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综合与实践 最短路径问题-造桥选址问题
1．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂
直），使从点A到B的路径A−M−N−B最短的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：从点A到B的路径为AM+MN+NB的值，
∵MN是定值，
∴当AM+NB的值最小时，从点A到B的路径最短，
如图所示，将线段AM沿着MN方向，平移得到A'M'，点M'与点N重合，
当AM∥BN时，点A',M',B三点共线，AM+NB=A'M'+NB=A'B，
∴由两点之间线段最短得，A'B的值最小，
故选：D ．
2．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B
的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和
李庄B到河岸b的距离分别为AC=1000m，BD=2000m，且CD=3000m，如图所示．现要求：建造的桥长要
最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D之间距离C m处．
（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）【答案】1000
【详解】解：作B点关于直线b的对称点B′，连接AB′交直线b于点P，
∴BP=B′P，
∴AP+BP=AP+B′P≥AB′，此时P点到A与B的距离和最小，
过B′作B′M∥CD，延长AC与B′M交于点M，
∴B′M=CD，
∵AC=1000m，BD=2000m，且CD=3000m，
∴AM=1000m+2000m=3000m=MB′，
∴∠CAP=45°，
∴AC=CP，
∴P点与C点的距离是1000m，
故答案为：1000．
3．已知，是A，B两个城镇和一条河流．
(1)如图1，A，B两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点P建造一个抽水站，抽水到A，B两镇，在河
边找出点P的位置，使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，A，B两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠B镇的一边找一点P建造一个抽水站，抽水到A，
B两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点P的位置，使铺设管道的总长最
小（保留作图痕迹）．
【详解】（1）解：如图1，作A关于河边（直线m）的对称点A′，连接A′B交直线m于点P，连接AP，
由轴对称的性质得A′P=AP，
∴PA+PB=A′P+PB≥A′B，∴当A′,P,B三点共线时，PA+PB的值最小，
∴如图所示，点P的位置即为所求；
（2）解：设河流宽度（直线m与直线n之间的距离）为d，
将点B向下平移d至B′，连接AB′交直线n于点Q，作PQ⊥直线n交直线m于点P，连接BP，如图2：
则PQ=d，
由平移的性质得，PB=QB′，
∴AQ+PQ+PB=AQ+QB′+d≥AB′+d，
∴当A,Q,B′三点共线时，AQ+PQ+BP的值最小，即铺设管道的总长最小，
∴如图所示，点P的位置即为所求．
4．将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M
出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将
军走的总路程MP+PQ+QN最短？
【详解】解：如图，作ME∥OB，使得ME=a，作点E关于OB的对称点F，连接FN交OB于点Q，在OQ上截取
QP=a，连接MP，线路M→P→Q→N时，MP+PQ+QN的值最小，5．如图所示，某条护城河在CC′处角转弯，河宽相同，从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与
河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到B的路程最短，请确定两座桥
的位置．
【详解】解：如图所示，
将点A向下平移至点F，使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G，使BG的长等于河宽；连接GF，与河岸
相交于点E′，D′；过点D′作DD′⊥CD于点D，过点E′作EE′⊥CE于点E，则DD′，EE′即为两桥的位
置．
