个小孩的家庭包含的样本点有8个，分别为(男男男)，(男男女)，(男女男)，(女
男男)，(男女女)，(女男女)，(女女男)，(女女女)，
该家庭3个小孩中只有1个男孩包含的样本点有3个，
故该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为P＝，故C正确；
对于D，已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，样本点有 7个，分别为(男男男)，(男男
女)，(男女男)，(女男男)，(男女女)，(女男女)，(女女男)，
3个小孩中至少有2个男孩包含的样本点有4个，
故3个小孩中至少有2个男孩的概率为，故D正确．]
12．BC [记A 为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，记B为事件“任取一个零件为
i
次品”，
则P(A)＝0.25，P(A)＝0.3，
1 2
P(A)＝0.45，
3
对于A，即P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.25×0.06＝0.015，A错误；
1 1 1
对于B，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)
1 1 2 2 3 3
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋
0.45×0.05＝0.052 5，B正确；
对于C，
P(A|B)＝
2
＝＝，
C正确；
对于D，
P(A|B)＝
3
＝＝，
D错误．]
13.
解析 从编号为0,1,2,3,4的五个球中任取两个球的所有样本点为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10个，其中两个球的编号之积为偶数的样本点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,4)，(2,3)，
(2,4)，(3,4)，共9个，故所求概率为P＝.
14．－
解析 展开式的通项为
T ＝C6－kk
k＋1
＝C·(－1)k·22k－6x3－k，
令3－k＝2，得k＝1，所以x2的系数为C×(－1)×2－4＝－.
15．240
解析 先将3位相邻的男生捆绑在一起记为元素a，另外一名男生记为元素b，
则甲，乙，a，b四个不同元素排成一排，甲不在最左边，a，b不相邻，
则不同的排法种数为A(AA－A)＝24×10＝240.
16．7 62
解析 当一边放砝码时：一个砝码时，能称出1克、2克、4克，两个砝码时能称出3克、5
克、6克，三个砝码时能称出7克，共有7种情况；
当两边都放砝码时：一边各放一个砝码时，则能称出 4－2＝2(克)，2－1＝1(克)，4－1＝
3(克)，共三种情况；
一边两个，另一边一个有4－(2＋1)＝1(克)，2＋4－1＝5(克)，4＋1－2＝3(克)，共三种情况，
综上所述，该天平所能称出的不同克数(正整数)至多有7种．
若用1克、2克、4克的砝码，可称量范围1≤x≤7，
若加入15克后，可称量的范围15－7≤x≤15＋7，即8≤x≤22，
若加入40克后，可称量的范围40－7≤x≤40＋7，即33≤x≤47，
也可称量40＋8≤x≤40＋22，即48≤x≤62，
也可称量40－22≤x≤40＋8，即18≤x≤48，
则可称量的范围有1≤x≤7,8≤x≤22,18≤x≤48,33≤x≤47，
48≤x≤62，
x为正整数，即1≤x≤62，
所以再增加15克、40克的砝码各一个，所能称出的不同克数(正整数)至多有62种．
必刷大题 20 概率与统计
1．解 若选①，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
若选②，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
2．解 (1)∵测试分数位于[50,60)的频数为4，频率为0.01×10＝0.1，
∴抽取学生数为＝40，
∴测试分数位于[80,90)的人数为40－(4＋10＋14＋4)＝8，
∴a＝÷10＝0.02.
由题意知，测试分数位于[60,70)的频率为＝0.25，位于[70,80)的频率为＝0.35，
设由频率分布直方图估计分数的中位数为t，
则有(t－70)×0.035＝0.5－0.1－0.25，解得t≈74.3，
估计平均数为55×0.1＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.2＋95×0.1＝74.5.
(2)由题意知，测试分数不低于90分的频率为0.1，人数为4，
∴X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.1)，
即P(X＝k)＝C(0.1)k(0.9)4－k(k＝0,1,2,3,4)，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.656 1 0.291 6 0.048 6 0.003 6 0.000 1
E(X)＝4×0.1＝0.4.
3．解 (1)p＝，按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率P＝C×2×2＝.(2)方案一：逐个检测，检验次数为4×1＝4；
方案二：设检测次数为X，X的所有可能取值为1,5，
P(X＝1)＝4＝，
P(X＝5)＝1－＝，
则X的分布列为
X 1 5
P
方案二的均值E(X)＝1×＋5×＝2.375 6；
方案三：每组2个样本检测时，
若呈阴性，则检测次数为1，概率为，
若呈阳性，则检测次数为3，概率为1－＝，
设方案三的检测次数记为Y，Y的所有可能取值为2,4,6，
P(Y＝2)＝，
P(Y＝4)＝2××＝，
P(Y＝6)＝2＝，
则Y的分布列为
Y 2 4 6
P
方案三的均值E(Y)＝2×＋4×＋6×＝2.76，
∵E(X)0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(60.6≤X≤69.4)＝0.94<0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝P(58.4≤X≤71.6)＝0.98<0.997 3，
因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．
(2)样本中次品共有6个，可估计设备M生产零件的次品率约为0.06.
①由题意可得，Y～B，所以E(Y)＝2×＝.
②由题意可知，Z的分布列为
Z 0 1 2
P
所以E(Z)＝0×＋1×＋2×＝.
5．解 (1)①单次完成1～5个引体向上的有0.020×5×800＝80(人)，单次完成6～10个引体向上的有0.030×5×800＝120(人)，
单次完成11～15个引体向上的有0.060×5×800＝240(人)，
则单次完成1～15个引体向上的男生共440人，
采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人，则有＝＝＝，
所以a＝4，b＝6，c＝12，
即从单次完成1～5个的人中选4人，6～10个的人中选6人，11～15个的人中选12人，
又因为单次完成6～10个引体向上的共有120人，
记“单次完成6～10个引体向上的学生中，男生甲被抽中”为事件A，
则P(A)＝＝.
②X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
(2)零假设为H：体育锻炼与学业成绩无关，
0
由列联表中数据得，χ2＝≈17.778>7.879＝x ，
0.005
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为体育锻炼与学业成
0
绩有关．
6．解 (1)8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数
为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)①调查员甲由经验回归方程y＝0.5x＋a预估一名身高为180 cm的员工的体重为71 kg，由此计算a＝71－180×0.5＝－19，
故＝b＋a＝0.5×170－19＝66.
②由①知更正前的数据＝170，
＝66.由b＝0.5＝，
得x－82＝2×(xy－8)＝2×(89 920－8×170×66)＝320，
i i
更正后的数据′＝＝170，
′＝＝67，x′y′＝xy＋x×8＝xy＋182×8，
i i i i 8 i i
8′·′＝8·′＝8(＋1)
＝8＋8×170，
则b＝
＝
＝0.5＋＝0.5＋0.3＝0.8，
故a＝′－b′＝67－0.8×170
＝－69.
更正后该组数据的经验回归方程为
y＝0.8x－69.
当x＝180时，
y＝0.8×180－69＝75，
所以重新预估一名身高为180 cm的员工的体重约75 kg.
