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哈尔滨市 2022 年初中升学考试
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义选出正确选项．
【详解】解： 的相反数是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查相反数的定义，解题关键是掌握相反数的定义．
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结
论．
【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知 ，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知 ，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知 ，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知 ，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
的
3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握二者的定义：
4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看下面一层是两个小正方形，上面一层左边一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键．
5. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式 可得顶点坐标为 即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为 ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
6. 方程 的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增
根．
7. 如图， 是 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切于点A，连接 ，若
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由切线性质得出 ，根据三角形的内角和是 、对顶角相等求出
，即可得出答案；
【详解】解： PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是 ，解题关键根据切线性质推出 ．
8. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价
的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次
降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的
售价．
9. 如图， 相交于点E， ，则 的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．
【详解】∵
∴
∴
∵ ，∴
∵
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．
10. 一辆汽车油箱中剩余的油量 与已行驶的路程 的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米
的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为 时，那么该汽车已行驶的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意所述，设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入即可得出函数关系式．
【详解】解：设函数解析式为y=kx+b，
将（0，50）、（500，0）代入得
解得：
∴函数解析式为
当y=35时，代入解析式得：x=150故选A
【点睛】本题考查了一次函数的简单应用，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行
解答．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量效有253000兆瓦，用科学记数法表示为
___________兆瓦．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．分别确定 和 的值即可．
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，确定 和 的值是解题的关键．
12. 在函数 中，自变量x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式 ，计算出自变量x的范围即可．
【详解】根据题意得：
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不等式并正确求解．
13. 计算 的结果是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
=
= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．
14. 把多项式 分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式 再按照平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是提公因式与公式法分解因式的综合应用，掌握提公因式与平方差公式分解因式是解
题的关键．
15. 不等式组 的解集是___________．【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】
由①得 ，
解得 ；
由②得 ，
解得 ；
∴不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16. 已知反比例函数 的图象经过点 ，则a的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点 代入 得：．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函
数解析式是解题关键．
17. 在 中， 为边 上的高， ， ，则 是___________度．
【答案】40或80##80或40
【解析】
【分析】根据题意，由于 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三
角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：可知 ，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
综上所述： 或 ，
为
故答案 ： 或 ．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨
论是解决问题的关键．
18. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____．
【答案】
【解析】【分析】用列表法与树状图法求解即可.
【详解】解:用列表法列举出总共4种情况，分别为：正正、正反、反正、反反，
其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正
所以概率是 ，
故答案是 .
【点睛】本题考查了求随机事件的概率, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 得到所求的
情况数是解决本题的关键.
19. 一个扇形的面积为 ，半径为 ，则此扇形的圆心角是___________度．
【答案】70
【解析】
【分析】设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式得：
解得n=70．
是
故答案 ： ．
【点睛】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用.
20. 如图，菱形 的对角线 相交于点O，点E在 上，连接 ，点F为 的中点，连
接 ，若 ， ， ，则线段 的长为___________．
【答案】【解析】
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再
根据中位线性质，求出OF的长．
【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得 ，
∵AE=BE，
∴ ，
在Rt△AOB中 ，
即菱形的边长为 ，
∵点F为 的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定
理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x，继而代入计
算可得．
【详解】解：原式∵
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则以及特殊角三
角函数值．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1， 的顶点和线段 的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中面出 ，使 与 关于直线 对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段 为一边的平行四边形 （点G，点H均在小正方形的顶点上），且
平行四边形 的面积为4．连接 ，请直接写出线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质可得△ADC；
（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得DH的长．
【小问1详解】
如图
【小问2详解】
如图，
【点睛】本题考查了作图，轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关
键．
的
23. 民海中学开展以“我最喜欢 健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞
类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进
行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占
所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．
【答案】（1）80 （2）作图见解析
（3）480
【解析】
【分析】（1）利用操舞类的人数以及操舞类学生所占调查人数的比例，可求出抽取的总人数．
（2）根据总人数以及其他类学生的人数可计算出武术类学生人数，进而将统计图补充完整即可．
（3）利用样本估计总体，先算出样本中喜欢球类学生所占的比例，再乘以总人数即可．
【小问1详解】
解： （名）
∴在这次调查中，一共抽取了80名学生．
【小问2详解】
解： （名）
补全统计图如图
【小问3详解】
解： （名）
∴估计该中学最喜欢球类的学生共有480名．
【点睛】本题主要考查了条形统计图以及用样本估计总体，能够利用统计图获取重要信息是解决问题的关
键．
24. 已知矩形 的对角线 相交于点O，点E是边 上一点，连接 ，且
．（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，设 与 相交于点F， 与 相交于点H，过点D作 的平行线交 的延长线于
点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（ 除外），使写出的每个三
角形的面积都与 的面积相等．
【答案】（1）见解析 （2） 、 、 、
【解析】
【分析】（1）利用SSS证明两个三角形全等即可;
（2）先证明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，则 ，根据三线合一定理证明∴OE⊥AD， 推
出 ，得到 ，即可证明 由 ，得到∠OBF=∠OCH，
，证明△BOF≌△COH，即可证明 ，则 ，即可推出
，最后证明 ，即可得到 ；
【小问1详解】
证明：∵四边形 是矩形，
∴ 与 相等且互相平分，
∴ ，
∵ ， ，
∴ （SSS）；【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）
∴AE=DE，
∴ ，
∵OA=OD，AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴∠OBF=∠OCH， ，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，
∴△BOF≌△COH（ASA），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，∴ ，
∴ ；
综上所述， 、 、 、 这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的性质与判定等
等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
25. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B
种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买
多少盒A种型号的颜料？
【答案】（1）每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
（2）该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
【解析】
【分析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于 ， 的二
元一次方程组，解之即可；
（2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买 盒B种型号的颜料，根据总费用不超
过3920元，列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元．
根据题意得 解得
∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
【小问2详解】
解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，
根据题意得
解得
∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式．
26. 已知 是 的直径，点A，点B是 上的两个点，连接 ，点D，点E分别是半径
的中点，连接 ，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，延长 交 于点F，若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是 上一点，连接 ，若 ，
，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据SAS证明 即可得到结论；
（2）证明 即可得出结论；
（3）先证明 ，连接 ，证明 ，设 ， ，在 上取点M，使得
，连接 ，证明 为等边三角形，得 ，根据 可求出
，得 ， ，过点H作 于点N，求出 ，再证 ，根据
可得结论．
【小问1详解】如图1．∵点D，点E分别是半径 的中点
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
如图2．∵ ，
∴
由（1）得 ，
∴∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴
【小问3详解】
如图3．∵ ，
∴
∴
连接 ．∵
∴ ，
∴ ，
∵
设 ，
∴
在 上取点M，使得 ，连接
∵ ，
∴
∴ ，∴ 为等边三角形
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
过点H作 于点N
，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形
的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 经过点 ，点 ，与y
轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为 ，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴
负半轴上的一个动点，连接 、设点P的纵坐标为t， 的面积为S，求S关于t的函数解析式（不
要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接 ，点F在 上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接
交y轴于点G，点G为 的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连
接 ， ，延长 交 于点M，点R在 上，连接 ，若 ，
，求直线 的解析式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【分析】（1）将 ， 代入抛物线 中，进行计算即可得；
（2）由（1）得 ，根据 轴得 ， ，根据点P的纵坐标为t，得
，即可得；
（3）过点C作 ，交NR的延长线于点K，过点K作 轴于点T，根据二次函数的性质得
，则 ，根据 轴， 轴得 ，根据点G为 的
中点得 ，根据AAS得 ，得 ， ，再运用待定
系数法求得直线OA的解析式为 ，得出 ，可得 ，再由 得
出 ， ，再运用待定系数法求得直线BP的解析式为 ，进而推出 ，证
得 ，进而得出 ，由 得
，用AAS可证明 ，求得
，设直线RN的解析式为： ，再运用待定系数法即可得．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过 ， ，∴ ，
解得 ，
【小问2详解】
解：由（1）得 ，点D的横坐标为
∴点D纵坐标为
∴ ，
∵ 轴
∴ ，
∵点P的纵坐标为t，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图所示，过点C作 ，交NR的延长线于点K，过点K作 轴于点T，∵ ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵点G为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ， ，
设直线OA的解析式为： ，将点 代入得，
，解得， ，
∴直线OA的解析式： ，
当x=2时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设直线BP的解析式为 ，则，
解得， ，
∴直线BP的解析式为： ，
当 时， ，
∴点M的坐标为 ，
∴ ，
∵ ， ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴CK=CN，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线RN的解析式为： ，将点 ， 得，
，
解得， ，
∴直线RN的解析式为： ．
【点睛】本题考查了二次函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定于性质，等腰直角三角形的
判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，能够添加辅助线构造相似三角形或全等三角形．
