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第十六章 二次根式全章题型总结【7 个知识点 13 个题型】
【人教版】
【知识点1 二次根式的定义】
【二次根式的定义】
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“❑√❑”叫做二次根号，a叫做被开方数.形如m❑√a（a≥0）的式子
也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数；
注：判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“❑√❑”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
【二次根式有意义条件】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
根据二次根式有意义的条件,若二次根式❑√A−B与❑√B−A都有意义,则有A=B.【题型1 二次根式的判断】
【例1】在式子 ， ， ， ，√ 1 中，是二次根式的有（ ）
❑√5 √38 ❑√−2 ❑√(x+3) 2 ❑
x2 +5
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
√a
【变式1】若❑ 是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）
b
A．a，b均为非负数 B．a，b同号
C．a≥0，b＞0 D．a≥0，b＞0或a≤0，b＜0
√x
【变式2】下列代数式❑ （x＞0），❑√2，33，❑√x2 +1，❑√−3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
2
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式3】在式子：①√1；② ；③ ；④ ；⑤√ 1 2；⑥ 中，二次根
❑ ❑√−3 −❑√x2 +1 √38 ❑(− ) ❑√−x(x＞1)
3 3
式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 根据二次根式的定义求参】
【例1】已知化简❑√75⋅❑√a的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式1】若❑√48⋅❑√2a的值是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【变式2】已知❑√6n+4是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式 3】在进行实数的化简时，我们可以用“❑√ab=❑√a•❑√b（a≥0，b≥0）”．如，
2 ，利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式．
❑√12=❑√2×2×3=❑√22×❑√3=❑√3
（1）已知m为正整数，若❑√189m是整数，求m的最小值 ；
√200
（2）设n为正整数，若y=❑ ，y是大于1的整数，则y的最大值与y的最小值的差为 ．
n
【题型3 二次根式有意义的条件】
❑√x−1
【例1】要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
2x−1A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
1
【变式1】使函数y= +❑√4−3x有意义的所有整数x的和是（ ）
❑√x+3
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【变式2】若分式(x−1) 0有意义，则x的取值范围是（ ）
❑√x−1
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≠1
【变式3】若❑√x(x−6)=❑√x⋅❑√x−6则（ ）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
【变式4】等式√ x ❑√x 成立的条件是（ ）
❑ =
x−2024 ❑√x−2024
A．x≠2024 B．x≥0
C．x≥0且x≠2024 D．x＞2024
【知识点2 二次根式的性质】
（1）❑√a≥0；a≥0（双重非负性）.
（2） ；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.
(❑√a) 2 =a
{ a (a>0)
（3）❑√a2
=|a|= 0 (a=0)
（算术平方根的意义）.
−a (a<0)
【题型4 二次根式的性质与化简】
【例1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 得（ ）
❑√c2 +|a+b|−❑√(a−c) 2
A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b
【例2】已知xy＜0，则化简二次根式 √ y 的结果是（ ）
x❑
x2
A．❑√y B．❑√−y C．−❑√y D．−❑√−y√ 1 1
【变式1】当0＜a＜1时，化简❑(a− ) 2− =（ ）
a a
2 2
A．a B．﹣a C．a− D． −a
a a
【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
❑√(a+1) 2 +❑√(b+1) 2−❑√(a−b) 2
A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b
【变式3】化简二次根式 √ a+1的结果是（ ）
a❑−
a2
A．❑√−a−1 B．−❑√−a−1 C．❑√a−1 D．−❑√a−1
【变式4】阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求a的取值范围．
❑√(a−1) 2 +❑√(a−3) 2
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得 a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得 a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤3时，化简， ．
❑√(a−2) 2 +❑√(a−5) 2 =
（2）若等式 成立，则a的取值范围是 ．
❑√(3−a) 2 +❑√(a−7) 2 =4
（3）若 ，求a的取值．
❑√(a+1) 2 +❑√(a−5) 2 =8
【知识点3 二次根式的乘法】
【二次根式的乘法法则】
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即❑√a·❑√b=❑√ab，（a≥0，b≥0）.
【二次根式的乘法法则的拓展】
（1）二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的运算，即❑√a·❑√b·❑√c=❑√abc，（a≥0，b≥0，c≥0）.
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，
即m❑√a·n❑√b=mn❑√ab，（a≥0，b≥0）.
【积的算术平方根】
积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即❑√ab=❑√a·❑√b，（a≥0，b≥0）.
【知识点4 二次根式的除法】
【二次根式的除法法则】
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即❑√a √a，（a≥0，b＞0）.
=❑
❑√b b
【二次根式的除法法则的拓展】
二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即❑√a÷❑√b÷❑√c=❑√a÷b÷c，
（a≥0，b＞0，c＞0）.
【商的算术平方根】
（1）商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即√a ❑√a，（a≥0，b＞0）.
❑ =
b ❑√b
（2）分母有理化就是把分母中的根号化去的过程
方法:将分子和分母都乘一个恰当的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根号.
【知识点5 最简二次根式】
1.定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，这样的二次根式称为最简
二次根式.
2.化为最简二次根式的步骤：
(1)把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
(2)将被开方数中能开尽的因数(或因式)进行开方；
(3)利用商的算术平方根√a ❑√a，（a≥0，b＞0），使被开方数中不含分母；
❑ =
b ❑√b
(4)分母有理化，化去分母中的根号；
(5)约分化简，整理成最简二次根式。【知识点6 二次根式的加减】
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下：
(1)化成最简二次根式；
(2)找出被开方数相同的二次根式；
(3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.
【知识点7 二次根式的混合运算】
（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算；
（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.
因此:运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘
法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的
方法，化分母为整式.
【题型5 最简二次根式的判断】
√1
【例1】下列二次根式：❑√5、❑ 、−2❑√a2b、❑√x2 +y2中，是最简二次根式的有（ ）
3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√b ❑√3
【变式1】二次根式❑√ab3、❑√a2 +1、❑ 、 中最简二次根式有（ ）
5 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√3 √ab
【变式2】在❑ ，❑ ，❑√28，❑√3.14和❑√a2 +b2中，最简二次根式有（ ）
5 b
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
√4
【变式 3】下列二次根式❑√1.2，5❑√x+y，❑ ，❑√x2 +4，❑√15，❑√28中，是最简二次根式的有
3
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型6 同类二次根式的判断】
【例1】在下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
1 1 √1
A．❑√45和❑√20 B． ❑√8和 ❑
3 5 2
C．❑√12和❑√18 D．❑√24和❑√54【变式1】在二次根式 、√a4、 、 、❑√12、 中，与 是同类二次根式的有（
❑√0.3 ❑ ❑√3a ❑√27 (a2−b2 )❑√75 ❑√3
3 b
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】若最简二次根式4❑√3a−8与−7❑√17−2a能够合并，那么合并后的值为 ．
【变式3】如果最简二次根式❑√3b和❑√2b−a+2是可以合并的二次根式，则a+b＝ ．
【题型7 二次根式的大小比较】
【例1】比较大小：
1 1
（1） ；
2−❑√5 ❑√5−❑√6
（2）2−❑√3 ❑√5−❑√2．
【例2】若 ，则a，b，c的大小关
a=20242−2023×2024，b=❑√20252−4×2024，c=❑√2024×2022
系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
1 1
【变式1】比较大小： （用＞，＜或＝填空）．
❑√6−❑√5 ❑√7−❑√6
【变式2】x＝591×2021﹣591×2020，y＝20202﹣2021×2019，z ，则x、y、z的大小关系
=❑√5882 +2352+22
是（ ）
A．y＜x＜z B．x＜z＜y C．y＜z＜x D．z＜y＜x
√ 4049 1
【变式3】若P=❑( ) 2−( ) 2，Q=❑√20252−2×2025+1，则关于P与Q的大小关系正确的是（
2 2
）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．以上都不对
【题型8 二次根式的混合运算】
【例1】计算题
√1
（1）❑√27−❑ +❑√3
3
√ 2 1 √2 1
（2）3❑2 + ❑ ×(− ❑√15)
3 2 5 8√1 √2
（3）❑√32−4❑ +❑√6×❑
8 3
（4）
(❑√6−3)(❑√6+3)+(❑√2−1) 2
【变式1】计算：
√1
（1）❑√18−4❑ +❑√24÷❑√3；
2
（2）(❑√2−❑√3) 2 +2❑
√1
×3❑√2；
2
（3）(3❑√2−2❑√3)(3❑√2+2❑√3)；
1
（4）(−5) 0−❑√72+|1−❑√2|+ ．
❑√2−❑√3
【变式2】计算：
（1）❑√8−❑√12+❑√18；
√1
（2）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√30+❑√24；
5
（3）√1 ❑√20+❑√45；
❑ ×❑√15−
3 ❑√5
（4） ．
(❑√5+2❑√3)(2❑√3−❑√5)+(❑√3−3) 2
【变式3】计算：
（1）(2❑√3−❑√5)(❑√3+❑√5)
（2）
(❑√5−3) 2 −(2❑√5−❑√7)(2❑√5+❑√7)
√1
（3）3❑√12÷(3❑ −2❑√3)
3
2 2 1 √b
（4） ❑√ab5 ⋅(− ❑√a2b)÷( ❑ )
b 3 3 a
【题型9 二次根式的化简求值】
【例1】已知 ，求代数式 的值．
x=2+❑√3 (7−4❑√3)x2 +(2−❑√3)x+1
1 1
【例2】已知a= ，b= ．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
（1）求a+b的值；（2）求a2﹣3ab+b2的值．
【变式1】已知a=❑√2−1，b=❑√2+1．
求：（1）a2b+ab2的值；
b a
（2） + 的值．
a b
【变式2】（1）已知x＝1−❑√3，y＝1+❑√3，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
（2）先化简，后求值：1−2a+a2 ❑√a2−2a+1，其中 1 ．
− a=
a−1 a2−a 2−❑√3
√ y √ x 1 1
【变式3】（1）先化简，再求值：❑√25xy+x❑ −4 y❑ − ❑√x y3，其中x= ，y＝4．
x y y 3
1 1
（2）已知x= ，y= ，求代数式x2+3xy+y2的值．
❑√2+❑√3 ❑√2−❑√3
【题型10 复合二次根式的化简】
【例1】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得 ，
❑√m±2❑√n (❑√a) 2 +(❑√b) 2 =m
，那么便有： （a＞b）
❑√a⋅❑√b=❑√n ❑√m±2❑√n= ❑√ (❑√a±❑√b) 2 =❑√a±❑√b
例如：化简❑√7+4❑√3
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即 ，
(❑√4) 2 +(❑√3) 2 =7 ❑√4×❑√3=❑√12
∴
❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12= ❑√ (❑√4+❑√3) 2 =2+❑√3
（1）填空：❑√4−2❑√3= ，❑√9+4❑√5=
（2）化简：❑√19−4❑√15．
【变式1】一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2❑√2=（1+❑√2）2．
设 a+b （其中 a、b、m、n 均为正整数），则有 a+b m2+2n2+2mn ，∴a＝
❑√2=(m+n❑√2) 2 ❑√2= ❑√2
m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b❑√3=（m+n❑√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ❑√5=（ + ❑√5）2；
1 1
（3）化简 −
❑√16−6❑√7 ❑√11+4❑√7
【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得 ，
❑√m±2❑√n (❑√a) 2 +(❑√b) 2 =m
，那么便有： ．
❑√a⋅❑√b=❑√n ❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2 =❑√a±❑√b(a＞b)
例如：化简❑√7+4❑√3．
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里 m＝7，n＝12，由于 4+3＝7，4×3＝12，即
， ，
(❑√4) 2 +(❑√3) 2 =7 ❑√4×❑√3=❑√12
∴ ．
❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12=❑√(❑√4) 2 +2❑√4×❑√3+(❑√3) 2 =❑√(❑√4+❑√3) 2 =2+❑√3
仿照上例，回答问题：
（1）计算：❑√4−2❑√3；
（2）计算：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋯+❑√19−2❑√90．
【变式3】阅读下列材料，并解决问题：
【观察发现】
因为 ，
(❑√5+❑√2) 2 =5+2+2❑√5×2=7+2❑√10
所以 ；
❑√7+2❑√10= ❑√ (❑√5+❑√2) 2 =❑√5+❑√2
因为 ，
(❑√8−❑√6) 2 =8+6−2❑√6×8=14−8❑√3
所以 ．
❑√14−8❑√3=❑√14−2❑√48= ❑√ (❑√8−❑√6) 2 =❑√8−❑√6=2❑√2−❑√6
【建立模型】
形如❑√p±2❑√q的化简（其中p、q为正整数），只要找到两个正整数 m，n（m＞n），使m+n＝p，mn
＝q，那么❑√p±2❑√q=❑√m±❑√n．
【问题解决】
（1）化简：①❑√11+2❑√30= ；②❑√71−16❑√7= ；
11❑√30
（2）已知正方形的边长为a，现有一个长为 +2，宽为2❑√30的长方形，当它们的面积相等时，
30
求正方形的边长；
（3）已知 ，则代数式 的值为 ．
x=❑√2−❑√3，y=❑√2+❑√3 ❑√x2 +2xy+y2 +x−y−4
【题型11 裂项相消法化简根式求和】
1
【例1】小明在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
2+❑√3
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1
（1）观察上面解答过程，请写出 = ；
❑√n+2+❑√n
1 1 1 1
（2）化简 + + +⋯+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√121+❑√119
1
（3）若a= ，请按照小明的方法求出a3−11a2 +9a+❑√6的值．
❑√26−5
4
【变式1】阅读：在进行二次根式运算时，形如 的式子，我们可以将其化简：
❑√5−1
4 4×(❑√5+1) 4×(❑√5+1)
= = =❑√5+1
❑√5−1 (❑√5−1)(❑√5+1) 5−1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
回答问题：
4
（1）请用上述的方法化简 ；
❑√6−❑√2
4 4 4 4
（2）化简： + + +⋯ （m为正整数）．
2+❑√2 2+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2m+❑√2m+2
2 √5 1
【变式2】在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如 ，❑ ， 的式子，其实我们还可以将其
❑√5 3 ❑√2+1进一步化简：①
2
=
2×❑√5
=
2❑√5；②
❑
√5
=❑
√5×3
=
❑√15；③ 1
=
1×(❑√2−1)
=
❑√2−1
=❑√2−1
❑√5 ❑√5×❑√5 5 3 3×3 3 ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√2) 2 −12
；
1
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化， 还可以用以下的方法化简；
❑√2+1
④ 1 2−1 (❑√2) 2 −12 (❑√2+1)(❑√2−1) ；
= = = =❑√2−1
❑√2+1 ❑√2+1 ❑√2+1 ❑√2+1
2
（1）请参照方法④化简： ；
❑√7+❑√5
（2）化简： 5 √3；
+❑
❑√6 2
1 1 1
（3）化简： + ⋅⋅⋅+ ．（n为正整数）
❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【变式3】小明在探究二次根式时发现了两个有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母
有理化，如：
1 ❑√2−1 ❑√2−1
= = =❑√2−1；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
= = =❑√3−❑√2．
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2
（1）请观察上面的解题过程，直接写出下列各式的结果．
1
① = ；
❑√7+❑√6
1
② （n为正整数）＝ ．
❑√2n+1+❑√2n−1
1 1 1 1
（2）求 + + +⋅⋅⋅+ 的值．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
【题型12 二次根式中新定义和规律问题】
【例1】同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：√ 2 √8 √22×2 √2，根号里的因数2经
❑2 =❑ =❑ =2❑
3 3 3 3
过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这一性质的数还有√ 3 √3 √ 4 √ 4
许多，如❑3 =3❑ 、❑4 =4❑ 等等．
8 8 15 15
√ 6
（1）猜想：❑6 = ；
35
（2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数 ；
（3）请用只含有一个正整数n（n≥2）的等式表示上述规律： ．
【变式1】课本再现
（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证：
√ 2 √2 √ 3 √3 √ 4 √ 4
❑2 =2❑ ，❑3 =3❑ ，❑4 =4❑
3 3 8 8 15 15
（2）用字母n（n是正整数，n≥2）表示这一规律是： ；
类比猜想
√ 2 √ 2 √2 √ 3 √ 3 √3
（3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到❑2 =❑2+ =2❑ ，❑3 =❑3+ =3❑ ，猜
3 3 3 8 8 8
想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两
√ 2 √2 √ 3 √3
个式子，请你帮助他求出x，y的值：❑2− =2❑ ，❑3− =3❑ ．
x x y y
【变式2】定义：我们将（❑√a+❑√b）与（❑√a−❑√b）称为一对“对偶式”．因为（❑√a+❑√b）（❑√a−❑√b
）＝（❑√a）2﹣（❑√b）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解
决．
例如：已知❑√18−x−❑√11−x=1，求❑√18−x+❑√11−x的值，可以这样解答：
因为（❑√18−x−❑√11−x）×（❑√18−x+❑√11−x）＝（❑√18−x）2﹣（❑√11−x）2＝18﹣x﹣11+x＝
7，
所以❑√18−x+❑√11−x=7．
（1）已知：❑√20−x+❑√4−x=8，求❑√20−x−❑√4−x的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：❑√20−x+❑√4−x=8；
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ．
3❑√1+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 2023❑√2021+2021❑√2023
【变式 3】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
3+2❑√2=(1+❑√2) 2设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ．∴a＝
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2 a+b❑√2=m2 +2n2 +2mn❑√2
m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若 ，用含m，n的式子分别表示a，b，得a
a+b❑√3=(m+n❑√3) 2
＝ ，b＝ ；
（2）若 ，且a，m，n均为正整数，求a的值．
a+4❑√3=(m+n❑√3) 2
【题型13 二次根式的实际应用】
【例1】有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为45dm2和80dm2
的两块正方形木板．
（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 dm， dm；
（2）剩余木板的面积为 dm2；
（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能截出 个
这样的木条．
【变式1】现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上
截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板A，B．
（1）截出的正方形木板A的边长为 dm；
（2）求图1中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你
判断能否截出，并说明理由．【变式2】如图，矩形ABCD的长为2❑√6+❑√5，宽为2❑√6−❑√5．
（1）矩形ABCD的周长是 ；
（2）在矩形ABCD内部挖去一个边长为❑√6−❑√5的正方形，求剩余部分的面积．
【变式3】（1）填空（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤）：
1 √ 1
①4+3 2❑√3×4，1+ 2❑1× ，5+5 2❑√5×5．
6 6
②由①中各式猜想：m+n 2❑√m×n(m≥0，n≥0)．
（2）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰
好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，求所用的篱笆至少需要多少米？
【变式4】（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
1 1 √1 1
+ 2❑ × ；6+3 2❑√6×3；7+7 2❑√7×7．
2 3 2 3
（2）由（1）中各式猜想a+b与2❑√ab(a≥0，b≥0)的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少
厘米？
