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第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测
试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式计算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底
数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故该选项不合题意；
B、 ，故该选项不合题意；
C、 ，故该选项不合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数
相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项符合题意；
故选：D．
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】此题考查了因式分解的意义，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确
定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【详解】解：A、 是整式乘法，不符合题意；
B、 ，左边等于右边，属于因式分解，符合题意；
C、 ，是恒等变形，不是因式分解，不符合题意；
D、 ，右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：B．
4．若 ，则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到 ，求出m、n的值，即可得到答案.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得
∴ ，
故选：C
5．已知 ，则 的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、积的乘方的逆用
【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项都
等于0是解题的关键．
先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解： ，
， ，
解得 ， ，
．故选：C．
6．要使多项式 不含x的二次项，则p与q的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．乘积为
【答案】A
【知识点】相反数的定义、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，把式子展开，找到所有 项的所有系数，令其为0，可求出p、q
的关系，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】
解： ，
又∵多项式 不含x的二次项，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
7．小刚把 展开后得到 ，把 展开后得到 ，则 的
值为（ ）
A．1 B． C．4049 D．
【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式得出 、 所对应的值，再进行化简计
算即可．掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
【详解】解：
，
∵ 展开后得到 ，
∴ ，，
∵ 展开后得到 ，
∴ ，
∴
，
故选：C．
8．若实数a、b分别满足 、 且 ，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．11
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，以及代数式求值，根据题意结合平方差公式，完全平方
公式，推出 ， ，再将 变形为 ，代入 ，
求解，即可解题．
【详解】解： 实数a、b分别满足 、 ，
，
整理得 ，
，
，
解得 ，
，即有 ，又 ，
整理得 ，
解得 ，
．
故选：D．
9．对于任意有理数x，y，现用 定义一种运算： 根据这个定义，代数式 可以化
简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查定义新运算，整式的运算，根据新运算的法则，得到 ，进行计
算即可．
【详解】
解：
．
故选：C
10．李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息： ， ， ， ， ，分别对应下列六个字：牟，爱，美，我，中，丽，现将 因式分解，结果呈现的密
码信息可能是（ ）
A．美丽中牟 B．我爱美丽 C．我爱美 D．我爱中牟
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查因式分解的应用，正确将式子进行因式分解是解题关键．将式子进行因式分解进行判断
即可．
【详解】解： ，
，
，
对应的话为：我爱中牟．
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算 = ．
【答案】
【知识点】计算单项式乘单项式
【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据整式的运算法则进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解
题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．分解因式
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解方法是解题的关键．【详解】解： ，
故答案为： ．
13．当 ，则 的值为 ．
【答案】4
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握运算法则是解题的关键．
首先得到 ，然后利用同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴ ．
故答案为：4．
14．若一个多项式A与 的积为 ，则这个多项式A为 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个多项式A与 的积为 ，得出
，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一个多项式A与 的积为 ，
∴ ，
故答案为： ．
15．有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个按图①所示方式摆放，构造一个正方形；其中
5个按图②所示方式摆放，构造一个新的长方形．若图①中阴影部分的面积是28，图②中阴影部分的面积
是80，则每个小长方形的面积是 ．【答案】
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了整式与图形，完全平方公式的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的数量关系，列
出代数式，在解题时要根据题意结合图形得出答案．
设小长方形的长为a，宽为b，分别用代数式表示出图1和图2中阴影部分面积，得到两个等式，从而计算
出 的值即可．
【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，
在图1中，有： ，
在图2中，有： ，
分别整理得： ， ，
将 代入 中，
解得： ，
故每个小长方形的面积为12，
故答案为：12．
16．给多项式 添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
【答案】 或
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可．
【详解】 ，
这个单项式为 ；
，
这个单项式为 ．
故答案为： 或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）17．因式分解：
(1) ． (2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）直接提取公因式 ，进而得出答案：
（1）利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
18．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】多项式除以单项式、计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公
式进行运算
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公和单项式乘以多项式的计算法
则去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：原式，
∵ ，
∴原式 ．
19．（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，求x的值
【答案】（1） ；（2）
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和
幂的乘方运算法则．
（1）利用同底数幂的除法逆运算和幂的乘方逆运算计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算计算即可．
【详解】解：（1） ， ，
；
（2）∵
，
，
，
．
20．已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
【答案】(1) ，
(2)35【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含 的一次项，常数项是 可得
， ，求解即可获得答案；
（2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将 ， 的值代入求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
又∵展开式中不含 的一次项，常数项是 ，
∴ ， ，
解得 ， ；
（2）原式
，
∵ ， ，
∴原式
．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题，发现当 或 时，多项式
的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式 ，则此多项式的零点为_______．
(2)已知多项式 有一个零点为2，求多项式B的另一个零点．
【答案】(1) 和
(2)【知识点】十字相乘法、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解：
（1）根据题意求出 和 时x的值即可得到答案；
（2）先把 代入 中，求出a的值，再把多项式 进行分解因式，最
后根据零点的定义求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，当 时， ，
∴多项式 的零点为 和 ，
故答案为： 和 ；
（2）解：∵多项式 有一个零点为2，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴多项式B的另一个零点为 ．
22．仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知关于 的多项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值．
解：设另一个因式为 ，
则 ，即 ．
，解得 ，
另一个因式为 ， 的值为 ．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知关于 的多项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值．(2)已知关于 的多项式 有一个因式是 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)12
【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用
【分析】本题考查解因式分解的应用，多项式乘多项式等知识．
（1）根据题意设另一个因式为 ，再利用对应相等列出二元一次方程组解出即可得到本题答案；
（2）根据题意设另一个因式为 ，再利用对应相等列出二元一次方程组解出即可得到本题答案．
【详解】（1）解：设另一个因式为 ，
则 ，即 ，
，解得 ，
另一个因式为 ， 的值为 ；
（2）解：设另一个因式为 ，
则 ，即 ，
，解得 ，
的值为12．
23．先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式
，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋ 中先加上一项 ，使
它与 的和成为一个完全平方式，再减去 ，于是有：像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”．利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)已知a、 、c是 的三边，且满足 ，试判断 的形状．
(3)当x为何值时代数式 有最大值？求出这个最大值．
【答案】(1)
(2) 是等腰三角形或直角三角形
(3) ，最大值为
【知识点】因式分解的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查因式分解的应用；
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用提公因式法和平方差公式分解因式，可得 或 ，即可求解；
（3）先对式子 进行因式分解，得到 时，取得最大值
【详解】（1）（2）解：∵ ，
，
∴
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴ 是等腰三角形或直角三角形．
（3）
时，即 ，原式有最大值 ．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用
后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如
下解答方法：
解： ，
∴ 当 时， 值最小，最小值是0．
∴ 当 时， 的值最小，最小值是1．
∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ；
(2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ；
(3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值．
【答案】(1) ； ；
(2)大， ，
(3) ，当 时， 的最小值为 ；
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质；
（1）由 ，再结合非负数的性质可得答案；
（2）由 ，再结合非负数的性质可得答案；
（3）由 可得 ，结合 ，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：∵ ，而 ；
∴当 时，有最小值2；
（2）解：∵ ，而 ；
∴当 时有最大值 ；
故 有最大值，当 时，最大值为 ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，而 ；
∴当 时， 的最小值为 ；
25．若x满足 ，求 的值．解：设 ， ，则 ， ，
∴ ．
请仿照上面的方法解答下列各题．
(1)已知 ，求 的值；
(2)若y满足 ，求 的值；
(3)如图所示，正方形 的边长为m，E，F分别是AD， 上的点，且 ， ，长方形
的面积是24，分别以 ， 为边长作正方形 和正方形 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】平方差公式与几何图形、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式得变形应用，以及与几何图形的结合．
(1) 设 ，则 ，求得 ，那么
代入求解即可；
(2) 设 ，则 ，求得 ，那么，
代入求解即可；
（3）根据题意得 ．设 则 ，可求得 ，那么， ，结合 ， ，有 ，结合
即可求得答案．
【详解】（1）解∶设 ，
则 ，
，
∴
．
（2）解：设 ，
则 ，
，
∴
．
（3）解：根据题意，得 ．
设
则 ，，
∴
．
∵ ， ，
∴ ．
∴
．
∴阴影部分的面积是20．
